Bộ đề ôn thi Đại học và Cao đẳng môn Toán năm 2009 - Lê Trinh Tường

Đề 7: 
 ( Biên soạn theo định hướng ra đề của Bộ GD&ĐT năm học 2008 – 2009)
I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7 điểm)
CâuI: (2điểm) Cho hàm số có đồ thị là (Cm) (m là tham số)
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 0
Xác định m sao cho đường thẳng (d): y = - x + m cắt đồ thị (C) tại hai điểm A, B sao cho độ dài đoạn AB là ngắn nhất. 
Câu II: (2 điểm) 1) Giải ph.trình . 
2) Tìm m để hệ phương trình: có ba nghiệm khác nhau.
Câu III: (1 điểm) Tính tích phân ; J = 
Câu IV: (1điểm)
Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh bằng a và điểm M trên cạnh AB sao cho AM = x, (0< x < a). Mặt phẳng (MA'C') cắt BC tại N. Tính x theo a để thể tích khối đa diện MBNC'A'B' bằng thể tích khối lập phương ABCD.A'B'C'D'.
Câu V: (1 điểm) Cho x, y là hai số dương thay đổi thõa điều kiện 4(x + y) – 5 = 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S = .
II. PHẦN RIÊNG (3 điểm) ( Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần 1 hoặc phần 2)
1. Theo chương trình Chuẩn :
Câu VI.a (2 điểm)
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai đ.thẳng D1: 3x + 4y + 5 = 0; D2: 4x – 3y – 5 = 0.
Viết phương trình đường tròn có tâm nằm trên đường thẳng D: x – 6y – 10 = 0 và tiếp xúc với D1, D2.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hình chóp A.OBC, trong đó A(1; 2; 4), B thuộc Ox
 và có hoành độ dương, C thuộc Oy và có tung độ dương. Mặt phẳng (ABC ) vuông góc với mặt phẳng (OBC), . Viết phương trình tham số của đường thẳng BC.
Câu VII.a (1 điểm) Giải phương trình: trên tập số phức.
	2. Theo chương trình Nâng cao :
Câu VI.b (2 điểm)
	1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho các điểm M1(155; 48), M2(159; 50), M3(163; 54), M4(167; 58), M5(171; 60). Lập phương trình đường thẳng y = ax + b đi qua điểm M(163; 50) sao cho đường thẳng đó gần các điểm đã cho nhất. 
	2. Trong không gian Oxyz cho ba điểm A(2 ; 0 ; 0), C(0 ; 4 ; 0) và S(0 ; 0; 4).Tìm tọa độ các điểm B trong mpOxy sao cho tứ giác OABClà hình chữ nhật. Viết ph.trình mặt cầu đi qua bốn điểm O, B, C, S.
Câu VII.b (1 điểm) Chứng minh rằng : , với mọi a thuộc đoạn [-1 ; 1].
-----------------------------------------Hết -------------------------------------------------
Họ và tên thí sinh: ..................................................................................Số báo danh: ...................................
HƯỚNG DẪN GIẢI
I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7 điểm)
CâuI: (2điểm) 
Hàm số viết lại: . (các bước khảo sát HS tự làm)
 BBT: 
2) + Đường thẳng (d) cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt Û có hai nghiệm phân biệt khác 0 Û có hai nghiệm phân biệt Û ( đúng )
 + Gọi A(xA, yA), B(xB, yB) là các giao điểm của (d) và (C). Theo Viet ta có 
 + AB = . Dấu "=" xảy ra Û . Suy ra : AB ngắn nhất Û .
Câu II: (2 điểm) 
1) Đặt Þ sin2x = 1 – t2. Phương trình viết lại: t – t2 = 0 Û (t = 0, t = 1).....
ĐS: .
2) 	+ Hệ Û .
	+ Khi m = 1 hệ Û 	+ Khi m ≠ 1. Đặt t = x2 , .
+ Xét 
	+ Hệ có 3 nghiệm khác nhau Û (1) có ba nghiệm x khác nhau Û (2) có một nghiệm t = 0 và
 nghiệm còn lại là số dương. 
 Điều này Û .
Câu III: (1 điểm) 
+ Tính Đặt: .
Đổi cận x = 0 Þ t = 1; x = 1 Þ t = 0. Khi đó: 
+ Tính J = . Ta có: .
Do đó: J = .
Câu IV: (1điểm)
Ta có A'M, B'B, C'N đồng quy tại S.
Kí hiệu: V1 – thể tích của tứ diện SBMN.
V2 - thể tích của tứ diện SB'A'C'.
V- thể tích của khối đa diện MBNC'A'B'.
Dễ thấy thể tích của khối lập phương cạnh a là a3.
Ta có , (0< x < a)
Ta có: . Mà .
Suy ra: ; Do đó: 
Theo đề bài V = (*)
Đặt : ( vì 0< x < 0), phương trình (*) viết lại: t2 + t – 1 = 0 Þ t = từ đó suy ra x !.
Câu V: (1 điểm) 
	Ta có: 4(x + y)-5 = 0 Þ 4y = 5 – 4x
°	S = = , với 0 < x < °	S¢ = 
Kết luận: MinS = 5 đạt được khi x = 1, y = 	
II. PHẦN RIÊNG (3 điểm) ( Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần 1 hoặc phần 2)
1. Theo chương trình Chuẩn :
Câu VI.a (2 điểm)
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai đ.thẳng D1: 3x + 4y + 5 = 0; D2: 4x – 3y – 5 = 0.
Viết phương trình đường tròn có tâm nằm trên đường thẳng D: x – 6y – 10 = 0 và tiếp xúc với D1, D2.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hình chóp A.OBC, trong đó A(1; 2; 4), B thuộc Ox
 và có hoành độ dương, C thuộc Oy và có tung độ dương. Mặt phẳng (ABC ) vuông góc với mặt phẳng (OBC), . Viết phương trình tham số của đường thẳng BC.
Câu VII.a (1 điểm) Giải phương trình: trên tập số phức.
(Phần này HS tự giải)
	2. Theo chương trình Nâng cao :
Câu VI.b (2 điểm)
1) Đường thẳng y = ax + b gần các điểm đã cho Mi(xi; yi), i = 1,..., 5 nhất thì một điều kiện cần là bé nhất, trong đó .
Đường thẳng y = ax + b đi qua điểm M(163; 50) Þ 50 = 163a + b khi đó phương trình đường thẳng trở thành y = ax -163a + 50.
Từ đó: +
=
.(P)
f(a) bé nhất đạt tại hoành độ đỉnh của parabol(P) Þ a = Þ ....b= 50-163a= .
Đáp số: 
2) OABC là hình chữ nhật Þ B(2; 4; 0). Suy ra: Tọa độ trung điểm H của OH là H(1; 2; 0), H chính là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông OCB.
+ Đường thẳng vuông góc với mp(OCB) tại H cắt mặt phẳng trung trực của đoạn OS (mp có phương trình z = 2 ) tại I Þ I là tâm mặt cầu đi qua 4 điểm O, B, C, S.
+ Tâm I(1; 2; 2) và bán kính R = OI = .
+ Phương trình mặt cầu cần tìm là: 
Câu VII.b (1 điểm) Chứng minh rằng : , với mọi a thuộc đoạn [-1 ; 1].
Đặt: a = sinx, khi đó: .
Û ( đúng với mọi x)
( bạn đọc có thể dùng pp đồ thị hoặc pp khác để giải)
------------------------------------------------------------Hết--------------------------------------------------------------