Bộ đề tuyển sinh vào lớp 10 THPT môn Toán - Tỉnh Thanh Hoá

Sở gd & đt thanh hoá
Kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 thpt
Năm học 2000 – 2001
Môn: Toán
Thời gian làm bài: 150 phút
Bài 1: (2 Điểm)
a. Tìm các giá trị của a, b biết rằng đồ thị của hàm số y = ax + b đi qua các điểm A(2; -1) ; B(; 2)
b. Với giá trị nào của m thì đồ thị của các hàm số y = mx + 3; y = 3x – 7 và đồ thị của hàm số xác định ở câu a đồng quy (Cắt nhau tại một điểm).
Bài 2: (2 Điểm)
 Cho phương trình bậc hai: x2 – 2(m+1)x + 2m + 5 = 0
Giải phương trình khi m = 
Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình đã cho có nghiệm.
Bài 3: (2,5 Điểm)
 Cho đường tròn (O) và một đường kính AB của nó. Gọi S là trung điểm của OA, vẽ một đường tròn (S) có tâm là điểm S và đi qua A.
Chứng minh đường tròn (O) và đường tròn (S) tiếp xúc nhau.
Qua A vẽ đường thẳng Ax cắt các đường tròn (S) và (O) theo thứ tự tại M, Q; đường thẳng Ay cắt các đường tròn (S) và (O) theo thứ tự tại N, F; đường thẳng Az cắt các đường tròn (S) và (O) theo thứ tự tại P, T.
 Chứng minh tam giác MNP đồng dạng với tam giác QFT.
Bài 4: (2 Điểm)
 Cho hình chóp SABC có tất cả các mặt đều là tam giác đều cạnh a. Gọi M là trung điểm của cạnh SA; N là trung điểm của cạnh BC.
Chứng minh MN vuông góc với SA và BC.
Tính diệm tích của tam giác MBC theo a.
Bài 5: (1,5 Điểm)
 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
M = 
 ---------------------------------------- Hết ---------------------------------------------
 Sở gd & đt thanh hoá
Kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 thpt
Năm học 2001 – 2002
Môn: Toán
Thời gian làm bài: 150 phút
Bài 1: (1,5 Điểm) Cho biểu thức: A = 
Rút gọn biểu thức A.
Tính giá trị của biểu thức A với x = 
Bài 2: (2 Điểm) Cho phương trình : x2 – 2(m - 1)x – (m +1) = 0
Giải phương trình với m = 2
Chứng minh rằng với mọi m phương trình luôn luôn có hai nghiệm phân biệt x1, x2.
Tìm m để có giá trị nhỏ nhất.
Bài 3: (1,5 Điểm) Cho hệ phương trình: .
Giải hệ phương trình với m = 2.
Xác định m để hệ phương trình có một nghiệm? Vô nghiệm? Vô số nghiệm?
Bài 4: (2,5 Điểm) Cho tam giác cân ABC (AB = AC), với  = 450, nội tiếp trong đường tròn tâm O. Đường tròn đường kính BC cắt AB ở E, cắt AC ở F.
Chứng minh rằng: O thuộc đường tròn đường kính BC.
Chứng minh , là những tam giác vuông cân.
Chứng minh tứ giác EOFB là hình thang cân. Suy ra EF = BC
Bài 5: (1,5 Điểm) Cho tứ diện S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh 2cm. SA vuông góc với đáy, SA = 2 cm.
Tính thể tích của tứ diện.
Gọi AM là đường cao, O là trực tâm của tam giác ABC. Gọi H là hình chiếu của O trên SM. Chứng minh rằng OH vuông góc với mặt phẳng (SBC).
Bài 6:(1 Điểm) Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: 
 ---------------------------------------- Hết ---------------------------------------------
Sở gd & đt thanh hoá
Kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 thpt
Năm học 2002 – 2003
Môn: Toán
Thời gian làm bài: 150 phút
Bài 1: (1,5 Điểm)
1. Giải phương trình: x2 – 6x +5 = 0 
2. Tính giá trị của biểu thức: A = 
Bài 2: (1,5 Điểm) Cho phương trình mx2 – (2m+1)x + m - 2 = 0 (1), với m là tham số. Tìm các giá trị của m để phương trình (1):
Có nghiệm.
Có tổng bình phương các nghiệm bằng 22.
Có bình phương của hiệu hai nghiệm bằng 13.
Bài 3: (1 Điểm) Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình:
 Tính các cạnh của một tam giác vuông biết rằng chu vi của nó là 12cm và tổng bình phương độ dài các cạnh bằng 50.
Bài 4: (1 Điểm) Cho biểu thức: B = 
Tìm các giá trị nguyên của x để B nhận giá trị nguyên.
Tìm giá trị lớn nhất của B.
Bài 5: (2,5 Điểm) Cho tam giác ABC cân đỉnh A nội tiếp trong đường tròn tâm O. Gọi M, N, P lần lượt là các điểm chỉnh giữa các cung nhỏ AB, BC, CA; BP cắt AN tại I; MN cắt AB tại E. Chứng minh rằng:
Tứ giác BCPM là hình thang cân; góc ABN có số đo bằng 900.
Tam giác BIN cân; EI // BC. 
Bài 6: (1,5 Điểm) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có độ dài cạnh đáy là 18cm, độ dài đường cao là 12cm.
1.Tính diện tích xung quanh và thể tích của hình chóp.
2.Chứng minh đường thẳng AC vuông góc với mặt phẳng (SBD).
Bài 7: (1 Điểm) Giải phương trình:
 ---------------------------------------- Hết ---------------------------------------------
Sở gd & đt thanh hoá
Kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 thpt
Năm học 2003 – 2004
Môn: Toán
Thời gian làm bài: 150 phút
Bài 1: (2 Điểm)
1. Giải phương trình: x2 – 2x - 1 = 0 
2. Giải hệ phương trình: 
Bài 2: (2 Điểm) Cho biểu thức: M = 
1. Tìm điều kiện của x để M có nghĩa.
2. Rút gọn M.
3. Chứng minh M 
Bài 3: (1,5 Điểm)
 Cho phương trình: x2 – 2mx + m2 - |m| - m = 0 (Với m là tham số)
1. Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của m.
2. Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình. Tìm m để x12 + x22 = 6
Bài 4: (3,5 Điểm) Cho B và C là các điểm tương ứng thuộc các cạnh Ax, Ay của góc vuông xAy (B A, C A). Tam giác ABC có đường cao AH và phân giác BE. Gọi D là chân đường vuông góc hạ từ A lên BE, O là trung điểm của AB.
1. Chứng minh ADHB và CEDH là các tứ giác nội tiếp được trong đường tròn.
2. Chứng minh AH OD và HD là phân giác của góc OHC.
3. Cho B và C di chuyển trên Ax và Ay thoả mãn AH = h (h không đổi). Tính diện tích tứ giác ADHO theo h khi diện tích của tam giác ABC đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 5: (1,5 Điểm) Cho hai số dương x, y thay đổi sao cho x + y = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = 
 ---------------------------------------- Hết ---------------------------------------------
Sở gd & đt thanh hoá
Kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 thpt
Năm học 2004 – 2005
Môn: Toán
Thời gian làm bài: 150 phút
Bài 1: (2 Điểm)
1. Giải phương trình: x2 – 3x - 4 = 0 
2. Giải hệ phương trình: 
Bài 2: (2 Điểm) Cho biểu thức: B = 
1. Tìm điều kiện của a để biểu thức B có nghĩa.
2. Chứng minh B = 
Bài 3: (2 Điểm)
 Cho phương trình: x2 – (m+1)x + 2m - 3 = 0 (Với m là tham số)
1. Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt.
2. Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm x1, x2 của phương trình sao cho hệ thức đó không phụ thuộc m.
Bài 4: (3 Điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, nội tiếp trong đường tròn tâm O và d là tiếp tuyến của đường tròn tại C. Gọi AH và BK là các đường cao của tam giác; M, N, P, Q lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ A, K, H, B xuống đường thẳng d.
1. Chứng minh rằng: tứ giác AKHB nội tiếp và tứ giác HKNP là hình chữ nhật.
2. Chứng minh rằng: HMP = HAC, HMP = KQN.
3. Chứng minh rằng: MP = QN
Bài 5: (1 Điểm) Cho 0 < x < 1
1. Chứng minh rằng: x( 1 – x ) 
2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
 A = 
 ---------------------------------------- hết ---------------------------------------------
Sở gd & đt thanh hoá
Kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 thpt
Năm học 2005 – 2006
Môn: Toán
Thời gian làm bài: 150 phút
Bài 1: (2 Điểm) Cho biểu thức: A = 
1. Tìm điều kiện của a để biểu thức A có nghĩa.
2. Chứng minh A = 
3. Tìm a để A < -1
Bài 2: (2 Điểm)
1. Giải phương trình: x2 – x - 6 = 0 
2. Tìm a để phương trình: x2 – (a - 2)x – 2a = 0 có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn điều kiện: 2x1 + 3x2 = 0 
Bài 3: (1,5 Điểm)
 Tìm hai số thực dương a, b sao cho điểm M có toạ độ (a; b2 + 3) và điểm N có toạ độ (; 2) cùng thuộc đồ thị của hàm số y = x2
Bài 4: (3 Điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A, có đường cao AH. Đường tròn (O) đường kính HC cắt cạnh AC tại N. Tiếp tuyến với đường tròn (O) tại điểm N cắt cạnh AB tại điểm M. Chứng minh rằng:
1. HN // AB và tứ giác BMNC nội tiếp được trong một đường tròn.
2. Tứ giác AMHN là hình chữ nhật.
3. 
Bài 5: (1 Điểm) Cho a, b là các số thực thoả mãn điều kiện a + b 0
Chứng minh rằng: 
 ---------------------------------------- Hết ---------------------------------------------
Sở gd & đt thanh hoá
Kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 thpt
Năm học 2006 – 2007
Môn: Toán
Thời gian làm bài: 120 phút
Bài 1: (1,5 Điểm) Cho biểu thức: A = 
1. Tìm các giá trị của a để biểu thức A có nghĩa.
2. Rút gọn A
Bài 2: (1,5 Điểm)
 Giải phương trình: 
Bài 3: (1,5 Điểm)
 Giải hệ phương trình: 
Bài 4: (1 Điểm)
 Tìm các giá trị của tham số m để phương trình sau vô nghiệm:
 x2 – 2mx + m|m| + 2 = 0
Bài 5: (1 Điểm) Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 2cm, AD = 3cm. Quay hình chữ nhật đó quanh AB thì được một hình trụ. Tính thể tích hình trụ đó.
Bài 6: (2,5 Điểm) 
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, Góc B gấp đôi góc C và AH là đường cao. Gọi M là trung điểm của cạnh AC, các đường thẳng MH, AB cắt nhau tại điểm N. Chứng minh rằng:
a. Tam giác MHC cân.
b. Tứ giác NBMC nội tiếp được trong một đường tròn.
c. 2MH2 = AB2 + AB.BH
Bài 7: (1 Điểm) Chứng minh rằng với a > 0 ta có:
 ---------------------------------------- hết ---------------------------------------------
Sở gd & đt thanh hoá
Kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 thpt
Năm học 2007 – 2008
Môn: Toán
Thời gian làm bài: 120 phút
Bài 1: (2 Điểm)
1. Phân tích đa thức sau thành nhân tử: A = a + ax + x + 1
2. Giải phương trình: x2 – 3x + 2 = 0 
Bài 2: (2 Điểm) 
1. Cho tam giác ABC vuông tại A có cạnh AB = 18cm, AC = 2cm. Quay tam giác ABC một vòng quanh cạnh góc vuông AB cố định, ta được một hình nón. Tính thể tích hình nón đó .
2. Chứng minh rằng với a 0; a 1 ta có: 
Bài 3: (2 Điểm)
1. Biết rằng phương trình x2 – 2(a+1)x + a2 + 2 = 0 (Với a là tham số) có một nghiệm x = 1. Tìm nghiệm còn lại của phương trình này.
2. Giải hệ phương trình: 
Bài 4: (3 Điểm) Cho tam giác ABC vuông tại C có đường cao CH. Đường tròn tâm O đường kính AH cắt cạnh AC tại điểm M (M A), đường tròn tâm O’ đường kính BH Cắt cạnh BC tại điểm N (N B). Chứng minh rằng:
 1. Tứ giác CMHN là hình chữ nhật.
2. Tứ giác AMNB nội tiếp được trong một đường tròn.
3. MN là tiếp tuyến chung của đường tròn đường kính AH và đường tròn đường kính OO’.
Bài 5: (1 Điểm) 
 Cho hai số tự nhiên a, b thoả mãn điều kiện: a + b = 2005. Tìm giá trị lớn nhất của tích ab.
 ---------------------------------------- Hết ---------------------------------------------
Sở gd & đt thanh hoá
Kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 thpt
Năm học 2008 – 2009
Môn: Toán
Thời gian làm bài: 120 phút
Bài 1: (2 Điểm) Cho hai số x1 = 2 - , x2 = 2 + 
1. Tính x1 + x2 và x1x2
2. Lập phương trình bậc hai ẩn x nhận x1, x2 là hai nghiệm.
Bài 2: (2,5 Điểm) 
1. Giải hệ phương trình: 
2. Rút gọn biểu thức: A = Với 
Bài 3: (1 Điểm)
 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho đường thẳng (d): y = (m2 - m)x + m và đường thẳng (d’): y = 2x + 2. tìm m để đường thẳng (d) song song với đường thẳng (d’)
Bài 4: (3,5 Điểm) 
 Trong mặt phẳng cho đường tròn (O), AB là dây cung không đi qua tâm của đường tròn (O). Gọi I là trung điểm của dây cung AB, M là một điểm trên cung lớn AB (M không trùng với A, B). Vẽ đường tròn (O’) đi qua m và tiếp xúc với đường thẳng AB tại A. Tia MI cắt đường tròn (O’) tại điểm thứ hai N và cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai C.
1. Chứng minh BIC = AIN, từ đó chứng minh tứ giác ANBC là hình bình hành.
2. Chứng minh rằng BI là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác BMN..
3. Xác định vị trí của điểm M trên cung lớn AB để diện tích tứ giác ANBC lớn nhất.
Bài 5: (1 Điểm) Tìm nghiệm dương của phương trình:
---------------------------------------- Hết ---------------------------------------------
Sở gd & đt thanh hoá
Kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 thpt
Năm học 2009 – 2010
Môn: Toán
Thời gian làm bài: 120 phút
Bài 1: (1,5 Điểm) Cho phương trình: x2 – 4x + q = 0 (1) với q là tham số 
1. Giải phương trình (1) khi q = 3
2. Tìm q để phương trình (1) có nghiệm.
Bài 2: (1,5 Điểm) Giải hệ phương trình: 
Bài 3: (2,5 Điểm)
 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho parabol (P): y = x2 và điểm D(0;1).
1. Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua điểm D(0;1) và có hệ số góc k.
2. Chứng minh rằng đường thẳng (d) luôn cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt G và H với mọi k.
3. Gọi hoành độ của hai điểm G và H lần lượt là x1 và x2. Chứng minh rằng: x1.x2 = -1, từ đó suy ra tam giác GOH là tam giác vuông.
Bài 4: (3,5 Điểm) Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R. Trên tia đối của tia BA lấy điểm K (khác với điểm B). Từ các điểm K, A và B kẻ các tiếp tuyến với nửa đường tròn (O). Tiếp tuyến kẻ từ điểm K cắt các tiếp tuyến kẻ từ điểm A và B lần lượt tại C và D.
1. Gọi Q là tiếp điểm của tiếp tuyến kẻ từ K tới nửa đường tròn (O). Chứng minh tứ giác BDQO nội tiếp được trong một đường tròn.
2. Chứng minh tam giác BKD đồng dạng với tam giác AKC, từ đó suy ra .
3. Đặt BOD = . Tính độ dài các đoạn thẳng AC và BD theo R và . Chứng tỏ rằng tích AC.BD chỉ phụ thuộc vào R, không phụ thuộc vào .
Bài 5: (1 Điểm) Cho các số thực t, u, v thoả mãn: u2 + uv + v2 = 1- 
 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: D = t + u + v
 ---------------------------------------- Hết ---------------------------------------------
Sở gd & đt thanh hoá
Kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 thpt
Năm học 2010 – 2011
Môn: Toán
Thời gian làm bài: 120 phút
Bài 1: (2 Điểm) Cho phương trình: x2 + px - 4 = 0 (1) với p là tham số 
1. Giải phương trình (1) khi p = 3
2. Giả sử x1, x2 là các nhiệm của phương trình (1), tìm p để:
 x1(x22 + 1) + x2(x12 + 1) > 6
Bài 2: (2 Điểm) 
Cho biểu thức C = với 
1. Rút gọn C.
2. Tìm c để biểu thức C nhận giá trị nguyên.
Bài 3: (2 Điểm)
 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho parabol (P): y = x2 và các điểm C, D thuộc parabol (P) với xC = 2, xD = -1.
1. Tìm toạ độ các điểm C, D và viết phương trình đường thẳng CD.
2. Tìm q để đường thẳng (d): y = (2q2 - q)x + q + 1 (với q là tham số) song song với đường thẳng CD.
Bài 4: (3 Điểm) 
Cho tam giác BCD có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn tâm O, các đường cao CM, DN của tam giác cắt nhau tại H.
1. Chứng minh tứ giác CDMN là tứ giác nội tiếp trong một đường tròn.
2. Kéo dài BO cắt đường tròn (O) tại K. Chứng minh tứ giác CHDK là hình bình hành.
3. Cho cạnh CD cố định, B thay đổi trên cung lớn CD sao cho tam giác BCD luôn nhọn. Xác định vị trí điểm B để diện tích tam giác CDH lớn nhất. 
Bài 5: (1 Điểm) Cho u, v là các số dương thoả mãn u + v = 4.
 Tìm giá trị nhỏ nhất của: P = u2 + v2 + 
---------------------------------------- Hết ---------------------------------------------
Sở gd & đt thanh hoá
Kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 thpt
Năm học 2011 – 2012
Môn: Toán
Thời gian làm bài: 120 phút
Bài 1: (1,5 Điểm) 
1. cho hai số x1 = 1 + , x2 = 1 - Tính x1 + x2 
2. Giải hệ phương trình: 
Bài 2: (2 Điểm) 
Cho biểu thức C = với 
1. Rút gọn C.
2. Tính giá trị của C tại .
Bài 3: (2,5 Điểm)
Cho phương trình x2 – (2p – 1)x + p(p – 1) = 0 (1) (Với p là tham số)
1. Giải phương trình (1) với p = 2
2. Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi p.
3. Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình (1) (với x1 < x2)
Chứng minh: x12 – 2x2 +3 0
Bài 4: (3 Điểm) 
Cho tam giác CDE có ba góc nhọn, các đường cao DK, EF của tam giác cắt nhau tại H.
1. Chứng minh tứ giác CFHK là tứ giác nội tiếp trong một đường tròn.
2. Chứng minh CFK và CED đồng dạng.
3. Kẻ tiếp tuyến Kz tại K của đường tròn tâm O đường kính DE cắt CH tại Q. Chứng minh Q là trung điểm của CH. 
Bài 5: (1 Điểm) Cho a, b, c là các số dương. Chứng minh bất đẳng thức
 ---------------------------------------- Hết ---------------------------------------------
 đáp án
Sở gd & đt thanh hoá
Kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 thpt
Năm học 2000 – 2001
Môn: Toán
Thời gian làm bài: 150 phút
Bài 1: 
a. Vì đồ thị của hàm số y = ax + b đi qua điểm A(2; -1) nên ta có: 
 2a + b = -1 (1).
Vì đồ thị của hàm số y = ax + b đi qua điểm B(; 2) nên ta có: 
 a + b = 2 a + 2b = 4 (2)
Từ (1) và (2) suy ra:
Vậy: Để đồ thị của hàm số y = ax + b đi qua các điểm A(2; -1) ; B(; 2) thì a = -2, b = 3
b. Toạ độ giao điểm của đồ thị hàm số y = 3x – 7 và đồ thị hàm số y = -2x + 3 (hàm số xác định ở câu a) là nghiệm của hệ phương trình:
Từ đó: Để đồ thị của ba hàm số trên đồng quy thì đồ thị hàm số y = mx + 3 phải đi qua điểm có toạ độ (2; -1) Hay: -1 = 2m + 3 m = -2
Vậy với m = -2 thì đồ thị của ba hàm số đã cho đồng quy.
Bài 2: 
a. Khi m = phương trình trở thành: x2 – 7x + 10 = 0
Ta có: 
Nên phương trình có hai nghiệm phân biệt:
x1 = ; x2 = 
Vậy: với m = thì phương trình có hai nghiệm x1 = 5 ; x2 = 2 
b. Phương trình bậc hai x2 – 2(m+1)x + 2m + 5 = 0 có nghiệm khi:
 hoặc 
Vậy: với hoặc thì phương trình đã cho có nghiệm. 
Bài 3: 
a. Gọi R, r lần lượt là bán kính của đường tròn (O) và đường tròn (S). Khi đó: R = OA, r = SA.
Ta có: R – r = OA – SA = SO (Vì S là trung điểm của OA) 
 Đường tròn (O) và đường tròn (S) tiếp xúc với nhau tại A.
b. Trong đường tròn (O) ta có:
QAF = QTF (Hai góc nội tiếp cùng chắn cung QF) (1)
TAF = TQF (Hai góc nội tiếp cùng chắn cung TF) (2)
Trong đường tròn (S) ta có:
MAN = MPN (Hai góc nội tiếp cùng chắn cung MN) (3)
PAN = PMN (Hai góc nội tiếp cùng chắn cung PN) (4)
Từ (1) và (3) suy ra: QTF = MPN (5).
Từ (2) và (4) suy ra: TQF = PMN (6).
Từ (5) và (6) suy ra: MPN QTF (g - g)
Bài 4: 
a. Vì SAB và SAC là các tam giác đều, mà M là trung điểm của SA nên BM, CM là các đường trung tuyến cũng là đường cao trong các tam giác.
 BM SA và CM SA SA mp(MBC) SA MN
Nối S với N, A với N. Chứng minh tương tự ta được BC mp(SNA) 
 BC MN 
b. Trong tam giác đều SAB cạnh a, BM là đường cao nên ta có: 
 BM = 
Trong tam giác MNB vuông tại N ta có: 
MN = 
 SMBC = MN.BC = (Đơn vị diện tích)
Bài 5: 
Ta có: M = 
Nếu thì M = 
Nếu thì M = 
Nếu thì M = 
Nếu x < 1999 thì M = 
Vậy: giá trị nhỏ nhất của M = 2 khi x = 2000. 
 ---------------------------------------- Hết ---------------------------------------------
Sở gd & đt thanh hoá
Kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 thpt
Năm học 2001 – 2002
Môn: Toán
Thời gian làm bài: 150 phút
Bài 1: 
a. A = 
Điều kiện xác định của biểu thức là x 0, x 2 và x - 2
 A = 
A= 
A= 
A= 
Vậy A= 
b. Khi thì A = 
Vậy khi thì A 
Bài 2: Phương trình : x2 – 2(m - 1)x – (m +1) = 0
a. Khi m = 2 thì phương trình trở thành:
 x2 – 2x – 3 = 0
Ta thấy: a –b +c = 1 –(-2) + (-3) = 0
Nên phương trình có hai nghiệm phân biệt: x1 = -1, x2 = = 3.
Vậy: với m = 2 thì phương trình có hai nghiệm x1 = -1, x2 = 3.
b. Ta có: 
 = 
Nên phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt x1, x2.
c. Ta có: = 
 có giá trị nhỏ nhất bằng khi .
Bài 3: Hệ phương trình: 
a. Với m = 2 hệ phương trình trở thành: 
Vậy: với m = 2 hệ phương trình có một nghiệm x = 3, y = -2.
b. Để hệ phương trình có một nghiệm thì phương trình (m - 1)x = 2m – 1 có một nghiệm.
 m – 1 0 m 1
Để hệ phương trình vô nghiệm thì phương trình (m - 1)x = 2m – 1 vô nghiệm.
Để hệ phương trình vô số nghiệm thì phương trình (m - 1)x = 2m – 1 vô số nghiệm.
 Vô lý
Vậy: Với m 1 thì hệ phương trình có một nghiệm.
 Với m = 1 thì hệ phương trình vô nghiệm
 Không có giá trị của m để hệ phương trình vô số nghiệm.
Bài 4: 
a. Trong đường tròn (O) ta có:
BOC = 2BAC = 2.450 = 900 (Liên hệ giữa góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn một cung).
 O thuộc đường tròn đường kính BC.
b. Ta có: BFC = 900 (Vì góc nội tiếp chắn nửa đườn tròn đường kính BC)
AFB = 900 mà BAF = 450 (gt) Nên AFB vuông cân tại F.
Ta có: BEC = 900 (Vì góc nội tiếp chắn nửa đườn tròn đường kính BC)
AEC = 900 mà EAC = 450 (gt) Nên AEC vuông cân tại E.
c. Ta có: BOC vuông tại O, mà OB = OC OCB = 450
Tứ giác BEOC là tứ giác nội tiếp nên OCB + BEO = 1800 (1)
Mặt khác: OEA + BEO = 1800 (2)
Từ (1) và (2) OEA = OCB = 450 
 OEA = FBA (= 450) BF // OE Tứ giác EOFB là hình thang (3)
Mà OFB = OCB = 450 (Vì hai góc nội tiếp cùng chắn một cung trong đường tròn đường kính BC)
 OFB = FBE (= 450) (4)
Từ (3) và (4) Tứ giác EOFB là hình thang cân
 EF = OB = 
Bài 5: 
a. ABC đều cạnh bằng 2cm, AM là đường cao nên ta có:
AM = cm.
VSABC = SA.SABC (Vì SA vuông góc với đáy)
 VSABC = SA.AM.BC = 2..2 = cm
b. Ta có: SA mp (ABC) (gt) SA BC (1)
AM là đường cao của ABC A M BC (2)
Từ (1) và (2) suy ra BC mp (SAM) 
 OH BC (3)
Mặt khác OH SM (gt) (4)
Từ (3) và (4) ta có: OH mp (SBC)
Bài 6: Ta có: 
Vì x, y là các số nguyên dương nên: (Với m, n là các số nguyên dương)
 m = 2, n = 1 hoặc m = 1, n = 2
Nếu m = 2, n = 1 thì x = m2.222 = 22.222 = 888, y = n2.222 = 12.222 = 222
Nếu m = 1, n = 2 thì x = m2.222 = 12.222 = 222, y = n2.222 = 22.222 = 888
Vậy: Nghiệm nguyên dương của phương trình đã cho là x = 888, y = 222 hoặc x = 222, y = 888.
 ---------------------------------------- Hết ---------------------------------------------
Sở gd & đt thanh hoá
Kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 thpt
Năm học 2002 – 2003
Môn: Toán
Thời gian làm bài: 150 phút
Bài 1: (1,5 Điểm)
1. Phương trình: x2 – 6x +5 = 0 
Ta có: a + b + c = 1 + (-6) + 5 = 0
Nên phương trình đã cho có hai nghiệm x1 = 1, x2 = = 5
Vậy: Phương trình đã cho có hai nghiệm x1 = 1, x2 = 5
2. Tính giá trị của biểu thức: 
 A = A = 
 A = A = 
Vậy: A = 
Bài 2: Phương trình mx2 – (2m+1)x + m - 2 = 0 (1), với m là tham số. 
1. Với m = 0 phương trình trở thành: -x – 2 = 0 x = -2 
 Với m 0, để phương trình (1) có nghiệm thì:
Vậy: Để phương trình (1) có nghiệm thì 
2. Với m = 0 không thoả mãn điều kiện của bài toán
Khi và ta có: (Với là hai nghiệm của phương trình.)
Theo bài ra ta có: 
 m = (t/m) Hoặc m = (Không thoả mãn điều kiện).
Vậy với m = thì phương trình (1) có tổng bình phương các nghiệm bằng 22 3. Theo bài ra ta có: 
 m = 1 (t/m) Hoặc m = (t/m) 
Vậy với m = 1 hoặc m = thì phương trình (1) có bình phương của hiệu hai nghiệm bằng 13
Bài 3: (1 Điểm) Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình:
 Gọi độ dài các cạnh góc vuông của tam giác vuông lần lượt là x (cm) và y (cm) (Điều kiện x > 0, y > 0) 
Độ dài cạnh huyền là: (cm)
Chu vu của tam giác vuông bằng 12 cm nên ta có phương trình:
x + y + = 12 (1).
Tổng bình phương độ dài các cạnh bằng 50 nên ta có phương trình:
x2 + y2 + x2 + y2 = 50 x2 + y2 = 25 (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:
Khi đó x, y là hai nghiệm của phương trình: X2 – 7X +12 = 0 
Giải ra ta được: X1 = 3, X2 = 4
Vậy: các cạnh của tam giác vuông lần lượt là 3 cm, 4 cm và 5 cm.
Bài 4: Ta có: B = = 
1. Để B nguyên thì nguyên, mà x nguyên x2 + 1 là ước của 2
 x2 + 1 = 1 hoặc x2 + 1 = 2
Khi: x2 + 1 = 1 x2 = 0 x = 0
Khi: x2 + 1 = 2 x2 = 1 x = 1 hoặc x = -1
Vậy: với x = -1, x = 0, x= 1 thì B nhận các giá trị nguyên. 
2. Ta có: x2 + 1 1 B = 3 + 2 = 5
 Bmax = 5 khi x = 0
Vậy: Giá trị lớn nhất của B = 5 khi x = 0.
Bài 5: 
1. Vì ABC cân tại A, M, P là điểm chính giữa các cung nhỏ AB và AC nên ta có:BM = MA = AP =PC 
MPB = PBC (Vì hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau)
 MP // BC (1)
BMP = sđBP = (sđBC + sđCP) = (sđBC + sđBM) = sđBM = MPC (2)
 Từ (1) và (2) suy ra tứ giác BCPM là hình thang cân.
Ta có: N là điểm chính giữa cung nhỏ BC BN = NC (3)
ABC cân tại A AB = AC (4)
Từ (3) và (4) suy ra AN là đường trung trực của BC
 A, O, N thẳng hàng ABN = 900 (Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
2.Ta có:BIN=(sđBN + sđAP)(Góc có đỉnh nằm trong đường tròn) (5)
IBN = PBN = sđPN = (sđPC + sđCN) (6)
Mà :AP = PC , CN =NB (7)
Từ (5), (6) và (7) suy ra: BIN = IBN BIN cân tại N.
BEN = (sđBN + sđAM) = (sđBN + sđAP) = BIN 
(Vì AM = AP)
 Tứ giác BEIN nội tiếp EBN + EIN = 1800 
 EIN = 1800 - EBN = 900 EI AN. (8)
Mặt khác: BC AN (9) (Vì AN là đường trung trực của BC)
Từ (8) và (9) suy ra EI // BC
Bài 6: 
1. Gọi SO là đường cao cùa tứ diện, khi đó SO = 12cm
Dựng SH BC (H BC), Nối O với H.
Vì S.ABCD là hình chóp tứ giác đều nên:
Trong SOH vuông tại O ta có:
SH = 
 SH = 
Sxq = 4.SSBC = 
V = SABCD.SO = AB2.SO = .182 .12 = 1296 cm3
2. Vì tứ giác ABCD là hình vuông nên AC BD (1)
SO là đường cao của hình chóp nên SO AC (2)
Từ (1) và (2) suy ra: AC mp (SBD)
Bài 7: Giải phương trình:
 (Vì hai vế không âm)
 Giải ra ta được (loại) 
 hoặc 
Vậy: phương trình đã cho có hai nghiệm và 
Sở gd & đt thanh hoá
Kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 thpt
Năm học 2003 – 2004
Môn: Toán
Thời gian làm bài: 150 phút
Bài 1: 
1. Giải phương trình: x2 – 2x - 1 = 0 
Ta có: = (-1)2 – (-1) = 2 > 0, 
Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt:
 , 
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm 
2. Giải hệ phương trình: 
Từ phương trình (1) ta có: x = -1 – y. Thay vào phương trình (2) ta được:
 Giải ra ta được 
Với y = -2 thay vào phương trình (1) ta được x = 1.
Với y = thay vào phương trình (1) ta được x = .
Vậy hệ phương rình đã cho có 2 nghiệm: 
Bài 2: (2 Điểm) Cho biểu thức: M = 
1. Để biểu thức M có nghĩa thì: 
2. M = 
 = 
 = 
 = 
3. Ta có: M - = 
 M dấu bằng xẩy ra khi x = 
Bài 3: 
 Cho phương trình: x2 – 2mx + m2 - |m| - m = 0 (Với m là tham số)
1. Ta có: (Vì với m)
Vậy phương trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của m.
2. x1, x2 là hai nghiệm của phương trình nên: (1)
 x12 + x22 = 6 (2)
Thay (1) vào (2) ta được:
 (*)
Nếu Phương trình (*) trở thành: 
Giải ra ta được: m1 = 1 ; m2 = -3 (không thoả mãn)
Nếu m < 0 Phương trình (*) trở thành: 2m2 = 6 (loại) hoặc 
Vậy để x12 + x22 = 6 thì m = 1 hoặc 
Bài 4: 
1. Ta có: ADB = AHB = 900
 A, D, H, B cùng thuộc đường tròn đường tâm O đường kính AB. Hay tứ giác ADHB là tứ giác nội tiếp được trong đường tròn.
Trong đường tròn (O, ) ta có: HDB = HAB (Cùng chắn cung BH) (1)
Mặt khác HAB = HCA (Cùng phụ với ABC) (2)
Từ (1) và (2) suy ra:
HDB = HCE
 HCE + HDE = 
 HDB + HDE = 1080
 CEDH là tứ giác nội tiếp được trong đường tròn 
2. Vì ABD = DBF nên trong đường tròn (O, ) ta có: AD = DH hay D là điểm c