Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 12

ðỀ KIỂM TRA ðỘI TUYỂN HSG NĂM HỌC 2012-2013
MÔN: Toán lớp 12
(Thời gian làm bài: 180 phút không kể thời gian giao ñề)
Chú ý: Thí sinh không ñược sử dụng máy tính bỏ túi
Câu 1. 1). Giải phương trình: 
2). Giải hệ phương trình: 
Câu 2. Tìm tất cả các giá trị của ñể bất phương trình sau có nghiệm :
Câu 3. Cho dãy số ñược xác ñịnh bởi: 
ðặt . Tìm giới hạn : 
Câu 4. Cho các số thực dương thỏa mãn : . Chứng minh rằng:
Câu 5.
a). Cho hình chóp với thể tích . Gọi là trung ñiểm cạnh . Các ñiểm và lần lượt là trọng tâm
các tam giác và . Tính theo thể tích khối tứ diện .
b). Cho tứ diện là ñiểm nằm bên trong tứ diện, các ñường thẳng và lần lượt cắt
các mặt và tại . Tìm vị trí của ñiểm ñể biểu thức sau ñạt giá
trị nhỏ nhất:
Câu 6. Gọi lần lượt là góc giữa ñường thẳng và các ñường thẳng chứa các cạnh của tam giác
ñều Chứng minh rằng:
.
2 − x − =x2
1
8
+ − 1
9
8x2
1
x
− −−−−−−−−−−√3
⎧
⎩⎨
⎪
⎪
(y + 1 + y = x +)2 + 1y2
− −−−−√ 3
2
x + = 1 + 2− 2x + 5x2
− −−−−−−−−−√ 2x − 4y + 2− −−−−−−−−−√
m
m( + 1) + x( + 1) ≥ 01 − x− −−−−√ 1 + x− −−−−√
⎧
⎩⎨
= 5u1
=un+1
+ 2 + 4u2n un
6
=vn ∑
k=1
n 1
+ 4uk
lim
n→∞
vn
a, b, c + + = 3a2 b2 c2
+ + ≥
1
1 + a2b2
1
1 + b2c2
1
1 + c2a2
9
2(a + b + c)
S. ABC V M BC K G
SAB SAC V AMGK
ABCD, M AM, BM, CM DM
(BCD), (ACD), (ABD) (ABC) , , ,A1 B1 C1 D1 M
P = + + + .
AM
MA1
− −−−−√ BM
MB1
− −−−−√ CM
MC1
− −−−−√ DM
MD1
− −−−−√
α, β, γ ∆ BC, CA, AB
ABC.
α. β. γ + α. β. γ =sin2 sin2 sin2 cos2 cos2 cos2
1
16
ĐỀ KIỂM TRA ĐỘI TUYỂN HSG NĂM HỌC 2012-2013 
 MÔN: Toán lớp 12 
 (Thời gian làm bài: 180 phút không kể thời gian giao đề) 
Chú ý: Thí sinh không được sử dụng máy tính bỏ túi 
Câu 1. 1). Giải phương trình: 2 3
2
1 9 1
2 1
8 8
x x
x x
     
 2). Giải hệ phương trình: 
2 2
2
3
( 1) 1
2
2 5 1 2 2 4 2
y y y x
x x x x y

    

       
Câu 2. Tìm tất cả các giá trị của m để bất phương trình sau có nghiệm 
    1 1 1 1 0m x x x      
Câu 3. Cho dãy số ( )nu được xác định bởi:
1
2
1
5
2 4
6
n n
n
u
u u
u 


  


Đặt 
1
1
4
n
n
k k
v
u


 . Tìm giới hạn lim n
n
v

Câu 4. Cho các số thực dương , ,a b c thỏa mãn 2 2 2 3a b c   . Chứng minh rằng: 
2 2 2 2 2 2
1 1 1 9
1 1 1 2( )a b b c c a a b c
  
    
Câu 5. a). Cho hình chóp S.ABC với thể tích V. Gọi M là trung điểm cạnh BC. Các điểm 
K và G lần lượt là trọng tâm các tam giác SAB và SAC. Tính theo V thể tích khối tứ diện 
AMGK. 
b). Cho tứ diện ABCD, M là điểm nằm bên trong tứ diện, các đường thẳng AM, BM, CM 
và DM lần lượt cắt các mặt (BCD), (ACD), (ABD) và (ABC) tại 1 1 1 1, , ,A B C D . Tìm vị trí 
của điểm M để biểu thức sau đạt giá trị nhỏ nhất: 
1 1 1 1
AM BM CM DM
P
MA MB MC MD
    . 
Câu 6. Gọi , ,   lần lượt là góc giữa đường thẳng  và các đường thẳng chứa các cạnh 
BC, CA, AB của tam giác đều ABC. Chứng minh rằng: 
 2 2 2 2 2 2
1
sin .sin .sin cos .cos .cos
16
       . 
-----------------------------------Hết------------------------------------ 
2. ðặt . Tính 
Câu III: (4p)
1. Giải hệ phương trình
2. Cho . Chứng minh rằng
Câu IV: (8p)
Cho tứ diện có ba cạnh tại ñỉnh ñôi một vuông góc vơi nhau. Gọi lần lượt là góc tạo bởi 
với các mặt phẳng , và là các góc tương ứng trong tam giác .
1. Chứng mình rằng: 
2. Tìm giá trị nhỏ nhất của 
3. Chứng minh rằng: 
---------Hết-------------
=vn ( + ( +. . . +(u1)
n u2)
n u2012 )
n
− −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√n Lim( )vn
⎧
⎩
⎨
⎪⎪⎪
⎪⎪⎪
= cos(pi )x1
3√
9
x2
= cos(pi )x2
3√
9
x3
= cos(pi )x3
3√
9
x1
a, b, c ∈ [2;+ ∝)
lo + lo + lo ≥ 3gb+ca
2 gc+ab
2 ga+bc
2
OABC O α,β, γ (ABC)
(OBC); (OAC); (OAB) A,B,C ABC
co α + co β + co γ = 1s2 s2 s2
T = ta α + ta β + ta γ + co α + co β + co γn2 n2 n2 t2 t2 t2
= =
si αn2
sin2A
si βn2
sin2B
si γn2
sin2C
ðỀ THI HỌC SINH GIỎI THPT CHUYÊN ðẠI HỌC VINH
Câu I: (4p)
Tìm ñề nghiệm của bất phương trình sau chứa ñoạn 
Câu II: (4p)
Cho dãy số , với 
1. Chứng minh là dãy tăng.
m [1; 2]
m − 3x + 1 − ≤ 0∣∣x
2 ∣∣
2
− 3x + 1 + 1∣x2 ∣
( )un = ,n = 1, 2...un ∑
i=1
n i
(i + 1)!
( )un
ðỀ THI HỌC SINH GIỎI THPT CHUYÊN ðẠI HỌC VINH
Câu I: (4p)
Tìm ñề nghiệm của bất phương trình sau chứa ñoạn 
Câu II: (4p)
Cho dãy số , với 
1. Chứng minh là dãy tăng.
2. ðặt . Tính 
Câu III: (4p)
1. Giải hệ phương trình
2. Cho . Chứng minh rằng
Câu IV: (8p)
Cho tứ diện có ba cạnh tại ñỉnh ñôi một vuông góc vơi nhau. Gọi lần lượt là góc tạo bởi với các
mặt phẳng , và là các góc tương ứng trong tam giác .
1. Chứng mình rằng: 
2. Tìm giá trị nhỏ nhất của 
3. Chứng minh rằng: 
---------Hết-------------
m [1; 2]
m − 3x + 1 − ≤ 0∣∣x
2 ∣∣
2
− 3x + 1 + 1∣x2 ∣
( )un = , n = 1, 2...un ∑
i=1
n
i
(i + 1)!
( )un
=vn ( + ( +. . . +(u1)
n
u2)
n
u2012)
n
− −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
√n Lim( )vn
⎧
⎩
⎨
⎪⎪⎪
⎪⎪⎪
= cos(pi )x1
3√
9
x2
= cos(pi )x2
3√
9
x3
= cos(pi )x3
3√
9
x1
a, b, c ∈ [2; + ∝)
lo + lo + lo ≥ 3gb+c a
2 gc+a b
2 ga+b c
2
OABC O α, β, γ (ABC)
(OBC); (OAC); (OAB) A,B,C ABC
co α + co β + co γ = 1s2 s2 s2
T = ta α + ta β + ta γ + co α + co β + co γn2 n2 n2 t2 t2 t2
= =
si αn2
sin2A
si βn2
sin2B
si γn2
sin2C
HD
1. Xét hàm số 
Hàm số liên tục trên và 
Nên :
ðặt : 
Bài toán trở thành, tìm ñể nghiệm bất phương trình sau : (*) chứa ñoạn
g(x) = − 3x + 1, x ∈ [1; 2]x
[1; 2] (x) = 0 ⇔ x =g′
3
2
g(x) = Min{g(1); g( ); g(2)} = g( ) = −Min
[1;2]
3
2
3
2
5
4
g(x) = Max{g(1); g( ); g(2)} = g(1) = g(2) = −1Max
[1;2]
3
2
t = − 3x + 1 ⇒ t ∈ [1; ]∣∣x2 ∣∣ 5
4
m mt − ≤ 0 ⇔ m + mt − 2 ≤ 0
2
t + 1
t2
[1; ]5
4
+) Nếu tập nghiệm của bất pt là .
+) Với , ta có : 
Nếu : 
Tập nghiệm của BPT (*) là .
Nếu 
Với ta có : 
Nên yêu cầu b.toán 
Trường hợp này cho ta kết quả : 
Với ta có : 
Nên yêu cầu b.toán 
Trường hợp này nghiệm ñúng .
Kết hợp với ñk tìm ñược 
m = 0 R ⊃ [1; ]5
4
m ≠ 0 = + 8m∆m m
2
= + 8m ≤ 0 ⇔ −8 ≤ m < 0∆m m
2
R ⊃ [1; ]5
4
= + 8m > 0 ⇔ [∆m m2 m > 0
m < −8
m > 0 ≤ t ≤
−m − + 8mm2
− −−−−−−−√
2m
−m + + 8mm2
− −−−−−−−√
2m
⇔ ≤ 1 < ≤
−m − + 8mm2
− −−−−−−−
√
2m
5
4
−m + + 8mm2
− −−−−−−−
√
2m
0 < m ≤
32
45
m < −8 ⇔ ≤ t ≤
−m + + 8mm2
− −−−−−−−√
2m
−m − + 8mm2
− −−−−−−−√
2m
⇔ ≤ 1 < ≤
−m + + 8mm2
− −−−−−−−√
2m
5
4
−m − + 8mm2
− −−−−−−−√
2m
∀m < −8
m ≤
32
45
2. Cho . Chứng minh rằng
Ta có bất ñẳng thức ñã cho tương ñương với
Do nên
a, b, c ∈ [2;+ ∝)
lo + lo + lo ≥ 3gb+ca
2 gc+ab
2 ga+bc
2
+ + ≥ 3
log2a
2
(b + c)log2
log2b
2
(c + a)log2
log2c
2
(a + b)log2
a, b, c ≥ 2
+ ≤ 1 ⇒ a + b ≤ ab
1
a
1
b
Xây dựng các BðT tương tự ta ñưa bài toán về chứng minh
Sử ñụng Nesbit ta có ñpcm.
+ + = 2( + + ) ≥ 32 alog2
bclog2
2 blog2
calog2
2lo cg2
lo abg2
x
y + z
z
x + y
y
x + y
2. ðặt . Tính 
a) Vì với mọi 
b)
Lại có 
Nhưng vì
=vn ( + ( +. . . +(u1)
n
u2)
n
u2012)
n
− −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√n Lim( )vn
− = > 0un+1 un
i + 1
(i + 2)!
k ∈ N ⇒ > , ∀i ∈ Nui+1 ui
⇒ < + +. . . + < 2012.y2012 u
n
1 u
n
2 u
n
2012 x
n
2012
⇒ < < . (∗)u2012 + +. . . +un1 u
n
2 u
n
2012
− −−−−−−−−−−−−−−−√n 2012− −−−√n x2012
= = −
i
(1 + i)!
(i + 1) − 1
(i + 1)!
1
i!
1
(i + 1)!
⇒ = (1 − ) + ( − )+. . . +( − ) = 1 −uk
1
2!
1
2!
1
3!
1
k!
1
(k + 1)!
1
(k + 1)!
⇒ = 1 −u2012
1
2013!
1 − < < (1 − )1
2013!
+ +. . .+un1 u
n
2 u
n
2012
− −−−−−−−−−−−−−−−√n 2012− −−−√n 1
2013!
(1 − ) = [ (1 − )]lim
n→+∞
1
2013
lim
n→+∞
2012− −−−√n
1
2013!
⇒ lim( ) = = 1 −vn lim
n→+∞
+ +. . . +un1 u
n
2 u
n
2012
− −−−−−−−−−−−−−−−√n 1
2013!
Môc lôc
1 C¸c bµi to¸n §¹i sè vµ L­îng gi¸c 2
1.1 C¸c ®¼ng thøc §¹i sè thuÇn tuý . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 C¸c ®¼ng thøc L­îng gi¸c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.3 Ph­¬ng tr×nh vµ bÊt ph­¬ng tr×nh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1
Ch­¬ng 1
C¸c bµi to¸n §¹i sè vµ L­îng gi¸c
1.1 C¸c ®¼ng thøc §¹i sè thuÇn tuý
1. Chøng minh r»ng
(a2 + b2 + c2 + d2)(x2 + y2 + z2 + t2) = (ax − by − cz − dt)2 + (bx +
ay − dz + ct)2 + (cx+ dy + az − dt)2 + (dx− cy + bz + at)2
2. Chøng minh r»ng tõ c¸c ®¼ng thøc ax−by−cz−dt = 0, bx+ay−dz+ct = 0,
cx + dy + az − dt = 0, vµ dx − cy + bz + at = 0 ta suy ra r»ng hoÆc
a = b = c = d = 0 hoÆc x = y = z = t = 0.
3. Chøng minh r»ng ta cã ®ång nhÊt sau
(a2+b2+c2)(x2+y2+z2)−(ax+by+cz)2 = (bx−ay)2+(cy−bz)2+(az−cx)2
4. Chøng minh r»ng c¸c ®ång nhÊt nãi trong c¸c bµi to¸n tr­íc cã thÓ më réng
nh­ sau
(a21 + a
2
2 + · · ·+ a2n)(b21 + b22 + · · ·+ b2n)− (a1b1 + a2b2 + · · ·+ anbn)2 =
= (a1b2 − a2b1)2 + (a1b3 − a3b1)2 + · · ·+ (an−1bn − anbn−1)2
5. Gi¶ sö r»ng n(a21 + a
2
2 + · · · + a2n) = (a1 + a2 + · · · + an)2 . Chøng minh
r»ng a1 = a2 = · · · = an
6. Chøng minh r»ng tõ ®¼ng thøc (x − y)2 + (y − z)2 + (z − x)2 = (y + z −
2x)2 + (z + x− 2y)2 + (x+ y − 2z)2 ta suy ra r»ng x = y = z
7. Chøng minh c¸c ®ång nhÊt thøc sau
(a2 − b2)2 + (2ab)2 = (a+ b)2
(6a2−4ab+4b2)3 = (3a2+5ab−5b2)3+(4a2−4ab+6b2)3+(5a2−5ab−3b2)3
2
Hµ Duy H­ng C¸c bµi to¸n ®¹i sè trong c¸c cuéc thi Olympic To¸n. 3
8. Chøng minh r»ng
(p2 − q2)4 + (2pq + q2)4 + (2pq + p2)4 = 2(p2 + pq + q2)4
9. Chøng minh r»ng X2 + XY + Y 2 = Z3 nÕu X = q3 + 3pq2 − p3, Y =
−3pq(p+ q), vµ Z = p2 + pq + q2
10. Chøng minh r»ng
(3a+ 3b)k + (2a+ 4b)k + ak + bk = (3a+ 4b)k + (a+ 3b)k + (2a+ b)k
víi k = 1, 2, 3.
11. Chøng minh r»ng nÕu x+ y + z = 0 th×
(ix−ky)n+(iy−kz)n+(iz−kx)n = (iy−kx)n+(iz−ky)n+(ix−kz)n
khi n = 0, 1, 2, 4 trong ®ã i lµ ®¬n vÞ ¶o, ie... i2 = −1.
12. Chøng minh r»ng xn + (x + 3)n + (x + 5)n + (x + 6)n + (x + 9)n + (x +
10)n +(x+12)n +(x+15)n = (x+1)n +(x+2)n +(x+4)n +(x+7)n +
(x+ 8)n + (x+ 11)n + (x+ 13)n + (x+ 14)n khi mµ n = 0, 1, 2, 3
13. Chøng minh c¸c ®ång nhÊt thøc sau ®©y
i. (a+ b+ c+ d)2 +(a+ b− c− d)2 +(a+ c− b− d)2 +(a+ d− b− c)2 =
4(a2 + b2 + c2 + d2)
ii. (a2 − b2 + c2 − d2)2 + 2(ab− bc+ dc+ ad)2 = (a2 + b2 + c2 + d2)2 −
2(ab− ad+ bc+ dc)2
iii.(a2−c2+2bd)2+(d2−b2+2ac)2 = (a2−b2+c2−d2)2+2(ab−bc+dc+ad)2
14. Chøng minh ®ång nhÊt thøc sau ®©y
(a+b+c)4+(a+b−c)4+(a−b+c)4+(−a+b+c)4 = 4(a4+b4+c4)+24(a2b2+b2c2+c2a2)
15. Cho s = a+ b+ c = 2p . Chøng minh r»ng∑
sym
s(s− 2b)(s− 2c) = (s− 2a)(s− 2b)(s− 2c) + 8abc
∑
sym
a(p− a)2 = abc− 2(p− a)(p− b)(p− c)
16. Cho s = a+ b+ c vµ 2δ = a2 + b2 + c2 . Chøng minh r»ng∑
sym
(δ2 − a2)(δ2 − b2) = 4s(s− a)(s− b)(s− c)
Hµ Duy H­ng C¸c bµi to¸n ®¹i sè trong c¸c cuéc thi Olympic To¸n. 4
17. Chøng minh r»ng nÕu a+ b+ c = 0 th× a3 + b3 + c3 = 3abc
Bµi gi¶i. H·y chó ý r»ng ta cã ®¼ng thøc
a3 + b3 + c3 − 3abc = (a+ b+ c)(a2 + b2 + c2 − ab− bc− ca)
18. Cho c¸c sè a, b, c . §¬n gi¶n biÓu thøc sau ®©y
(a+ b+ c)3 −
∑
sym
(a+ b− c)3
19. Chøng minh r»ng
(a− b)3 + (b− c)3 + (c− a)3 = 3(a− b)(b− c)(c− a)
[(a− b)2 + (b− c)2 + (c− a)2]2 = 2[(a− b)4 + (b− c)4 + (c− a)4]
20. Cho a+ b+ c = 0 , chøng minh r»ng ta cã c¸c ®¼ng thøc sau ®©y
• 2(a4 + b4 + c4) = (a2 + b2 + c2)2
• a5+b5+c5
5
= abc · a2+b2+c2
2
• a3+b3+c3
3
· a2+b2+c2
2
= a
5+b5+c5
5
• a7+b7+c7
7
= a
2+b2+c2
2
· a5+b5+c5
5
• a7+b7+c7
7
= a
3+b3+c3
3
· a4+b4+c4
4
·
21. Cho 2n sè a1, a2, . . . , an vµ b1, b2, . . . , bn vµ gi¶ sö r»ng sk = a1b1 + a2b2 +
· · ·+ akbk víi k = 1, 2, ..., n. Chøng minh r»ng
n∑
k=1
akbk =
n∑
k=1
(ak − ak+1)sk
theo modulo n (Khai triÓn Abel ).
22. Gi¶ sö r»ng a1 + a2 + · · ·+ an = n2s . Chøng minh r»ng
n∑
k=1
(s− ak)2 =
n∑
k=1
a2k
23. Cho ®a thøc hai biÕn d¹ng Ax2 + 2Bxy +Cy2 . Chøng minh r»ng qua phÐp
®æi biÓn x = αu + βv vµ y = γu + δv ®a thøc trªn cã thÓ viÕt l¹i ë d¹ng
Mu2 +2Nuv+Pv2 víi N2−MP = (B2−AC)(αδ−βγ)2 . H·y më réng
bµi to¸n cho c¸c d¹ng bËc hai nhiÒu chiÒu.
Hµ Duy H­ng C¸c bµi to¸n ®¹i sè trong c¸c cuéc thi Olympic To¸n. 5
24. Cho 2n sè a1, a2, . . . , an vµ b1, b2, . . . , bn tho¶ m·n ai + bi = 1 vµ
a =
a1 + a2 + · · ·+ an
n
b =
b1 + b2 + · · ·+ bn
n
Chøng minh r»ng
n∑
k=1
akbk = nab− (a1 − a)2 − (a2 − a)2 − · · · − (an − a)2
25. Chøng minh r»ng
1− 1
2
+
1
3
− 1
4
+ · · ·+ 1
2n− 1 −
1
2n
=
1
n+ 1
+
1
n+ 2
+ · · ·+ 1
2n
26. Chøng minh r»ng
(1+
1
x− 1)(1−
1
2x− 1)(1+
1
3x− 1) · · · (1+
1
(2n− 1)x− 1)(1−
1
2nx− 1) =
=
(n+ 1)x
(n+ 1)x− 1 ·
(n+ 2)x
(n+ 2)x− 1 · · ·
(n+ n)x
(n+ n)x− 1
27. Chøng minh r»ng
x3 = (x · x
3 − 2y3
x3 + y3
)3 + (y · 2x
3 − y3
x3 + y3
)3
28. Chøng minh ®ång nhÊt thøc sau ®©y
2
x2 − 1 +
4
x2 − 4 +
6
x2 − 9 + · · · +
20
x2 − 100
= 11
(
1
(x− 1)(x+ 10) +
1
(x− 2)(x+ 9) + · · · +
1
(x− 10)(x+ 1)
)
29. Chøng minh r»ng tõ ®¼ng thøc
a
b
=
c
d
ta suy ra ®¼ng thøc
ab
cd
=
(a+ b)2
(c+ d)2
Hµ Duy H­ng C¸c bµi to¸n ®¹i sè trong c¸c cuéc thi Olympic To¸n. 6
30. Gi¶ sö r»ng
x =
a− b
a+ b
; y =
b− c
b+ c
; z =
c− a
c+ a
Chøng minh r»ng
(1 + x)(1 + y)(1 + z) = (1− x)(1− y)(1− z)
31. Chøng minh r»ng tõ ®¼ng thøc
(a+ b+ c+ d)(a− b− c+ d) = (a− b+ c− d)(a+ b− c− d)
suy ra ®¼ng thøc
a
c
=
b
d
32. Gi¶ sö r»ng ax+ by + cz = 0 . Chøng minh r»ng
ax2 + by2 + cz2
bc(y − z)2 + ca(z − x)2 + ab(x− y)2 =
1
a+ b+ c
33. Chøng minh tÝnh ®óng ®¾n cña ®¼ng thøc sau ®©y
x2y2z2
a2b2
+
(x2 − a2)(y2 − a2)(z2 − a2)
a2(a2 − b2) +
(x2 − b2)(y2 − b2)(z2 − b2)
b2(b2 − a2)
= x2 + y2 + z2 − a2 − b2
34. Gi¶ sö r»ng
Sk =
ak
(a− b)(a− c) +
bk
(b− c)(b− a) +
ck
(c− a)(c− b)
Chøng minh r»ng S−2 = 1abc · ( 1a + 1b + 1c );S−1 = 1abc ;S0 = S1 = 0;S2 =
a+ b+ c;S4 = ab+ bc+ ca+ a
2 + b2 + c2;S5 = a
3 + b3 + c3 + a2b+ ab2 +
b2c+ bc2 + c2a+ ca2
35. Gi¶ sö r»ng
Sk =
∑
cyclic
ak
(a− b)(a− c)(a− d)
Chøng minh r»ng S0 = S1 = S2 = 0;S3 = 1;S4 = a+ b+ c+ d
36. Gi¶ sö r»ng
Sk =
∑
cyclic
ak
(a+ b)(a+ c)
(a− b)(a− c)
H·y x¸c ®Þnh S0, S1, S2, S3, S4 .
Hµ Duy H­ng C¸c bµi to¸n ®¹i sè trong c¸c cuéc thi Olympic To¸n. 7
37. Chøng minh r»ng ta cã ®ång nhÊt thøc sau ®©y∑
cyclic
ab
(c− x)(c− y)(c− z)
(c− a)(c− b) = abc− xyz
38. Chøng minh r»ng∑
cyclic
a2b2c2
(a− d)(b− d)(c− d) = abc+ bcd+ cda+ dab
39. H·y lµm ®¬n gi¶n biÓu thøc sau ®©y∑
cyclic
ak
(a− b)(a− c)(x− a)
víi k = 1, 2 .
40. Chøng minh ®ång nhÊt thøc sau ®©y∑
cyclic
b+ c+ d
(a− b)(a− c)(a− d)(a− x) =
x− a− b− c− d
(x− a)(x− b)(x− c)(x− d)
41. Chøng minh r»ng ∑
cyclic
ak
(x− b)(x− c)
(a− b)(a− c) = x
k
víi k = 0, 1, 2
42. Chøng minh r»ng nÕu a+ b+ c = 0 th×
(
a− b
c
+
b− c
a
+
c− a
b
)(
c
a− b +
a
b− c +
b
c− a) = 9
43. H·y chøng minh r»ng
a− b
a+ b
+
b− c
b+ c
+
c− a
c+ a
+
a− b
a+ b
· b− c
b+ c
· c− a
c+ a
= 0
44. Chøng minh r»ng ∑
cyclic
b− c
(a− b)(a− c) = 2
∑
sym
1
a− b
45. Cho ∑
sym
b2 + c2 − a2
2bc
= 1
Chøng minh r»ng hai trong ba ph©n thøc b»ng 1 vµ ph©n thøc cßn l¹i b»ng
−1
Hµ Duy H­ng C¸c bµi to¸n ®¹i sè trong c¸c cuéc thi Olympic To¸n. 8
46. Chøng minh r»ng tõ ®¼ng thøc
1
a
+
1
b
+
1
c
=
1
a+ b+ c
Chøng minh r»ng víi mäi sè nguyªn d­¬ng lÎ n ta cã ®¼ng thøc
1
an
+
1
bn
+
1
cn
=
1
an + bn + cn
47. Chøng minh r»ng tõ ®¼ng thøc
bz + cy
x(−ax+ by + cz) =
cx+ az
y(ax− by + cz) =
ay + bx
z(ax+ by − cz)
suy ra
x
a(b2 + c2 − a2) =
y
b(c2 + a2 − b2) =
z
c(a2 + b2 − c2)
48. Cho
a+ b+ c = x+ y + z =
x
a
+
y
b
+
z
c
= 0
Chøng minh r»ng
xa2 + by2 + cz2 = 0
49. Cho a3+b3+c3 = (b+c)(c+a)(a+b) vµ (b2+c2−a2)x = (c2+a2−b2)y =
(a2 + b2 − c2)z . Chøng minh r»ng
x3 + y3 + z3 = (x+ y)(y + z)(z + x)
50. Cho
1
x
+
1
y
=
1
z
Chøng minh r»ng
(z − x)2 + z2
(z − y)2 + z2 =
x2
y2
51. Chøng minh r»ng tæng ba ph©n sè
b− c
1 + bc
,
c− a
1 + ca
,
a− b
1 + ab
b»ng tÝch cña chóng .
52. Chøng minh r»ng ®¼ng thøc sau ®©y∑
cyclic
ak
(x− b)(x− c)(x− d)
(a− b)(a− c)(a− d) = x
k
víi k = 0, 1, 2, 3 .
Hµ Duy H­ng C¸c bµi to¸n ®¹i sè trong c¸c cuéc thi Olympic To¸n. 9
53. [HongKong TST 2004] §Æt x = 3
√
4+ 3
√
2+1. H·y x¸c ®Þnh gi¸ trÞ cña biÓu
thøc
(1 +
1
x
)3
54. Chøng minh c¸c ®ång nhÊt thøc sau ®©y
• (a+ b+ c)(bc+ ca+ ab) = abc+ (b+ c)(c+ a)(a+ b)
• (a2 − 1)(b2 − 1)(c2 − 1) + (a+ bc)(b+ ca)(c+ ab) = (abc+ 1)(a2 +
b2 + c2 + 2abc− 1)
• (b+ c− a)3 + (c+ a− b)3 + (a+ b− c)3 − 4(a3 + b3 + c3 − 3abc) =
3(b+ c− a)(c+ a− b)(a+ b− c)
• ∑cyclic a4(b2 − c2) = (∑cyclic a2(b− c))(a+ b)(b+ c)(c+ a)
• a5 + b5 − (a+ b)5 = −5ab(a2 + ab+ b2)
• (a+ b)7 − a7 − b7 = 7ab(a+ b)(a2 + ab+ b2)2
55. Chøng minh r»ng nÕu xy + yz + zx = 0 th×∏
sym
(x+ y)2 + 24x2y2z2 =
∑
sym
x4(y + z)2
56. Chøng minh r»ng tõ ®¼ng thøc xy + yz + zx = 1 ta nhËn ®­îc ®¼ng thøc∑
sym
x
1− x2 =
4xyz
(1− x2)(1− y2)(1− z2)
57. §Æt
f(a, b, c) = | |b− a||ab| +
b+ a
ab
− 2
c
|+ |b− a||ab| +
b+ a
ab
+
2
c
Chøng minh r»ng
f(a, b, c) = 4max{1
a
,
1
b
,
1
c
}
58. Chøng minh r»ng nÕu
a
b+ c
+
b
c+ a
+
c
a+ b
= 1
th× ta cã ®¼ng thøc
a2
b+ c
+
b2
c+ a
+
c2
a+ b
= 0
59. H·y t×m c¸c gi¸ trÞ cã thÓ nhËn cña biÓu thøc
x+ y
z + t
+
y + z
t+ x
+
z + t
x+ y
+
t+ x
y + z
nÕu biÕt r»ng
x
y + z + t
=
y
z + t+ x
=
z
t+ x+ y
=
t
x+ y + z
Hµ Duy H­ng C¸c bµi to¸n ®¹i sè trong c¸c cuéc thi Olympic To¸n.10
60. Chøng minh r»ng tõ ®¼ng thøc x+ y = z + t ta suy ra ®¼ng thøc
x2 + y2 + z2 + t2 = (x+ y)2 + (x− z)2 + (x− t)2
61. Cho ab+ bc+ ca = 1 , chøng minh r»ng ta cã ®¼ng thøc
(1 + a2)(1 + b2)(1 + c2) = [(a+ b)(b+ c)(c+ a)]2
62. Cho ba sè a, b, c tho¶ m·n b 6= c , a + b 6= c vµ c2 + 2(ab − bc − ca) = 0.
Chøng minh r»ng ta cã ®¼ng thøc sau ®©y
a2 + (a− c)2
b2 + (b− c)2 =
a− c
b− c
63. Chøng minh r»ng nÕu
a
b− c +
b
c− a +
c
a− b = 0
th× ta cã ®¼ng thøc
a
(b− c)2 +
b
(c− a)2 +
c
(a− b)2 = 0
64. Cho c¸c sè thùc x, y, z tho¶ m·n
xy + yz + zx = 0, a =
√
y2 + yz + z2
b =
√
z2 + zx+ x2, c =
√
x2 + xy + y2
Chøng minh r»ng ta cã ®¼ng thøc
(a+ b− c)(b+ c− a)(c+ a− b) = 0
65. Cho bèn sè thùc a, b, c, d tho¶ m·n ®¼ng thøc ac+ bd = (b+ d+ a− c)(b+
d− a+ c) . Chøng minh r»ng
(ab+ cd)(ad+ bc) = (ac+ bd)(a2 − ac+ c2)
66. Cho c¸c sè thùc a, b, c tho¶ m·n a2 + b2 + c2 = a3 + b3 + c3 = 1. Chøng
minh r»ng a+ b2 + c3 = 1 .
67. Cho bèn sè d­¬ng a, b, c, d tho¶ m·n a+ b2 = c+d2, a2+ b = c2+d. Chøng
minh r»ng nÕu a+ b+ c+ d ≤ 2 th× {a, b} = {x, y}
68. Gi¶ sö r»ng a, b, c, d lµ bèn sè thùc tho¶ m·n ®¼ng thøc a + b + c + d =
a7 + b7 + c7 + d7 = 0. Chøng minh r»ng
(a+ b)(a+ c)(a+ d) = 0
Hµ Duy H­ng C¸c bµi to¸n ®¹i sè trong c¸c cuéc thi Olympic To¸n.11
69. Chøng minh ®ång nhÊt thøc sau ®©y∑
cyclic
ak
(a− x)(a− y)
(a− b)(a− c) =
xy
abc
70. Chøng minh c¸c ®ång nhÊt thøc sau ®©y
• ∑cyclic x(y + z)2 − 4xyz = (x+ y)(y + z)(z + x)
• 1 + x+ x2 + x3 + x4 + x5 = (1 + x)(1 + x+ x2)(1− x+ x2)
• (ab+ bc+ ca)(a+ b+ c)− abc = (a+ b)(b+ c)(c+ a)
• (1 + x+ x2 + x3 + x4 + x5)2− x5 = (1+ x+ x2 + x3 + x4) · (1 + x+
x2 + x3 + x4 + x5 + x6)
71. Chøng minh r»ng tõ ®¼ng thøc
a+b(1+a)+c(1+a)(1+b)+· · ·+l(1+a)(1+b) · · · (1+k) = (1+a)(1+b) · · · (1+l)−1
ta suy ra r»ng a = b = c = · · · = l .
72. Cho a+ b+ c = 0 , chøng minh r»ng ta cã ®¼ng thøc sau ®©y
(
b− c
a
+
c− a
b
+
a− b
c
)(
a
b− c +
b
c− a +
c
a− b) = 9
73. Chøng minh ®¼ng thøc sau ®©y
a2
k+1 − b2k+1
a− b = (a+ b)(a
2 + b2)(a4 + b4) · · · (a2k + b2k)
74. [HongKong TST 1990] Gi¶ sö r»ng a, b, c, d lµ bèn sè thùc tho¶ m·n hÖ
a+ 4b+ 9c+ 16d = 1
4a+ 9b+ 16c+ 25d = 12
9a+ 16b+ 25c+ 36d = 123
H·y x¸c ®Þnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc 16a+ 25b+ 36c+ 49d.
75. [HongKong TST 1993]Cho c¸c sè d­¬ng a, b, c tho¶ m·n
a
b
=
b
c
=
c
a
H·y x¸c ®Þnh gi¸ trÞ cña
a+ b+ c
a+ b− c
Hµ Duy H­ng C¸c bµi to¸n ®¹i sè trong c¸c cuéc thi Olympic To¸n.12
76. Cho c¸c sè thùc d­¬ng a, b, c, d satisfying the conditions
a4
b
+
b4
d
=
1
b+ d
a2 + c2 = 1
Chøng minh r»ng
a2004
b1002
+
b2004
d1002
=
2
(b+ d)1002
77. Chøng minh r»ng nÕu xyz = 1 th× ta cã
1
1 + x+ xy
+
1
1 + y + yz
+
1
1 + z + zx
= 1
78. Chøng minh r»ng
2 +
√
3√
2 +
√
2 +
√
3
+
2−√3√
2−
√
2−√3
=
√
2
79. Chøng minh tÝnh ®óng ®¾n cña c¸c hÖ thøc sau ®©y
3
√
3
√
2− 1 = 3
√
1
9
− 3
√
2
9
+
3
√
4
9
80. Gi¶ sö r»ng ta cã
A
a
=
B
b
=
C
c
=
D
d
Chøng minh r»ng
√
Aa+
√
Bb+
√
Cc+
√
Dd =
√
(a+ b+ c+ d)(A+B + C +D)
81. Chøng minh r»ng nÕu ax3 = by3 = cz3 vµ 1
x
+ 1
y
+ 1
z
= 1 th× ta cã hÖ thøc
3
√
ax2 + by2 + cz2 = 3
√
a+
3
√
b+ 3
√
c
82. Cho bèn sè thùc a, b, c, d tho¶ m·n c¸c ®iÒu kiÖn abcd = 1 vµ
a+ b+ c+ d =
1
a
+
1
b
+
1
c
+
1
d
Chøng minh r»ng cã thÓ chia bèn sè ®ã ra thµnh hai cÆp, mçi cÆp hai sè mµ
tÝch cña chóng b»ng 1.
83. Chøng minh c¸c ®¼ng thøc sau ®©y
Hµ Duy H­ng C¸c bµi to¸n ®¹i sè trong c¸c cuéc thi Olympic To¸n.13
(a)
√
4−
√
10− 2
√
5−
√
4 +
√
10− 2
√
5 = 1−
√
5
(b)
√
2 +
√
3 +
√
14− 5
√
3 = 3
√
2
(c)
3
√
6 +
√
847
27
+
3
√
6−
√
847
27
= 3
84. Rót gän c¸c biÓu thøc d­íi ®©y
(a)
√
4−
√
15 +
√
5 +
√
21 +
√
6−
√
35 +
√
6
(b)
3
√
7 +
8
3
√
55
3
+
3
√
7− 8
3
√
55
3
(c)
√
5 +
√
17 + 2
√
7+
√
5 +
√
17− 2
√
7+
√
5−
√
17 + 2
√
7−
√
5 +
√
17− 2
√
7
(d)
4
√
2 +
√
5 + 2
√
2 +
√
5 +
4
√
2 +
√
5− 2
√
2 +
√
5
85. Cho c¸c sè thùc a, b, c tho¶ m·n ®¼ng thøc
a
2002
=
b
2003
=
c
2004
Chøng minh r»ng 4(a− b)(b− c) = (c− a)2.
86. Cho c¸c sè x, y kh¸c kh«ng tho¶ m·n x2 + xy + y2 = 0. H·y x¸c ®Þnh gi¸
trÞ cña biÓu thøc (
x
x+ y
)2001
+
(
y
x+ y
)2001
87. Cho n lµ mét sè nguyªn d­¬ng vµ 2n + 1 sè ®­îc lÊy tõ tËp hîp {2, 5, 9}
tho¶ m·n nÕu ta viÕt chóng ë d¹ng d·y a1, a2, . . . , a2n+1 th× hai sè liªn tiÕp
bÊt k× ®Òu kh¸c nhau vµ a2n+1 = a1. Chøng minh r»ng
a1a2 − a2a3 + · · ·+ a2n−1a2n − a2na2n+1 = 0
88. Cho c¸c sè a, b, c ∈ R tho¶ m·n ®¼ng thøc
1
bc− a2 +
1
ca− b2 +
1
ab− c2 = 0
Chøng minh r»ng
a
(bc− a2)2 +
b
(ca− b2)2 +
c
(ab− c2)2 = 0
Hµ Duy H­ng C¸c bµi to¸n ®¹i sè trong c¸c cuéc thi Olympic To¸n.14
89. Cho n lµ mét sè nguyªn d­¬ng vµ n sè thùc x1, . . . , xn. Víi mçi k nguyªn
d­¬ng ®Æt Sk = x
k
1 + · · · + xkn. Chøng minh r»ng nÕu S2 = S3 = S4 th×
Sk = S1 víi mäi k.
90. Cho hai sè thùc x, y tho¶ m·n
(
√
x2 + 3 + x)(
√
y2 + 3 + y) = 1
Chøng minh r»ng x+ y = 0.
91. Cho c¸c sè thùc x, y, z tho¶ m·n xyz(x+ y + z) = 1. Chøng minh r»ng
(x+ y)(y + z)(z + x) =
1
x
+
1
z
+ (x+ z)xz
92. (Proposed by Hµ Duy H­ng) Cho s¸u sè thùc a, b, c, d, e, f tho¶ m·n hÖ
ph­¬ng tr×nh 
|d+ e− a− b| = √3 · (|b− a|+ |e− d|)
|e+ f − b− c| = √3 · (|c− b|+ |e− f |)
|f + a− c− d| = √3 · (|c− d|+ |f − a|)
Chøng minh r»ng a+ c+ e = b+ d+ f .
93. Cho n lµ mét sè nguyªn d­¬ng ch½n. KÝ hiÖu w = cos
2kpi
n+ 1
+ i · sin 2kpi
n+ 1
lµ mét c¨n bËc n+ 1 cña 1 kh¸c víi 1. KÝ hiÖu
ak =
(
cos
2kpi
n+ 1
)n
Chøng minh r»ng
1 + a1w + a2w
2 + · · ·+ anwn 6= 0
Hµ Duy H­ng C¸c bµi to¸n ®¹i sè trong c¸c cuéc thi Olympic To¸n.15
1.2 C¸c ®¼ng thøc L­îng gi¸c
1. Chøng minh c¸c ®ång nhÊt thøc sau
• cos a+ cos b = 2 cos(a+b
2
) · cos(a−b
2
)
• cos a− cos b = −2 sin(a+b
2
) · sin(a−b
2
)
• sin a+ sin b = 2 sin(a+b
2
) · cos(a−b
2
)
• sin a− sin b = 2 cos(a+b
2
) · sin(a−b
2
)
• tan a+ tan b = sin(a+b)
cos a·cos b
• cos a · cos b = 1
2
[cos(a+ b) + cos(a− b)]
• sin a · cos b = 1
2
[sin(a+ b) + sin(a− b)]
• cos(a+ b) · cos(a− b) = cos2 a− sin2 b
• (cos a+ cos b)2 + (sin a+ sin b)2 = 4 cos2 a−b
2
• (cos a− cos b)2 + (sin a− sin b)2 = 4 sin2 a−b
2
• cos(a+ b) = cos a · cos b− sin a · sin b
• cos(a− b) = cos a · cos b+ sin a · sin b
• sin(a+ b) = sin a · cos b+ cos a · sin b
• sin(a− b) = sin a · cos b− cos a · sin b
• sin 2a = 2 sin a · cos a
• cos 2a = cos2 a− sin2 a = 2 cos2 a− 1 = 1− 2 sin2 a
• cos2 a+ sin2 a = 1
• tan 2a = 2 tan a
1−tan2 a
• sin 3a = 3 sin a− 4 sin3 a
• cos 3a = 4 cos3 a− 3 cos a
• tan 3a = 3 tan a−tan3 a
1−3tg2a
• tan a− tan b = sin(a−b)
cos a·cos b
• cot a+ cot b = sin(a+b)
sin a·sin b
• cot a− cot b = sin(b−a)
sin a·sin b
2. Cho tan a
2
= 4 tan b
2
, chøng minh r»ng ta cã ®¼ng thøc
tan
a− b
2
=
3 sin b
5− 3 cos b
3. Cho a cosx+ b cos y = a cos(x+ z) + b cos(y + z) = 0 víi z 6= kpi. Chøng
minh r»ng víi mäi sè thùc t ∈ R ta cã ®¼ng thøc
a cos(x+ t) + b cos(y + t) = 0
Hµ Duy H­ng C¸c bµi to¸n ®¹i sè trong c¸c cuéc thi Olympic To¸n.16
4. Chøng minh r»ng ta cã c¸c ®¼ng thøc sau ®©y
• tan4 a = cos 4a−4 cos 2a+3
cos 4a+4 cos 2a+3
• 1
2
· cot4 a = sin2 2a+4 sin2 a−4
1−8 sin2 a−cos 4a
• cot a− tan a− 2 tan 2a− 4 tan 4a = 8 cot 8a
• cos6 a− sin6 a = (3+cos2 2a) cos 2a
4
• 2(sin6 a+ cos6 a)− 3(sin4 a+ cos4 a) + 1 = 0
• 1+sin 2a
sin a+cos a
− 1−tan2 a2
1+tan2 a
2
•
√
1+cos a+
√
1−cos a√
1+cos a−√1−cos a = cot(
a
2
+ pi
4
)
5. Cho sin(a+ 2b) = 2 sin a . Chøng minh r»ng tan(a+ b) = 3 tan b
6. Cho
sin(x− α)
sin(x− β) =
a
b
cos(x− α)
cos(x− β) =
a1
b1
víi ab1 + a1b 6= 0 . Chøng minh r»ng
cos(α− β) = aa1 + bb1
ab1 + a1b
7. Cho hµm f(x) = a sin x + b cosx tho¶ m·n ®iÒu kiÖn cã hai sè thùc x1, x2
sao cho x1 − x2 6= k · pi (k ∈ Z) mµ f(x1) = f(x2) = 0 . Ch