Các bài toán liên quan khảo sát hàm số

CHỦ ĐỀ 1 :CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN KSHS
Bài toán 1 :Viết PTTT với đồ thị ( C ) tại điểm M0(x0;y0) thuộc ( C ) 
 @ PTTT có dạng (d) : y – y0 = f’(x0) (x – x0)
@ Tìm x0 , y0 , f’(x0) theo sơ đồ : x0 Þ y0 Þ f’(x0)
 f’(x0) Þ x0 Þ y0 
 @Thế vào tìm (d)
Bài toán 2 : Viết PTTT với đồ thị ( C ) đi qua điểm A(xA;yA)
@ Pt dường thẳng (d) đi qua điểmA và có hệ số góc k là : (d) : y – yA = k (x – xA)
@ (d) tiếp xúc với ( C ) 
 @ Giải hệ tìm k Þ x0 Þ y0 Þ (d)
Bài toán 3 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi ( C ) : y = f (x) , đường thẳng (d) : y = g(x) và các đường x = a , x = b
B1 : Ta có S = 
B2 : Khử dấu GTTĐ ( bằng các cách sau :dựa vào đồ thị ; xét dấu biểu thức trong dấu GTTĐ ; đưa dấu GTTĐ ra khỏi dấu tích phân )
B3 : Tính 
* Chú ý : Kết quả là số dương
 Chưa đủ 4 đường thì tìm cho đủ bằng cách lập pt hoành độ điểm chung ( hoặc pt tung độ điểm chung )
 Bài toán 4 : Tính diện tích hình tròn xoay
Hinh phẳng :
Có thể tích là : V = 
Hinh phẳng :
Có thể tích là : V = 
* Bình phương hàm số f(x) rồi tính
Bài toán 5 : Dựa vào đồ thị biện luận số nghiệm của phương trình g(x) = 0
B1 : Đưa phương trình g(x) = 0 về dạng f(x) = m ( hoặc f(x) = m + C ) (1)
 với f(x) là đồ thị ( C ) của hàm số vừa khảo sát ở trên 
B2 : (1) là pt hoành độ điểm chung của ( C ) và đường thẳng (d) :y = m (hoặc (d) :y = m + C )
 Số nghiệm của (1) = số giao điểm của ( C ) và (d)
B3 : Dựa vào đồ thị ta có : 5 trường hợp ( sử dụng các giá trị yCT , y CĐ trong BBT ) 
 * m < ?
 * m = ?
 * ? < m < ??
 * m = ??
 * m > ??
* Có thể chỉ hỏi 1 trường hợp ( VD : dựa vào đồ thị tìm các giá trị của m để pt trình có 4 nghiệm phân biệt) 
Bài toán 6 : Biện luận số giao điểm của hai đường y = f(x) và y = g(x)
B1 : PT hoành độ điểm chung : f(x) = g(x) (1) Thu gọn lại
B2 : Biện luận
*Nếu (1) là PT : ax + b = 0
Biện luận 2 trường hợp :
 a = 0 : Þ giá trị tham số m, thế vào PT, kết luận nghiệm Þ số giao điểm
 a¹ 0 : Þ giá trị m Þ 1 ngiệm Þ 1 giao điểm
*Nếu (1) là PT : ax2 + bx + c = 0
Biện luận 2 trường hợp :
 a = 0 : Þ giá trị tham số m, thế vào PT, kết luận nghiệm Þ số giao điểm
 a¹ 0 : Þ giá trị m ; tính D ( hoặc D’) ; xét dấu D ( hoặc D’) Þ số giao điểm
Bài toán 7 :Tìm m để hàm số tăng ( hoặc giảm ) trên R hay trên từng khoảng xác định
B1 : TXĐ
B2 : Tính y’
B3 : Để hàm số tăng hoặc giảm trên R 
Bài toán 8 : Xác định m để hàm số có cực trị ( hoặc có CĐ và CT )
B2 : y’
B3 : Để HS có cực trị thì PT y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt Þ D > 0 ( hoặc D’ > 0)
B4 : Giải BPT tìm m ( nếu bậc 1 thì chuyển vế , nếu bậc 2 thì xét dấu D ( hoặc D’)
Bài toán 9 : Xác định m để hàm số có cực trị ( hoặc có CĐ và CT )
B2 : y’
B3 : Để HS có cực trị thì PT y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt Þ D > 0 ( hoặc D’ > 0)
B4 : Giải BPT tìm m ( nếu bậc 1 thì chuyển vế , nếu bậc 2 thì xét dấu D ( hoặc D’)
Bài toán 10 : Tìm m để đồ thị ( Cm ) nhận điểm uốn có hoành độ là x0 
B1 : TXĐ
B2 : Tính y’ , y’’
B3 : Để đồ thị có điểm uốn tại x0 thì y’’ (x0) = 0 : giải PT tìm m
B4 : (Thử lại) Thế m vào y’’ = 0 . Nếu tại x0 đồ thị có điểm uốn thì nhận m
Bài toán 11 : Tìm m để đồ thị nhận điểm I(x0 ;y0) làm điểm uốn
B1 : TXĐ
B2 :y’ ; y’’
B3 : I(x0 ;y0) là điểm uốn Giải hệ tìm m
Bài toán 12 : Tìm m để đồ thị ( C ) :y = f(x) cắt đường thẳng d : y = g(x) tại 3 điểm phân biệt (đối với Hàm bậc 3 )
 B1 : PT hoành điểm điểm chung f(x) = g(x) Tìm 1 nghiệm đặc biệt x0.
B2 : Chia đa thức đưa về dạng :(x – x0)( Ax2 + Bx + C ) = 0 (1)
 Û
 B3 : ( Cm ) cắt d tại 3 điểm phân biệt Û (1) có 3 nghiệm pb
 Û (2) có 2 nghiệm khác x0
Bài toàn 13 : Tìm m để hàm trùng phương có 1 cực trị ( hoặc có 3 cực trị)
@ TXĐ @ Tính :y’ 
@ Để hs có 1 cực trị ( hoặc có 3 cực trị ) thì pt y’ = 0 có 1 nghiệm ( hoặc có 3 nghiệm pb)
@ Giài phương trình tìm m ( Phân tích pt bậc 3 thành tích của pt bậc 1 và pt bậc 2)
* Cách khác : Để hs có 1 cực trị thì a và b trái dấu ( a.b < 0) 
 Để hs có 3 cực trị thì a và b cùng dấu ( a.b > 0)
Bài toán 14 : Tìm m để đồ thị ( Cm ) :y = f(x) cắt đường thẳng d : y = g(x) tại 4 điểm phân biệt (đối với Hàm bậc 4)
@ PT hoành điểm điểm chung f(x) = g(x) . Đưa về PT trùng phương (1)
@ Đặt t = x2 (t ³ 0) . PT trở thành at2 + bt + c = 0 (2)
@ ( Cm )  cắt đường thẳng d  tại 4 điểm phân biệt Û (1) có 4 nghiệm pb
 Û (2) có 2 nghiệm dương pb
 Û 0 < t1< t2 
 Û
B4 : Giải hệ 3 BPT tìm m
Bài toán 15 : Tìm tát cả các điểm trên đồ thị có toạ độ nguyên (x, y là số nguyên) ( đối với hàm phân thức)
@ Chia tử cho mẫu để được dạng :y = Ax + 
@ Để x, y là số nguyên thì phải là số nguyên Þ (cx + d) là ước của B Þ x Þ y Þ điểm M(x ; y) VD : là số nguyên Þ (x – 1) là ước của 4 Þ 
Bài toán16 :Tìm tập hợp điểm
@ Tìm toạ độ điểm M cần tìm
Bài toán 17 : Xác định m để hàm số có cực trị ( hoặc có CĐ và CT ) tại M(x0 ; y0)
B1 : TXĐ
B2 : y’
B3 : Để HS có cực trị ( hoặc có CĐ và CT ) tại M thì : 
B4 : Giải hệ PT tìm m 
B5 : Thử lại (thế m vào pt y’ = 0 Þ x ; Vẽ BBT nếu tại M hàm số thoả yêu cầu đề thì nhận m)
Bài toán 18 : Xác định m để (Cm) luôn lồi ( hoặc lõm) :( đối với hàm trùng phương)
@ TXĐ
@ Tính :y’ ; y’’
@ Để đồ thị hs lồi (hoặc lõm) thì : y’’£ 0 , "x ( hoặc y’’³ 0 , "x )
 Þ D £ 0 ( hoặc D ³ 0) ; D của y’’
@ Giải bpt tìm m
Bài toàn 19 : Tìm m để hàm trùng phương có 1 cực trị ( hoặc có 3 cực trị)
@ TXĐ @ Tính :y’ 
@ Để hs có 1 cực trị ( hoặc có 3 cực trị ) thì pt y’ = 0 có 1 nghiệm ( hoặc có 3 nghiệm pb)
@ Giài phương trình tìm m ( Phân tích pt bậc 3 thành tích của pt bậc 1 và pt bậc 2)
* Cách khác : Để hs có 1 cực trị thì a và b trái dấu ( a.b < 0) 
 Để hs có 3 cực trị thì a và b cùng dấu ( a.b > 0)
Bài toán 20 : Chứng minh rằng từ điểm M (a ; b) bất kỳ trên đồ thị (C) có tích các khoảng cách từ M đến 2 đường tiệm cận của (C) bằng 1 hằng số ( không phụ thuộc vào M) :
+ Viết pt các đường tiệm cận dưới dạng tổng quát : Ax + By + C = 0
+ Aùp dung công thức tính khoảng cách từ điểm M đến đt D : d (M, D) = 
tính khoảng cách từ M đến 2 đường tiệm cận 
+ Tính tích : d1.d2 ( là 2 khoảng cách trên)
+ Vì M Ỵ (C) Þ b = f( a) ( thế toạ độ điểm M vào hàm số )
+ Thay vào tích : d1.d2 rút gọn thành hằng số
 * Mở rộng bài toán : Chứng minh rằng tổng các khoảng cách từ M đến 2 đường tiệm cận của (C) đạt giá trị lớn nhất :
 + Làm như trên
+ Thêm 1 bước : Aùp dụng BĐT Côsi cho 2 số d1 và d2 : 
 Vì d1.d2 là hằng số nên (d1 + d2 ) đạt giá trị mlớm nhất =