Bộ đề ôn thi học sinh giỏi lớp 9 môn Toán

Đề số 1
 Câu 1: (2đ)
 Rút gọn biểu thức : A = 
 Câu 2: (2đ)
 Giải phương trình : x2 +3x +1 = (x+3) 
 Câu 3: (2 đ) Giải hệ phương trình 
 Câu 4: (2đ)
 Cho PT bậc hai ẩn x :
 X2 - 2 (m-1) x + 2 m2 - 3m + 1 = 0
 c/m : PT có nghiệm khi và chỉ khi 0 Ê m Ê 1
 Gọi x1 , x2 là nghiệm của PT . c/m
 Ê 
 Câu 6: (2đ) : Cho parabol y = và đườn thẳng (d) : y =
 a/ Vẽ (P) và (d)trên cùng hệ trục toạ độ .
 b/ Gọi A,B là giao điểm của (P) và (d) trên cùng hệ toạ trục toạ độ Oxy. Tìm M trên của (P) sao cho SMAB lớn nhất .
 Câu 7: (2đ)
 a/ c/m : Với " số dương a 
 thì 
 b/ Tính S = 
 Câu 8 ( 4 điểm): Cho đoạn thẳng AB = 2a có trung điểm O . Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB , dựng nửa đường tròn (O,AB) và ( O’,AO) , Trên (O’) lấy M ( M ≠ A, M ≠ O ). Tia OM cắt (O) tại C . Gọi D là giao điểm thứ hai của CA với (O’).
a/ Chứng minh rằng tam giác AMD cân .
b/ Tiếp tuyến C của (O) cắt tia OD tại E. Xác định vị trí tương đối của đương thẳng EA đối với (O) và (O’).
c/ Đường thẳng AM cắt OD tại H, đường tròn ngoại tiếp tam giác COH cắt (O) tại điểm thứ hai là N. Chứng minh ba điểm A, M, N thẳng hàng.
d/ Tại vị trí của M sao cho ME // AB hãy tính OM theo a .
 Câu 9 ( 1 điểm ): Cho tam giác có số đo các đường cao là các số nguyên , bán kính đường tròn nội tiếp tam giác bằng 1. Chứng minh tam giác đó là tam giác đều
Đề Số 2
Câu1 (6 điểm): 
a) Chứng minh biểu thức: 
A = - - 
không phụ thuộc vào x.
b) Chứng minh nếu a, b, c và a', b', c' là độ dài các cạnh của hai tam giác đồng dạng thì:
 + + = 
c) Tính: B = + 
Câu2 (4 điểm):
 Giải các phương trình: 
a) 10 x3 - 17 x2 - 7 x + 2 = 0
b) + = 4
Câu3 (2 điểm): 
Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác có chu vi bằng 2.
Chứng minh: (a + b + c)2 - (a2 + b2 + c2) - 2abc > 2
Câu 4 (2 điểm):
 Chứng minh khi m thay đổi, các đường thẳng có phương trình:
(2m - 1) x + my + 3 = 0 luôn đi qua một điểm cố định. 
Câu 5 (6 điểm):
Cho điểm M nằm trên đường tròn (O), đường kính AB. Dựng đường tròn (M) tiếp xúc với AB. Qua A và B, kẻ các tiếp tuyến AC; BD tới đường tròn (M).
a) Chứng minh ba điểm C; M; D thẳng hàng.
b) Chứng minh AC + BD không đổi.
c) Tìm vị trí của điểm M sao cho AC. BD lớn nhất.
 Đề số 3
Bài 1: 	 (2 điểm)
Chứng minh: 
	-1 = - + 
Bài 2: 	(2 điểm)
Cho + = 5 ab (2a > b > 0)
Tính số trị biểu thức: M = 
Bài 3:	 (2 điểm)
 Chứng minh: nếu a, b là các nghiệm của phương trình: x2 + px + 1 = 0 và c,d là các nghiệm của phương trình: x2 + qx + 1 = 0 thì ta có:
(a – c) (b – c) (a+d) (b +d) = q2 – p2
Bài 4:	 (2 điểm)
Giải bài toán bằng cách lập phương trình 
Tuổi anh và em cộng lại bằng 21. Hiện tại tuổi anh gấp đôi tuổi em lúc anh bằng tuổi em hiện nay. Tính tuổi của anh, em.
Bài 5:	 (2 điểm)
Giải phương trình: x4 + = 2006 
Bài 6: 	(2 điểm)
Trong cùng một hệ trục toạ độ vuông góc, cho parapol (P): y = - và đường thẳng (d): y = mx – 2m – 1.
1. Vẽ (P)
2. Tìm m sao cho (d) tiếp xúc với (P)
3. Chứng tỏ (d) luôn đi qua điểm cố định A ẻ (P)
Bài 7: 	(2 điểm).
Cho biểu thức A = x – + 3y - + 1
Tìm giá trị nhỏ nhất mà A có thể đạt được.
Bài 8: 	(4 điểm).
Cho hai đường tròn (O) và (O’) ở ngoài nhau. Kẻ tiếp tuyến chung ngoài AB và tiếp tuyến chung trong EF, A,E ẻ (O); B, F ẻ (O’)
a. Gọi M là giao điểm của AB và EF. Chứng minh:
∆ AOM ∾ ∆ BMO’
b. Chứng minh: AE BF
c. Gọi N là giao điểm của AE và BF. Chứng minh: O,N,O’ thẳng hàng.
Bài 9: 	(2 điểm).
Dựng hình chữ nhật biết hiệu hai kích thước là d và góc nhọn giữa đường chéo bằng .
đề số 4
Câu 1(2đ) : Giải PT sau : 
	a, x4 - 3x3 + 3x2 - 3x + 2 = 0 
	b, = 2 
Câu 2(2đ): a, Thực hiện phép tính : 
 b, Rút gọn biểu thức : 
	B = Với a + b + c = 0
Câu 3(3đ) : a, Chứng minh rằng : 
	5
	b, Tìm GTNN của P = x2 + y2+ z2
	Biết x + y + z = 2007 
Câu 4(3đ) : Tìm số HS đạt giải nhất, nhì, ba trong kỳ thi HS giỏi toán K9 năm 2007 . Biết : 
Nếu đưa 1 em từ giải nhì lên giải nhất thì số giải nhì gấp đôi giải nhất .
Nếu giảm số giải nhất xuống giải nhì 3 giải thì số giải nhất bằng 1/4 số giải nhì 
Số em đạt giải ba bằng 2/7 tổng số giải .
Câu 5 (4đ): Cho ABC : Góc A = 900 . Trên AC lấy điểm D . Vẽ CE BD.
a, Chứng minh rằng : ABD ECD.
b, Chứng minh rằng tứ giác ABCE là tứ giác nội tiếp được .
c, Chứng minh rằng FD BC (F = BA CE) 
d, Góc ABC = 600 ; BC = 2a ; AD = a . Tính AC, đường cao AH của ABC và bán kính đường tròn ngoại tiếp tứ giác ADEF. 
Câu 6 (4đ): Cho đường tròn (O,R) và điểm F nằm trong đường tròn (O) . AB và A'B' là 2 dây cung vuông góc với nhau tại F .
a, Chứng minh rằng : AB2 + A'B'2 = 8R2 - 4OF2 
b, Chứng minh rằng : AA'2 + BB'2 = A'B2 + AB'2 = 4R2 
c, Gọi I là trung điểm của AA' . Tính OI2 + IF2 
đề số 5
Câu1: Cho hàm số: y =+ 
a.Vẽ đồ thị hàm số
b.Tìm giá trị nhỏ nhất của y và các giá trị x tương ứng
c.Với giá trị nào của x thì y 4
Câu2: Giải các phương trình:
a = 4
b + = -5 – x2 + 6x
c + x-1
Câu3: Rút gọn biểu thức:
a A = (-1)
b B = ++....+ +
Câu4: Cho hình vẽ ABCD với điểm M ở bên trong hình vẽ thoả mãn MAB=MBA=150
Vẽ tam giác đều ABN ở bên ngoài hình vẽ.
a Tính góc AMN . Chứng minh MD=MN
b Chứng minh tam giác MCD đều
Câu5: Cho hình chóp SABC có SASB; SASC; SBSC.
Biết SA=a; SB+SC = k.. Đặt SB=x
a Tính Vhchóptheo a, k, x
b Tính SA, SC để thể tích hình chóp lớn nhất.
đề số 6
Câu 1(2đ)
Cho x = 
Tính giá trị của biểu thức : 	A = x3 + 3x – 14
Câu 2(2đ) :
	Cho phân thức : 	B = 
Tìm các giá trị của x để B = 0.
Rút gọn B.
Câu 3(2đ) : Cho phương trình : x2 + px + 1 = 0 có hai nghiệm là a và b
	 phương trình :	 x2 + qx + 2 = 0 có hai nghiệm là b và c
 (1)
	Chứng minh hệ thức : (b-a)(b-c) = pq – 6
 (2)
Câu 4(2đ) : Cho hệ phương trình : 	(m là tham số)
Giải và biện luận hệ theo m.
Với giá trị nào của số nguyên m hệ có nghiệm (x,y) với x, y là các số nguyên dương.
Câu 5(2đ) : Giải phương trình : 
Câu 6(2đ) : Trong mặt phẳng toạ độ xOy cho tam giác ABC có các đường cao có phương trình là : y = -x + 3 và y = 3x + 1. Đỉnh A có toạ độ là (2;4). Hãy lập phương trình các cạnh của tam giác ABC.
Câu 7(2đ) : Với a>0 ; b>0 cho trước và x,y>0 thay đổi sao cho : 
	. Tìm x,y để x + y đạt giá trị nhỏ nhất.
Câu 8(2đ) : Cho tam giác vuông ABC (Â= 900) có đường cao AH. Gọi trung điểm của BH là P. Trung điểm của AH là Q. 
Chứng minh : AP CQ. 
Câu 9(3đ) : Cho đường tròn (O) đường kính AB. Một điểm M thay đổi trên đường tròn ( M khác A, B). Dựng đường tròn tâm M tiếp xúc với AB tại H. Từ A và B kẻ hai tiếp tuyến AC, BD đến đường tròn tâm M.
Chứng minh CD là tiếp tuyến của (O).
Chứng minh tổng AC+BD không đổi. Từ đó tính giá trị lớn nhất của AC.BD
Lờy điểm N có định trên (O) . Gọi I là trung điểm cuả MN, P là hình chiếu của I trên MB. Tính quỹ tích của P.
Câu 10(1đ) : Hình chóp tam giác đều S.ABC có các mặt là tam giác đều. Gọi O là trung điểm đường cao SH của hình chóp.
	Chứng minh rằng : AOB = BOC = COA = 900.
Đề số 7
Bài 1(2 điểm). Tính số trị của biểu thức:
 A = (1,2345)+(0,7655)- (1,2345).(0,7655)- (1,2345).(0,7655)+4,938.3,062
 Bài 2(2 điểm) Tính:
 Bài 3(2 điểm) Giải phương trình: 
 ( a là hằng số)
 Bài 4(2điểm)
 Có 3 thùng đựng nước. Lần thứ nhất người ta đổ ở thùng I sang hai thùng kia một số nước bằng số nước ở mỗi thùng có lúc đó. Lần thứ hai người ta đổ ở thùng II sang hai thùng kia gấp đôi số nước ở mỗi thùng có lúc đó. Lần thứ ba người ta đổ ở thùng III sang hai thùng kia một số nước bằng số nước ở mỗi thùng có lúc đó. Cuối cùng mỗi thùng đều có 24 lít nước. 
 Tính số lít nước ở mỗi thùng lúc đầu.
 Bài 5(2điểm) Giải phương trình:
 Bài 6(2điểm) Đồ thị hàm số: y = a đi qua điểm A( -2; -2).
 a, Xác định hệ số a.
 b, Ngoài điểm A, trên parabol y = acòn có những điểm nào cách đều hai trục toạ độ?
 Bài 7(2điểm) Tìm các số nguyên x, y, z thoả mãn bất đẳng thức:
 Bài 8(2điểm)
 Cho tam giác ABC vuông tại A. Kẻ đường cao AH. Gọi P là trung điểm của BH và Q là trung điểm của AH.
 1, Chứng minh rằng hai tam giác ABP và CAQ đồng dạng.
 2, Chứng minh AP vuông góc với CQ.
 Bài 9(2điểm) Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp trong đường tròn (O; R). Hai đường cao BD và CE cắt nhau tại H. Chứng minh rằng: OA vuông góc với DE.
 Bài 10(2điểm) Một điểm A di động trên nửa đường tròn đường kính BC cố định. Đường thẳng qua C và song song với BA cắt đường phân giác ngoài của góc BAC của tam giác ABC tại D. Khi A di động trên nửa đường tròn đường kính BC thì D chuyển động trên đường nào?
Đề số 8
Phần I: Trắc nghiệm khách quan
Câu 1: 	( 1.5đ)
Với a>0, b>0; biểu thức . bằng
A: 1	B: a-4b	C: 	D: 
Câu 2: 	( 1.5đ)
	Cho bất đẳng thức:
 3+	(III): 
	Bất đẳng thức nào đúng
A: Chỉ I	B: Chỉ II	C: Chỉ III	D: Chỉ I và II
Câu 3: 	( 1.5đ)
	Trong các câu sau; câu nào sai
Phân thức bằng phân thức	
 a/. b/. 	c/. d/. 
Phần II: Bài tập tự luận
Câu 4: Cho phân thức:
M=
a/. Tìm tập xác định của M.
b/. Tìm các giá trị cảu x đê M=0
c/. Rút gọn M.
Câu 5: 	(4.0đ)
	Giải phương trình :
a/. (1)
b/. (2)
Câu 6: 	( 6.0đ)
	Cho hai đường tròn tâm O và tâm O’ cắt nhau tại A và B. Một cát tuyến kể qua A và cắt đường tròn (O) ở C và (O’) ở D. gọi M và N lần lượt là trung điểm của AC và AD.
a/. Chứng minh : MN=CD
b/. Gọi I là trung điểm của MN. chứng minh rằng đường thẳng vuông góc với CD tại I đi qua 1 điểm cố định khi cát tuyến CAD thay đổi.
c/. Trong số những cát tuyến kẻ qua A , cát tuyến nào có độ dài lớn nhất.
Câu 7: 	( 3.5đ)
	Cho hình chóp tứ giác đều SABCD	AB=a;	SC=2a
a/. Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình chóp
b/. Tính thể tích của hình chóp.
Đề số 9
Bài 1 (2đ): 
1. Cho biểu thức: 
	 A = 
a. Rút gọn biểu thức.
b. Cho Tìm Max A.
2. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ta có:
 từ đó tính tổng: 
 S = 
Bài 2 (2đ): Phân tích thành nhân tử: A = (xy + yz + zx) (x + y+ z) – xyz
Bài 3 (2đ): 
1. Tìm giá trị của a để phương trình sau chỉ có 1 nghiệm:
2. Giả sử x1,x2 là 2 nghiệm của phương trình: x2+ 2kx+ 4 = 4
Tìm tất cả các giá trị của k sao cho có bất đẳng thức: 
Bài 4: (2đ) Cho hệ phương trình: 
1. Giải hệ phương trình với m = 1
2. Tìm m để hệ đã cho có nghiệm.
Bài 5 (2đ) : 
1. Giải phương trình: 
2. Giải hệ phương trình: 
Bài 6 (2đ): Trên mặt phẳng toạ độ cho đường thẳng (d) có phương trình: 
2kx + (k – 1)y = 2 (k là tham số)
1. Tìm k để đường thẳng (d) song song với đường thẳng y = ? Khi đó hãy tính góc tạo bởi (d) và tia Ox.
2. Tìm k để khoảng cách từ gốc toạ độ đến đường thẳng (d) là lớn nhất? 
Bài 7 (2đ): Giả sử x, y là các số dương thoả mãn đẳng thức: 
Tìm giá trị của x và y để biểu thức: 
 đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất ấy.
Bài 8 (2đ): Cho D ABC với BC = 5cm, AC= 6cm; AB = 7cm. Gọi O là giao điểm 3 đường phân giác, G là trọng tâm của tam giác.
Tính độ dài đoạn OG.
Bài 9(2đ) Gọi M là một điểm bất kì trên đường thẳng AB. Vẽ về một phía của AB các hình vuông AMCD, BMEF.
a. Chứng minh rằng AE vuông góc với BC.
b. Gọi H là giao điểm của AE và BC. Chứng minh rằng ba điểm D, H, F thẳng hàng.
c. Chứng minh rằng đường thẳng DF luôn luôn đi qua một điểm cố định khi M chuyển động trên đoạn thẳng AB cố định.
d. Tìm tập hợp các trung điểm K của đoạn nối tâm hai hình vuông khi M chuyển động trên đường thẳng AB cố định.
Bài 10 (2đ): Cho khác góc bẹt và một điểm M thuộc miền trong của góc. Dựng đường thẳng qua M và cắt hai cạnh của góc thành một tam giác có diện tích nhỏ nhất.
Đề số 10
Câu 1( 2đ). Phân tích đa thức sau ra thừa số .
 a4 + 8a3 + 14a2 – 8a –15 .
Câu 2( 2đ). Chứng minh rằng biểu thức 10n + 18n - 1 chia hết cho 27 với n là số tự nhiên .
Câu 3( 2đ). Tìm số trị của Nếu 2a2 + 2b2 = 5ab , và b > a > 0 .
Câu 4( 4đ). Giải phương trình.
a) 
b) 
Câu 5( 3đ). Tổng số học sinh giỏi Toán , giỏi Văn của hai trường THCS đi thi học sinh Giỏi lớn hơn 27 ,số học sinh đi thi văn của trường là thứ nhất là 10, số học sinh đi thi toán của trường thứ hai là 12. Biết rằng số học sinh đi thi của trường thứ nhất lớn hơn 2 lần số học sinh thi Văn của trường thứ hai và số học sinh đi thi của trường thứ hai lớn hơn 9 lần số học sinh thi Toán của trường thứ nhất. Tính số học sinh đi thi của mỗi trường. 
Câu 6( 3đ). Cho tam giác ABC cân ở A đường cao AH = 10 cm dường cao BK = 12 cm . Tính độ dài các cạnh của tam giác ABC .
Câu 7(4đ). Cho (O;4cm) và (O’;3cm) nằm ngoài nhau , OO’=10cm. Tiếp tuyến chung trong tiếp xúc với đường tròn tâm O tại E và đường tròn O’ tại F, OO’ cắt đường tròn tâm O tại A và B, cắt đường tròn tâm O’ tại C và D (B,C nằm giữa 2 điểm A và D) AE cắt CF tại M, BE cắt DF tại N.
CMR : MNAD