Bồi dưỡng Toán 9 đề 18

Bài 1: Tích của 1 nghiệm của phương trình x2 + ax + 1 = 0 với 1 nghiệm của phương trình x2 + bx + 1 = 0 là nghiệm của phương trình x2 + cx + 1 = 0. Tìm hệ thức liên hệ giữa a, b và c.
Lời giải:
Gọi x1, x3 và x1x3 lần lượt là nghiệm của các phương trình x2 + ax + 1 = 0, x2 + bx + 1 = 0 và x2 + cx + 1 = 0 theo như giả thiết ban đầu của bài toán.
Dễ dàng nhận thấy x2=1x1, x4=1x3 và x2x4=1x1x3 lần lượt là các nghiệm còn lại của các phương trình trên.
Ta có: -ax1=x12+1 và –bx3=x32+1
⟹abx1x3=(x12+1)x32+1=x12x32+1+x12+x32=-cx1x3+x12+x32 
Tương tự như vậy, ta có: abx2x4=-cx2x4+x22+x42
⟹abx1x3+x2x4=-cx1x3+x2x4+x12+x32+x22+x42 
⟹abx1x3+x2x4 
=-cx1x3+x2x4+x1+x22-2x1x2+x3+x42-2x3x4	 (1)
Ta có: x1 + x2 = –a, x3 + x4 = –b, x1x3 + x2x4 = –c và x1x2 = 1, x3x4 = 1.	 	 (2)
Thay (2) vào (1) ta suy ra:
-abc=c2+a2-2+b2-2 
Hay là a2 + b2 + c2 + abc = 4
Vậy a2 + b2 + c2 + abc = 4 là hệ thức liên hệ giữa a, b và c
Bài 2: Tính giá trị của biểu thức: P=x5-4x3-3x+9x4+3x2+9 với xx2+x+1=14
Lời giải:
Ta có: xx2+x+1=14⟹x2-3x+1=0⟹x2=3x-1	(1)
Từ đẳng thức (1) suy ra: 
x3 = 3x2 – x = 3(3x – 1) – x = 8x – 3
x4 = 3x3 – x2 = 3(8x – 3) – (3x – 1) = 21x – 8
x5 = 3x4 – x3 = 3(21x – 8) – (8x – 3) = 55x – 21
⟹P=x5-4x3-3x+9x4+3x2+9=55x – 21-48x-3-3x+921x-8+33x-1+9=20x30x=23 
Vậy P = 23
Bài 3: Chứng minh rằng abc+1-a1-b(1-c)<1 ∀ a, b, c ∈(0,1)
Lời giải:
Ta có: abc-3abc=3abc6abc-1<0 ∀ a, b, c ∈(0,1)
⟹abc<3abc 
Lại có 3abc≤a+b+c3
Suy ra: abc<a+b+c3 	(1)
Tương tự như vậy, ta có:
 1-a1-b(1-c)<31-a1-b(1-c)≤1-a+1-b+(1-c)3	(2)
Cộng vế theo vế hai bất đẳng thức (1) và (2) ta được ĐPCM.
Bài 4: Cho a, b, c là độ dài các cạnh và p là nửa chu vi của một tam giác. 
Chứng minh rằng: 	 1p-a+1p-b+1p-c≥2(1a+1b+1c)
Lời giải:
Đặt x = p – a, y = p – b, z = p – c. Khi đó x, y, z là các số dương và:
 a = y + z, b = z + x, c = x + y
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:
y+z≥2yz và 1y+1z≥21y.1z 
⟹y+z1y+1z≥4 
⟹1y+1z≥4y+z 
Tương tự như vậy, ta có 1z+1x≥1z+x và 1x+1y≥4x+y
Cộng vế theo vế 3 bất đẳng thức trên rồi rút gọn, ta được:
 1x+1y+1z≥2(1y+z+1z+x+1x+y)
Hay là 1p-a+1p-b+1p-c≥2(1a+1b+1c)
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c, tức tam giác đã cho là tam giác đều.
Bài toán được chứng minh.
Bài 5: Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. Một góc 450 quay xung quanh đỉnh A và nằm bên trong hình vuông cắt cạnh BC, CD lần lượt tại M và N
a) Chứng minh rằng a(BM + DN) + BM.DN = a2
b) Đường thẳng AM cắt đường thẳng CD tại E. Chứng minh 1AM2+1AE2=1a2
Lời giải:
a) Trên tia đối của tia DC lấy điểm F sao cho FD = BM
Dễ dàng nhận thấy ΔABM = ΔADF(cạnh, góc, cạnh)
⟹AF = AM
Mặt khác:
∠NAF = ∠NAD + ∠DAF = ∠NAD + ∠MAB = ∠BAD – ∠MAN = 900 – 450 = 450
Từ đó suy ra: ΔMAN = ΔFAN(cạnh, góc, cạnh)
⟹MN = FN =BM + DN
Xét tam giác vuông CMN, ta có: MN2 = CM2 + CN2
⟺(BM + DN)2 = (a – BM)2 + (a – DN)2 	(1)
Khai triển (1) rồi rút gọn, ta được: a(BM + DN) + BM.DN =a2. ĐPCM
b)Ta có: ∠EAF = ∠MAN + ∠NAF = 450 + 450 = 900
⟹ΔEAF là tam giác vuông
⟹1AE2+1AF2=1AD2 (Hệ thức lượng trong tam giác vuông) 
Hay là:1AE2+1AM2=1a2 .ĐPCM.