Bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán - Tam giác đồng dạng và các ứng dụng

Chuyên đề: Định lí Ta – lét 
Tam giác đồng dạng và các ứng dụng
----v----
A/ KIẾN THỨC CƠ BẢN
 	I/ Định lí Thalès: ABC có: MAB, NAC:
 MN// BC 
	Hệ quả: ABC có: Mđt AB, Nđt AC:
 MN// BC 
	v Mở rộng: Với d//d’ và A, B, Cd; A’, B’ ,C’d’. Khi đó:
 AA’, BB’, CC’ đồng qui 
 	ỉ Lưu ý:
Chú ý thứ tự của A.B,C trên d và A’, B’, C’ trên d’.
Tính chất này được sử dụng để chứng minh các đường thẳng đồng qui và ngược lại xác định các cặp đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ trong chùm đường thẳng đồng qui.
	II/ Tính chất đường phân giác: ABC có: AD, AE lần lượt là phân giác trong và ngoài đỉnh A (D, EBC) thì: 
 A
C
B
D
E
Hệ quả:
 * Với: 
* Ta nói: D và E lần lượt là điểm chia trong và điểm chia ngoài của đoạn thẳng BC theo tỉ số 
+ Nếu D,E đều nằm ở bên phải trung điểm O của BC.
+ Nếu D,E đều nằm ở bên trái trung điểm O của BC.
+ Nếu DE đều trùng với trung điểm O của BC
 (Tính chất này được sử dụng xác định điểm chia điểm tỉ lệ trên đoạn thẳng)
rABCrA’B’C’theo tỉ số k 
A
III/ Tam giác đồng dạng: 
A’
B
B’
C
C’
	* Dấu hiệu:
* rABCrA’B’C’
* Với thì:* rABCrA’B’C’
* rABC có: Mđt AB, Nđt AC:MN// BC rABCrAMN	
	* Tính chất:
*rABC = rA’B’C’rABCrA’B’C’theo tỉ số đồng dạng là 1.
* rABCrA’B’C’theo tỉ số đồng dạng làrA’B’C’rABC theo tỉ số đồng dạng là.
* rABCrA’B’C’theo tỉ số đồng dạng là và rA’B’C’rA’’B’’C’’theo tỉ số đồng dạng là rABCrA’’B’’C’’theo tỉ số đồng dạng là .
	+ AH, AM, AD, P, S lần lượt là đường cao, trung tuyến, phân giác, chu vi, diện tích của rABC và A’H’, A’M’, A’D’, P’, S’ lần lượt là đường cao, trung tuyến, phân giác, chu vi, diện tích của rABC. Khi đó:
*rABCrA’B’C’theo tỉ số đồng dạng là
	IV/ Hệ thức lượng trong tam giác vuông:
	* Tỉ số lượng giác của góc nhọn:
 	+ 	
	+ 
B/ CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI:
	* Dạng: Chia đoạn thẳng AB tỉ lệ theo tỉ số cho trước 
	 + Phương pháp: * Sử dụng định lý Thalès
	- Kẻ tia Ax bất kì dựng trên Ax m đoạn thẳng bằng nhau với độ dài đơn vị đo tuỳ ý, ta được một đoạn thẳng AM có độ dài là m.
	- Kẻ đường thẳng MB, từ mỗi mút của đoạn thẳng có độ dài là 1 trong m đoạn trên Ax ta kẻ các đường thẳng song song với MB. Khi đó ta có được m đoạn thẳng bằng nhau trên AB. 	 * Sử dụng tính chất đường phân giác trong tam giác
- Dựng trên AB tam giác ABC có (CA + CB > AB).
- Dựng các phân giác trong và ngoài của góc ACB và cắt AB tại D, E. Khi đó D; E là các điểm chia trong và ngoài.
	* Dạng : Chứng minh đẳng thức tích các đoạn thẳng.
	+ Phương pháp:
	- Từ đẳng thức sử dụng tính chất tỉ lệ thức đưa về đẳng thức hai tỉ số đoạn thẳng.
	- Chứng minh đẳng thức tỉ số vừa tìm đúng bằng: định lí Thalès, tam giác đồng dạng, tính chất đường phân giác, hệ thức lượng trong tam giác vuông, ..
	* Ngoài dạng toán cơ bản, ta có thể sử dụng các kiến thức trên vào một số dạng loại bài tập chứng minh hình học khác như: chứng minh song song, đồng qui, thẳng hàng, 
CÁC BÀI TẬP ĐIỂN HÌNH
+ Bài 1: Cho hình thang ABCD (AB//CD). Gọi M kà điểm trên cạnh AD sao cho . Qua M kẻ đường thẳng song song với đáy cắt BC tại N.
Tính MN theo AB và CD?
Khái quát hoá bài toán với 
Đặc biết hoá bài toán khi M là trung điểm của AD.
	HD: 	- Kẻ đường chéo BD và sử dụng hệ quả của Thalès
	- Aùp dụng định lí đường trung bình của hình thang.
+ Bài 2: ABCD là tứ giác có các góc B, D vuông. Từ M trên AC kẻ MN BC; MP AD (NBC; PAD).
Chứng minh: 	
Tương tự hoá bài toán với ABCD là tứ giác bất kì?
	HD: 	- Sử dụng hệ quả của Thalès.
+ Bài 3: Cho tam giác ABC với trung tuyến AD. Từ một điểm P bất kì thuộc cạnh BC kể đường thẳng song song với AD cắt AB và AC lần lượt tại M; N.
Chứng minh rằng: Tổng PM + PN không đổi khi P di chuyển trên cạnh BC.
Gọi I là trung điểm của MN. Chứng minh rằng: ADPI là hình bình hành, từ đó suy ra quỹ tích điểm I.
	HD: 	- Sử dụng hệ quả của Thalès chứng minh: PM + PN = 2AD
	- Chứng minh: PI//=AD.
+ Bài 4: Cho tam giác ABC. Phân giác góc A cắt cạnh BC tại D; phân giác góc ADB cắt cạnh AB tại F; phân giác góc ADC cắt cạnh AC tại E. Chứng minh: AF.BD.CE = BF.CD.AE.
	HD: 	- Sử dụng tính chất đường phân giác của tam giác chứng minh: 
+ Bài 5: Cho tứ giác ABCD. Kẻ hai đường thẳng song song với hai đường chéo AC cắt cạnh BA, BC, DA, DC lần lượt tại G, H, E, F. Chứng minh rằng: GE, HF, BD hoặc song song, hoặc đồng qui.
	HD: 	- Nếu G, H, E, F là trung điểm các cạnh thì áp dụng tính chất đường trung bình syu ra GE, HF, BD song song.
	- Nếu G, H, E, F là trung điểm các cạnh thì áp dụng định lí Thalès mở rộng suy ra GE, HF, BD song song.
+ Bài 5: Cho tam giác ABC (Không là tam giác đều). Gọi M là trung điểm cạnh BC, N là trung điểm cạnh AC. O là giao điểm của các đường trung trực, H là trực tâm, G là trọng tâm của tam giác ABC. Chứng minh rằng:
rABHrMNO
rAHGrMOG
H, G, O thẳng hàng và .
	HD: 	- Câu a sử dụng tính chất : Hai góc có cạnh tương ứng song thì bằng nhau hoặc bù nhau.
	- Câu b sử dụng tính chất trọng tâm và kết quả câu a chứng minh tam giác đồng dạng theo trường hợp c. g. c.
+ Bài 6: Cho hình thang ABCD (AB//CD; CD>AB). Kẻ MN//AB (MAD, NBC) và MN chia hình thang thành hai phần có diện tích bằng. Chứng minh hệ thức: 
	HD: 	- Aùp dụng tỉ số diện tích của tam giác đồng dạng.
+ Bài 7: Cho tam giác cân ABC (AB = AC) và M là trung điểm của cạnh BC. Một điểm D thay đổi trên cạnh AB. Lấy điểm E trên cạnh AC sao cho: . Chứng minh rằng:
rDBMrMCE rDME.
DM là phân giác của góc BDE; EM là phân giác của góc CED.
Khoảng cách từ M đến ED không đổi khi D thay đổi trên AB.
	HD:	- Từ rDBMrMCE; rDBM rDME (c.g.c)
	- Aùp dụng tính chất: Mọi điểm thuộc tia phân giác thì cách đều hai cạnh của góc.
+ Bài 8: Cho hình thang ABCD (AB//CD). Gọi O là giao điểm hai đường chéo. Qua O kẻ đường thẳng song song với đáy, cắt BC tại I, cắt AD tại J. Chứng minh rằng:
	a) 
	b) (IJ được gọi là đoạn thẳng trung bình điều hoà của AB và CD)
+ Bài 9: Cho tam giác ABC. Vẽ đường thẳng song song với BC cắt AB tại D và AC ở E. Qua C kẻ Cx//AB cắt DE tại G. Gọi H là giao điểm của AC và BG. Kẻ HI//AB (IBC). Chứng minh rằng:
DA.EG = DB. DE
HC2 = HE.HA
 + Bài 10: Cho hình vuông ABCD. Gọi I là một điểm bất kì trên cạnh AB. Tia DI và tia CB cắt nhau tại K. Tia DxDK và cắt đường thẳng BC tại L. 
Chứng minh rằng: rDIL cân.
Chứng minh: không đổi khi I di động trên đoạn thẳng AB
Gọi J là một điểm trên cạnh BC. Chứng minh rằng: 
	HD: 	- Câu b sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông.
+ Bài 11: Cho tam giác ABC vuông tại A. Một đường thẳng cắt hai cạnh AB và AC theo thứ tự tại D và E.
Chứng minh: 
Tìm tập hợp điểm M sao cho .
	HD: 	- Sử dụng định lí Pi – ta – go.
+ Bài 12: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AA’. Gọi EF lần lượt là hình chiếu của A’ lên AC và AB.
Chứng minh: 
Gọi D là một điểm trên cạnh huyền BC, M; N lần lượt là hình chiếu của D lên canh AB, AC. Chứng minh: DB.DC = MA.MB +NA.NC.
	HD: 	- Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông và tam giác đồng dạng.
+ Bài 13: M là một điểm nằm trong tam giác ABC. Các tia AM; BM; CM cắt các cạnh BC; CA; AB lần lượt tại A1; B1; C1 . Chứng minh rằng:
	a) 
 	b) 
 Tìm điều kiện của M để dấu “=” xảy ra?
	HD: 	- Sử dụng các tính chất của diện tích tam giác và tam giác đồng dạng chứng minh được: .
+ Bài 14: Trên các cạnh AB; BC, CA của tam giác ABC, lần lượt lấy các điểm M; N; P sao cho: . 
	 a) Chứng minh: 
 b) Tính theo k và 
 c) Tìm k để 
	HD: 	- Kẻ ; tương tự chứng minh được: