Các Chuyên đề Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán Lớp 4

Kiến thức cần ghi nhớ
 A. SỐ TỰ NHIÊN
 Các số 0, 1,2,3,4,5,6, 10,22, là các số tự nhiên.
1. Số 0 là số tự nhiên nhỏ nhất. Không có số tự nhiên nào lớn nhất.
2. Hai số tự nhiên liên tiếp (đứng liền nhau) hơn kém nhau 1 đơn vị.
- Bớt 1 ở bất kì số tự nhiên nào (khác 0), ta được số tự nhiên liền trước nó (số 0 không có số liền trước).
- Thêm 1 vào một số tự nhiên ta được số tự nhiên liền sau nó.
- Giữa hai số tự nhiên liên tiếp không có số tự nhiên nào cả.
3.- Các số tự nhiên có chữ số hàng đơn vị là 0,2,4,6,8 gọi là các số chẵn.
- Các số tự nhiên có chữ số hàng đơn vị là 1,3,5,7,9 gọi là các số lẻ.
- Hai số chẵn (hoặc lẻ) liên tiếp nhau thì hơn kém nhau 2 đơn vị.
4. Trong dãy số tự nhiên liên tiếp, cứ một số chẵn lại đến một số lẻ rồi lại đến một số chẵn, Vì vậy, nếu:
- Dãy số bắt đầu từ số lẻ và kết thúc là số chẵn thì số lượng các số lẻ bằng số lượng các số chẵn
- Dãy số bắt đầu từ số lẻ và kết thúc là số chẵn thì số lượng các số lẻ bằng số lượng các số chẵn
- Dãy số bắt đầu từ số chẵn và kết thúc là số lẻ thì số lượng các số chẵn bằng số lượng các số lẻ.
- Dãy số bắt đầu từ số chẵn và kết thúc là số chẵn thì số lượng các số chẵn hơn số lượng các số lẻ là một số.
- Dãy số bắt đầu từ số lẻ và kết thúc là số lẻ thì số lượng các số lẻ hơn số lượng các số chẵn là một số.
Bài mẫu: Cho dãy số: 1, 2, 3, 4, 5, , 205. Hỏi dãy số có bao nhiêu số chẵn, bao nhiêu số lẻ?
Giải: Dãy số trên có các số hạng là: (205 – 1) : 1 + 1 = 205 số
Dãy số bắt đầu bằng số lẻ và kết thúc là số lẻ nên số lượng số lẻ nhiều hơn số lượng số chẵn là một số
Dãy số trên có số chẵn là: (205 – 1) : 2 = 102 số
Dãy số trên có số số lẻ là: 205 – 102 = 103 số
5. Số và chữ số khác nhau: vd: số 5 là số có một chữ số, số 234 là số có ba chữ số.
6. - Số tròn chục là tận cùng bên phải của số đó có một chữ số 0: 10, 250,..
- Số tròn trăm là tận cùng bên phải của số đó có hai chữ số 0: 100, 2400,..
- Số tròn nghìn là tận cùng bên phải của số đó có ba chữ số 0: 1000, 35000,
1. Phép cộng:
3 + 2 = 5
SH SH T 
a, Nếu ta thêm hay bớt bao nhiêu đơn vị vào một số hạng thì tổng cũng tăng thêm (hay bớt đi) bấy nhiêu đơn vị. 
VD: 5 + 2 = 7 , 5 + (2 + 2) = 9 , 5 + ( 2 – 1) = 6
b, Trong một tổng gồm hai số hạng, nếu ta thêm vào số hạng này bao nhiêu đơn vị và bớt ở số hạng kia bấy nhiêu đơn vị thì tổng không thay đổi.
VD: 6 + 4 = 10 , (6 + 2) + ( 4 – 2) = 10
2. Phép trừ: 
 3 – 2 = 1
SBT ST H
Khi cùng thêm (hoặc cùng bớt) ở cả số bị trừ và số trừ một số đơn vị như nhau thì hiệu không thay đổi.
VD: 8 – 3 = 5 , (8 + 2) - ( 3 + 2) = 5
3. Phép nhân:
 3 x 2 = 6
 TS TS T
 a, Bất cứ số nào nhân với 0 cũng bằng 0.
 Vd: 0 x 3 = 0. 100 x 0 = 0
b, Bất cứ số nào nhân với 1 cũng bằng chính số đó. VD: 8 x 1 = 8, 9 x 1 = 9
c, Muốn nhân một số với 10, 100, 100 ta chỉ việc viết thêm một, hai, ba chữ số 0 vào bên phải của số đó.
VD: 13 x 10 = 130, 13 x 100 =1300, 13 x 1000 = 13000
d, Nếu thừa số gấp lên bao nhiêu lần thì tích cũng gấp lên bấy nhiêu lần.
VD: 5 x 2 = 10 , ( 5 x 3) x 2 = 30
e, Nếu giữ nguyên thừa số thứ nhất, giảm thừa số thứ hai đi a đơn vị thì tích giảm đi a lần thừa số thứ nhất.
g, Nếu giữ nguyên thừa số thứ hai mà thêm a đơn vị vào thừa số thứ nhất thì tích tăng lên a lần thừa số thứ hai.
 * Cách giải phần e và g: + Tìm hiệu hai tích. + Tích mới tăng lên (hoặc giảm đi) đúng bằng a lần thừa số kia. + Tìm thừa số kia lấy hiệu 2 tích chia cho a lần chính là a đơn vị.
VD: Hai số có tích bằng 200. Nếu giữ nguyên số thứ hai và thêm vào số thứ nhất 4 đơn vị thì được tích mới là 232. Tìm hai số đó.
Giải: Nếu giữ nguyên thừa số thứ hai mà thêm 4 vào thừa số thứ nhất thì tích tăng lên 4 lần thừa số thứ hai.
4 lần thừa số thứ hai là: 232 – 200 = 32. Thừa số thứ hai là: 32 : 4 = 8
Thừa số thứ nhất là: 200 : 8 = 25 Đáp số: 25; 8.
4. Phép chia: 
a, Mỗi một lượt chia thực hiện qua 3 bước: Chia- nhân- trừ.
b, Mỗi 1 lượt chia thương chỉ nhận được 1 chữ số.
c, Trừ lượt chia thứ nhất, kể từ lượt chia thứ hai trở đi mỗi một lượt chia ta chỉ được phép lấy một chữ số ở số bị chia để chia.
d, Số dư bao giờ cũng nhỏ hơn số chia. Số dư lớn nhất kém số chia 1 đơn vị.
e, Trong phép chia không dư, nếu ta cùng tăng (hoặc cùng giảm) số bị chia và số chia lên cùng một số lần thì thương số không thay đổi.
VD: 36 : 4 = 9, (36 : 2) : ( 4 : 2) = 9, (36 x 2) : (4 x 2) = 9
g, Trong phép chia không dư, nếu ta gấp (hoặc giảm) số bị chia bao nhiêu lần và giữ nguyên số chia thì thương cũng gấp lên (hoặc giảm đi) bấy nhiêu lần.
VD: 18 : 3 = 6, (18 x 2) : 3 = 36 : 3 = 12, (18 : 2) : 3 = 3
h, Trong phép chia không dư, nếu ta giữ nguyên số bị chia và gấp (hoặc giảm) số chia bao nhiêu lần mà số bị chia vẫn chia hết cho số chia mới thì thường sẽ giảm đi (hoăc tăng lên) bấy nhiêu lần.
VD: 24 : 6 = 4, 24 : ( 6 x 2) = 24 : 12 = 2, 24 : (6 : 2) = 24 : 3 = 8
d, Muốn chia một số tròn chục, tròn trăm, tròn nghìn cho 10, 100, 1000 ta chỉ việc bỏ bớt một, hai, ba chữ số 0 ở tận cùng bên phải của số đó.
VD: 120 : 10 = 12, 1200 : 100 = 12, 12000 : 1000= 12
 Viết thêm (hoặc xóa đi) chữ số vào bên phải, bên trái của một số
1. Nếu viết thêm một, hai, ba,  chữ số 0 vào bên phải (hoặc xóa đi 1, 2, 3, chữ số 0 ở tận cùng bên phải của một số tự nhiên thì số đó tăng lên 10, 100, 1000,lần. (hoặc giảm đi 10, 100, 1000 lần).
2. Nếu viết thêm chữ số a vào bên phải (hoặc xóa đi chữ số a ở tận cùng bên phải) của một số tự nhiên thì số đó tăng lên 10 lần và a đơn vị (hoặc số đó giảm đi 10 lần và a đơn vị).
3. Nếu viết thêm (hoặc xóa đi) một chữ số (khác 0) vào bên trái một số tự nhiên thì số đó tăng lên (hoăc giảm đi) một số đơn vị.
Các bài toán về dãy số
Dạng 1: Điền thêm số hạng vào trước hoặc sau của một dãy số.
Cách giải: Trước hết cần xác định quy luật của dãy số.
VD1: Viết tiếp 3 số hạng vào dãy số sau: 1, 3, 4, 7, 11, 18, 
Giải: Nhận xét: 1 + 3 = 4; 3 + 4 = 7; 4 + 7 = 11; 7 + 11 = 18
Quy luật của dãy số: Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ ba) bằng tổng hai số liền trước nó. 3 số hạng cần điền là: 11 + 18 = 29; 18 + 29 = 47 ; 29 + 47 = 76.
Ta có dãy số đầy đủ là: 1, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76.
VD 2: Tìm số hạng đầu tiên của dãy số.
*Cách giải:
Bước 1: Tìm quy luật của dãy số
Bước 2: Tìm số khoảng cách : Số số hạng – 1
Bước 3: Tìm số hạng đầu tiên: Số cuối cùng - số khoảng x quy luật
Bài mẫu: Tìm số hạng đầu tiên của dãy số sau: , 17, 19, 21. biết dãy số có 10 số hạng.
Giải: Nhận xét: 21 – 19 = 19 – 17 = 2
Quy luật của dãy số: Đây là dãy số cách đều nhau hơn kém nhau 2 đơn vị.
Dãy số có 10 số hạng thì có số khoảng là: 10 – 1 = 9 khoảng
Số đầu tiên của dãy số là: 21 – 9 x 2 = 3 Đ/S : 3
VD 3: Tìm số hạng cuối cùng của dãy số.
Cách giải:
Bước 1: Tìm quy luật của dãy số
Bước 2: Tìm số khoảng cách : Số số hạng – 1
Bước 3: Tìm số hạng cuối cùng: Số đầu tiên + số khoảng x quy luật
Bài mẫu: Tìm số hạng cuối cùng của dãy số sau: 1,4,7,10, biết dãy số có 30 số hạng 
Giải: Nhận xét: 10 – 7 = 7 – 4 = 4 - 1 = 3
Quy luật của dãy số: Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ hai) số sau hơn số trước 2 đơn vị. Dãy số có 30 số hạng thì có số khoảng là: 30 – 1 = 29 khoảng
Số cuối cùng của dãy số là: 1 + 29 x 3 = 88 
VD 4: Điền số thích hợp vào ô trống sao cho tổng ở 3 ô liên tiếp bằng 1996.
Giải: Ta đánh số các ô theo thứ tự như sau:
Theo điều kiện của đầu bài ta có:
496 + ô 7 + ô 8 = 1996
ô 7 + ô 8 + ô 9 = 1996
Suy ra ô 9 = 496 từ đó ta tính được
ô 8 = 1996 – ( 496 + 996) = 504
ô 8 = ô 5 = ô 2 = 504
ô 10 = ô 7 = ô 4 = 996
ô 9 = ô 6 = ô 3 = 496
Ta có băng ô đầy đủ là
Dạng 2: Xác định số a có thuộc dãy số đã cho hay không
Cách giải: - Xác định quy luật của dãy số.
Kiểm tra số a có thỏa mãn quy luật đó hay không.
Bài mẫu : Số 1996 có thuộc dãy 2,5, 8, 11,.. hay không?
Giải: Nhận xét: 11- 8 = 8 – 5 = 5 – 2 = 3
Quy luật: Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ hai) số sau hơn số trước 3 đơn vị
Ta có: 2 : 3 = 0 dư 2; 5 : 3 = 1 dư 2; 8 : 3 = 2 dư 2; 11 : 3 = 3 dư 2
Mà 1996 : 3 = 665 dư 1
Ta thấy các số hạng trong dãy khi chia cho 3 đều có số dư là 2. mà 1996 chia cho 3 có số dư là 1 nên số 1996 không thuộc dãy số trên.
Đ / S : Số 1996 không thuộc dãy số trên.
Dạng 3: Tìm số số hạng của dãy số (đối với dãy số cách đều)
Cách giải: - Tìm quy luật của dãy số
-Tìm số số hạng của dãy số: (Số hạng lớn nhất - số hạng bé nhất) : khoảng cách + 1
 Hoặc : (số cuối - số đầu) : Kc + 1
VD : Cho dãy số: 11, 14, 17, , 68. Dãy số trên có bao nhiêu số hạng?
Giải: Nhận xét: 17 – 14 = 14 – 11 = 3
Quy luật : Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ hai) số sau hơn số trước 3 đơn vị.
Dãy số trên có số số hạng là: (68 – 11) : 3 + 1 = 20 số.
Dạng 4: Tìm tổng các số hạng của dãy số (đối với dãy số cách đều): 
Cách giải:
 - Tìm quy luật của dãy số
- Tìm số số hạng của dãy số
- Tìm số cặp: số số hạng : 2
- Tìm giá trị một cặp: số cuối + số đầu
- Tìm tổng của dãy số: giá trị một cặp x số cặp
Hoặc: - Tìm quy luật của dãy số
- Tìm số số hạng của dãy số
- Tìm giá trị một cặp: số cuối + số đầu
- Tìm tổng của dãy số: giá trị một cặp x số số hạng : 2
VD: Tìm tổng của dãy số sau: 1, 4, 7, 10,  , 58.
Giải: Nhận xét: 10 – 7 = 7 – 4 = 4 – 1 = 3
Quy luật: Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ hai) số sau hơn số trước 3 đơn vị.
Dãy số trên có số số hạng là: (58 – 1) : 3 + 1 = 20 số hạng
Giá trị một cặp là: 58 + 1 = 59
Tổng của dãy số trên là: 59 x 20 : 2 = 590
Bài mẫu về nhóm các số hạng
VD: Bạn An viết dãy số 1, 0, 0, 1, 0, 0, 1,  (bắt đầu là số 1 tiếp theo là hai số 0 rồi lại đến số 1 vân vân). Hỏi : 
a, Số hạng thứ 31 là số 1 hay số 0?
b, Khi viết đến số hạng thứ 100 thì ta viết được bao nhiêu số 1? Bao nhiêu số 0?
Giải: 
a, Ta coi mỗi bộ (1, 0, 0) là một nhóm gồm 3 số hạng.
Ta có: 31 : 3 = 10 dư 1
Khi viết đến số hạng thứ 31 ta viết được 10 nhóm và dư một số. Dư một số ta chuyển sang nhóm thứ 11. Mà số đầu tiên của nhóm thứ 11 là số 1. Vậy số hạng thứ 31 là số 1.
b, Ta có: 100 : 3 = 33 dư 1
Khi viết đến số hạng thứ 100 ta viết được 33 nhóm dư một số. Dư một số ta chuyển sang nhóm thứ 34. Mà số đầu tiên của nhóm thứ 34 là số 1. 
Mỗi nhóm có một số 1. Nên khi viết đến số thứ 100 ta đã viết được:
33 x 1 + 1 = 34 số 1
Mỗi nhóm gồm hai số 0. Nên khi viết đến số thứ 100 ta viết được:
33 x 2 = 66 số 0
Đ / S : a, số 1. b, 34 số 1 và 66 số 0
Bài mẫu về tìm số chữ số
VD : Để đánh số trang một quyển sách toán lớp ba dày 184 trang thì cần bao nhiêu chữ số?
Giải: Từ trang 1 đến trang 9 có: (9 – 1) : 1 + 1 = 9 trang có một chữ số
Từ trang 10 đến trang 99 có: (99 – 10) : 1 + 1 = 90 trang có hai chữ số
Từ trang 100 đến trang 184 có: (184 – 100) : 1 + 1 = 85 trang có ba chữ số
Để đánh số trang một quyển toán lớp ba dày 184 trang thì cần số chữ số là:
9 x 1 + 90 x 2 + 85 x 3 = 444 chữ số
Đ / S : 444 chữ số.
VD: Để đánh số trang một quyển sách, người ta cần 246 chữ số. Hỏi quyển sách đó dày bao nhiêu trang?
Giải: Từ trang 1 đến trang 9 có: (9 – 1) : 1 + 1 = 9 trang có một chữ số
Từ trang 10 đến trang 99 có: (99 – 10) : 1 + 1 = 90 trang có hai chữ số
Vậy số chữ số để đánh từ trang 1 đến trang 99 là: 1 x 9 + 90 x 2 = 189 chữ số
Số chữ số để đánh số trang có ba chữ số là: 246 – 189 = 57 chữ số
Số trang có ba chữ số là: 57 : 3 = 19 trang
Quyển sách đó dày số trang là: 9 + 90 + 19 = 118 trang
Đ / S : 118 trang.
VD: Cho dãy số: 1, 2, 3, 4, 5,  , x. Tìm x để số lượng chữ số của dãy gấp 2 lần số lượng số hạng của dãy.
Giải: Từ 1 đến 9 có : (9 – 1) : 1 + 1 = 9 số có một chữ số.
Để số chữ số gấp 2 lần số các số hạng của dãy thì mỗi số phải bù thêm một chữ số, nên phải bù: 1 x 9 = 9 chữ số.
Từ 10 đến 99 có : ( 99 – 10) : 1 + 1 = 90 số có 2 chữ số nên số chữ số gấp 2 lần số các số hạng.
Từ 100 đến 999 gồm các số có ba chữ số. Để số chữ số gấp 2 lần số các số hạng thì số chữ số cần bù bằng số chữ số cần bớt. Do vậy phải lấy 9 chữ số cần bù ở 9 số có 3 chữ số là: 100, 101, 102, 103, 104, 105, 106, 107, 108. Do đó x = 108.
VD : Để đánh số trang người ta thấy trung bình mỗi trang phải dùng 3 chữ số. Hỏi quyển sách đó dày bao nhiêu trang?
Giải: Từ trang thứ 1 đến trang thứ 9 có (9 – 1) : 1 + 1 = 9 trang mỗi trang có 1 chữ số. Để mỗi trang có 3 chữ số thì mỗi trang phải bù 2 chữ số. Vậy 9 trang đó phải bù: 2 x 9 = 18 chữ số
Từ trang 10 đến trang 99 có: (99 – 10) : 1 + 1 = 90 trang có hai chữ số. Để mỗi trang có 3 chữ số thì mỗi trang phải được bù 1 chữ số. Vậy 90 trang phải bù:
 1 x 90 = 90 chữ số
Như vậy đã có 18 + 90 = 108 chữ số phải bù.
Từ trang 100 đến trang 999 có (999 – 100) : 1 + 1 = 900 trang trong mỗi trang có đủ 3 chữ số nên không phải bù.
Từ trang 1000 đến trang 9999 là các trang có 4 chữ số. Để mỗi trang chỉ có 3 chữ số thì mỗi trang phải bớt đi 1 chữ số.
Để trung bình mỗi trang dùng 3 chữ số thì số chữ số cần bù bằng số chữ số cần bớt ở các trang có 4 chữ số và bằng số trang có 4 chữ số ở trong sách. Vậy có 108 trang có 4 chữ số.
Nên quyển truyện đó có số trang là: 9 + 90 + 900 + 108 = 1107 trang
Đ/ S : 1107 trang.
Chu vi, diện tích hình vuông và hình chữ nhât.
1. Muốn tính chu vi hình chữ nhật ta lấy số đo chiều rộng cộng với số đo chiều dài (cùng một đơn vị đo) rồi nhân với 2.
Công thức: P = (a + b) x 2 , a + b = P : 2, a = P : 2 – b, b = P : 2 – a.
Ghi chú: P là chu vi, a là số đo chiều rộng, b là số đo chiều dài.
2. Muốn tính diện tích hình chữ nhật ta lấy số đo chiều rộng nhân với số đo chiều dài (cùng một đơn vị đo).
Công thức: S = a x b , a = S : b , b = S : a.
3. Muốn tính chu vi hình vuông ta lấy số đo một cạnh nhân với 4.
Công thức: P = a x 4, a = P : 4.
Ghi chú: p là chu vi, a là số đo một cạnh.
4. Muốn tính diện tích hình vuông ta lấy số đo một cạnh nhân với chính nó.
Công thức: S = a x a .
+ Khi biết diện tích hình vuông, muốn tìm cạnh hình vuông ta thường dung phương pháp thử chọn.
Một số bài toán mẫu
1. Tìm 5 số lẻ liên tiếp biết tổng của chúng bằng 175.
Giải: Hai số lẻ liên tiếp hơn kém nhau 2 đơn vị. Ta có sơ đồ sau:
Số lẻ thứ 1:
Số lẻ thứ 2:
Số lẻ thứ 3:
Số lẻ thứ 4:
Số lẻ thứ 5:
Hiệu của 5 số lẻ liên tiếp là: 2 x 10 = 20
5 lần số lẻ thứ nhất là: 175 – 20 = 155
Số lẻ thứ nhất là: 155 : 5 = 31 
Số lẻ thứ hai là: 31 + 2 = 33 
Số lẻ thứ ba là: 33 + 2 = 35 
Số lẻ thứ tư là: 35 + 2 = 37 
Số lẻ thứ năm là: 37 + 2 = 39 
2, Tổng của hai số lẻ bằng 170. Tìm hai số đó, biết giữa chúng có 4 số chẵn nữa.
Giải: Theo đề bài ta có sơ đồ sau:
SL bé SC SC SC SC SL lớn
Hiệu của hai số lẻ là: 2 x 4 = 8
Số lẻ bé là: (470 – 8) : 2 = 231
Số lẻ lớn là: 470 – 231 = 239
ĐS 231 và 239.
Chú ý: a, Muốn tìm 2 số lẻ mà giữa chúng có a số chẵn thì hiệu là 2 x a.
 b, Muốn tìm 2 số chẵn mà giữa chúng có a số lẻ thì hiệu là 2 x a.
3, Tổng của hai số chẵn bằng 274. Tìm hai số đó, biết giữa chúng còn có them 4 số chẵn nữa.
Giải: Theo đề bài ta có sơ đồ sau: 
SC bé SC SC SC SC SC lớn
Hiệu của hai số chẵn là: 2 x 5 = 10
Số chẵn bé là: (274 – 10) : 2 = 132
Số chẵn lớn là: 274 – 132 = 142
ĐS : 132 và 142.
Chú ý : Muốn tìm 2 số lẻ (hoặc 2 số chẵn) mà giữa chúng có a số lẻ (hoặc a số chẵn) thì hiệu là 2 x a + 2.
*Có thể giải theo cách lí luận.
4, Tìm hai số có tổng băng 1968, biết rằng giữa chúng có 333 số tự nhiên nữa.
Giải: Giữa hai số còn có 333 số tự nhiên nên từ số bé đến số lớn có 335 số tự nhiên liên tiếp và có 334 khoảng cách 1 đơn vị nên số lớn hơn số bé là: 1 x 334 = 334
Số bé là: (1968 – 334) : 2 = 817
Số lớn là: 817 + 334 = 1151
 ĐS : 817 và 1154
 Chú ý: Muốn tìm hai số mà giữa chúng có a số tự nhiên thì hiệu là a + 1.
5, Điền dấu > < = vào ô trống: 
1a45 + 8b5 + 25 c abc + 2110
Vế trái: 1a45 + 8b5 + 25c
 = 1000 + a00 + 40 + 5 + 800 + b0 + 5 + 200 + 50 + c
 = (1000 + 40 + 800 + 5 + 200 + 5) + ( a00 + b0 + c)
 = 2100 + abc
Ta thấy: 2100 + abc < abc + 2110
Vậy: 1a45 + 8b5 + 25c < abc + 2110 
Chú ý: - Quan sát hai vế, vế nào có lẫn chữ và số thì phân tích vế đó thành chữ riêng và số riêng (cũng có trường hợp cần phân tích cả hai vế)
 -So sánh, nhận xét và điền dấu > < =
6, Tổng của hai số (hiệu của hai số), nếu lấy số lớn chia cho số bé được thương là n và dư a đơn vị thì đưa về dạng toán tổng tỉ (hoặc hiệu tỉ).
VD: Hiệu của hai số là 59. Nếu lấy số lớn chia cho số bé thì được 7 dư 5. Tìm hai số đó.
Giải: Nếu lấy số lớn chia cho số bé được 7 dư 5. Như vậy số lớn gấp 7 lần số bé và
5 đơn vị. Ta có sơ đồ sau: SL:
 SB: 
Số bé là: (59 – 5) : ( 7 – 1) = 9 Số lớn là: 59 + 9 = 68
7. Thương của hai số là a. Nếu giữ nguyên số chia và giảm số chia đi n đơn vị thì thương hai số là b.
* Cách làm: + Tìm hiệu của thương cũ và thương mới c. + Hiệu đó chính là SBC giảm đi c lần SC + c lần số chia là n đơn vị.
VD: Thương của hai số là 9. Nếu giữ nguyên số chia và giảm sbc đi 16 đơn vị thì thương hai số là 7. Tìm hai số đó.
Giải: Nếu giữ nguyên số chia, giảm số bị chia đi 16 đơn vị thì được thương mới kém thương cũ là: 9 – 7 = 2. Thương giảm đi 2, như vậy số bị chia giảm 2 lần số chia. Vậy số chia là: 16 : 2 = 8; Số bị chia là: 9 x 8 = 72 Đ S: 72; 8.
8. Tổng của hai số, gấp 1 số hạng lên n lần thì hiệu chính là (n – 1). Tìm số hạng lấy: Hiệu chia cho (n – 1).
VD: Tìm hai số có tổng bằng 13580, biết rằng nếu tăng số hạng thứ hai lên gấp 3 lần thì được tổng mới là 24756.
Giải: Tổng mới hơn tổng cũ là: 24457 – 13580 = 9376
Khi tăng số hạng thứ hai lên 3 lần thì tổng sẽ tăng thêm một số bằng 3 – 1 = 2 lần số hạng thứ hai.
Số hạng thứ hai là: 9376 : 2 = 4688; Số hạng thứ nhất là : 13580 – 4688= 1069
9. Tổng của hai số, nếu gấp SH 1 lên n lần và SH2 lên m lần ta được tổng mới thì sử dụng pp khử.
VD: Tổng của hai số là 64. Nếu gấp số hạng thứ nhất lên 6 lần và số hạng thứ hai lên 4 lần thì tổng mới là 356. Tìm hai số đó.
Giải: Gọi hai số cần tìm là a và b ta có: 
a + b = 64 (1) 
 a x 3 + b x 4 = 356 (2) 
 Nhân cả 2 vế của (1) với 6
 a x 6 + b x 6 = 64 x 6
 a x 6 + b x 6 = 384 
trừ đi (2) a x 6 + b x 4 = 356
 b x 2 = 28
 b = 28 : 2 
 b= 14 
Vậy a = 64 – 14 = 50
Cách 2: Nếu gấp số thứ nhất lên 4 lần và số thứ hai lên 4 lần rồi cộng lại thì được kết quả bằng 64 x 4 = 256. Hiệu của 536 và 256 là : 356 – 256 = 100. 100 đơn vị so với số thứ nhất thì gấp 3 – 1 = 2 lần. Số thứ 1là: 100 : 2 = 50. Số thứ 2: 64 -50=14
Toán trồng cây
* Trồng cây trên đường thẳng: 
a. Trồng cây ở một đầu đường: Số cây = Số khoảng cách
b. Trồng cây ở hai đầu đường: Số cây = Số khoảng cách + 1
c. Không trồng cây ở hai đầu đường: Số cây = Số khoảng cách – 1 (bớt 1 cây ở đầu đường)
* Trồng cây trên đường khép kín (trồng cây theo chu vi của một hình nào đó): Số cây = Số khoảng cách
Các dạng toán điển hình
1, Bài toán về tìm số trung bình cộng
* Phương pháp giải: - Xác định tổng của tất cả các số.
-Tìm số số hạng
-Tìm số trung bình cộng: STBC = tổng các số : số số hạng
* Tổng các số hạng bằng trung bình cộng nhân với số số hạng.
Ghi nhớ: Muốn tìm số trung bình cộng của nhiều số ta tính tổng của các số đó, rồi chia tổng đó cho số các số hạng.
+ Khi biết trung bình cộng của nhiều số muốn tìm tổng của các số đó ta lấy trung bình cộng nhân với số các số hạng.
* Trung bình cộng của nhiều số (n số) tự nhiên liên tiếp nếu n là số lẻ thì số lẻ đó là số chính giữa của chúng (các số cách đều nhau). VD: 1,3,5,7,9
* Trung bình cộng của một số chẵn các số cách đều nhau thì bằng tổng của cặp số cách đều hai đầu của dãy số chia cho 2.
VD: 2,3,5,8,11,14,17 là: (2+17):2=(5+14):2=(8+11):2=9,5
* Nâng cao: Cho ba số a,b,c và số chưa biết là x. Nếu cho biết x lớn hơn trung bình cộng của bốn số a, b,c,x là n đơn vị thì TBC của bốn số đó được tính như sau:
- Số TBC của bốn số a,b,c,x là: (a+b+c+x+n): 3. Vậy lớn hơn trung bình cộng thì ta làm tính cộng.
- Nếu là kém số TBC thì làm tính trừ.
VD: An có 20 nhãn vở, Bình có 20 nhãn vở. Chi có số nhãn vở kém trung bình cộng của ba bạn là 6 nhãn vở. Hỏi Chi có bao nhiêu nhãn vở?
Giải: An và Bình có số nhãn vở là: 20 + 20 = 40 nhãn vở
Trung bình cộng số nhãn vở của ba bạn là: (40 – 6) : 2 = 17 nhãn vở
Chi có số nhãn vở là: 17 – 6 = 11 nhãn vở.
Đ / S : 11 nhãn vở.
2, Bài toán về tìm hai số khi biết tổng và hiệu của hai số đó
Cách giải:
Bước 1: Đọc kĩ đề, xác định tổng và hiệu của hai số đó.
Bước 2: Tóm tắt đề toán bằng sơ đồ.
Bước 3: - Tìm từng số: số bé = (tổng - hiệu) : 2 ; số lớn = (tổng + hiệu) : 2
Bước 4: - Thử lại và ghi đáp số.
VD:
3, Bài toán về tìm hai số khi biết tồng và tỉ số của hai số đó
Cách giải:
Bước 1: - Đọc kĩ đề, xác định tổng và tỉ số của hai số cần tìm.
Bước 2: - Tóm tắt đề toán bằng sơ đồ.
Bước 3: - Tìm tổng số phần bằng nhau: lấy số phần của số bé cộng với số phần của số lớn.
Bước 4: - Tìm giá trị một phần: Giá trị 1 phần = tổng số : tổng số phần bằng nhau.
Bước 5: - Tìm từng số cần tìm: số bé = giá trị 1 phần x số phần của số bé
 số lớn = giá trị 1 phần x số phần của số lớn
Bước 6: - Thử lại và ghi đáp số.
VD: 
Chú ý: Cần phân biệt hai dạng toán tổng – hiệu và tổng – tỉ
+ Tổng hiệu là hơn một số đơn vị
+ Tổng tỉ là hơn một số lần
4,Bài toán về tìm hai số khi biết hiệu và tỉ số của hai số đó
Cách giải:
Bước 1: - Đọc kĩ đề, xác định hiệu và tỉ số của hai số cần tìm.
Bước 2: - Tóm tắt đề toán bằng sơ đồ.
Bước 3: - Tìm hiệu số phần bằng nhau: lấy số phần của số lớn trừ đi số phần của số bé.
Bước 4: - Tìm giá trị một phần: Giá trị 1 phần = hiệu số : hiệu số phần bằng nhau.
Bước 5: - Tìm từng số cần tìm: số bé = giá trị 1 phần x số phần của số bé
 số lớn = giá trị 1 phần x số phần của số lớn
Bước 6: - Thử lại và ghi đáp số.
VD:
Một số bài toán mẫu
1,Bài toán về tìm hai số khi biết “hai hiệu số”
* Các bước giải chủ yếu trong dạng toán này là:
a. Xác định hiệu thứ nhất của hai số đã cho, thường được thực hiện trong một phép trừ.
b. Xác định hiệu thứ hai. Để xác định được hiệu này (thực chất là xác định sự hơn kém giữa hai số nào đó có liên quan đến việc tính toán số phải tìm) có thể thực hiện các phép tính số học.
c. thực hiện phép chia hiệu thứ hai cho hiệu thứ nhất (theo cách gọi ở phần a và b).
d. Thực hiện các phép tính tiếp theo để xác định số phải tìm thứ hai.
* Các phương pháp thường dùng là: 
- Pp dùng sơ đồ đoạn thẳng
- Pp lựa chọn
- Pp giả thiết tạm
VD: Chị chia đào cho các em, nếu chia mỗi em 3 quả, thì thừa 2 quả. Nếu chia mỗi em 4 quả thì thiếu 2 quả. Hỏi có bao nhiêu quả đào và bao nhiêu em được chia đào 
Giải: Vì nếu mỗi người được 3 quả thì thừa 2 quả, mỗi người 4 quả thì thiếu 2 quả, nên ta có sơ đồ sau:
Số đào đủ chia cho 1 em 4 quả nhiều hơn số đào đủ để chia cho 1 em 3 quả là:
2 + 2 = 4 quả
1 em được chia 4 quả nhiều hơn 1 em được chia 3 quả là: 4- 3 = 1 quả
Số em được chia đào là: 4 : 1 = 4 em
Số đào là: 3 x 4 + 2 = 14 quả hay 4 x 4 – 2 = 14 quả
Đ /S : 4 em, 14 quả đào.
2, Bài toán tìm hai số khi biết hai hiệu số giải bằng phương pháp giả thiết tạm
(pp giả thiết tạm áp dụng trong các bài toán cổ, các bài toán hình học, các bài toán chuyển động đều)
Ghi nhớ: Trong những bài toán đề cập đến hai đối tượng (người, vật, hay sự việc) có những tính chất biểu thị bằng hai số lượng chênh lệch nhau, chẳng hạn: hai công cụ lao động có năng suất khác nhau, hai loại vé giá tiền khác nhau
Để giải, ta thường: 
Giả sử tạm thời một trường hợp không xảy ra, không phù hợp điều kiện đề bài, một khả năng không có thật, thậm chí một tình huống rất vô lí (đòi hỏi người giải có sức tưởng tượng phong phú, sức suy luận linh hoạt). Từ đó, đưa bài toán về một tình huống quen thuộc đã biết cách giải, hoặc dễ lập luận hơn.
VD: Bài toán cổ: Vừa gà vừa chó,
	Bó lại cho tròn
	Ba mươi sáu con
	Một trăm chân chẵn.
Hỏi có bao nhiêu con gà, bao nhiêu con chó?
Giải: Cách 1: Tính số chó trước
Giả sử 36 con toàn là gà cả ( nghĩa là mỗi con chó chỉ có 2 chân). Như vậy, số chân chỉ có là: 2 x 36 = 72 chân
Số chân bị hụt đi là: 100 – 72 = 28 chân
Sở dĩ số chân bị hụt đi như vậy là do mỗi con chó không được đủ 4 chân mà bị hụt đi: 4 – 2 = 2 chân
Vậy số chó là: 28 : 2 = 14 con
Số gà là: 36 – 14 = 22 con
TL: 14 + 22 = 36 con
 4 x 14 + 2 x 22 = 100 chân
3, Bài toán giải bằng phương pháp khử:
20. Phân số:
* a. Phân số cả TS và MS cùng thêm (hoặc cùng bớt) n đơn vị đưa về dạng toán hiệu tỉ.
b. Phân số TS thêm (MS bớt) n đơn vị hoặc ngược lại đưa về dạng toán tổng tỉ.
* Tìm n phân số ở giữa hai phân số 1/ 4 và 1/3 ta lấy cả tử số và mẫu số của hai phân số cùng nhân với n + 1.
* So sánh hai phân số:
a. Phần bù (hai phân số đều nhỏ hơn 1), phân số nào có phần bù lớn hơn thì bé hơn.
hiệu của hai phân số phải bằng nhau.
b. Phần hơn (hai phân số đều lớn hơn 1), phân số nào có phần bù lớn hơn thì phân số đó lớn hơn
c. Phân số trung gian: có cùng tử số với một trong hai phân số đã cho và mẫu số cùng với mẫu số còn lại.
d. Dùng đơn vị làm trùng gian.
* Xếp phân số theo thứ tự từ bé đến lớn (chia thành 3 nhóm):
a. Nhóm 1: phân số bé hơn 1.
b. Nhóm 2: phân số lớn hơn 1.
c. Nhóm 3: phân số bằng 1.
* 2 / 3 của phân số thứ nhất thì bằng 4 / 5 của phân số thứ hai muốn tìm từng số ta quy đồng tử số rồi đưa về dạng toán hiệu tỉ hoặc tổng tỉ.
* Tách phân số thành các phân số có tử số là 1 và mẫu số khác nhau:
- Xét xem MS chia hết cho các số tự nhiên nào (khác 0).
- Tử số bằng tổng cuả những số tự nhiên nào vừa tìm được.
- Viết thành các phân số có tử số là các số tự nhiên đó và mẫu số là mẫu số đã cho.
- Rút gọn các phân số để có tử số là 1 và mẫu số