Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán - Phần Dãy số

 Trang 1 
DÃY SỐ 
1. Lý thuyết cơ bản 
Các bài toán về dãy số có nội dung khá đa dạng. Ở đây ta quan tâm đến 2 dạng chính: 
1) Các bài toán tìm công thức tổng quát của một dãy số, tính tổng các số hạng của một dãy số 
(bản chất đại số) 
2) Các bài toán tìm giới hạn dãy số (bản chất giải tích) 
Với loại toán thứ nhất, chúng ta có một số kiến thức cơ bản làm nền tảng như: 
1) Các công thức về cấp số cộng, cấp số nhân 
2) Phương pháp phương trình đặc trưng để giải các phương trình sai phân tuyến tính với hệ số 
hằng (thuần nhất và không thuần nhất) 
Các phương pháp cơ bản để giải các bài toán dãy số ở loại thứ nhất là bằng các biến đổi đại số, 
đưa bài toán về các bài toán quen thuộc, tính toán và đưa ra các dự đoán rồi chứng minh bằng quy 
nạp toán học. Trong một số bài toán, phép thế lượng giác sẽ rất có ích. 
Với các bài toán tính tổng hoặc đánh giá tổng, ta dùng phương pháp sai phân. Cụ thể để tính tổng 
 Sn = f(1) + f(2) +  + f(n) 
ta đi tìm hàm số F(k) sao cho f(k) = F(k+1) – F(k). Khi đó 
Sn = F(2) – F(1) + F(3) – F(2) +  + F(n+1) – F(n) = F(n+1) – F(1) 
Với loại toán thứ hai, ta cần nắm vững định nghĩa của giới hạn dãy số và các định lý cơ bản về 
giới hạn dãy số, bao gồm: 
1) Định lý Veierstrass: Dãy đơn điệu và bị chặn thì hội tụ. 
2) Định lý kẹp: Nếu xn  yn  zn với mọi n  n0 và azx n
n
n
n


limlim thì ayn
n


lim . 
3) Tiêu chuẩn Cô-si: Dãy {xn} có giới hạn hữu hạn khi và chỉ khi với mọi  > 0, tồn tại số tự 
nhiên N sao cho với mọi m, n  N ta có |xm – xn| < . 
Một trong những dạng dãy số thường gặp nhất là dãy số xác định bởi x0 = a, xn+1 = f(xn) với f là 
một hàm số nào đó. Và với loại dãy số này, câu hỏi thường gặp nhất là: 
1) Chứng minh dãy số {xn} có giới hạn hữu hạn 
2) Tìm tất cả các giá trị của a sao cho dãy số {xn} có giới hạn hữu hạn 
Để giải các bài toán dạng này, ta có một số tính chất cơ bản sau 
1) Nếu f là hàm số tăng thì dãy {xn} sẽ là dãy đơn điệu. 
2) Nếu f là hàm số giảm thì các dãy {x2n} (dãy với chỉ số chẵn) và {x2n+1} (dãy với chỉ số lẻ) sẽ là 
các dãy đơn điệu. 
3) Nếu với mọi x, y ta có |f(x) – f(y)|  q|x-y| với q là hằng số 0 < q < 1 và {xn} bị chặn thì {xn} 
hội tụ. Đặc biệt nếu |f’(x)|  q < 1 thì ta luôn có điều này. 
Một trường hợp đặc biệt của dãy số dạng xn+1 = f(xn) là dãy số dạng xn+1 = xn + a(xn)
. Với dãy số 
dạng này thì giới hạn của {xn} thường bằng 0 hoặc bằng  (một cách hiển nhiên), do đó người ta 
 Trang 2 
thường nghiên cứu thêm “bậc của 0” cũng như “bậc của ” của các dãy số này. Với dãy số dạng 
này, định lý dưới đây sẽ rất có ích: Định lý (Cesaro). Nếu axx nn
n


)(lim 1 thì .lim a
n
xn
n


2. Một số bài tập có lời giải 
Bài toán 1. Chứng minh rằng mọi số hạng của dãy số {an} xác định bởi a0 = 1, 
232 21  nnn aaa đều nguyên. 
Lời giải. Chuyển vế và bình phương công thức truy hồi, ta được 
 an+1
2 – 4anan+1 + 4an
2 = 3an
2 – 2 
 an+1
2 – 4anan+1 + an
2 + 2 = 0 
Thay n bằng n-1, ta được 
 an
2 – 4anan-1 + an-1
2 + 2 = 0 
Từ đây suy ra an-1 và an+1 là hai nghiệm của phương trình x
2 – 4anx + an
2 + 2 = 0. Suy ra an+1 + an-
1 = 4an hay an+1 = 4an – an-1. Từ đây suy ra tất cả các số hạng trong dãy đều nguyên, vì a0 = 1 và a1 
= 3 nguyên. 
Bài toán 2. Cho dãy số {an} xác định bởi a1 = 1, a2 = 2 và an+2 = 2an+1 – an + 2 với mọi n  1. 
Chứng minh rằng với mọi m, amam+1 cũng là một số hạng của dãy số. 
Lời giải. Ta có 
 an+2 = 2an+1 – an + 2 
Thay n bằng n-1, ta được 
 an+1 = 2an – an-1 + 2 
Trừ hai đẳng thức vế theo vế, ta được 
 an+2 – 3an+1 + 3an – an-1 = 0 
Phương trình đặc trưng x3 – 3x2 + 3x – 1 = 0 có nghiệm bội 3 x1,2,3 = 1 nên ta có nghiệm tổng 
quát an có dạng an = an
2 + bn + c. Thay n = 1, 2, 3 ta được 
 a + b + c = 1 
 4a + 2b + c = 2 
 9a + 3b + c = 5 
Từ đó giải ra được a = 1, b = -2, c = 2. Vậy an = n
2 – 2n + 2 = (n-1)2+1. Do đó amam+1 = ((m-
1)2+1)(m2+1) = (m2 – m + 1)2 + 1 = a_{m2-m+2}. 
Bài toán 3. (Nghệ An 2009) Cho dãy số thực {xn} xác định bởi nnn xxxx   122,1 10 
với mọi n  N. Ta xác định dãy {yn} bởi công thức 


n
i
i
in Nnxy
1
*.,2 Tìm công thức tổng 
quát của dãy {yn}. 
Lời giải. Ta có 
 21 )11(122  nnnn xxxx 
Từ đó tính được 
    22/1
2
2
2
1 12,...,12,12 


 
n
nxxx 
 Trang 3 
Ta viết 
nn
nx
x
x
x
2/12/1
8/14/1
3
4/1
2
1
2.221
...
.2.221
2.221
,2221
1





Nhân đẳng thức đầu với 2, đẳng thức thứ hai với 22, đẳng thức thứ ba với 23  đẳng thức thứ n 
với 2n rồi cộng vế theo vế, chú ý đến những sự giản ước, ta được. 
 2)21(22.242...42 2/112/11  
nn nnn
ny . 
Bài toán 4. Cho dãy số un xác định bởi 
 .
21
2
,2 11
n
n
n
u
u
uu


  
 a) Chứng minh rằng un  0 với mọi n nguyên dương 
 b) Chứng minh dãy không tuần hoàn 
Lời giải. 
Gọi  là góc sao cho tg() = 2 thì u1 = tg(), u2 = 2tg()/(1-tg
2) = tg(2), , un = tg(n). 
a) Từ công thức tính un ta suy ra u2n = 2un/(1-un
2). Từ đó suy ra nếu tồn tại n để un = 0 thì sẽ tồn 
tại n lẻ để un = 0. Giả sử u2k+1 = 0. Khi đó u2k = -2 và ta có 
 -2 = u2k = 2uk/(1-u
2
k) => uk
2 + uk – 1 = 0 => mâu thuẫn vì lúc đó uk vô tỷ, trong khi đó theo 
công thức truy hồi thì uk luôn hữu tỷ. 
b) Dãy tuần hoàn thì phải tồn tại n và k sao cho tg(n) = tg(k)  (n-k) = m  un-k = 0. Điều 
này không xảy ra do kết quả câu a). 
Bài toán 5. Cho dãy số {xn} xác định bởi 20 x và 
nx
nx 21  với n=0, 1, 2,  Chứng minh 
rằng dãy {xn} có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó. 
Lời giải. Đặt nxxf )2()(  thì dãy số có dạng 20 x và xn+1 = f(xn). Ta thấy f(x) là hàm số tăng 
và 0
2
1 22 xx  . Từ đó, do f(x) là hàm số tăng nên ta có 
x2 = f(x1) > f(x0) = x1, x3 = f(x2) > f(x1) = x2,  Suy ra {xn} là dãy số tăng. Tiếp theo, ta chứng 
minh bằng quy nạp rằng xn < 2 với mọi n. Điều này đúng với n = 0. Giả sử ra đã có xk < 2 thì rõ 
ràng .222
2
1 
kx
kx Theo nguyên lý quy nạp toán học, ta có xn < 2 với mọi n. 
Vậy dãy {xn} tăng và bị chặn trên bởi 2 nên dãy có giới hạn hữu hạn. Gọi a là giới hạn đó thì 
chuyển đẳng thức 
nx
nx 21  sang giới hạn, ta được 
a
a 2 . Ngoài ra ta cũng có a  2. 
Xét phương trình )2ln(
ln
2 
x
x
x
x
. Khảo sát hàm số lnx/x ta thấy rằng phương trình trên 
chỉ có 1 nghiệm < e và một nghiệm lớn hơn e. Vì 2 là một nghiệm của phương trình nên rõ ràng 
chỉ có 1 nghiệm duy nhất của phương trình thoả mãn điều kiện  2. Từ đó suy ra a = 2. 
Vậy giới hạn của xn khi n dần đến vô cùng là 2. 
 Trang 4 
Bài toán 6. Cho dãy số {xn} xác định bởi x1  (1, 2) và xn+1 = 1 + xn – xn
2/2. Chứng minh rằng 
{xn} có giới hạn hữu hạn khi n dần đến vô cùng và tìm giới hạn đó. 
Lời giải. Giả sử xn có giới hạn là a thì a = 1 + a – a
2/2 từ đó suy ra a = .2 Ta sẽ dùng định 
nghĩa để chứng minh lim xn = .2 
Ta có |
2
12
||2||2
2
1||2|
2
1


n
n
n
nn
x
x
x
xx . 
Tiếp theo ta có thể chứng minh bằng quy nạp rằng 1 < xn < 3/2 với mọi n = 2, 3,  Từ đó, do 
.2 + 1/2 < 2 nên suy ra lim xn = 2. 
Bài toán 7. (Đề dự bị VMO 2008) Cho số thực a và dãy số thực {xn} xác định bởi: 
x1 = a và xn+1 = ln(3+cosxn + sinxn) – 2008 với mọi n = 1, 2, 3,  
Chứng minh rằng dãy số {xn} có giới hạn hữu hạn khi n tiến đến dương vô cùng. 
Lời giải. Đặt f(x) = ln(3+sinx+cosx) – 2008 thì 
xx
xx
xf
cossin3
sincos
)('


 
Từ đó, sử dụng đánh giá 2|cossin|,2|sincos|  xxxx ta suy ra 
 .1
23
2
|)('| 

 qxf 
Áp dụng định lý Lagrange cho x, y thuộc R, ta có 
 f(x) – f(y) = f’(z)(x-y) 
Từ đó suy ra |f(x) – f(y)|  q|x – y| với mọi x, y thuộc R. 
Áp dụng tính chất này với m > n  N, ta có 
 |xm – xn| = |f(xm-1) – f(xn-1)|  q|xm-1-xn-1|   q
n-1|xm-n+1 – x1|  q
N-1|xm-n+1 – x1|. 
Do dãy {xn} bị chặn và q 0 tồn tại N đủ lớn để q
N-1|xm-n+1 – x1| < . Như vậy 
dãy {xn} thoả mãn điều kiện Cauchy do đó hội tụ. 
Nhận xét. 
1) Thực chất trong lời giải trên, ta đã chứng minh lại các tính chất đã nêu trong phần lý thuyết 
(chỉ sử dụng tiêu chuẩn Cauchy). 
2) Nếu đánh giá chặt chẽ thì ta có thể chứng minh được 
7
2
|)('| xf . Tuy nhiên, với bài toán của 
chúng ta, đánh giá như trong bài giải là đủ. 
Bài toán 8. (VMO 2005). Cho dãy số {xn} xác định bởi x1 = a, xn+1 = 3xn
3 – 7xn
2 + 5xn. Tìm tất 
cả các giá trị a để dãy {xn} có giới hạn hữu hạn. 
Tóm tắt lời giải. 
Khảo sát hàm số y = f(x) = 3x3 – 7x2 + 5x và xét sự tương giao của nó với hàm số y = x, ta được 
đồ thị sau 
 Trang 5 
Từ đồ thị này (và bảng biến thiên), ta thấy 
1) x tăng trên (-, 5/9), (1, +) và giảm trên (5/9, 1) 
2) f(5/9) < 4/3 
3) f(x) = x khi và chỉ khi x = 0, 1, 4/3 
4) Với x > 4/3 hoặc 0 x. Với x < 0 hoặc 1 < x < 4/3 thì f(x) < x. 
Tiếp theo, ta có f((4/3, +)) = (4/3, +), f((1, 4/3)) = (1, 4/3), f((-, 0)) = (-, 0). Hơn nữa, trong 
các khoảng này f(x) là hàm số tăng. Như vậy, nếu a thuộc các khoảng này thì dãy {xn} sẽ đơn 
điệu. Cụ thể: 
a) Với a  (4/3, +) thì x2 = f(x1) = f(a) > a và f tăng trên khoảng này, do đó {xn} là dãy tăng. 
Nếu {xn} bị chặn trên thì {xn} phải có giới hạn hữu hạn  và  phải là nghiệm của phương trình 
f(x) = x, suy ra   {0, 1, 4/3}. Điều này mâu thuẫn vì do xn > x1 = a > 4/3 nên  = lim xn  a > 
4/3. Vậy {xn} không bị chặn trên, tức là {xn} không có giới hạn hữu hạn. 
b) Tương tự với a  (-, 0) thì {xn} giảm và cũng không có giới hạn hữu hạn. 
c) Với a  (1, 4/3) thì dãy {xn} giảm và bị chặn dưới bởi 1, do đó có giới hạn hữu hạn .  là 
nghiệm của phương trình f(x) = x và 1    a < 4/3, suy ra  = 1. 
Tiếp theo, ta nghiên cứu các đoạn còn lại: 
d) Với a = 0, 1, 4/3 thì {xn} là các dãy hằng và có giới hạn tương ứng là 0, 1, 4/3. 
e) Với a  [1/3, 1) thì x2 = f(x1) = f(a)  [1, 4/3), từ đó, áp dụng phần c, ta có dãy {xn}n=2 là dãy 
giảm và có giới hạn là 1. 
f) Cuối cùng, với a  (0, 1/3), ta chứng minh rằng tồn tại n sao cho xn > 1/3. Thật vậy, giả sử 
ngược lại thì an  1/3 với mọi n. Chú ý rằng khi đó do f là hàm tăng trên (0, 1/3) và x2 = f(x1) = 
 Trang 6 
f(a) > a = x1 nên dãy {xn} tăng. Dãy {xn} tăng và bị chặn trên bởi 1/3 nên có giới hạn hữu hạn  
và 0 < a    1/3. Điều này mâu thuẫn vì  chỉ có thể là 0, 1, 4/3! Vậy điều giả sử là sai. Vậy 
tồn tại n sao cho xn > 1/3. Gọi k là số nhỏ nhất thoả mãn điều kiện này thì ta có xk-1 < 1/3, suy ra 
xk = f(xk-1) < 1 suy ra xk+1 = f(xk)  (1, 4/3) và như thế, áp dụng c) cho dãy số {xn}n=k+1 ta có dãy 
này giảm và có giới hạn là 1, vì thế {xn} cũng có giới hạn là 1. 
Bài toán 9. Với n  2 gọi xn là nghiệm dương duy nhất của phương trình 
 xn = xn-1 + xn-2 +  + x + 1 
a) Chứng minh rằng lim xn = 2; 
b) Hãy tìm lim (2-xn)
1/n 
Lời giải. 
Sử dụng hằng đẳng thức xn – 1 = (x-1)( xn-1 + xn-2 +  + x + 1) ta viết phương trình lại dưới 
dạng 
 xn(x-2) + 1 = 0 
Từ đó suy ra 2-xn = 1/xn
n. 
Đặt Pn(x) = x
n – xn-1 – xn-2 -  - x – 1 thì 
 Pn+1(2) = 1 > 0 và Pn+1(xn) = xnPn(xn) – 1 = - 1, suy ra 2 > xn+1 > xn
. Như thế, ta luôn có 
 2-xn = 1/xn
n < 1/x1
n  0, suy ra 
lim xn = 2. Và cũng từ đây 
 (2-xn)
1/n = 1/xn  1/2. 
Bài toán 10. (Romania 2007) Cho a  (0, 1) và dãy số {xn} xác định bởi x0 = a, xn+1 = xn(1-xn
2) 
với mọi n = 0, 1, 2,  Hãy tính ..lim n
n
xn

Phân tích. Dạng nxn gợi cho chúng ta nhớ đến định lý trung bình Cesaro. Tuy nhiên để dãy 
thực sự có dạng này (xn/n) ta phải xét bình phương của dãy và nghịch đảo lại, tức là 1/nxn
2. Từ đó 
dẫn đến việc xét hiệu 1/xn+2
2 – 1/xn
2. 
Lời giải. Dễ dàng chứng minh được rằng dãy xn giảm và bị chặn dưới bởi 0. Từ đó dãy {xn} có 
giới hạn hữu hạn. Chuyển hệ thức truy hồi sang giới hạn, ta dễ dàng tính được lim xn = 0. 
Xét 2
)1(
2
)1(
)1(11
22
2
2222
2222
22
1







 n
n
nnn
nnn
nn x
x
xxx
xxx
xx
Từ đó, theo định lý trung bình Cesaro (xem bài tập 6 dưới đây) ta suy ra 
 2
1
lim
2


n
n nx
Suy ra .
2
1
.lim 

n
n
xn 
3. Bài tập tự giải 
Bài 1. (Cần Thơ 2009) Cho dãy số {an} xác định bởi công thức truy hồi a1 = 1/2, 
12
2
1


nn
n
n
aa
a
a . 
Chứng minh rằng a1 + a2 +  + an < 1 với mọi số nguyên dương n. 
 Trang 7 
Bài 2. (Moldova 2007) Cho dãy {xn} xác định bởi e
n
nxn








1
1 . Chứng minh rằng dãy {xn} có 
giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó. 
Bài 3. (Hà Tĩnh 2009) Cho dãy {xn} biết 
2
1
,
2
1 2
11

 
n
n
x
xx với mọi n = 1, 2, 3,  Tìm giới 
hạn của dãy {xn} khi n dần tới vô cùng. 
Bài 4. (Bà Rịa Vũng Tàu 2009) Cho dãy số xác định bởi 2008
)1(2
1
,1
211


 
n
n
x
xx . Chứng 
minh rằng {xn} có giới hạn hữu hạn khi n dần đến vô cùng. 
Bài 5. (Hải Phòng 2009) Cho dãy {un} thoả mãn: 
2008
,1
2
11
n
nn
u
uuu   . Hãy tính 
 
 

n
i i
i
n u
u
1 1
lim . 
Bài 6. Cho dãy số {xn} thoả mãn điều kiện lim (xn+1-xn) = 0. Chứng minh rằng lim xn/n = 0. Từ 
đây suy ra định lý Cesaro và định lý trung bình Cesaro: Nếu lim xn = a thì lim (x1+x2++xn)/n = 
a. 
Bài 7. (PTNK 1999) Cho a > 1 và dãy số {xn} được xác định như sau: n
x
n axax  11 , với mọi n 
 1. Hãy xác định tất cả các giá trị của a để dãy {xn} hội tụ. 
Bài 8. Dãy số {xn} với n = 1, 2, 3, được xác định bởi ,...3,2,1,2
2
1
,3 211   nxxxx nnn 
Tìm giới hạn của dãy {Sn} với 


n
i i
n
x
S
1
.
1
Bài 9. Cho dãy số {xn} xác định bởi 
13
2
,
2
3
11

 
n
n
n
x
x
xax với mọi n  1. Tìm tất cả các giá trị của 
a để dãy số xác định và có giới hạn hữu hạn. 
Bài 10. (Canada 1976) Dãy số thực x0, x1, x2, ... được xác định bởi x0 = 1, x1 = 2, n(n+1) xn+1 = 
n(n-1) xn - (n-2) xn-1. Hãy tìm x0/x1 + x1/x2 + ... + x50/x51.