Bồi dưỡng Toán 9 đề 17

ĐÁP ÁN ĐỀ 17
Bài 1: Cho các số dương a, b thỏa mãn: a+b≥2. 
Chứng minh rằng: a3+b3≥a+b
Lời giải:
Ta có:2 a3+b3-a+ba+b 
	=2a+ba-ab+b-a+ba+b 
	=a+ba-b 2≥0 
Từ đó suy ra: a3+b3≥a+b2a+b≥a+b.
ĐPCM.
Bài 2: Giả sử x, y là các số thỏa mãn đẳng thức:
x2+5+xy2+5+y=5
Tính giá trị của biểu thức S = x + y
Lời giải:
Ta có: x2+5+xy2+5+y=5 
⟹x2+5-xx2+5+xy2+5+y=5(x2+5-x) 
⟹5y2+5+y=5(x2+5-x) 
⟹y2+5+y=x2+5-x 	(1)
Tương tự như vậy, ta cũng có: y2+5-y=x2+5+x	(2)
Trừ vế theo vế hai đẳng thức (1) và (2) ta được: 2y = –2x ⟹x + y = 0
Vậy x + y = 0
Bài 3: Cho phương trình ax2 + bx + c = 0 có hai nghiệm là x1 và x2 thỏa mãn ax1 + bx2 + c = 0. Tính giá trị của biểu thức: M = a2c + ac2 + b3 – 3abc
Lời giải:
Ta có: ax1 + bx2 + c = 0 ⟹ (ax1 + bx2 + c)(ax2 + bx1 + c) = 0
⟹(a2 + b2)x1x2 + ab(x12+x22) + (ac + bc)(x1 + x2) + c2 =0	(1)
Vì x1, x2 là hai nghiêm của phương trình ax2 + bx + c = 0 nên:
x1x2 = ca, x1 + x2 = -ba và ta có: x12+x22 = (x1 + x2)2 – 2x1x2 = b2-2aca2 	(2)
Thay (2) vào (1) ta suy ra: a2+b2ca+abb2-2aca2-ac+bcba+c2=0
⟹ a2c + ac2 + b3 – 3abc = 0
Vậy M = 0
Bài 4: Cho các số thực dưong a, b, c thỏa mãn a + b + c = 6. Chứng minh rằng:
 	b+c+51+a+c+a+42+b+a+b+33+c≥6 
Lời giải:
Bổ đề: Cho các số thực dương x, y, z. 
Chứng minh rằng:x +y+z1x+1y+1z≥9 	(1)
Chứng minh bổ đề:
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 số thực dương, ta có:
x +y+z≥33xyz và: 1x+1y+1z≥331x1y1z 
Nhân vế theo vế hai bất đẳng thức trên, ta được (1). Bổ đề được chứng minh.
Áp dụng bổ đề vào bài toán đã cho, ta có:
1+a + 2+b + 3+c11+a+12+b+13+c≥9 
⟺a+b+c+61+a+a+b+c+62+b+a+b+c+63+c≥9 
⟺b+c+51+a+1+1+c+a+42+b+1+a+b+33+c≥9 
⟺b+c+51+a+c+a+42+b+a+b+33+c≥6 . ĐPCM.
Bài 5: Cho đường tròn (O) và dây AB, M là điểm chuyển động trên đường tròn.Từ M kẻ MH vuông góc với AB(H ∈ AB). Gọi E và F là hình chiếu của H trên MA và MB. Qua M kẻ đường vuông góc với EF cắt dây AB tại D
a) Chứng minh rằng đường thẳng MD luôn đi qua 1 điểm cố định khi M thay đổi trên đường tròn.
b) Chứng minh MA2MB2=AHBD.ADBH 
Lời giải:
a) Vì MD vuông góc với EF nên:
∠BMD = 900 – ∠MFE	(1)
Mặt khác, vì tứ giác MEHF là tứ giác nội tiếp
(∠MFH + ∠MEH = 900 + 900 = 1800) nên
∠MFE = ∠MHE	(2)
Lại có: ∠MHE = ∠MAH(Cùng phụ với AMH)	(3)
Từ (1), (2), (3) suy ra: ∠BMD = 900 – ∠MAH = 900 – ∠MAB = ∠BMO
⟹Đường thẳng MD đi qua O là điểm cố định
b) Dễ dàng nhận thấy:
∠BMO = ∠AMH = 900 – ∠MAB
∠AMO =∠BMH = 900 – ∠MBA
Ta có:	DADB=SDMASDMB=MA.MD.sin∠AMDMB.MD.sin∠BMD=MA.sin∠AMDMB.sin∠BMD=MA.sin∠BMHMB.sin∠AMH 	(4)
Và sin∠BMHsin∠AMH=HBMB:HAMA=HBHA.MAMB 	(5)
Thay (5) vào (4) ta được:
DADB=MA2MB2.HBHA⟹MA2MB2=DADB.HAHB	 ĐPCM.