Bộ đề Toán tham khảo dành cho thí sinh chuẩn bị thi vào lớp 10 THPT

BỘ ĐỀ THAM KHẢO
DÀNH CHO THÍ SINH CHUẨN BỊ THI VÀO LỚP 10 THPT
(Bộ đề này chỉ nêu ra phần tự luận của các đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của một số trường trong những năm gần đây, phần trắc nghiệm thí sinh cần tham khảo nội dung bộ đề trắc nghiệm đi kèm).
ĐỀ SỐ 1
Câu 1.
1.Chứng minh .
2.Rút gọn phép tính .
Câu 2. Cho phương trình 2x2 + 3x + 2m – 1 = 0
	1.Giải phương trình với m = 1.
	2.Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt.
Câu 3. Một mảnh vườn hình chữ nhật có diện tích là 1200m2. Nay người ta tu bổ bằng cách tăng chiều rộng của vườn thêm 5m, đồng thời rút bớt chiều dài 4m thì mảnh vườn đó có diện tích 1260m2. Tính kích thước mảnh vườn sau khi tu bổ.
Câu 4. Cho đường tròn tâm O đường kính AB. Người ta vẽ đường tròn tâm A bán kính nhỏ hơn AB, nó cắt đường tròn (O) tại C và D, cắt AB tại E. Trên cung nhỏ CE của (A), ta lấy điểm M. Tia BM cắt tiếp (O) tại N.
	a) Chứng minh BC, BD là các tiếp tuyến của đường tròn (A).
	b) Chứng minh NB là phân giác của góc CND.
	c) Chứng minh tam giác CNM đồng dạng với tam giác MND.
	d) Giả sử CN = a; DN = b. Tính MN theo a và b.
Câu 5. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = 2x2 + 3x + 4.
ĐỀ SỐ 2
Câu 1. Tìm hai số biết hiệu của chúng bằng 10 và tổng của 6 lần số lớn với 2 lần số bé là 116.
Câu 2. Cho phương trình x2 – 7x + m = 0
	a) Giải phương trình khi m = 1.
	b) Gọi x1, x2 là các nghiệm của phương trình. Tính S = x12 + x22.
	c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu.
Câu 3. Cho tam giác DEF có D = 600, các góc E, F là góc nhọn nội tiếp trong đường tròn tâm O. Các đường cao EI, FK, I thuộc DF, K thuộc DE.
	a) Tính số đo cung EF không chứa điểm D.
	b) Chứng minh EFIK nội tiếp được.
	c) Chứng minh tam giác DEF đồng dạng với tam giác DIK và tìm tỉ số đồng dạng.
Câu 4. Cho a, b là 2 số dương, chứng minh rằng
ĐỀ SỐ 3
Câu 1.Thực hiện phép tính
Câu 2. Cho phương trình x2 – 2x – 3m2 = 0 (1).
	a) Giải phương trình khi m = 0.
	b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu.
	c) Chứng minh phương trình 3m2x2 + 2x – 1 = 0 (m ≠ 0) luôn có hai nghiệm phân biệt và mỗi nghiệm của nó là nghịch đảo của một nghiệm của phương trình (1).
Câu 3. Cho tam giác ABC vuông cân tại A, AD là trung tuyến. Lấy điểm M bất kỳ trên đoạn AD (M ≠ A; M ≠ D). Gọi I, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của M trên AB, AC; H là hình chiếu vuông góc của I trên đường thẳng DK.
	a) Tứ giác AIMK là hình gì?
	b) Chứng minh 5 điểm A, I, M, H, K cùng nằm trên một đường tròn. Xác định tâm của đường tròn đó.
	c) Chứng minh ba điểm B, M, H thẳng hàng.
Câu 4. Tìm nghiệm hữu tỉ của phương trình 
ĐỀ SỐ 4
Câu 1. Cho biểu thức 
	a) Rút gọn P.
	b) Tìm a để 
Câu 2. Một ca nô xuôi dòng từ A đến B dài 80km, sau đó lại ngược dòng đến C cách B 72km, thời gian ca nô xuôi dòng ít hơn thời gian ngược dòng là 15 phút. Tính vận tốc riêng của ca nô, biết vận tốc của dòng nước là 4km/h.
Câu 3. Tìm tọa độ giao điểm A và B của hai đồ thị các hàm số y = 2x + 3 và y = x2. Gọi D và C lần lượt là hình chiếu vuông góc của A và B lên trục hoành. Tính diện tích tứ giác ABCD.
Câu 4. Cho (O) đường kính AB = 2R, C là trung điểm của OA và dây MN vuông góc với OA tại C. Gọi K là điểm tùy ý trên cung nhỏ BM, H là giao điểm của AK và MN.
	a) Chứng minh tứ giác BCHK nội tiếp được.
	b) Tính tích AH.AK theo R.
	c) Xác định vị trí của K để tổng (KM + KN + KB) đạt giá trị lớn nhất và tính giá trị lớn nhất đó.
Câu 5. Cho hai số dương x, y thoả mãn điều kiện x + y = 2.
Chứng minh x2y2(x2 + y2) 2
ĐỀ SỐ 5
Câu 1. Cho biểu thức 
	a) Tìm điều kiện để P có nghĩa và rút gọn P.
	b) Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức nhận giá trị nguyên.
Câu 2.
	a) Giải phương trình x4 – 4x3 – 2x2 + 4x + 1 = 0.
	b) Giải hệ 
Câu 3. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho (P) có phương trình . Gọi (d) là đường thẳng đi qua điểm I(0; - 2) và có hệ số góc k.
	a) Viết phương trình dường thẳng (d). Chứng minh rằng (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B khi k thay đổi.
	b) Gọi H, K theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của A, B lên trục hoành. Chứng minh rằng tam giác IHK vuông tại I.
Câu 4. Cho (O; R), AB là đường kính cố định. Đường thẳng (d) là tiếp tuyến của (O) tại B. MN là đường kính thay đổi của (O) sao cho MN không vuông góc với AB và M ≠ A, M ≠ B. Các đường thẳng AM, AN cắt đường thẳng (d) tương ứng tại C và D. Gọi I là trung điểm của CD, H là giao điểm của AI và MN. Khi MN thay đổi, chứng minh rằng:
	a) Tích AM.AC không đổi.
	b) Bốn điểm C, M, N, D cùng thuộc một đường tròn.
	c) Điểm H luôn thuộc một đường tròn cố định.
	d) Tâm J của đường tròn ngoại tiếp tam giác HIB luôn thuộc một đường thẳng cố định.
Câu 5. Cho hai số dương x, y thỏa mãn điều kiện x + y = 1. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .
ĐỀ SỐ 6
Câu 1.
	a) Giải phương trình 5x2 + 6 = 7x – 2.
	b) Giải hệ phương trình 
	c) Tính 
Câu 2. Cho (P) y = -2x2
	a) Trong các điểm sau điểm nào thuộc, không thuộc (P)? tại sao?
	A(-1; -2); B();          C()
	b) Tìm k để đường thẳng (d): y = kx + 2 cắt (P) tại hai điểm phân biệt.
	c) Chứng minh điểm E(m; m2 + 1) không thuộc (P) với mọi giá trị của m.
Câu 3. Cho tam giác ABC vuông tại A, góc B lớn hơn góc C. Kẻ đường cao AH. Trên đoạn HC đặt HD = HB. Từ C kẻ CE vuông góc với AD tại E.
	a) Chứng minh các tam giác AHB và AHD bằng nhau.
	b) Chứng minh tứ giác AHCE nội tiếp và hai góc HCE và HAE bằng nhau.
	c) Chứng minh tam giác AHE cân tại H.
	d) Chứng minh DE.CA = DA.CE
	e) Tính góc BCA nếu HE//CA.
Câu 4.Cho hàm số y = f(x) xác định với mọi số thực x khác 0 và thỏa mãn với mọi x khác 0. Tính giá trị f(2).
ĐỀ SỐ 7
Câu 1.
	a) Tính 
	b) Giải hệ 
	c) Chứng minh rằng là nghiệm của phương trình x2 – 6x + 7 = 0.
Câu 2. Cho (P): .
	a) Các điểm , điểm nào thuộc (P)? Giải thích?
	b) Tìm k để (d) có phương trình y = kx – 3 tiếp xúc với (P).
	c) Chứng tỏ rằng đường thẳng x = cắt (P) tại một điểm duy nhất. Xác định tọa độ giao điểm đó.
Câu 3. Cho (O;R), đường kính AB cố định, CD là đường kính di động. Gọi d là tiếp tuyến của (O) tại B; các đường thẳng AC, AD cắt d lần lượt tại P và Q.
	a) Chứng minh góc PAQ vuông.
	b) Chứng minh tứ giác CPQD nội tiếp được.
	c) Chứng minh trung tuyến AI của tam giác APQ vuông góc với đường thẳng CD.
	d) Xác định vị trí của CD để diện tích tứ giác CPQD bằng 3 lần diện tích tam giác ABC.
Câu 4. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .
ĐỀ SỐ 8
Câu 1.
1.Cho 
a) Rút gọn P.
b) Tìm a biết P > .
c) Tìm a biết P = .
	2.Chứng minh rằng 
Câu 2. Cho phương trình mx2 – 2(m-1)x + m = 0 (1)
	a) Giải phương trình khi m = - 1.
	b) Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt.
	c) Gọi hai nghiệm của (1) là x1 , x2. Hãy lập phương trình nhận làm nghiệm.
Câu 3.Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC) nội tiếp đường tròn tâm O, đường kính AD. Đường cao AH, đường phân giác AN của tam giác cắt (O) tương ứng tại các điểm Q và P.
	a) Chứng minh: DQ//BC và OP vuông góc với QD.
	b) Tính diện tích tam giác AQD biết bán kính đường tròn là R và tgQAD = .
Câu 4.
a)Giả sử phương trình ax2 + bx + c = 0 có nghiệm dương x1. Chứng minh rằng phương trình cx2 + bx + a = 0 cũng có nghiệm dương là x2 và x1 + x2 0.
b)Tìm cặp số (x, y) thỏa mãn phương trình x2y + 2xy – 4x + y = 0 sao cho y đạt giá trị lớn nhất.
ĐỀ SỐ 9
Câu 1.
	1.Cho 
	a) Chứng minh 
	b) Tính P khi 
	2.Tính 
Câu 2. Cho hai phương trình ẩn x sau:
	a) Giải phương trình (1).
	b) Tìm a và b để hai phương trình đó tương đương.
	c) Với b = 0. Tìm a để phương trình (2) có nghiệm x1, x2 thỏa mãn x12 + x22 = 7
Câu 3. Cho tam giác ABC vuông ở a và góc B lớn hơn góc C, AH là đường cao, AM là trung tuyến. Đường tròn tâm H bán kính HA cắt đường thẳng AB ở D và đường thẳng AC ở E.
	a) Chứng minh D, H, E thẳng hàng.
	b) Chứng minh .
	c) Chứng minh bốn điểm B, C, D, E nằm trên đường tròn tâm O. Tứ giác AMOH là hình gì?
	d) Cho góc ACB bằng 300 và AH = a. Tính diện tích tam giác HEC.
Câu 4.Giải phương trình . Với ẩn x, tham số a.
ĐỀ SỐ 10
Câu 1.
	1.Rút gọn .
	2.Cho với a < 0, b < 0.
	a) Chứng minh .
	b) Rút gọn .
Câu 2. Cho phương trình ; x là ẩn, m là tham số.
	a) Giải (*) khi m = - 5.
	b) Tìm m để (*) có nghiệm kép.
Câu 3. Cho hàm số y = - x2 có đồ thị là (P); hàm số y = 2x – 3 có đồ thị là (d).
	1.Vẽ đồ thị (P) và (d) trên cùng một hệ trục tọa độ Oxy. Tìm tọa độ các giao điểm của (P) và (d).
	2.Cho điểm M(-1; -2), bằng phép tính hãy cho biết điểm M thuộc ở phía trên hay phía dưới đồ thị (P), (d).
	3.Tìm những giá trị của x sao cho đồ thị (P) ở phái trên đồ thị (d).
Câu 4. Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp (O), E là hình chiếu của B trên AC. Đường thẳng qua E song song với tiếp tuyến Ax của (O) cắt AB tại F.
	1.Chứng minh tứ giác BFEC nội tiếp.
	2.Góc DFE (D thuộc cạnh BC) nhận tia FC làm phân giác trong và H là giao điểm của BE với CF. Chứng minh A, H, D thẳng hàng.
	3.Tia DE cắt tiếp tuyến Ax tại K. Tam giác ABC là tam giác gì thì tứ giác AFEK là hình bình hành, là hình thoi? Giải thích.
Câu 5. Hãy tính theo a. Trong đó x, y, z là nghiệm của phương trình:
ĐỀ SỐ 11
Câu 1.
	1.Giải bất phương trình, hệ phương trình, phương trình
	2.Từ kết quả của phần 1. Suy ra nghiệm của bất phương trình, phương trình, hệ phương trình sau:
Câu 2. 
	1.Chứng minh .
2.Rút gọn 
Câu 3. Cho tam giác ABC (AC > AB) có AM là trung tuyến, N là điểm bất kì trên đoạn AM. Đường tròn (O) đường kính AN.
	1.Đường tròn (O) cắt phân giác trong AD của góc A tại F, cắt phân giác ngoài góc A tại E. Chứng minh FE là đường kính của (O).
	2.Đường tròn (O) cắt AB, AC lần lượt tại K, H. Đoạn KH cắt AD tại I. Chứng minh hai tam giác AKF và KIF đồng dạng.
	3.Chứng minh FK2 = FI.FA.
	4.Chứng minh NH.CD = NK.BD.
Câu 4. Rút gọn
ĐỀ SỐ 12
Câu 1.Giải các phương trình sau
	1) 4x – 1 = 2x + 5 2) x2 – 8x + 15 = 0 3) 
Câu 2. 
	1.Chứng minh .
	2.Rút gọn .
	3.Chứng minh 
Câu 3. Cho ba điểm A, B, C thẳng hàng (điểm B thuộc đoạn AC). Đường tròn (O) đi qua B và C, đường kính DE vuông góc với BC tại K. AD cắt (O) tại F, EF cắt AC tại I.
	1.Chứng minh tứ giác DFIK nội tiếp được.
	2.Gọi H là điểm đối xứng với I qua K. Chứng minh góc DHA và góc DEA bằng nhau.
	3.Chứng minh AI.KE.KD = KI.AB.AC.
	4.AT là tiếp tuyến (T là tiếp điểm) của (O). Điểm T chạy trên đường nào khi (O) thay đổi nhưng luôn đi qua hai điểm B, C.
Câu 4. 
	1.Cho tam giác ABC có BC = a, AC = b, AB = c, G là trọng tâm. Gọi x, y, z lần lượt là khoảng cách từ G tới các cạnh a, b, c. Chứng minh 
	2.Giải phương trình
ĐỀ SỐ 13
Câu 1.Giải hệ phương trình 
Câu 2. Giải bất phương trình (x – 1)(x + 2) < x2 + 4.
Câu 3. 
1.Rút gọn biểu thức .
2.Với giá trị nào của m thì phương trình 2x2 – 4x – m + 3 = 0 (m là tham số) vô nghiệm.
Câu 4. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Vẽ trung tuyến AM, phân giác AD của góc BAC. Đường tròn ngoại tiếp tam giác ADM cắt AB tại P và cắt AC tại Q.
	1.Chứng minh .
	2.Chứng minh BD.AM = BA.DP.
	3.Giả sử BC = a; AC = b; BD = m. Tính tỉ số theo a, b, m.
	4.Gọi E là điểm chính giữa cung PAQ và K là trung điểm đoạn PQ. Chứng minh ba điểm D, K, E thẳng hàng.
ĐỀ SỐ 14
Câu 1.
	1.Giải bất phương trình (x + 1)(x – 4) < 0.
	2.Giải và biện luận bất phương trình với m là tham số.
Câu 2. Giải hệ phương trình 
Câu 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức . Khi đó x, y có giá trị bằng bao nhiêu?
Câu 4. Cho hình thoi ABCD có góc nhọn . Vẽ tam giác đều CDM về phía ngoài hình thoi và tam giác đều AKD sao cho đỉnh K thuộc mặt phẳng chứa đỉnh B (nửa mặt phẳng bờ AC).
	1.Tìm tâm của đường tròn đi qua 4 điểm A, K, C, M.
	2.Chứng minh rằng nếu AB = a, thì BD = .
	3.Tính góc ABK theo .
	4.Chứng minh 3 điểm K, L, M nằm trên một đường thẳng.
Câu 5. Giải phương trình 
ĐỀ SỐ 15
Câu 1.Tính
Câu 2. 
	1.Vẽ đồ thị (P) của hàm số y = .
	2.Tìm a, b để đường thẳng y = ax + b đi qua điểm (0; -1) và tiếp xúc với (P)
Câu 3. Cho hệ phương trình 
	a)Giải hệ với m = 2.
	b) Tìm m để hệ có nghiệm âm (x < 0; y < 0).
Câu 4. Cho nửa đường tròn đường kính AB = 2r, C là trung điểm của cung AB. Trên cung AC lấy điểm F bất kì. Trên dây BF lấy điểm E sao cho BE = AF.
	a) Hai tam giác AFC và BEC qua hệ với nhau như thế nào? Tại sao?
	b) Chứng minh tam giác EFC vuông cân.
	c) Gọi D là giao điểm của AC với tiếp tuyến tại B của nửa đường tròn. Chứng minh tứ giác BECD nội tiếp được.
	d) Giả sử F di động trên cung AC. Chứng minh rằng khi đó E di chuyển trên một cung tròn. Hãy xác định cung tròn và bán kính của cung tròn đó.
ĐỀ SỐ 16
Câu 1.
	1.Tìm bốn số tự nhiên liên tiếp, biết rằng tích của chúng bằng 3024.
	2.Có thể tìm được hay không ba số a, b, c sao cho:
Câu 2. 
	1.Cho biểu thức 
	a) Rút gọn B.
	b) Tính giá trị của B khi .
	c) Chứng minh rằng với mọi giá trị của x thỏa mãn .
	2.Giải hệ phương trình 
Câu 3. Cho hàm số: 
	1.Tìm khoảng xác định của hàm số.
	2. Tính giá trị lớn nhất của hàm số và các giá trị tương ứng của x trong khoảng xác định đó.
Câu 4. Cho (O; r) và hai đường kính bất kì AB và CD. Tiếp tuyến tại A của (O) cắt đường thẳng BC và BD tại hai điểm tương ứng là E, F. Gọi P và Q lần lượt là trung điểm của EA và AF.
	1.Chứng minh rằng trực tâm H của tam giác BPQ là trung điểm của đoạn OA.
	2.Hai đường kính AB và Cd có vị trí tương đối như thế nào thì tam giác BPQ có diện tích nhỏ nhất? Hãy tính diện tích đó theo r.
ĐỀ SỐ 17
Câu 1. Cho a, b, c là ba số dương.
	Đặt 
	Chứng minh rằng a + c = 2b x + y = 2z.
Câu 2. Xác định giá trị của a để tổng bình phương các nghiệm của phương trình:
x2 – (2a – 1)x + 2(a – 1) = 0, đạt giá trị nhỏ nhất.
Câu 3. Giải hệ phương trình: 
Câu 4. Cho hai đường tròn (O1) và (O2) cắt nhau tại A và B. Vẽ dây AE của (O1) tiếp xúc với (O2) tại A; vẽ dây AF của (O2) tiếp xúc với (O1) tại A.
	1. Chứng minh rằng .
	2.Gọi C là điểm đối xứng với A qua B. Có nhận xét gì về hai tam giác EBC và FBC.
	3.Chứng minh tứ giác AECF nội tiếp được.
ĐỀ SỐ 18
Câu 1. 
	1.Giải các phương trình:
	2.Giải các hệ phương trình:
Câu 2. 
	1.Rút gọn 
	2.Chứng minh .
Câu 3. Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp trong đường tròn, P là một điểm trên cung nhỏ AC ( P khác A và C). AP kéo dài cắt đường thẳng BC tại M.
	a) Chứng minh .
	b) Chứng minh AB2 = AP.AM.
	c) Giả sử hai cung AP và CP bằng nhau, Chứng minh AM.MP = AB.BM.
	d) Tìm vị trí của M trên tia BC sao cho AP = MP.
	e) Gọi MT là tiếp tuyến của đường tròn tại T, chứng minh AM, AB, MT là ba cạnh của một tam giác vuông.
Câu 4. Cho . Tính 
ĐỀ SỐ 19
Câu 1. 
	1.Giải hệ phương trình sau:
	2.Tính 
Câu 2. 
	1.Cho phương trình x2 – ax + a + 1 = 0.
	a) Giải phương trình khi a = - 1.
	b) Xác định giá trị của a, biết rằng phương trình có một nghiệm là . Với giá trị tìm được của a, hãy tính nghiệm thứ hai của phương trình.
	2.Chứng minh rằng nếu thì ít nhất một trong hai phương trình sau đây có nghiệm: x2 + 2ax + b = 0; x2 + 2bx + a = 0.
Câu 3. Cho tam giác ABC có AB = AC. Các cạnh AB, BC, CA tiếp xúc với (O) tại các điểm tương ứng D, E, F.
	1.Chứng minh DF//BC và ba điểm A, O, E thẳng hàng.
	2.Gọi giao điểm thứ hai của BF với (O) là M và giao điểm của DM với BC là N. Chứng minh hai tam giác BFC và DNB đồng dạng; N là trung điểm của BE.
	3.Gọi (O’) là đường tròn đi qua ba điểm B, O, C. Chứng minh AB, AC là các tiếp tuyến của (O’).
Câu 4. Cho . Tính S = x + y.
ĐỀ SỐ 20
Câu 1. 
	1.Cho 
	a) Tìm tập xác định của M.
	b) Rút gọn biểu thức M.
	c) Tính giá trị của M tại .
	2.Tính 
Câu 2. 
	1.Cho phương trình (m + 2)x2 – 2(m – 1) + 1 = 0 (1)
	a) Giải phương trình khi m = 1.
	b) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm kép.
	c) Tìm m để (1) có hai nghiệm phân biệt, tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiẹm không phụ thuộc vào m.
	2.Cho ba số a, b, c thỏa mãn a > 0; a2 = bc; a + b + c = abc. Chứng minh:
Câu 3. Cho (O) và một dây ABM tùy ý trên cung lớn AB.
	1.Nêu cách dựng (O1) qua M và tiếp xúc với AB tại A; đường tròn (O2) qua M và tiếp xúc với AB tại B.
	2.Gọi N là giao điểm thứ hai của hai đường tròn (O1) và (O2). Chứng minh . Có nhận xét gì về độ lớn của góc ANB khi M di động.
	3.Tia MN cắt (O) tại S. Tứ giác ANBS là hình gì?
	4.Xác định vị trí của M để tứ giác ANBS có diện tích lớn nhất.
Câu 4. Giả sử hệ có nghiệm. Chứng minh rằng: a3 + b3 + c3 = 3abc.
-------------------------------------------------------------
HƯỚNG DẪN NHỮNG BÀI KHÓ
Câu 4. Đề 2
	Cho a, b là hai số dương. Chứng minh rằng:
Câu 4. Đề 3
	Tìm nghiệm hữu tỉ của phương trình 
	Vậy nghiệm hữu tỉ của phương trình là hoặc 
Câu 5. Đề 4
	Cho hai số dương x, y thỏa mãn x + y = 2. Chứng minh .
	Xét 
	Mặt khác do 0 < x, y và x + y = 2 nên 0 < xy 1 suy ra đpcm.
Câu 5. Đề 5
	Cho hai số dương x, y thỏa mãn x + y = 1. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .
	Đặt x2 + y2 = t 
	Khi đó, theo Côsi có: