Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán Lớp 4 - Chuyên đề: Các phân số nằm giữa hai số

CÁC PHÂN SỐ NẰM GIỮA HAI SỐ
Một dạng toán khá thú vị là yêu cầu tìm các phân số nằm giữa hai số cho trước. Một lưu ý với các bạn là : giữa hai số cho trước bất kì bao giờ cũng có rất nhiều phân số. Nếu không có yêu cầu gì thêm về các phân số này thì chúng ta sẽ không bao giờ viết hết các phân số nằm giữa hai số cho trước.
Thí dụ 1 : Hãy thử tìm 3 phân số nằm giữa 3/7 và 5/7.
Nhiều bạn cho là “Làm gì có phân số nào ở giữa hai phân số này ?”. Ta thử nhân cả tử và mẫu của hai phân số với 2 thì được 8/14 và 10/14. Đến đây thì các bạn “ kiếm” ngay được 9/14. Nếu nhân tiếp tử và mẫu của hai phân số trên với 2 thì được 16/28 và 20/28. Thế là các bạn kể ra ngay được 3 phân số thỏa mãn bài toán là 17/28, 18/28, 19/28. Cứ tiếp tục như vậy các bạn có thể viết ra bao nhiêu phân số nữa cũng được.
Thí dụ 2 : Hãy viết tất cả các phân số nằm giữa 1/3 và 16/27 mà mẫu số là 9.
Giải : Ta có1/3 = 9/27 . Các phân số lớn hơn 9/27 và nhỏ hơn 16/27 là : 10/27, 11/27, 12/27, 13/27, 14/27, 15/27. Trong các tử số chỉ có 12 và 15 chia hết cho 3 nên chỉ có hai phân số thỏa mãn bài toán là : 12/27 = (12 : 3)/(27 : 3) = 4/9 và 15/27 = (15 : 3)/(27 : 3) = 5/9.
Thí dụ 3 : Có bao nhiêu phân số nằm giữa 5/6 và 6/7 mà tử số nhỏ hơn 2004 ?
Ta có 2004 : 6 = 334 nên viết . 6/7 = (6 x 334)/(7 x 334) = 2004/2338.
Mặt khác : 5/6 = (5 x 2338/6 )/2338 = (1948 1/3)/2338.
Do đó các phân số thỏa mãn bài toán có mẫu là 2338 và tử là các số tự nhiên từ 1949 đến 2003. Vậy số các phân số thỏa mãn bài toán là :
2003 - 1949 + 1 = 55 (số).
Các bạn có thể giải các bài toán trên bằng cách khác. Sau đây là một vài bài toán để các bạn thử giải :
Bài 1 : Hãy viết 5 phân số nằm giữa 2 phân số 2002/2003 và 2003/2004.
Bài 2 : Viết các phân số nằm giữa 1 và 2 mà tử số là 5.
Bài 3 : Có bao nhiêu phân số nằm giữa 2003 và 2004 có mẫu lớn hơn 50?
Lê Hồng Gấm (Giáo viên trường TH Tây Tựu, Từ Liêm, Hà Nội)