Bổ túc Toán 11 học kì 1

CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN
; 
Nếu đặt: 
Công thức nhân đôi: 
 = 
 = 
CT nhân 3: 
Công thức chuyển đổi qua lại giữa sin và cos
 /* muốn cổ sỉn thì đỗ thêm nửa lít*/
Hoặc CT phụ nhau: 
CT cộng:
CT biến đổi tổng thành tích
Phần 1. ÔN TẬP LƯỢNG GIÁC LỚP 10
Bài 1: Tính 
1) = 	
2) 	
3) 	
4) ( Nhân 2 vế cho 
5) 
6) D = sin100 . sin300 . sin500 . sin700
Bài 2. Rút gọn: 
1) 
2) 
3) 
4) 
5) 
Bài 3. Viết thành dạng tích:
1) 1 + sinx 	2) 1-2sinx
Bài 4. Chứng minh: 
1) 
2) 
3) 
4) 1 – cot4x = 
5. Thu gọn các biểu thức:
 A = B = C = 
 D = E = 
Bài 6. Cho sinx + cosx = . Tính sin2x
Bài 7. a/ Cho với ( .Tính cosx, tanx; cotx ? 	 
b/ Chứng minh: 4(cos2x.sinx – sin3x.cosx) = sin4x ? 	
c/ Định m để pt: (m + 2)x2 – 2(m – 1)x + 4 = 0. có hai nghiệm phân biệt? 
Bài 8.	a/ Cho .Tính 	
Bài 9.Rút gọn:
a) cos2x + cos2x.tg2x	b) sin2x.cotg2x + sin2x 	 	c) 
d) 	 e) 
f) 	 g) 
Bài 10. Rút gọn :
 A = víi 0 < a < 	B = víi < a < p 
 C = víi 0 < a < D = víi < a < 
Bài 11. Chứng minh:
a) 	b) 
c) 	d) 
e) 	f) 
g) 	i) 	
j) 	 k) 
l) sin4a + cos4a = 1 – 2sin2a.cos2a	m) sin6a + cos6a = 1 – 3.sin2a.cos2a
Bài 12. Cho tgx = 3 .Tính:
A = 	B = 
B = 	C = 
E = 	 	F = sin4x + cos4x
G = sin6x – cos6x	 H = sinx.cosx –cos2x
Bài 13. Cho sina + cosa = .Tính :
P = sina.cosa	Q = sin4a + cos4a 
R = sin3a + cos3a 	S = sin5a + cos5a
T = tg2a + cotg2a 	U = cotg3a + tg3a
BÀI 14. Rút gọn rồi tính giá trị của biểu thức A = .
BÀI TẬP RÈN LUYỆN 1
Bài 1: Rút gọn:
a) cos2x + cos2x.tg2x	 
b) sin2x.cotg2x + sin2x 	 
c) 	
d) 	 
e) 	
f) 	
g) 
Bài 2. Rút gọn:
 A = víi 0 < a < 
 B = víi < a < p 
 C = víi 0 < a < 
 D = víi < a < 
Bài 3:Chứng minh:
a) 	
b) 
c) 	 	 
 d) 
e) 	 	
f) 
g) 	 	
h)
i) 	 	
j) 	
k) 
l) sin4a + cos4a = 1 – 2sin2a.cos2a	 	 
m) sin6a + cos6a = 1 – 3.sin2a.cos2a
Bài 4: Tính các giá trị lượng giác 
a) sinx = và < x < p	 	
b) tgx = 3 và p < x < 
c) cotg150 = 2+	 	
d) tgx = -1 
Bài 5: Cho tgx = 3 . Tính:
A = 	
B = 	
B = 	
C = 	
E = 	 
F = sin4x + cos4x	
G = sin6x – cos6x	
H = sinx.cosx –cos2x
Bài 6: Cho sina + cosa = .Tính :
P = sina.cosa	
Q = sin4a + cos4a 	
R = sin3a + cos3a 	
S = sin5a + cos5a	
T = tg2a + cotg2a 	
U = cotg3a + tg3a
BÀI TẬP LÀM THÊM Ở NHÀ:
1. Rút gọn các biểu thức:
 A = 
 B = 
 C = 
 D = 
 E = 
 Cho P = sin(p + a) cos(p – a) và . Tính P + Q 
2. Thu gọn các biểu thức:
 a. sinxcosx b. c. sin3xcos3x d. sin150cos750
 e. cos2150 – sin2150 f. 2sin22x – 1 g. h. 
3. Thu gọn các biểu thức:
 a. cos4x – sin4x b. 3cos2x – 4sinxcosxsin2x – 1
 c. d. 
Chương 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC – PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
 Bài 1. HÀM SỐ LỰƠNG GIÁC
Câu 1. Xét tính chẳn, lẻ của các hàm số:
1/ 	 	 2/ 
3/ 	 	 4/
5/ 	 	 6/ 
7/ 	 8/ 
9/ 	 10/ 
BÀI 2. CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CĂN BẢN
Dạng 1.PT lượng giác cơ bản:
 Câu 1. Giải các phương trình:
1) sin2x = 0 2) 3) sinx = sin 2x
4) +1=0 5) 2sin( 6) cos2x=1
Câu 2. Giải các phương trình :
1) 2) 3) 
4) cosx = sinx 5) cos 6) 
7) sinx = – cosx 8) cos2x + cos3x = 0 9) 
10) 11) 12) 
Câu 3. giải các phương trình:
1) tan2x – 1 = 0 2) tan3x = tanx
2) tan( – x ) = cotan(2x) 4) 
5) tanx = cot( 6) 
Tìm TXĐ của các hàm số sau:
1/ 	2/ 
3/ 	4/ 
5/ 6/ 
7/ 	 8/ 
9/ 	10/ 
11/ 	12/ 
II – PT THUẦN NHẤT
 dạng “AsinX +BcosX = C”
Câu 1. Giải các phương trình:
1) 2) cos2x + sin2x = – 1 
3) 4) 
III – PT BẬC 2, BẬC 3 ĐỐI VỚI 1 HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC 
 “ ”
Câu 1. Giải các phương trình sau:
1) 2) 
3) 4) 
5) 6) sin3x +3sinx + 2 = 6cos2x
IV – PT TỔNG – TÍCH “ a.(sinx + cosx) +bsinx.cosx + c =0”
Câu 1.Giải các phương trình:
1) 3.( sinx + cosx ) + 2sin2x + 3 = 0 2) 4.(sinx – cosx ) +3.sinx.cosx – 
3) sinx – cosx = 4) 
5) 6) 
V - PT ĐẲNG CẤP BẬC 2 , BẬC 3 Dạng “ ”
Câu 1. giải các phương trình:
1) 2) 
3) 4) 
VI – CÁC DẠNG PT KHÁC “ TỔNG HỢP” Câu 1. Giải các phương trình :
1) 2) 
3) 
4) 5) 
Câu 2. Giải các phương trình:
1) 2) 
3) 4) 
Câu 3. Giải các phương trình:
1) 2) 
3) 	 4) 
5) 6) 
LUYỆN TẬP 1 
Câu 1. Giải các phương trình:
1) 2) 
3) 4) 
5) 6) 
7) 8) 
9) 10) 
LUYỆN TẬP 2 “ PT TRONG ĐỀ THI ĐH – CĐ” Giải các phương trình sau:
1) 2) 
 (D – 2006 ) ( D – 2004 )
3) 4) 
 (A – 2005 ) ( B – 2005 )
5) 6) 
 ( B – 2004) ( D – 2003) 
7) ( B – 2005 )
8) 9) 
 ( B – 2006 ) ( A – 2006 )
10) ( B – 2003 ) 11) ( D – 2003 )
12) ( CD – KTKTCN1 KHỐI A 2006)
13) 14) 
 ( CD – KTKTCN2 A 2006 ) ( CD – XDS2 A 2006 )
15) 16) 
LUYỆN TẬP 3 Giải các phương trình:
1) 2) 
 ( CDSP – HƯNG YÊN A – 2006 ) ( CD – SP TP.HCM B 2006 )
3) 4) 
5) 
6) ( A – 2007 )
7) (A – 2008) 8) ( A – 2009) 
9) (A – 2010 ) 
10) ( A – 2011) 
11) ( A – 2012) 12) ( B – 2007)
LUYỆN TẬP 4 Giải các phương trình:
1) 2) 
 ( B – 2008) ( D – 2007 )
3) 2sinx(1+cos2x)+sin2x=1+2cosx ( D – 2008 ) 4) 
5) 
6) ( B – 2009)
7) 8) 
9) 10) (D – 2011)
11) ( D – 2012 )
12) ( CD – HƯNG YÊN) 13) 
14) 	 15) 	
LUYỆN TẬP TỔNG HỢP 1 Câu 1. Giải các phương trình:
1) 	2) sin2x = cos3x	3) 
4) 5) 
6) 7) 
8) 9) 
10) 11) 
Câu 2. Xác định m để phương trình :
1) có nghiệm 
2) có đúng 2 nghiệm 
Câu 3. Cho phương trình : (*)
a) Giải phương khi b) Xác định để PT(*) có nghiệm 
HD: Khi gặp PT “ ta đặt 
Câu 4. Giải các PT sau:
1) 2) 
3) 4) 
LUYỆN TẬP “ BÀI TẬP LÀM Ở NHÀ” Câu 1. giải các phương trình:
1) 2) 
3) 4) 
5) 6) 
7) 8) 
LUYỆN TẬP TỔNG HỢP 2 “ PT CÓ CÁCH GIẢI ĐẶC BIỆT”
Câu 1. giải các phương trình
1) Đặt: 
2) ( Phương pháp nhân với 1)
3) ( Lưu ý: dạng toán đặc biệt)
4) 
5) ( KIỂM TRA nhân với sinx )
6) 7) ( đặt ẩn phụ) 
8) 
9) (9*) ( p2: )
NX: 
Đặt : t = Lưu ý: 
 Các bài tương tự bài ( 9*)
9a) 9b) 
9c) 
Câu 2. Xác định m để các PT sau có nghiệm:
sinx.cosx – m (sinx + cosx ) + 1 = 0
sin2x – 4 (sinx – cosx ) – m = 0
 . Xác định m để có nghiệm 
 Xác định m để PT có đúng 2 nghiệm 
LUYỆN TẬP TỔNG HỢP 3 Câu 1. giải các phương trình
1) 2) 3) sinx = sin2x
4) 5) 
6) 7) 8) 
9) 10) 
11) 12) 
13) 14) 
LUYỆN TẬP TỔNG HỢP4” Giải các PT:
1) 
2) 3) 
4) 5) 
6) 7) 
8) 9) 
10) 11) 
12) 
LUYỆN TẬP “ TỔNG HỢP” 5 Giải các PT:
1) 2) 
3) 4) 
5) 
6) 7*) 
B. MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP VÊ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 
Dạng 1. Phương trình bậc hai.
Bài 1. Giải các phương trình sau:
	1) 2cosx - = 0	2) tanx – 3 = 0
	3) 3cot2x + = 0	4) sin3x – 1 = 0
	5) cosx + sin2x = 0
Bài 2. Giải các phươn trình sau:
	1) 2cos2x – 3cosx + 1 = 0	
 2) cos2x + sinx + 1 = 0
	3) 2cos2x + cosx – 2 = 0 	 
 4) cos2x – 5sinx + 6 = 0
	5) cos2x + 3cosx + 4 = 0 	
 6) 4cos2x - 4cosx + 3 = 0 
	7) 2sin2x – cosx + = 0 	
8) 2sin2x – 7sinx + 3 = 0 
	9) 2sin2x + 5cosx = 5.
Bài 3. Giải các phương trình:
2sin2x - cos2x - 4sinx + 2 = 0	
3) 9cos2x - 5sin2x - 5cosx + 4 = 0
3) 5sinx(sinx - 1) - cos2x = 3	 
4) cos2x + sin2x + 2cosx + 1 = 0
6)	tan2x + ( - 1)tanx – = 0	
7) 
8) 
Bài 4. Giải các phương trình sau:
1) 4sinx – 3cosx = 2 	
2) sinx - cosx = 1
3) sin3x + cos3x = 1 	 
4) sin4x + cos4x = 
5) 5cos2x – 12cos2x = 13 	
6) 3sinx + 4cosx = 5
Bài 5. Giải các phương trình:
1) 	
2) 
3) 	
4) 
5) 	Bài Bài 6. Giải các phương trình	
1) sin2x + 2sinxcosx + 3cos2x - 3 = 0	
2) sin2x – 3sinxcosx + 1 = 0.
3) 4sinxcosx + 4cos2x = 2sin2x + .
5) a) ; 	 
 b) .
6) cos2x – 3sinxcosx – 2sin2x – 1 = 0	 
7) 6sin2x + sinxcosx – cos2x = 2.
8) sin2x + 2sinxcosx - 2cos2x = 0	 
9) 4sin2x + sinxcosx + 3cos2x - 3 = 0.
10) .
Bài 7. Giải các phương trình sau:
2) 6(sinx – cosx) – sinxcosx = 6
3) 3(sinx + cosx) + 2sinxcosx + 3 = 0
4) sinx – cosx + 4sinxcosx + 1 = 0
5) sin2x – 12(sinx – cosx) + 12 = 0
Bài 8. Giải các phương trình:
1) (sinx + cosx) - sinxcosx = 1.
2) (1 – sinxcosx)(sinx + cosx) = .
3) .
4) sin3x + cos3x = .
5) sinx – cosx + 7sin2x = 1.
6) .
7) .
8) .
9) 1 + tgx = 2sinx.
10) sinxcosx + 2sinx + 2cosx = 2.
11) 2sin2x – 2(sinx + cosx) +1 = 0.
Bài 9. Giải các phương trình sau:
1) sin3x = 	
11) sin(2x - 3) = sin(x + 1)
2) cos2x = - 	
12) tan(3x + 2) + cot2x = 0
3) tan(x + 60o) = - 	
13) sin3x = cos4x
4) cot = 	
14) tan3x.tanx = 1
5) sin2x = sin	
15) sin(2x + 50o) = cos(x + 120o)
6) tan = tan 	
16) - 2sin2x = 0
7) cos(3x + 20o) = sin(40o - x)	
17) 2cos - = 0
8) tan = - cot	
18) 3tan + = 0
9) sin(2x - 10o) = với -120o < x < 90o 	
19) 2sinx - sin2x = 0
10) cos(2x + 1) = với - p < x < p	
20) 8cos3x - 1 = 0
Bài 10. Giải các phương trình:
	1) sin2x = 	
11) sin2x + sin22x = sin23x
	2) cos23x = 1 	
12) sintan2x = 0
 3) sin4x + cos4x = 	
13) (2sinx + 1)2 - (2sinx + 1)(sinx - ) = 0
 4) sinx + cosx = 1 	
14) sinx + sin2x + sin3x = 0 
5) cosx.cos3x = cos5x.cos7x 
15) cosx + cos2x + cos3x + cos4x = 0
6) cos2x.cos5x = cos7x 
16) 1 + sinx + cos3x = cosx + sin2x + cos2x
7) sin3x.cos7x = sin13x.cos17x 	
17) cos7x + sin22x = cos22x - cosx
 8) sin4x.sin3x = cosx 	
18) sinx + sin2x + sin3x = 1 + cosx + cos2x
 9) 1 + 2cosx + cos2x = 0 	
19) sin3x.sin5x = sin11x.sin13x
 10) cosx + cos2x + cos3x = 0 	
20) cosx - cos2x + cos3x = 
 Bài 11. Giải các phương trình:
1) 2sin2x - 3sinx + 1 = 0	
2) 4sin2x + 4cosx - 1 = 0
3) tan + 2cot - 3 = 0 
 4) 
5) cot2x - 4cotx + 3 = 0 	 6) cos22x + sin2x + 1 = 0 
7) sin22x - 2cos2x + = 0 	
8) 4cos2x - 2( - 1)cosx + = 0
9) tan4x + 4tan2x + 3 = 0
10) cos2x + 9cosx + 5 = 0 
11) + 3cot2x = 5
Bài 12. Giải các phương trình sau:
1) 3sinx + 4cosx = 5	
2) 2sin2x - 2cos2x = 
3) 2sin + sin = 
4) 
5) 2sin17x + cos5x + sin5x = 0 
6) cos7x - sin5x = (cos5x - sin7x)
7) 4sinx + 2 cosx = 2 + 3tanx
Bài 13. Giải các phương trình:
1) 2(sinx + cosx) - 4sinxcosx - 1 = 0	
2) sin2x - 12(sinx + cosx) + 12 = 0
3) sinx - cosx + 4sinxcosx + 1 = 0 	
4) cos3x + sin3x = 1
5) 3(sinx + cosx) + 2sin2x + 2 = 0 	
6) sin2x - 3(sinx + cosx) + 5 = 0 
7) 2(sinx - cosx) + sin2x + 5 = 0 
8) sin2x + sin(x - 45o) = 1
9) 2sin2x + |sinx + cosx| + 8 = 0 
Bài 14. Giải các phương trình
1) sin2x - 10sinxcosx + 21cos2x = 0 
2) cos2x - 3sinxcosx + 1 = 0 
3) cos2x - sin2x - sin2x = 1	
4) 3sin2x + 8sinxcosx + (8 - 9)cos2x = 0 
5) 4sin2x + 3sin2x - 2cos2x = 4
7) 2sin2x - 3sinxcosx + cos2x = 0 	
8) cos22x - 7sin4x + 3sin22x = 3	
Bài 8. Giải các phương trình
1) 4cos2x - 2( + 1)cosx + = 0	
2) tan2x + (1 - )tanx - 3 = 0
3) cos2x + 9cosx + 5 = 0	
4) sin22x - 2cos2x + = 0
5) 2cos6x + tan3x = 1	
6) + 3cot2x = 5
Bài 16. Giải các phương trình
1) sin2x + sin2xsin4x + sin3xsin9x = 1
2) cos2x - sin2xsin4x - cos3xcos9x = 1
3) cos2x + 2sinxsin2x = 2cosx
4) cos5xcosx = cos4xcos2x + 3cos2x + 1
5) cos4x + sin3xcosx = sinxcos3x
6) sin(4x + )sin6x = sin(10x + )
7) (1 + tan2)(1 + sin2x) = 1
8) tan( - x) + tan( - x) + tan2x = 0
Bài 17. Giải các phương trình
1) (1 - cos2x)sin2x = sin2x
2) sin4x - cos4x = cosx
4) 1 - (2 + )sinx = 
5) tan2x = 
6) 2(sin3x + cos3x) + sin2x(sinx + cosx) = 
7) cosx(1 - tanx)(sinx + cosx) = sinx
8) (1 + tanx)(1 + sin2x) = 1 + tanx
9) (2sinx - cosx)(1 + cosx) = sin2x 
Bài 18. Giải các phương trình
1) sinx + cosx - - 1 = 0 
3) tanx + tan2x = tan3x
4) 
Bài 15. Giải các phương trình
1)(1 + tanx)cos3x + (1 + cotx)sin3x = 
2) 	tan2x - tanxtan3x = 2
3)	 = 1 - 2cosx
4) 	cos3xtan5x = sin7x
5) 	tanx + cotx = 4
6) 	 + 2cosx = 0
7) 	2tanx + cotx = 
8) 	tanx + cotx = 2(sin2x + cos2x)
9) 	2sin3x(1 - 4sin2x) = 1
10) 	
11) 	cosx.cos2x.cos4x.cos8x = 
13) 	sin2xcosx = + cos3xsinx
14) 	sin6x + cos6x = cos4x
16) 	
17) 	sin3xcos3x + cos3xsin3x = sin34x
18) 	2sin3x - = 2cos3x + 
19) 	cos3xcos3x + sin3xsin3x = 
20) 	(tanx + cotx)
21) 	1 + tanx = 2sinx
22) 	cosx - sinx = cos3x
25) 	(2cosx - 1)(sinx + cosx) = 1
26) 2sin(3x + ) = 
Bài 19. Giải các phương trình
1) sin4 + cos4 = 
2) 4sin3x + 3cos3x - 3sinx - sin2xcosx = 0
3) cos3x - sin3x - 3cosxsin2x + sinx = 0 
6) cos6x + sin6x = 
Bài 20. Giải các phương trình
1) 	
3) 
4) sin4x = tanx
5) cos2x + sin2x 2cosx + 1 = 0 	
6) sin3x + 2cos2x - 2 = 0 
7) cos2x + cos22x + cos23x + cos24x = 8) 2 + cos2x + 5sinx = 0 
9) 3(tanx + cotx) = 2(2 + sin2x) 	
10) 4cos3x + 3sin2x = 8cosx
Bài 22. Giải phương trình lượng giác
2) 3sin3x - cos9x = 1 + 4sin33x
3) cos7xcos5x - sin2x = 1 - sin7xsin5x
4) 4sin2x - 3cos2x = 3(4sĩnx - 1) 
5) 4(sin4x + cos4x) + sin4x = 2	
6) 4sin3x - 1 = 3sinx - cos3x
7) sin2x + cos2x = 	 8) 2(sinx + cosx)cosx = 3 + cos2x
9) cos2x - sin2x = 1 + sin2x
Bài 21. Giải các phương trình (biến đổi đưa về dạng tích)
1) sin3x - sin2x = 2sinxcos2x
2) sin22x + cos28x = cos10x
3) (2sinx + 1)(2sin2x - 1) = 3 - 4cos2x
5) tanx + tan2x - tan3x = 0 
6) cos3x + sin3x = sinx - cosx 
7) (cosx - sinx)cosxsinx = cosxcos2x
8) (2sinx - 1)(2cos2x + 2sinx + 1) = 3 - 4cos2x
9) 2cos3x + cos2x + sinx = 0 
10) sin3x - sinx = sin2x
11) 
13) cos4 - sin4 = sin2x
14) 3 - 4cos2x = sinx(2sinx + 1) 
15) 2sin3x + cos2x = sinx
16) sin2x + sin22x + sin23x = 
17) cos3x + sin3x = sinx - cosx
18) sin3x + cos3x = 2(sin5x + cos5x) 
19) sin2x = cos22x + cos23x
20) sin23x - sin22x - sin2x = 0 
21) 1 + sinx + cosx = sin2x + cos2x = 0 
22) 2sin3x - sinx = 2cos3x - cosx + cos2x
23) 2sin3x - cos2x + cosx = 0 
24) cosx + cos2x + cos3x + cos4x = 0 
25) 2cos2x = (cosx - sinx)
26) 4cos3x + 3sin2x = 8cosx
27) sin3x + sin2x = 5sinx
Bài 23. Giải các phương trình
1) = cos2x + sin2x 	với 0 < x < 2p
2) sin(2x + ) - 3cos(x - ) = 1 + 2sinx 	với < x < 3p
Bài 24. Tìm giả trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của:
1) y = 2sin2x + 3sinxcosx + 5cos2x 
2) y = 	trong khoảng ( -p ; p)
3) y = 4sin2x + 
4) y = sinx - cos2x + 
Bài 25 (Các đề thi ĐH, CĐ mới). 
1) A_02. Giải phương trình: 5 = cos2x + 3
2) D_02. Tìm các nghiệm thuộc [0; 14] của phương trình:
cos3x - 4cos2x + 3cosx - 4 = 0 
3) A_03. Giải phương trình: cotx - 1 = + sin2x - sin2x
4) D_03. Giải phương trình: sin2( - )tan2x - cos2 = 0
5) D_04. Giải phương trình: (2cosx - 1)(sinx + cosx) = sin2x - sinx
6) A_05. Giải phương trình: cos23xcos2x - cos2x = 0 
7) D_05. Giải phương trình: cos4x + sin4x + cos(x - )sin(3x - ) - = 0 
8) A_05_dự bị1. Tìm nghiệm trên khoảng (0 ; p) của phương trình:
4sin2 - cos2x = 1 + 2cos2(x - )
9) A_05_dự bị 2. Giải pt: 	2cos3( x - ) - 3cosx - sinx = 0 
10) D_05_dự bị 1. Giải pt: 	tan( - x) + = 2
11) D_05_dự bị 2. Giải pt:	sin2x + cos2x - 3sinx - cosx - 2 = 0 
12) A_06_dự bị 1. Giải pt: 	cos3xcos3x - sin3xsin3x = 
13) A_06_dự bị 2. Giải pt: 	4sin3x + 4sin2x + 3sin2x + 6cosx = 0 
14) B_06_dự bị 1. Giải pt: 	(2sin2x - 1)tan22x + 3(2cos2x - 1) = 0 
15) B_06_dự bị 2. Giải pt: 	cos2x + (1 + 2cosx)(sinx - cosx) = 0
16) D_06_dự bị 1. Giải pt: 	cos3x + sin3x + 2sin2x = 1
17) D_06. Giải pt:	cos3x + cos2x - cosx - 1 = 0 
18) A_07. Giải phương trình: 	(1 + sin2x)cosx + (1 + cos2x)sinx = 1 + sin2x
19) B_07. Giải phương trình: 	2sin22x + sin7x - 1 = sinx
21) D_07. Giải phương trình: 	(sin2 + cos2)2 + cosx = 2
22) CĐ_07. Giải phương trình: 	2sin2( - 2x) + cos4x = 4cos2x - 1
23) A_08. Giải phương trình: 	
24) B_08. Giải phương trình: 	sin3x - cos3x = sinxcos2x - sin2xcosx
25) D_08. Giải phương trình: 	2sinx(1 + cos2x) + sin2x = 1 + 2cosx
26) CĐ_08. Giải pt:	sin3x - cos3x = 2sin2x
10) (sinx - cosx)2 + ( + 1)(sinx - cosx) + = 0 
2) 
1) cosx + sinx = 3 - 
12) sinx + sin2x + sin3x + sin4x + sin5x + sin6x = 0 
4) 
15) 	sin4x + cos4x = cot(x + )cot( - x)
23) 	
24) 	sin3x + cos3x + sin3xcotx + cos3xtanx = 
2) (1 + )(sinx + cosx) - sin2x - ( 1 + ) = 0
6) 2sin2x + (3 + )sinxcosx + ( - 1)cos2x = 1
1) (sinx + cosx) – 2sinxcosx = 2 + 1
4) .
5)3cos2x + 2(1 + + sinx)sinx – (3 + ) = 0
9) .
3) 
12) 	cos10x + cos24x + 6cos3xcosx = cosx + 8cosxcos23x
4) cosxcoscos - sinxsinsin = 
CHƯƠNG 2.
TỔ HỢP – XÁC SUẤT – NHỊ THỨC NEWTON
CHỦ ĐỀ 1. QUY TẮC ĐẾM
Bài 1. Trong 1 hộp viết có cây 10 viết xanh khác nhau; 15 cây viết đỏ khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách nhọn:
Một cây viết?
Hai cây viết trong đó 1 xanh, 1 đỏ?
Bài 2. Trong tủ áo có 10 áo xanh khác nhau, 12 áo đỏ khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách nhọn:
1 cái áo? b) 2 cái áo khác màu nhau? c)3 cái áo khác màu nhau?
Bài 3. Có bao nhiêu số tự nhiên thỏa:
có 3 chữ số?
Có 3 chữ số khác nhau?
Là số lẻ có 3 chữ số khác nhau?
d)Là số chẳn có 3 chữ số khác nhau?
e)Có 3 chữ số mà 2 chữ số kề nhau phải khác nhau?
Bài 4. Trong 1 lớp có 20 học sinh nữ, 15 học sinh nam. Hỏi có bao nhiêu cách chọn?
1 bạn làm lớp trưởng? b) 1 đôi song ca nam – nữ?
Bài 5. Có bao nhiêu số tự nhiên thỏa:
Là số lẻ có 4 chữ số?
Là số chẳn có 4 chữ số?
Là số chẳn có 4 chữ số khác nhau?
Có 4 chữ số mà 2 chữ số kề nhau không giống nhau?
Có 4 chữ số mà bắt đầu bằng chữ số 1?
Có 4 chữ số mà 2 chữ số cuối là 12?
 Có 4 chữ số mà trong đó không có chữ số 0 ?
Bài 6. Từ các số: 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9 .Lập được bao nhiêu số tự nhiên thỏa:
có 4 chữ số mà trong đó không có chữ số 1 và 2?
Có 4 chữ số mà trong đó không có chữ số 1?
Có 4 chữ số mà trong đó phải có chữ số nhưng không có chữ số 2?
Bài 7. Có bao nhiêu số tự nhiên thỏa:
có 4 chữ số và lớn hơn 2000? b) Có 4 chữ số khác nhau thuộc đoạn [2000; 5000]?
Bài 8. Giữa 2 TP A và B có 10 con dường đi . Hỏi có bao nhiêu cách đi từ A đến B rồi trở về A mà không đi lại đường cũ?
Bài 9. Lớp có 40 học sinh giỏi ít nhất nhất 1 trong 2 môn Toán và Lý. Trong đó có 20 hs giỏi Toán và 30 hs giỏi Lý. Hỏi có bao nhiêu em giỏi cả 2 môn?
Bài 10. Một lớp có 15 hs giỏi toán; 20 hs giỏi Văn; 10 hs Giỏi cả Toán và Văn. Hỏi lớp đó có bao nhiêu hs?Biết rằng tất cả các học sinh đều giỏi ít nhất 1 trong 2 môn đó?
GIẢI TRÍ TOÁN VUI:
 “ Tom gửi quà SINH NHẬTcho Jerry 3 hộp trái cây; mỗi hộp đựng 2 quả như sau:cam – cam ; quýt – quýt ; và cam – quýt. Nhưng khi dán nhãn xong Tom mới sực nhớ là đã dán các nhãn : C – C ; Q – Q ; C – Q không có nhãn nào đúng với hộp tương ứng cả .Để đánh trống lãng với Jerry, Tom bèn gọi điện đố Jerry rằng: “ chỉ cần mở 1 hộp và lấy ra duy nhất 1 quả thì Jerry à,bạn có thể kết luận chính xác mỗi hộp trong đó đựng gì không? 
 Sau 1 phút 30 giây suy nghĩ,Jerry nói: “chuyện nhỏ; tôi đã có kết quả - Jerry cảm ơn món quà thật thú vị của Tom nhé!” 
 Theo bạn Jerry đã làm như thế nào?
CHỦ ĐỀ 2. HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP – TỔ HỢP.
có bao nhiêu cách xếp 10 hs thành 1 hàng ngang?
Có bao nhiêu cách xếp 5 bạn A, B, C, D, E vào ghế hàng ngang sao cho A luôn ngồi ở chính giữa?
Một lớp có 40 hs. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 3 hs làm : lớp trưởng; lớp phó học tập và lớp phó học tập?
Có bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số khác nhau và không có chữ số 0 ?
Lớp có 45 hs gồm trong đó có 20 hs nam. Có bao nhiêu cách chọn?
Chọn ra 5 hs bất kì thi hs giỏi? b)Chọn ra 5 học phải có 2 nữ.
Trong hộp có 5 bi đỏ; 6 bi xanh; 7 bi vàng. Có bao nhiêu cách chọn ra 6 bi gồm: 2 bi đỏ , 3 bi xanh và 1 bi vàng?
Có bao nhiêu cách xếp 5 hs A, B, C, D, E ngồi vào 1 dãy ghế dài sao cho?
Bạn C ngồi chính giữa? b)Hai bạn A và E ngồi ở 2 đầu ghế?
Từ 10 chữ số từ 0 đến 9 lập được bao nhiêu số tự nhiên thỏa?
Mỗi số có 5 chữ số? b)Có 5 chữ số và các chữ đều khác nhau?
Cho tập A = {1; 2; 3; 4; 5 ; 6; 7; 8}
Có bao nhiêu tập con X của A thỏa X phải có 1 nhưng không có 2?
Có bao nhiêu số tự nhiên chẳn gồm 5 chữ số từng đôi một khác nhau lập từ tập A mà không bắt đầu bởi 123?
Trong 1 phòng họp có 1 bàn dài có 2 dãy ghế 2 bên. Mỗi dãy có 5 ghế.Có bao nhiêu cách xếp 10 (5 nam – 5 nữ) vào :
Ngồi tùy ý? b) Nam ,nữ ngồi riêng từng bên? c)Nam và Nữ không ngồi đối diện ?
Lớp có 30 hs nam và 15 hs nữ. Chọn ra 6 hs lập thành 1 tốp ca sao cho?
Chọn tùy ý? b)Cần có ít nhất 1 nữ?
c)Số hs nam không quá 4?
Cho A = { 1; 2; 3; 4; 5}. Từ A có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên thỏa?
Gồm 9 chữ số trong đó chữ số 1 xuất hiện 5 lần?
Gồm 9 chữ số trong đó chữ số 1 xuất hiện 5 lần đồng thời các chữ số 1 đứng kề nhau?
Cho A = { 0; 2; 3; 4; 5; 6; 7}Từ A lập bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau nhưng không chia hết cho 10?
 Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau và số đó chia hết cho 10?
Cho A = { 1; 2; 3; 4} và B = { 3; 4 ; 5; 6; 7; 8; 9} Từ A và B có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên thỏa:
số có 3 chữ số nhưng chỉ có 1 chữ số thuộc tập A?
Có 3 chữ số tùy ý?
Có 3 chữ số khác nhau nhưng chỉ có 1 chữ số thuộc tập A và chữ số thuộc tập A đó luôn dứng giữa?
Có bao nhiêu số có 3 chữ số trong đó có 2 chữ số giống nhau? ( mỗi chữ số như thế chỉ được lấy ra 1 lần đối với mỗi tập hợp)
Có 5 nhà toán học NAM; 3 nhà toán NỮ, và 4 nhà vật lý NAM. Lập 1 đoàn công tác có cả nam và nữ trong đó cần có cả 3 lĩnh vực chuyên môn. Có thể lập được bao nhiêu cách thỏa:
Đoàn có 3 người? b) Đoàn có 4 người?
Từ các chữ số 1,2,3,4,5,6,7 lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 10 chữ số trong đó chữ số 1 xuất hiện ba lần, chữ số 2 xuất hiện hai lần còn các chữ số khác xuất hiện một lần?
Cho A { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} . Từ các phần tử của tập A lập được bao nhiêu số gồm 3 chữ số khác nhau sao cho:
Tích của 3 chữ số là số lẻ?
Tích của 3 chữ số đó là số chẳn?
Trên kệ sách có 2 cuốn sách toán khác nhau, 4 cuốn sách văn khác nhau và 6 cuốn sách tiếng anh trong đó có 2 cuốn tiếng anh giống nhau.Có tất cả bao nhiêu cách xếp các cuốn sách đó theo từng môn?
Tổ 1 có 7 hs, tổ 2 có 9 hs ,tổ 3 có 10 hs. Có bao nhiêu cách chọn ra 8 học sinh:
Phải có hs của tổ 1 và tổ 2 nhưng không có hs của tổ 3? b)Có cả hs của 3 tổ?
Từ các số 1, 2, 3, 4 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số sao cho phải có đủ mặt các chữ số đó.
Bài 2. Dùng 5 chữ số 2,3,4,6,8 để viết thành số gồm 5 chữ số khác nhau. Hỏi:
a. Bắt dầu bởi chữ số 2.	b. Bắt đầu bởi chữ số 36 c. Bắt đầu bởi chữ số 482
CHỦ ĐỀ 3. PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH “TỔ HỢP”
Giải các PT – BPT sau :
a) b) 
 c) d) 
e) f) 
g) 
BÀI TẬP RÈN LUYỆN: Giải các PT sau:
1) 2) 3) 
4) 5) 6) 
7) 8) 9) 
CHỦ ĐỀ 4. NHỊ THỨC NEWTON
Khai triển các biểu thức sau:
a) 	 
 b) 	
c) 	 
d) 	
f) e) 	 
g) 	
h) 	 
k) 	
2) Tìm số hạng không chứa x trong khai triển sau: 
3)Tìm số hạng thứ tư trong khai triển theo lũy thừa tăng dần của x.
 4)Tìm số thứ 5 trong khai triển theo lũy thừa giảm dần của x?
Tìm số thứ 6 trong khai triển theo lũy thừa giảm dần của x?
Biết hệ số của x2 trong khai triển của là 90. Tìm n?
Trong khai triển ta có số hạng đầu là 1 , số hạng thứ hai là 24x, số hạng thứ ba là 252x2. Tìm a và n?
Trong khai triển biết hệ số x7 là – 9 và trong khai triển này không có số hạng chứa x8. Tìm a và b?
Tìm số hạng chứa x5 trong khai triển : 
Tìm số nguyên dương n sao cho: 
Tìm số hạng chứa x8 trong khai triển biết n thỏa: và x > 0
Biết tổng các hệ của khai triển là 64. Tìm n?
Biết số hạng thứ ba trong khai triển không chứa x , với giá trị nào của x thì số hạng đó bằng số hạng thứ 2 trong khai triển của .
 14) Tìm số hạng không chứa x trong khai triển sau: 
15) Biết tổng các hệ số của khai triển bằng 1024. Hãy tìm hệ số của số a của số hạng a.x12 trong khai triển đó?
16)Đặt 
a) Tính a97? b) Tính S = a0 + a1 + . . . + a100
CHỦ ĐỀ 5 - PHÉP THỬ VÀ BIẾN CỐ
Lý thuyết :
Phép thử: là một công việc cần thực hiện mà ta không đoán trước kết quả của của nó, mặc dù đã biết tập hợp tất cả các kết quả có thể có của công việc đó.Kí hiệu : T
Tập hợp mọi kết quả có thể xảy ra của phép thử được gọi là không gian mẫu. Kí hiệu là . Ta chỉ xét các phép thử với không gian mẫu là hữu hạn.
Biến cố: Mỗi tập con A của được gọi là biến cố.
Tập được gọi là biến cố không thể.
Tập là biến cố chắc chắn.
Nếu khi phép thử được tiến hành mà kết quả của nó là 1 phần tử của tập A thì ta nói rằng A xảy ra, hay phép thử là thuận lợi cho A.
Biến cố được gọi là biến cố đối của A.
A và B là đối nhau 
 xảy ra khi A không xảy ra.Nói cách khác A và không đồng thời xảy ra.
Biến cố hợp xảy ra khi chỉ cần A xảy ra hoặc B xảy ra ( hoặc cả 2 có thể cùng xảy ra)
Biến cố giao: xảy ra khi cả A và B đồng thời xảy ra.
Khi ta nói A và B là 2 biến cố xung khắc nhau.
BÀI TẬP:
Gieo 1 đồng xu (đồng chất) hai lần liên tiếp. Gọi S là mặt Sấp; N là mặt ngửa.
Xác định không gian mẫu?
Hãy xác định các biến cố sau:
A: “ Hai lần xuất hiện các mặt như nhau”
B: “ Lần hiện đầu tiên xuát hiện mặt ngửa”
C: “ Cả 2 lần đều xuất hiện mặt Sấp”
D: “ ít nhất 1 lần xuất hiện mặt ngửa”
Tìm biến cố đối của các biến cố trên?
2)Gieo con xúc sắc cân đối đồng chất 2 lần liên tiếp và qua sát số chấm xuát hiện trên 2 mặt trong 2 lần gieo.
Mô tả không gian mẫu?
Xác định các biến cố sau: 
A: “ lần gieo đầu tiên xuất hiện mặt 1 chấm”
B: “ Tổng số chấm 2 lần gieo là 8”
C: “ Số chấm lần gieo thứ 2 gấp đôi lần gieo đầu”
D : “Trong 2 lần gieo mặt 1 chấm xuất hiện ít nhất 1 lần”
E: “ Không có mặt 1 chấm xuất hiện lần nào cả”
Tìm biến cố đối và biến cố xung khắc với các biến cố trên?
Ba người, mỗi người bắn một viên đạn. gọi Ai là biến cố người thứ i bắn trúng mục tiêu.Hãy biểu diễn qua Ai các biến cố sau:
A : “ chỉ có người thứ nhất bắn trúng”
B : “ người thứ bắn trúng còn người thứ 2 bắn trật”
C : “ có ít nhất 1 người bắn trúng”
D : “ cả 3 người đều bắn trúng”
E : “ có ít nhất 2 người bắn trúng”
F : “ chỉ có người thứ 2 bắn trúng”
G : “ không ai bắn trúng”
H : “ không có hơn 2 người bắn trúng”
I: “ người thứ nhất bắn trúng hoặc người thứ 2 và người thứ 3 bắn trúng”
J : “ người thứ bắn trúng hoặc người thứ 2 bắn trúng”
CHỦ ĐỀ 6. XÁC