Các bài toán về biến đổi căn thức, phân thức

CÁC BÀI TOÁN VỀ BIẾN ĐỔI CĂN THỨC, PHÂN THỨC
Phần 1: Biến đổi các biểu thức chứa số.
1) Rút gọn các biểu thức sau:
	a) .
	b) .
	c) .
2) Chứng minh đẳng thức: 
.
3) Chứng minh rằng số là một nghiệm của phương trình: .
4) Thu gọn .
5) Tính giá trị của biểu thức ,
trong đó .
6) Rút gọn .
7) Rút gọn biểu thức .
8) Tính giá trị của biểu thức với .
9) Chứng minh rằng là một số nguyên.
10) Rút gọn biểu thức .
11) Rút gọn biểu thức .
12) Rút gọn các biểu thức:
	a) 
	b) .
	c) .
13) Rút gọn các biểu thức:
	a) 
	b) .
14) Chứng minh rằng là số nguyên.
15) Rút gọn biểu thức .
16) Cho . Tính .
17) So sánh hai số và .
18) Chứng minh rằng .
19) Rút gọn biểu thức .
20) Rút gọn các biểu thức sau:
	a) 
	b) 
	c) 
21) Chứng minh rằng các số sau đây đều là các số nguyên:
	a) 
	b) .
22) Trục căn thức ở mẫu số:
	a) 
	b) 
	c) .
23) Tính giá trị của biểu thức với .
24) Chứng minh rằng là nghiệm của phương trình 
.
25) Rút gọn các biểu thức sau:
	a) .
	b) 
	c) 
	d) 
	e) 
	f) .
Phần 2: Biến đổi các biểu thức chứa biến.
1) Cho biểu thức 
	a) Với điều kiện nào của x thì A xác định.
	b) Rút gọn biểu thức A.
	c) Chứng minh rằng A > 1 với mọi x > 0 và x ¹ 1.
2) Cho biểu thức .
	a) Tìm điều kiện của a để A có nghĩa.
	b) Rút gọn biểu thức A.
3) Cho biểu thức .
	a) Rút gọn A.
	b) Tìm x để .
4) Cho biểu thức .
	a) Rút gọn biểu thức P.
	b) Tính giá trị của P khi .
5) Cho biểu thức .
	a) Rút gọn biểu thức A.
	b) Tìm các giá trị nguyên của x sao cho giá trị tương ứng của biểu thức A nguyên.
6) Cho biểu thức .
Tìm x để biểu thức M có nghĩa và rút gọn M.
7) Cho biểu thức .
	a) Rút gọn P.
	b) Tìm x để .
8) Cho biểu thức .
	a) Tìm điều kiện đối với x để biểu thức A có nghĩa. Với điều kiện đó, hãy rút gọn biểu thức A.
	b) Tìm x để A + x - 8 = 0.
9) Cho biểu thức .
	a) Rút gọn biểu thức P.
	b) Chứng minh với x ³ 0 và x ¹ 1.
10) Cho biểu thức .
	a) Tìm các giá trị của x để M có nghĩa, khi đó hãy rút gọn M.
	b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2000 - M khi x ³ 4.
	c) Tìm các số nguyên x để giá trị của M cũng là số nguyên.
11) Cho biểu thức .
	a) Rút gọn P.
	b) So sánh P với 5.
	c) Với mọi giá trị của x làm P có nghĩa, chứng minh biểu thức chỉ nhận đúng 1 giá trị nguyên.
12) Cho biểu thức .
	a) Với giá trị nào của x thì biểu thức A xác định.
	b) Tìm giá trị của x để A đạt giá trị nhỏ nhất.
	c) Tìm các giá trị nguyên của x để A có giá trị nguyên.
13) Cho biểu thức .
	a) Tìm điều kiện của x để P có nghĩa, khi đó hãy rút gọn P.
	b) Tìm các số tự nhiên x để là số tự nhiên.
	c) Tính giá trị của P với .
14) Cho biểu thức .
	a) Rút gọn P.
	b) Tìm x để .
15) Cho các biểu thức 
 .
	a) Với những giá trị nào của x thì A có nghĩa.
	b) Rút gọn A và B.
	c) Tìm những giá trị của x để A = B.
16) Cho biểu thức .
	a) Rút gọn P.
	b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức .
17) Cho biểu thức .
	a) Tìm x để A có nghĩa. Hãy rút gọn A.
	b) Tính A với .
	c) Chứng minh rằng .
18) Cho biểu thức .
	a) Rút gọn P.
	b) Tìm giá trị nhỏ nhất của P.
	c) Tìm x để biểu thức nhận giá trị là số nguyên.
19) Chứng minh rằng biểu thức sau có giá trị không phụ thuộc vào x:
.
20) Cho biểu thức , với x ³0; x ¹ 1.
	a) Rút gọn P.
	b) Tìm x sao cho P < 0.
21) Cho biểu thức .
	a) Hãy tìm điều kiện của x để biểu thức M có nghĩa, sau đó rút gọn M.
	b) Với giá trị nào của x thì biểu thức M đạt giá trị nhỏ nhất và tìm giá trị nhỏ nhất đó của M.
 22) Cho biểu thức .
	a) Tìm điều kiện để P(x) xác định, rút gọn P(x).
	b) Chứng minh rằng nếu x > 1 thì P(x). P(-x) <0.
23) Rút gọn biểu thức với 0£ x £ 1.
24) Cho biểu thức .
	a) Rút gọn P.
	b) Tìm x để .
25) Cho biểu thức , với 0 £ x ¹ 1.
	a) Rút gọn M.
	b) Chứng minh rằng với 0 £ x ¹ 1, ta có M < 1/3.
26) Cho biểu thức .
	a) Tìm điều kiện để P xác định, rút gọn P.
	b) Tìm x, y nguyên thỏa mãn phương trình P = 2.
27) Cho x, y là hai số thay đổi luôn thỏa mãn điều kiện x > 0, y < 0, x + y =1.
	a) Rút gọn biểu thức .
	b) Chứng minh rằng A < -4.
28) Cho biểu thức .
	a) Rút gọn biểu thức P.
	b) Tìm a để .
29) Cho a, b, c là ba số phân biệt khác không và thỏa mãn điều kiện a + b + c = 0. Đơn giản biểu thức: .
30) Cho biểu thức .
	a) Tìm điều kiện của x để biểu thức P có nghĩa và rút gọn P.
	b) Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức nhận giá trị nguyên.
31) Cho biểu thức .
	a) Rút gọn biểu thức A.
	b) Tìm giá trị của x để A < 1.
	c) Tính giá trị của biểu thức A với .
	d) Tìm các giá trị nguyên của x sao cho A cũng là số nguyên.