Các Chuyên đề Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán Lớp 5

Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 5
chuyên đề 1: các dạng toán về chữ số và số
Thay đổi chữ số của một số
Dạng 1: Thay đổi chữ số của một số
a)Phương pháp chung: Thông thường dạng toán có cách giải sau:
 *Cách 1: Dùng phân tích số để biến đổi quan hệ trong bài toán về các đẳng thức để giải
 *Cách 2: Đưa bài toán về bài toán điền chữ số.
 *Cách 3: đưa bài toán về các dạng toán điển hình.
b) Ví dụ minh họa:
+Bài toán 1: Cho một số có 3 chữ số trong đó chữ số hàng đơn vị là 8. Nếu chuyển chữ số 8 lên đầu thì ta được một số mới có 3 chữ số, số mới đem chia cho số ban đầu được thương là 5 dư 25. Tìm số đó.
Giải: Gọi số cần tìm là ab8 thì số mới là 8ab. Theo đề bài ta có: 8ab = ab8 x 5 + 25
 Hay : 800 + ab = ( ab x 10 + 8 ) x5 + 25 => 800 + ab = ab x 50 + 40 + 25
 800 + ab = ab x 50 + 65 => ab x 49 = 800 – 65 => ab x 49 = 735
 ab = 735 : 49 => ab = 15. Vậy số cần tìm là: 158
 Thư lại: 815 : 158 = 5 ( dư 25 )
+ Bài toán 2: Cho một số có 3 chữ số trong đó chữ số hàng trăm là 5. Nếu chuyển số 5 ra đằng sau số đó thì được số mới có 3 chữ số kém số ban đầu 324 đơn vị.
Giải: Gọi số cần tìm là 5ab thì số mới là ab5. Theo đề bài ta có: 5ab – ab5 = 324
 Hay: 500 + ab – ( ab x 10 + 5) = 324 => 500 + ab – ab x 10 – 5 = 324
 ab x 9 = 171 => ab = 171 : 9 => ab = 19 . Vậy số cần tìm là 519.
c) Các bài toán:
1- Tìm số có 4 chữ số mà chữ số tận cùng là 5. Nếu chuyển số 5 này lên đầu ta được số mới kém số đó 531 đơn vị.
2- Tìm số có hai chữ số, biết rằng nếu ta đổi chỗ hai chữ số của chúng cho nhau thì ta được một số mới kém số ban đầu 45 đơn vị.
3- Hãy tìm một số tự nhiên có 2 chữ số sao cho khi đổi vị trí của hai chữ số rồi viết thêm chữ số 0 vào bên phải của hai chữ số thì được số mới gấp 45 lần số phải tìm.
4- Tìm số có 3 chữ số, biết rằng nếu chuyển chữ số 7 ở hàng đơn vị của số đó lên đầu thì được một số mới gấp 2 lần số cũ và thêm 21 đơn vị.
5- Tìm số có hai chữ số biết rằng tổng các chữ số của số đo bằng 9 và nêu đổi chỗ các hai chữ số của số đó cho nhau ta được số mới hơn số cũ 45 đơn vị.
6- Tìm số có hai chữ số biết rằng tổng các chữ số của số đó bằng 15 và nếu đổi chỗ hai chữ số của số đo cho nhau ta được hai số mới có hiệu là 9 đơn vị.
7- Tìm số thập phân abc,de1 biết abc,de1 : 0,3 = 1abc,de
II- Dạng 2: Thêm, bớt chữ số của một số
a) Phương pháp chung: 
*Cách 1: Đưa bài toán về dạng toán điển hình để giải.
*Cách 2: Dùng phân tích số để biến đổi mối quan hệ trong bài toán về đẳng thức đơn giản để giải (thường chỉ đối với bài toán cho biết số cần tìm có số lượng chữ số cụ thể).
b) Ví dụ:
+ Bài toán 1: Tìm một số có 2 chữ số, biết rằng nếu viết thêm chữ số 3 vào bên trái số đó ta được số mới ( có 3 chữ số ) bằng 5 lần số phải tìm.
.Cách 1: Gia sư số cần tìm là ab ( a # 0). Khi viết thêm chữ số 3 vào bên trái số ab thì ta được một số mới 3ab. Ta có 3ab – ab = 300
Theo đề bài nếu biểu diễn số cần tìm là 1 đoạn thẳng thì số mới là 5 đoạn thẳng nh­ thỊ.
Số cần tìm là: 300 : ( 5 – 1 ) = 75.
. Cách 2: Sử dụng phân tích cấu tạo số.
+ Bài toán 2: Tìm một số có 3 chữ số có chữ số hàng đơn vị là 3. Nếu xóa chữ số 3 đó ta được một số mới kém số phải tìm là 408 đơn vị.
. GV giải tương tự bài toán 1.
Số cần tìm là 45.
c) Các bài tập:
1- Tìm số có 3 chữ số biết rằng nÕu viết thêm chữ số 2 vào bên trái số đó thì ta được một số mới bằng 17 lần số phải tìm.
2- Tìm một số biết rằng nếu viết thêm chữ số 0 vào bên phải số đó thì ta được một số mới lớn hơn số phải tìm là 18 036 đơn vị.
3- Tìm một số biết rằng nếu viết thêm số 97 vào bên phải số đó thì ta được một số mới lớn hơn số phải tìm là 1 978 đơn vị.
4- Tìm một số có 3 chữ số trong đó chữ số hàng trăm là 5 và nếu xóa chữ số này thì số đó giảm đi 26 lần.
5- Tìm một số có 3 chữ số biết rằng nếu xóa đi một chữ số ở hàng đơn vị của số đó thì ta được số mới nhỏ hơn số ban đầu là: a) 252 đơn vị. b) 142 đơn vị.
6- Cho một số có hai chữ số, nêu viết thêm một chữ số a vào đằng trước số đó ta được số mới gấp 3 lần số đã cho. Tìm số đó và chữ số a.
7- Tìm số tự nhiên biết rằng nếu viết thêm chữ số 0 vào giữa chữ số hàng chục và hàng đơn vị của số đó thì ta được một số gấp 7 lần số đó.
8- Tìm một số tự nhiên biết rằng khi viết xen vào giữa hai chữ số của nó chính số đó thì số đó được tăng thêm 1180 đơn vị.
9- Nếu xen vào giữa các chữ số của một số có 2 chữ số chính số đó thì ta được một số mới có 4 chữ số và gấp 99 lần số ban đầu. Tìm số đó.
10- Tìm số có 3 chữ số biết rằng khi viết thêm chữ số 1 vào bên phải số đó thì ta được một số gấp 3 lần số có được bằng cách viết thêm chữ số 2 vào bên trái số đó.
B- Tìm số theo diều kiện cho trước về chữ số.
I- Dạng 1: Vận dụng cấu tạo số.
a) Phương pháp giải:
 - Diễn tả số cần tìm qua các kÝ hiệu kèm theo các điều kiện ràng buộc của các kÝ hiệu đó.
 - Diễn tả mối quan hệ trong bài toán bằng các đẳng thức toán.
 - Biến đổi các đẳng thức đã lập được về các đẳng thức đơn giản hơn.
 - Dùng phương pháp lựa chọn.
 - Thư lại để xác định số cần tìm.
b) Ví dụ:
 +Bài toán 1: Tìm số có hai chữ số biết rằng số đó gấp 14 lần chữ số hàng chục của nó.
 Giải: Gọi số cần tìm là ab ( 1 < = a< 10 ; 0 <=b < 10)
 Theo đề bài ta có: ab = a x 14, hay: a x 10 + b = a x 14 => a x 10 + b = a x 4 + a x 10
 b = a x 4. Do 0 < = b < 10 nên a chỉ có thể lấy các giá trị: 1 ; 2.
a
b = a x 4
Số cần tìm
1
2
4
8
14
28
Thư lại: 14 = 1 x 14 ( đúng)
 28 = 2 x 14 ( đúng)
+Bài toán 2: Tìm số tự nhiên khác 0, biết rằng số đó gấp 21 lần chữ số hàng đơn vị của nó.
Giải: Gọi số cần tìm là Ab, với A là chỉ số chục và b là chữ số hàng đơn vị ( 0 < b < 10 )
 Theo đề bài ta có: Ab = b x 21. Hay: A x 10 + b = b x 21 => A x 10 + b = b x 20 + b
 A x 10 = b x 20 => A x 10 = b x 2 x 10 => A = b x 2
Ta có :
b
1
2
3
4
5
6
7
8
9
A
2
4
6
8
10
12
14
16
18
Số cần tìm
21
42
63
84
105
126
147
168
189
Thư lại: Ta thấy các số vừa tìm được đều thỏa mãn đề bài.
II- Dạng 2: Dùng phương pháp lựa chọn.
Ví dụ:
+ Bài toán 1: Tìm số có hai chữ số biết tổng các chữ số của số đó bằng 9 và tích các chữ số của số đó bằng 18.
Giải: Gọi số cần tìm là ab ( a # 0. Theo đề bài ta có: a + b = 9 và a x b = 18.
 Các số mà tổng các chữ số bằng 9 là: 18; 27; 36; 45; 54; 63; 72; 81; 90.
Trong các số đó ta chỉ thấy có 36 và 63 là phù hợp điều kiện: tích các chữ số bằng 18 ( 3 x 6 = 18). Vậy số cần tìm là: 36; 63.
( Ta cũng có thể lập bảng để thư chọn)
+ Bài toán 2: Tìm số có 2 chữ số mà chữ số hàng chục lớn hơn chữ số hàng đơn vị và nếu đem số đó trừ đi 5 thì được số có 2 chữ số giống nhau.
Giải: Các số có hai chữ số mà 2 chữ số giống nhau là: 11; 22; 33; 44; 55; 66; 77; 88; 99. Theo đề bài ta có: ( Số cần tìm ) – 5 = aa. Hay ( Số cần tìm) = aa + 5
aa
11
22
33
44
55
66
77
88
99
Số cần tìm
16
27
38
49
60
71
82
93
104
Kết quả
Loại
Loại
Loại
Loại
Nhận
Nhận
Nhận
Nhận
Loại
Số cần tìm là : 60; 71; 82; 93.
III- Dạng 3: Đưa về bài toán điền chữ số.
Ví dụ: Tìm một số có 5 chữ số biết rằng số đó tăng lên 9 lần nếu viết 5 chữ số của số đó theo thứ tự ngược lại.
 Giải: Gọi số cần tìm là abcde ( a # 0). Theo đề bài ta có: 
 abcde Ta thấy a phải nhỏ hơn 2 để cho abcde x 9 thì được số có 5 chữ số. Do a khác 0 nên a =1 
 x 9 để 9 x 9 có tận cùng là 1. Ta có: 1bcd9 
 edcba x 9
 9dcb1
 - Nếu b = 1, ta có : 11cd9 Ta thấy d = 7 để cho 7 x 9 + ( nhớ) có tận cùng là 1. Lúc đó dù c = 0
 x 9 thì 11079 x 9 khác 97011, còn c > hoặc = 1 thì 11cd9 x 9 là số có
 9cd11 sáu chữ số. Vậy b không thể là 1.
 - Nếu b = 0 ta có: 10cd9
 x 9
 9cd01
 Ta thấy d = 8 để cho 8 x 9 + 8( nhớ) có tận cùng bằng 0. Vậy 100c89 x 9 = 98c01
 Hay: ( 10089 + c00) x 9 = 98001 + c00 => 10089 x 9 + c00 x 9 = 98001 + c00
 90801 + c00 x 8 = 98001 + c00 => 90801 + c00 x 8 = 90801 + 7200
 c00 x 8 = 7200 => c00 = 7200 : 8 => c00 = 900. Ta có c = 9. Vậy số cần tìm là 10989.
Các bài tập ứng dụng
 1- Tìm một số tự nhiên biết rằng số đó gấp 71 lần chữ số hàng đơn vị của nó.
 2- Tìm số tự nhiên biết rằng số đó gấp 51 lần chữ số hàng chục của nó.
 3- Tìm số tự nhiên có hai chữ số biết rằng số đó gấp 9 lần tổng các chữ số của nó.
 4- Tìm số có hai chữ số biết rằng số đo bằng 8 lần chữ số hàng chục cộng với 7 lần chữ số hàng đơn vị.
 5- Tìm số có hai chữ số biết rằng số đó gấp 12 lần hiệu giữa các chữ số của nó.
6- Tìm số tự nhiên có hai chữ số biết rằng tổng của số đó với các chữ số của nó là 103.
 7- Tìm số có hai chữ số biết rằng tổng của số đó với số có hai chữ số nh­ thỊ nhưng viết theo thứ tự ngược lại là 187.
 8- Tìm số có hai chữ số biết rằng tổng các chữ số của số đó bằng số lẻ nhỏ nhất của hai chữ số, còn chữ số hàng đơn vị thì lớn hơn chữ số hàng chục là 3 đơn vị.
 9- Tìm số có bốn chữ số biết rằng tích của hai chữ số ngoài cùng là 40, tích của hai chữ số ở giữa là 28, chữ số hàng nghìn nhỏ hơn chữ số hàng đơn vị, chữ số hàng chục nhỏ hơn chữ số hàng trăm.
 10- Tìm số lẻ có ba chữ số biết rằng nếu dem số đó cộng với 631 thì được số có ba chữ số giống nhau.
11-Tìm số có hai chữ số biết rằng tích các chữ số của số đó là 12, còn tổng các chữ số của số đó là7
 12- Tìm số có năm chữ số biết rằng số gồm 5 chữ số trên viết theo thứ tự ngược lại bằng 4 lần số phải tìm.
C- Các bài toán về chữ số tận cùng.
 I- Dạng 1: Xác định số chẵn số lẻ.
 *Ghi nhớ: 1- Tổng các số chẵn là một số chẵn. Tổng các số lẻ là: Số chẵn khi lượng số lẻ là số chẵn. Là số lẻ khi lượng số lẻ là số lẻ. Tổng số chẵn với số lẻ là số lẻ.
 2- Hiệu của hai số lẻ là số chẵn. Hiệu của hai số chẵn là số chẵn. HiÖu SC – SL = SL.
 3- Tích của các số lẻ là số lẻ. Tích có một thừa sô là SC thì tích là SC.
 *Ví dụ: 1)Tổng của 1997 số tự nhiên liên tiếp bắt đầu từ 1 là một số chẵn hay lẻ? ( không cần tính tổng).
 Giải: Từ 1 đến 1997 có 1997 số tự nhiên liên tiếp, trong đó các số lẻ gồm: 1; 3; 5; 7; ; 1997 và các số chẵn gồm có 2; 4; 6; 8; ; 1996.
 Số lượng số lẻ là: (1997 – 1) : 2 + 1 = 999 ( số). Số lượng số chẵn là: (1996 – 2) : 2 + 1 = 998 ( số)
 Ta có: Tổng của 999 số lẻ là số lẻ. Tổng của 998 số chẵn là số chẵn. Tổng của một số chẵn với một số lẻ là một số lẻ. Vậy tổng của 1997 số tự nhiên liên tiếp bắt đầu từ 1 là một số lẻ.
 2) Không cần làm tính em hãy xem xét các phép tính sau đúng hay sai? Giải thích:
 a) 672 x 41 x 37 = 1 019 423 b) 1 472 + 6 210 + 532 + 946 = 9161 
Giải: a) Kết quả là sai. Vì có một thừa số chẵn ( 672) nên tích phải là số chẵn mà 1 019 423 là số lẻ.
 b) Kết quả sai. Vì có tổng các số chẵn là số chẵn mà 9 161 là số lẻ.
II- Dạng 2: Xác định một chữ số tận cùng.
*Ghi nhớ: 1- Chữ số tận cùng của một tổng bằng chữ số tận cùng của tổng các chữ số hàng đơn vị của các số hạng trong tổng ấy.
 2- Chữ số tận cùng của một tích bằng chữ số tận cùng của tích các chữ số hàng đơn vị của các thừa số trong tích ấy.
 3- .Tích một số chẵn với một số tận cùng là 5 thì tận cùng là 0.
 . Tích một số lẻ với một số tận cùng là 5 thì tận cùng là 5.
 . Tích các số tận cùng là 1 thì tận cùng là 1, tận cùng là 6 thì là 6.
 . Tích a x a không thể tận cùng bằng 2; 3; 7; hoặc 8.
*Ví dụ:
 1) Tìm các chữ số tận cùng của tích sau: a) 1 x 3 x 5 x 7 x x 57 x 59.
 b) 2 x 12 x 22 x  x 82 x 92 . c) 39 x 49 x 59 x  x 1 979 x 1 989.
 Giải: a) Trong phép nhân có chứ thừa số 5 nên tích là một số chia hết cho 5, do đó chữ số tận cùng của tích là 0 hoặc 5. Vì các thừa số là số lẻ nên tích là số lẻ. Vậy chữ số tận cùng của tích là 5.
 b) Tích gồm các thừa số tận cùng là 2 nên tích có 10 thừa số và ta có:
 2 x 12 x 22 x 32 x 42 x 52 x 62 x 72 x 82 x 92.
 **6 x *  *6 x **4
 *  *6 x **4 = *  *4
Do tích của hai số tận cùng bằng 2 thì có tận cùng là 4; tích của bốn số tận cùng bằng 2 thì có tận cùng là 6; tích của số có tận cùng bằng 6 với số có tận cùng là 4 thì có tận cùng là 4, nên tích:
 2 x 12 x 22 x  x 82 x 92 có chữ số tận cùng là 4.
 c) Ta thấy: 49 – 39 = 10; 59 – 49 = 10; 1989 – 1979 = 10. Vậy qui luật dãy số cách nhau 10 đơn vị. Ta có tích gồm các thừa số có hàng đơn vị là 9 từ 39 đến 1989.
 Số lượng thừa số của tích là: (1989 – 39) : 10 + 1 = 196 thừa số.
 Do tích của hai số tận cùng bằng 9 thì có tận cùng là 1. 39 x 49 = 1911 nên ta tách các thừa số của tích thành nhóm mỗi nhóm có hai thừa số liền nhau rồi thay thế 2 thừa số bằng tích riêng của chúng ( có tận cùng là 1). Số nhóm có là: 196 : 2 = 98 (nhóm)
 Tích có thể viết: **1 x **1 x **1 x  x **1 = **1
 98 thừa số
 Vì tích các số có tận cùng là 1, nên tích 39 x 49 x 59 x  x 1979 x 1989 có chữ số tận cùng là 1.
 2) Hãy cho biết chữ số tận cùng của kết quả dãy tính sau:
 a) 81 x 82 x 83 x 84 + 85 x 86 + 87 x 88 x 89 x 90 + 91 x 92 x 93
 b) 81 x 63 x 45 x 27 – 37 x 29 x 51 x 12.
 Gi ải: a) Ta thấy : - Do 1 x 2 x 3 x 4 = 24 nên 81 x 82 x 83 x 84 có chữ số tận cùng là 4.
 - Do 5 x 6 = 30 nên 85 x 86 có chữ số tận cùng là 0.
 - Do 7 x 8 x 9 x 0 = 0 nên 87 x 88 x 89 x 90 có chữ số tận cùng là 0.
 - Do 1 x 2 x 3 = 6 nên 91 x 92 x 93 có chữ số tận cùng là 6.
 Vì 4 + 0 + 0 + 6 = 10 nên kết quả dãy tính có chữ có tận cùng là 0.
 b) Ta thấy: - Do 1 x 3 x 5 x 7 = 105 nên 81 x 63 x 45 x 27 có số tận cùng là 5.
 - Do 7 x 9 x 1 x 2 = 126 nên 37 x 29 x 51 x 12 có chữ số tận cùng là 6.
 Vậy : 81 x 63 x 45 x 27 – 37 x 29 x 51 x 12 = **5 - *...*6 = **9. Dãy số có tận cùng là 9.
 * Các bài tập luyện tập:
 1- Không cần tính kết quả hãy kiểm tra kết quả của các phép tính sau đây đúng hay sai? Giải thích.
 a) 9783 + 1789 + 8075 + 301 + 2779 = 22472.
 b) 568 + 12540+ 6384 = 8191
 c) 4624 x 123 = 568751’
 d) ( 20 + 4 + 6 +  + 100 + 102) : 3 = 815
 e) abc x abc – 853467 = 0
 2- a) Nếu tổng của hai số tự nhiên là một số lẻ thì tích của chóng có thể là một số lẻ được không.
 b) Nếu tích của hai số tự nhiên là một số lẻ thì tổng của chóng có thể là một số lẻ được không?
 c) Số 2003 có thể là tích của ba số tự nhiên liên tiếp nào?
3- Tổng của 2003 số tự nhiên liên tiếp bắt đầu từ 1 là số chẵn hay lẻ? ( không cần tính tổng)
4- Có thể tìm số tự nhiên A và B sao cho (A + B) x ( A –B) = 2010 hay không?
5- An mua một số vở. An đưa cho bạn Bình và bạn Châu đếm lại. Bình đếm mỗi lần 6 quyển thì thừa 2 quyển, Châu đếm mỗi lần 4 quyển thì thừa 3 quyển. Em hãy chứng tỏ trong hai bạn Bình và Châu có ít nhất một bạn đếm sai?
6- Các tích sau tận cùng bằng chữ số nào:
a) 24 x 34 x 44 x  x 114 x 124.
b) 198 x 208 x 218 x  x 448 x 458.
c) 3 x 13 x 23 x  x 103.
d) 17 x 37 x 57 x 77 x  x 157 x 177.
 7- Hãy cho biết chữ số tận cùng của kết quả dãy tính sau:
 a) 11 x 22 x 33 x 44 + 55 + 66 x 77 x 88 x 99.
 b) 32 x 44 x 75 x 69 – 21 x 49 x 65 x 55.
 c) 1991 x 1992 x 1993 x 1994 x 1995 x 1996 x 1997 x 1988.
 8- Tìm bốn số tự nhiên liên tiếp có tích bằng 255024 và 24024.
 Chuyên đề 2: các dạng toán về dãy số nguyên.
A- Dãy số tự nhiên và dãy số cách đều.
 I- Dạng 1: Tìm qui luật thành lập dãy số, điền thêm số hạng vào dãy số.
 * Ví dụ: Tìm qui luật thành lập và điền tiếp 3 số hạng nữa vào dãy số 0; 1; 1; 2; 3; 5; 8; 
 + Ta nhận thấy: 1 = 0 + 1; 2 = 1 + 1; 3 = 1 + 2; 5 = 2 + 3; 8 = 3 + 5; .
 Vậy dãy số đã cho được thành lập theo qui luật: kể từ số hạng thứ ba trô đi mỗi số hạng đều bằng tổng hai số hạng liên tiếp ngay trước nó. Ta có 3 số hạng tiếp theo của dãy số là:
 5 + 8 = 13; 8 + 13 = 21; 13 + 21 = 34. Ta có dãy số: 0; 1; 1; 2; 3; 5; 8; 13; 21; 34; 
 II- Dạng 2: Xác định số a có thuộc dãy đã cho hay không?
Ví dụ: Cho hai dãy số: 1) 3; 6; 9; và 2) 4; 7; 10; 13; 
Hỏi số 1997 có phải là một số hạng của dãy số đã cho không?
Ta thấy: - Dãy số 3; 6; 9;  gồm các số chia hết cho 3 và dãy số 4; 7; 10; 13;  gồm các số hạng chia cho 3 dư 1. Do 1997 chia cho 3 dư 2 nên 1997 không phải là một số hạng của các dãy số trên.
 III- Dạng 3: Xác định số hạng và số lượng số trong dãy số.
 * Ví dụ: Cho dãy số: 354; 355; 356;  ; 2005; 2006. Hỏi:
 a) Dãy số đó có bao nhiêu số? b) Dãy số đó có bao nhiêu chữ số? c) Số hạng thứ 100 là số nào?
 * Giải: Dãy số 354; 355; 356; ; 2005; 2006 là dãy số tự nhiên liên tiếp bắt dầu từ số 354.
a) Số lượng các số có trong dãy số là: ( 2006 – 354 ) + 1 = 1653 ( số)
b) Ta có: + Các số có ba chữ số gồm: 354; 355; 356; ; 998; 999 có tất cả: 
 ( 999 – 354 ) + 1 = 646 ( số có ba chữ số)
 + Các số có bốn chữ số gồm: 1000; 1001; 1002; ; 2005; 2006 có tất cả:
 ( 2006 – 1000) + 1 = 1007(số có bốn chữ số)
 Vậy dãy số cos tất cả: 3 x 646 + 4 x 1007 = 5966 ( chữ số)
c) Nhận xét: Theo câu b) ta có 646 số có ba chữ số nên số hạng thứ 100 là số có ba chữ số.
 Số hạng thứ nhất là: 354. Số hạng thứ hai là: 354 + 1 x ( 2 – 1 ) = 355
 Số hạng thứ ba là: 354 + 1 x ( 3 – 1 ) = 356
 Số hạng thứ tư là: 354 + 1 x ( 4 – 1 ) = 357 v.v
 Ta thấy mỗi số hạng trong dãy số bằng số hạng thứ nhất cộng với tích của 1 và hiệu của số thứ tự của số đó với 1. Do đó ta có: Số hạng thứ n là: 354 + 1 x ( n – 1 )
 Số hạng thứ 100 là: 354 + 1 x ( 100 – 1 ) = 453.
IV-Dạng 4: Xác định số hạng và số lượng trong dãy số cách đều.
Ví dụ: Cho dãy số: 2; 4; 6; 8; 10; ; 2004.
 a) Hỏi dãy số đó có bao nhiêu chữ số? 
b) Nếu phải viết 184 csè thì viết đến số nào?
c) Tìm chữ số thứ 2000 của dãy số.
 *Gi ải:
 a) Dãy số đã cho là dãy số chẵn liên tiếp bắt đầu từ 2 đến 2004. Hai số chẵn liên tiếp hơn ( kém) nhau 2 đơn vị. Ta thấy trong dãy số đó: 
+ Từ 2 đến 8 có: (8 – 2) : 2 + 1 = 4 (chữ số)
+ Từ 10 đến 98 có: ( 98 – 10 ) : 2 + 1 = 45 ( số có hai chữ số)
+ Từ 100 đến 998 có: ( 998 – 100) : 2 + 1 = 450 ( số có ba chữ số)
+ Từ 1000 đến 2004 có: ( 2004 – 1000 ) : 2 + 1 = 503 ( số có bốn chữ số)
 Vậy số lượng chữ số của dãy số là: 1 x 4 + 2 x 45 + 3 x 450 + 4 x 503 = 3456 ( chữ số)
 b)Ta thấy: Nếu viết các số chẵn liên tiếp từ 2 đến 98 thì phải viết tới: 1 x4 +2 x 45 = 94 (chữ số)
 Nếu viết các số chẵn liên tiếp từ 2 đến 998 thì phải viết tới: 1 x 4 + 2 x45 +3 x 450 =1444( csè)
 Do 94 < 184 < 1444 nên 184 chữ số chỉ dùng để viết các số chẵn có 3 chữ số.
 Số lượng chữ số dùng để viết các số chẵn có 3 chữ số là: 184 – 94 = 90 ( chữ số)
 Số lượng số chẵn có 3 chữ số viết được là: 90 : 3 = 30 ( số).
 Hai số chẵn liên tiếp hơn kém nhau 2 đơn vị và số khoảng cách ít hơn số lượng số là 1 nên:
 Số khoảng cách ( mỗi khoảng cách 2 đơn vị ) là: 30 – 1 = 29 ( khoảng cách )
 Số chẵn có 3 chữ số thứ 30 hơn số 100 là: 2 x 29 = 58 ( đơn vị )
 Số chẵn có 3 chữ số thứ 30 của dãy số là: 100 + 58 = 158.
 Vậy nếu 184 chữ số thì viết đến số 158.
c) Ta thấy: 
Nếu viết các số chẵn liên tiếp từ 2 đến 998 thì phải viết tới: 1 x 4 + 2 x45+3 x 450=1444(chữ số) 
Nếu viết các số chẵn liên tiếp từ 2 đến 2004 thì phải viết tới 3 456 chữ số (theo câu a).
Do 1444 < 2000 < 3456 nên chữ số thứ 2000 thuộc các số chẵn có 4 chữ số.
Số lượng chữ số dùng để viết các số chẵn có 4 chữ số là: 2000 – 1444 = 556 ( chữ số)
Số lượng số chẵn có 4 chữ số là: 556 : 4 = 139 ( số)
Số chẵn có 4 chữ số đầu tiên là 1000, số chẵn có 4 chữ số thứ 139 là: 1000+(139-1)x2=1276
 Vậy dãy số chẵn liên tiếp từ 2 đến 1276 có đúng 2000 chữ số.
 Do đó chữ số thứ 2000 của dãy số là 6 ( của số 1276).
V- Dạng 5: Viết dãy số “ cách đều”
 *Ví dụ: Viết dãy số cách đều biết số hạng đầu tiên là 1 và số hạng thứ 20 là 77.
 *Hiệu của số hạng thứ 20 và số hạng đầu tiên là: 77 – 1 = 76
 Từ số hạng thứ nhất đến số hạng thứ 20 có số khoảng cách là: 20 – 1 = 19 ( khoảng cách)
 Giá trị mỗi khoảng cách là: 76 : 19 = 4 ( đơn vị)
 Vậy dãy số phải tìm là: 1; 5; 9; 13; 17;  ; 77; 
 VI- Dạng 6: Tính tổng các số hạng trong dãy số “cách đều”.
Công thức tính tổng:
Nếu n là số chẵn thì : a1 + a2 +  + an = ( a1 + an) x 
Nếu n là số lẻ thì: a1 + a2 +  + an = a1 + ( a2 + an ) x 
Các bài tập ứng dụng
 1- Tìm qui luật thành lập của dãy số sau, rồi điền tiếp theo 3 số hạng vào dãy số:
 a) 1; 4; 7; 10;  b) 5; 7; 12; 19; 31; 50;  c) 5; 8; 11; 24; 43; 78; 
d) 1; 4; 9; 16; 25;  e) 1; 2; 6; 24; 120;  g) 2; 20; 56; 110; 182; 
2- Tìm số hạng ®µu tiên của dãy số sau: ; 10; 16; 26; 42 . Biết dãy số có 7 số hạng.
3- Điền thêm sáu số hạng nữa vào tổng sau: 9 + + 16 = 100.
4- Em hãy cho biết 50 và 133 có thuộc dãy số sau không: 90; 95; 100; 
5- Em hãy cho biết: a) Số 2006 có thuộc dãy số: 1; 4; 7; 10; 
 b) Số nào trong các số: 666; 1000; 9999 thuộc dãy số: 3; 6; 12; 24; 
6- Cho dãy số: 100; 97; 94;  có bao nhiêu số hạng biết rằng số hạng cuối cùng của dãy số đó là số nhỏ nhất có 1 chữ số khác 1 và chia 3 dư 1? Tìm số hạng thứ 17 của dãy số.
7- Từ 1 đến 2004 có bao nhiêu chữ số tận cùng là 4? 
8- Cho dãy số: 1; 3; 5; 7; ; 2005. Hỏi dãy số có bao nhiêu số hạng và số hạng thứ 100 là số nào?
9- a) Từ 563 đến 2005 có bao nhiêu số tự nhiên liên tiếp?
 b) Dãy số lẻ liên tiếp từ 147 đến 2005 có bao nhiêu số?
 c) Dãy số chẵn liên tiếp từ 140 đến 2004 có bao nhiêu số?
10- Hãy viết dãy số cách đều có 10 số hạng đều là các số tự nhiên, biết số hạng đầu tiên là 10 và số hạng cuối cùng là 37.
11- Cho dãy số cách đều có 9 số hạng, có số hạng thứ năm là 19 và số hạng thứ chín là 35. Hãy viết đủ các số hạng của dãy số đó.
12- a) Viết tất cả 50 số chẵn liên tiếp bắt đầu từ 1996. Hỏi số cuối cùng phải viết là số nào?
 b) Viết 96 số chẵn liên tiếp. Số cuối cùng của dãy là 2004. Hỏi số đầu tiên của dãy là số nào?
13- Người ta đánh máy chữ các số: 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; để dán vào trong một quyển sách dày 500 trang ( đánh số trang ). Hỏi phải gõ vào máy chữ bao nhiêu lần( chỉ tính những lần gõ vào chữ số và giả sử không lần nào gõ nhầm)?
14- Viết các số tự nhiên liên tiếp bắt đầu từ 1. Hỏi chữ số thứ 2004 là chữ số nào?
15-Viết liên tiếp các số chẵn bắt đầu từ 2004. Hỏi nếu phải viết 480 chữ số thì phải viết đến số nào?
16- Tính các tổng sau: a) 1 + 3 + 5 + 7 +  + 2005 
b) 1 + 4 + 9 + 16 ++ 100 c) 2 + 4 + 8 + 16 + .( có 16 số hạng).
17- Một phòng họp có hàng ghế đầu gồm 12 ghế, hàng ghế thứ hai có 13 ghế, hàng ghế thứ ba có 14 ghế, cứ xếp như thế nào cho đến hàng ghế cuối cùng có 30 ghế. Hỏi phòng họp có bao nhiêu hàng ghế? Và phòng họp ấy có đủ cho 390 người ngồi không?
Chuyên đề 3: các bài toán có phương pháp giải điển hình
 Dạng I: Các bài toán về số trung bình cộng.
 Dạng II: Các bài toán về tìm hai số khi biết tổng và hiệu của hai số dã.
 1- Tìm hai số chẵn liên tiếp có tổng bằng 98.
2- Tìm hai số lẻ có tổng bằng 120, biết giữa chóng có 5 số chẵn.
3- Trung bình cộng của hai số bằng 59. Tìm hai số biết số lớn hơn số bé 6 đơn vị.
4- Tìm hai số biết trung bình cộng của hai số là 23,8 và số thứ nhất hơn số thứ hai 4,5 đơn vị.
5- Anh hơn em 5 tuổi, 5 năm sau tổng số tuổi của hai anh em là 25 tuổi. Tính số tuổi của mỗi người hiện nay.
6- Một thửa ruộng HCN có chu vi là 188m. Chiều rộng ngắn hơn chiều dài 17m. tính diện tích thửa ruộng đó.
7- Cho một phép cộng có số hạng thứ nhất hơn số hạng thứ hai là 15 đơn vị. Biết tổng của số hạng thứ nhất, số hạng thứ hai và tổng bằng 682. Tìm số hạng thứ hai của tổng.
8- Một phép cộng có hai số hạng là hai số chẵn liên tiếp. Tổng các số: số hạng thứ nhất, số hạng thứ hai và tổng số bằng 276. Tìm phép cộng đó biết số hạng thứ nhất lớn hơn số hạng thứ hai.
9- Cho phép trị hai số mà tổng của số bị trị, số trị và hiệu số bằng 478, hiệu số bé hơn số trị 117 đơn vị. Tìm phép trừ đó.
10- Cả hai ngày bán được 894m vải. Nếu ngày thứ nhất bán thêm 146m vải thì ngày thứ nhất bán
ít hơn ngày thứ hai 58m vải. Hỏi mỗi ngày bán được bao nhiêu mét vải.
11- Trong đợt Giúp bạn nghèo vượt khó, lớp 5A và 5B góp được 356 quyển vở. Sau đó 5A góp thêm được 54 quyển vở nữa, tính ra lớp 5A góp được nhiều hơn 5B là 24 quyển vở. Hỏi mỗi lớp góp được bao nhiêu quyển vở?
12- Cả hai ngày cửa hàng bán được 468m vải. Nếu ngày thứ nhất bán thêm 38m vải và ngày thứ hai bán thêm 26m thì ngày thứ nhất bán kém ngày thứ hai 14m vải. Hỏi mỗi ngày cửa hàng bán được bao nhiêu mét vải?
13- Tổng của hai số bằng tích của số lớn nhất có 2 chữ số và số bé nhất có 2 chữ số. Nếu số thứ nhất tăng thêm 14 đơn vị và số thứ hai giảm đi 56 đơn vị thì số thứ nhất hơn số thứ hai 84 đơn vị. Tìm hai số đó.
14- Có 17,8 kg gạo đựng trong hai bao. Nếu lấy 2,4 kg gạo từ bao thứ nhất chuyển sang bao thứ hai thì hai bao có số lượng gạo bằng nhau. Hỏi mỗi bao đựng bao nhiêu kg gã?
15- Một cái ao HCN có chu vi 400m. Nếu giảm chiều dài đi 23m và tăng chiều rộng thêm 23m thì cái ao trở thành hình vuông. Tính diện tích cái ao đó.
16- Trung bình cộng của hai số là 60. Nếu số thứ nhất tăng thêm 50 đơn vị và số thứ hai tăng thêm 150 đơn vị thì hai số bằng nhau. Tìm hai số đó.
17- Cả hai ngày bán được 468,5 m vải. Nếu ngày thứ nhất bán thêm 3,8m vải và ngày thứ hai bán thêm 2,6m thì ngày thứ nhất bán kém ngày thứ hai 14,6 m vải. Hỏi mỗi ngày cửa hàng bán được bao nhiêu mét vải?
18- Cho 3 số A, B, C có tổng bằng 5977. Tìm số A, B, C biết rằng A lớn hơn B là 36 đơn vị, C lớn hơn A là 4 đơn vị.
 19- Ba tấm vải có tổng số đo là 92,8m. Biết tấm vải thứ hai dài hơn tấm vải thứ nhất là 1,4m. và ngắn hơn tấm vải thứ ba là 0,6m. Hỏi mỗi tấm vải dài bao nhiêu mét?
20- Một kho hàng nhập về tất cả 181 tÊn hµng hóa. Ngày thứ nhất nhập ít hơn ngày thứ hai 8 tÊn và nhiều hơn ngày thứ ba là 10 tÊn. Hỏi mỗi ngày kho nhập về bao nhiêu tÊn hàng hóa?
21- Cả 3 lớp 5A, 5B, 5C cùng góp 620 quyển vở giúp bạn nghèo. Lớp 5A góp ít hơn hai lớp 5B và 5C là 1