Các Chuyên đề ôn thi vào lớp 10 môn Toán
Bạn đang xem trước 20 trang mẫu tài liệu Các Chuyên đề ôn thi vào lớp 10 môn Toán, để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
BAØI TAÄP PHAÀN RUÙT GOÏN Baøi 1 : 1) §¬n gi¶n biÓu thøc : P = . 2) Cho biÓu thøc : Q = a) Ruùt goïn bieåu thöùc Q. b) T×m x ®Ó > - Q. c) T×m sè nguyªn x ®Ó Q cã gi¸ trÞ nguyªn. Híng dÉn : 1. P = 6 2. a) §KX§ : x > 0 ; x 1. BiÓu thøc rót gän : Q = . b) > - Q x > 1. c) x = th× Q Z Baøi 2 : Cho biÓu thøc P = a) Rót gän biÓu thøc sau P. b) TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc P khi x = . Híng dÉn : a) §KX§ : x > 0 ; x 1. BiÓu thøc rót gän : P = . b) Víi x = th× P = - 3 – 2. Baøi 3 : Cho biÓu thøc : A = a) Rót gän biÓu thøc sau A. b) TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc A khi x = c) T×m x ®Ó A < 0. d) T×m x ®Ó = A. Híng dÉn : a) §KX§ : x 0, x 1. BiÓu thøc rót gän : A = . b) Víi x = th× A = - 1. c) Víi 0 x < 1 th× A < 0. d) Víi x > 1 th× = A. Baøi 4 : Cho biÓu thøc : A = a) Rót gän biÓu thøc sau A. b) X¸c ®Þnh a ®Ó biÓu thøc A > . Híng dÉn : a) §KX§ : a > 0 vµ a9. BiÓu thøc rót gän : A = . b) Víi 0 . Baøi 5 : Cho biÓu thøc: A = . 1) T×m ®iÒu kiÖn ®èi víi x ®Ó biÓu thøc cã nghÜa. 2) Rót gän A. 3) Víi x Z ? ®Ó A Z ? Híng dÉn : a) §KX§ : x ≠ 0 ; x ≠ 1. b) BiÓu thøc rót gän : A = víi x ≠ 0 ; x ≠ 1. c) x = - 2003 ; 2003 th× A Z . Baøi 6 : Cho biÓu thøc: A = . a) Rót gän A. b) T×m x ®Ó A < 0. c) T×m x nguyªn ®Ó A cã gi¸ trÞ nguyªn. Híng dÉn : a) §KX§ : x > 0 ; x ≠ 1. BiÓu thøc rót gän : A = . b) Víi 0 < x < 1 th× A < 0. c) x = th× A Z. Baøi 7 : Cho biÓu thøc: A = a) Rót gän biÓu thøc A. b) Chøng minh r»ng: 0 < A < 2. Híng dÉn : a) §KX§ : x > 0 ; x ≠ 1. BiÓu thøc rót gän : A = b) Ta xÐt hai trêng hîp : +) A > 0 > 0 lu«n ®óng víi x > 0 ; x ≠ 1 (1) +) A 2 > 0 ®óng v× theo gt th× x > 0. (2) Tõ (1) vµ (2) suy ra 0 < A < 2(®pcm). Baøi 8 : Cho biÓu thøc: P = (a 0; a 4) a) Rót gän P. b) TÝnh gi¸ trÞ cña P víi a = 9. Híng dÉn : a) §KX§ : a 0, a 4. BiÓu thøc rót gän : P = b) Ta thÊy a = 9 §KX§ . Suy ra P = 4 Baøi 9 : Cho biÓu thøc: N = 1) Rót gän biÓu thøc N. 2) T×m gi¸ trÞ cña a ®Ó N = -2004. Híng dÉn : a) §KX§ : a 0, a 1. BiÓu thøc rót gän : N = 1 – a . b) Ta thÊy a = - 2004 §KX§ . Suy ra N = 2005. Baøi 10 : Cho biÓu thøc a. Rót gän P. b. TÝnh gi¸ trÞ cña P khi c. Víi gi¸ trÞ nµo cña x th× P ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt vµ tÝnh gi¸ trÞ nhá nhÊt ®ã. Híng dÉn : a ) §KX§ : x 0, x 1. BiÓu thøc rót gän : b) Ta thÊy §KX§ . Suy ra c) Pmin=4 khi x=4. Baøi 11 : Cho biÓu thøc a. Rót gän P. b. T×m x ®Ó c. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña P. Híng dÉn : a. ) §KX§ : x 0, x 9. BiÓu thøc rót gän : b. Víi th× c. Pmin= -1 khi x = 0 Bµi 12: Cho A= víi x>0 ,x1 Rót gän A TÝnh A víi a = ( KQ : A= 4a ) Bµi 13: Cho A= víi x0 , x9, x4 . Rót gän A. x= ? Th× A < 1. T×m ®Ó (KQ : A= ) Bµi 14: Cho A = víi x0 , x1. Rót gän A. T×m GTLN cña A. T×m x ®Ó A = CMR : A . (KQ: A = ) Bµi 15: Cho A = víi x0 , x1. a . Rót gän A. b. T×m GTLN cña A . ( KQ : A = ) Bµi 16: Cho A = víi x0 , x1. a . Rót gän A. b. CMR : ( KQ : A = ) Bµi 17: Cho A = a. Rót gän A. b. T×m ®Ó ( KQ : A = ) Bµi 18: Cho A = víi a 0 , a9 , a4. a. Rót gän A. b. T×m a ®Ó A < 1 c. T×m ®Ó ( KQ : A = ) Bµi 19: Cho A= víi x > 0 , x4. Rót gän A. So s¸nh A víi ( KQ : A = ) Bµi20: Cho A = víi x0 , y0, Rót gän A. CMR : A 0 ( KQ : A = ) Bµi 21 : Cho A = Víi x > 0 , x1. a. Rót gän A. b. T×m x ®Ó A = 6 ( KQ : A = ) Bµi 22 : Cho A = víi x > 0 , x4. a. Rót gän A b. TÝnh A víi x = (KQ: A = ) Bµi 23 : Cho A= víi x > 0 , x1. a. Rót gän A b. TÝnh A víi x = (KQ: A = ) Bµi 24 : Cho A= víi x0 , x1. a. Rót gän A. b. T×m ®Ó (KQ: A = ) Bµi 25: Cho A= víi x0 , x1. a. Rót gän A. b. T×m ®Ó c. T×m x ®Ó A ®¹t GTNN . (KQ: A = ) Bµi 26 : Cho A = víi x0 , x9 . a. Rót gän A. b. T×m x ®Ó A < - ( KQ : A = ) Bµi 27 : Cho A = víi x0 , x1. a. Rót gän A b. TÝnh A víi x = (KQ: A = ) c . CMR : A Bµi 28 : Cho A = víi x > 0 , x1. a. Rót gän A (KQ: A = ) b.So s¸nh A víi 1 Bµi 29 : Cho A = Víi a. Rót gän A. b. T×m x ®Ó A = c. T×m x ®Ó A < 1. ( KQ : A = ) Bµi30 : Cho A = víi x0 , x1. a. Rót gän A. b. CMR nÕu 0 0 c. TÝnh A khi x =3+2 d. T×m GTLN cña A (KQ: A = ) Bµi 31 : Cho A = víi x0 , x1. a. Rót gän A. b. CMR nÕu x0 , x1 th× A > 0 , (KQ: A = ) Bµi 32 : Cho A = víi x > 0 , x1, x4. a. Rót gän b. T×m x ®Ó A = Bµi 33 : Cho A = víi x0 , x1. a. Rót gän A. b. TÝnh A khi x= 0,36 c. T×m ®Ó Bµi 34 : Cho A= víi x 0 , x9 , x4. a. Rót gän A. b. T×m ®Ó c. T×m x ®Ó A < 0 (KQ: A = ) BAØI TAÄP PHAÀN HAØM SOÁ BAÄC NHAÁT Baøi 1 : 1) ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng ®i qua hai ®iÓm (1 ; 2) vµ (-1 ; -4). 2) T×m to¹ ®é giao ®iÓm cña ®êng th¼ng trªn víi trôc tung vµ trôc hoµnh. Híng dÉn : 1) Gäi pt ®êng th¼ng cÇn t×m cã d¹ng : y = ax + b. Do ®êng th¼ng ®i qua hai ®iÓm (1 ; 2) vµ (-1 ; -4) ta cã hÖ pt : VËy pt ®êng th¼ng cÇn t×m lµ y = 3x – 1 2) §å thÞ c¾t trôc tung t¹i ®iÓm cã tung ®é b»ng -1 ; §å thÞ c¾t trôc hoµnh t¹i ®iÓm cã hoµnh ®é b»ng . Baøi 2 : Cho hµm sè y = (m – 2)x + m + 3. 1) T×m ®iÒu kiÖn cña m ®Ó hµm sè lu«n nghÞch biÕn. 2) T×m m ®Ó ®å thÞ cña hµm sè c¾t trôc hoµnh t¹i ®iÓm cã hoµnh ®é b»ng 3. 3) T×m m ®Ó ®å thÞ cña hµm sè trªn vµ c¸c ®å thÞ cña c¸c hµm sè y = -x + 2 ; y = 2x – 1 ®ång quy. Híng dÉn : 1) Hµm sè y = (m – 2)x + m + 3 m – 2 < 0 m < 2. 2) Do ®å thÞ cña hµm sè c¾t trôc hoµnh t¹i ®iÓm cã hoµnh ®é b»ng 3. Suy ra : x= 3 ; y = 0 Thay x= 3 ; y = 0 vµo hµm sè y = (m – 2)x + m + 3, ta ®îc m = . 3) Giao ®iÓm cña hai ®å thÞ y = -x + 2 ; y = 2x – 1 lµ nghiÖm cña hÖ pt : (x;y) = (1;1). §Ó 3 ®å thÞ y = (m – 2)x + m + 3, y = -x + 2 vµ y = 2x – 1 ®ång quy cÇn : (x;y) = (1;1) lµ nghiÖm cña pt : y = (m – 2)x + m + 3. Víi (x;y) = (1;1) m = Baøi 3 : Cho hµm sè y = (m – 1)x + m + 3. 1) T×m gi¸ trÞ cña m ®Ó ®å thÞ cña hµm sè song song víi ®å thÞ hµm sè y = -2x + 1. 2) T×m gi¸ trÞ cña m ®Ó ®å thÞ cña hµm sè ®i qua ®iÓm (1 ; -4). 3) T×m ®iÓm cè ®Þnh mµ ®å thÞ cña hµm sè lu«n ®i qua víi mäi m. Híng dÉn : 1) §Ó hai ®å thÞ cña hµm sè song song víi nhau cÇn : m – 1 = - 2 m = -1. VËy víi m = -1 ®å thÞ cña hµm sè song song víi ®å thÞ hµm sè y = -2x + 1. 2) Thay (x;y) = (1 ; -4) vµo pt : y = (m – 1)x + m + 3. Ta ®îc : m = -3. VËy víi m = -3 th× ®å thÞ cña hµm sè ®i qua ®iÓm (1 ; -4). 3) Gäi ®iÓm cè ®Þnh mµ ®å thÞ lu«n ®i qua lµ M(x0 ;y0). Ta cã y0 = (m – 1)x0 + m + 3 (x0 – 1)m - x0 - y0 + 3 = 0 VËy víi mäi m th× ®å thÞ lu«n ®i qua ®iÓm cè ®Þnh (1;2). Baøi4 : Cho hai ®iÓm A(1 ; 1), B(2 ; -1). 1) ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng AB. 2) T×m c¸c gi¸ trÞ cña m ®Ó ®êng th¼ng y = (m2 – 3m)x + m2 – 2m + 2 song song víi ®êng th¼ng AB ®ång thêi ®i qua ®iÓm C(0 ; 2). Híng dÉn : 1) Gäi pt ®êng th¼ng AB cã d¹ng : y = ax + b. Do ®êng th¼ng ®i qua hai ®iÓm (1 ; 1) vµ (2 ;-1) ta cã hÖ pt : VËy pt ®êng th¼ng cÇn t×m lµ y = - 2x + 3. 2) §Ó ®êng th¼ng y = (m2 – 3m)x + m2 – 2m + 2 song song víi ®êng th¼ng AB ®ång thêi ®i qua ®iÓm C(0 ; 2) ta cÇn : m = 2. VËy m = 2 th× ®êng th¼ng y = (m2 – 3m)x + m2 – 2m + 2 song song víi ®êng th¼ng AB ®ång thêi ®i qua ®iÓm C(0 ; 2) Baøi 5 : Cho hµm sè y = (2m – 1)x + m – 3. 1) T×m m ®Ó ®å thÞ cña hµm sè ®i qua ®iÓm (2; 5) 2) Chøng minh r»ng ®å thÞ cña hµm sè lu«n ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh víi mäi m. T×m ®iÓm cè ®Þnh Êy. 3) T×m m ®Ó ®å thÞ cña hµm sè c¾t trôc hoµnh t¹i ®iÓm cã hoµnh ®é x = . Híng dÉn : 1) m = 2. 2) Gäi ®iÓm cè ®Þnh mµ ®å thÞ lu«n ®i qua lµ M(x0 ;y0). Ta cã y0 = (2m – 1)x0 + m - 3 (2x0 + 1)m - x0 - y0 - 3 = 0 VËy víi mäi m th× ®å thÞ lu«n ®i qua ®iÓm cè ®Þnh (). Baøi 6 : T×m gi¸ trÞ cña k ®Ó c¸c ®êng th¼ng sau : y = ; y = vµ y = kx + k + 1 c¾t nhau t¹i mét ®iÓm. Baøi 7 : Gi¶ sö ®êng th¼ng (d) cã ph¬ng tr×nh y = ax + b. X¸c ®Þnh a, b ®Ó (d) ®i qua hai ®iÓm A(1; 3) vµ B(-3; -1). Baøi 8 : Cho hµm sè : y = x + m (D). T×m c¸c gi¸ trÞ cña m ®Ó ®êng th¼ng (D) : 1) §i qua ®iÓm A(1; 2003). 2) Song song víi ®êng th¼ng x – y + 3 = 0. Chñ ®Ò : Ph¬ng tr×nh – bÊt ph¬ng tr×nh bËc nhÊt mét Çn HÖ ph¬ng tr×nh bËc nhÊt 2 Èn . A. kiÕn thøc cÇn nhí : 1. Ph¬ng tr×nh bËc nhÊt : ax + b = 0. Ph¬ng ph¸p gi¶i : + NÕu a ≠ 0 ph¬ng tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt : x = . + NÕu a = 0 vµ b ≠ 0 ph¬ng tr×nh v« nghiÖm. + NÕu a = 0 vµ b = 0 ph¬ng tr×nh cã v« sè nghiÖm. 2. HÖ ph¬ng tr×nh bËc nhÊt hai Èn : Ph¬ng ph¸p gi¶i : Sö dông mét trong c¸c c¸ch sau : +) Ph¬ng ph¸p thÕ : Tõ mét trong hai ph¬ng tr×nh rót ra mét Èn theo Èn kia , thÕ vµo ph¬ng tr×nh thø 2 ta ®îc ph¬ng tr×nh bËc nhÊt 1 Èn. +) Ph¬ng ph¸p céng ®¹i sè : - Quy ®ång hÖ sè mét Èn nµo ®ã (lµm cho mét Èn nµo ®ã cña hÖ cã hÖ sè b»ng nhau hoÆc ®èi nhau). - Trõ hoÆc céng vÕ víi vÕ ®Ó khö Èn ®ã. - Gi¶i ra mét Èn, suy ra Èn thø hai. B. VÝ dô minh häa : VÝ dô 1 : Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau ®©y : a) §S : §KX§ : x ≠ 1 ; x ≠ - 2. S = . b) = 2 Gi¶i : §KX§ : ≠ 0. (*) Khi ®ã : = 2 2x = - 3 x = Víi x = thay vµo (* ) ta cã ()3 + + 1 ≠ 0 VËy x = lµ nghiÖm. VÝ dô 2 : Gi¶i vµ biÖn luËn ph¬ng tr×nh theo m : (m – 2)x + m2 – 4 = 0 (1) + NÕu m 2 th× (1) x = - (m + 2). + NÕu m = 2 th× (1) v« nghiÖm. VÝ dô 3 : T×m m Z ®Ó ph¬ng tr×nh sau ®©y cã nghiÖm nguyªn . (2m – 3)x + 2m2 + m - 2 = 0. Gi¶i : Ta cã : víi m Z th× 2m – 3 0 , v©y ph¬ng tr×nh cã nghiÖm : x = - (m + 2) - . ®Ó pt cã nghiÖm nguyªn th× 4 2m – 3 . Gi¶i ra ta ®îc m = 2, m = 1. VÝ dô 3 : T×m nghiÖm nguyªn d¬ng cña ph¬ng tr×nh : 7x + 4y = 23. Gi¶i : a) Ta cã : 7x + 4y = 23 y = = 6 – 2x + V× y Z x – 1 4. Gi¶i ra ta ®îc x = 1 vµ y = 4. BAØI TAÄP PHAÀN HEÄ PHÖÔNG TRÌNH Baøi 1 : Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh: a) b) c) d) e) f) Baøi 2 : Cho hÖ ph¬ng tr×nh : 1) Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh theo tham sè m. 2) Gäi nghiÖm cña hÖ ph¬ng tr×nh lµ (x, y). T×m c¸c gi¸ trÞ cña m ®Ó x + y = -1. 3) T×m ®¼ng thøc liªn hÖ gi÷a x vµ y kh«ng phô thuéc vµo m. Híng dÉn : Baøi 3 : Cho hÖ ph¬ng tr×nh: 1) Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh khi thay m = -1. 2) Gäi nghiÖm cña hÖ ph¬ng tr×nh lµ (x, y). T×m m ®Ó x2 + y2 ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt. Baøi 4 : Cho hÖ ph¬ng tr×nh: cã nghiÖm duy nhÊt lµ (x; y). 1) T×m ®¼ng thøc liªn hÖ gi÷a x vµ y kh«ng phô thuéc vµo a. 2) T×m c¸c gi¸ trÞ cña a tho¶ m·n 6x2 – 17y = 5. 3) T×m c¸c gi¸ trÞ nguyªn cña a ®Ó biÓu thøc nhËn gi¸ trÞ nguyªn. Baøi 5 : Cho hÖ ph¬ng tr×nh: 1) Gi¶i hÖ (1) khi a = 2. 2) Víi gi¸ trÞ nµo cña a th× hÖ cã nghiÖm duy nhÊt. Baøi 6 : X¸c ®Þnh c¸c hÖ sè m vµ n, biÕt r»ng hÖ ph¬ng tr×nh cã nghiÖm lµ . Baøi 7 : Cho hÖ ph¬ng tr×nh (a lµ tham sè). 1) Gi¶i hÖ khi a = 1. 2) Chøng minh r»ng víi mäi a hÖ lu«n cã nghiÖm duy nhÊt (x ; y) tho¶ m·n x + y 2. Baøi 8 (trang 22): Cho hÖ ph¬ng tr×nh : (m lµ tham sè). Gi¶i hÖ khi m = -1. Gi¶i vµ biÖn luËn pt theo m. Baøi 9 : (trang 24): Cho hÖ ph¬ng tr×nh : (m lµ tham sè). a) Gi¶i hÖ khi m = -1. b) Tìm giaù trò nguyeân cuûa m ñeå heä coù hai nghieäm nguyeân. c) Xaùc ñònh moïi heä coù nghieäm x > 0, y > 0. Baøi 10 (trang 23): Moät oâtoâ vaø moät xe ñaïp chuyeån ñoäng ñi töø 2 ñaàu moät ñoaïn ñöôøng sau 3 giôø thì gaëp nhau. Neáu ñi cuøng chieàu vaø xuaát phaùt taïi moät ñieåm thì sau 1 giôø hai xe caùch nhau 28 km. Tính vaän toác cuûa moãi xe. HD : Vaän toác xe ñaïp : 12 km/h . Vaän toác oâtoâ : 40 km/h. Baøi 11 : (trang 24): Moät oâtoâ ñi töø A döï ñònh ñeán B luùc 12 giôø tröa. Neáu xe chaïy vôùi vaän toác 35 km/h thì seõ ñeán B luùc 2 giôø chieàu. Neáu xe chaïy vôùi vaän toác 50 km/h thì seõ ñeán B luùc 11 giôø tröa. Tính ñoä quaûng ñöôøng AB vaø thôøi dieåm xuaát phaùt taïi A. Ñaùp soá : AB = 350 km, xuaát phaùt taïi A luùc 4giôø saùng. Baøi 12 : (trang 24): Hai voøi nöôùc cuøng chaûy vaøo moät caøi beå nöôùc caïn, sau giôø thì ñaày beå. Neáu luùc ñaàu chæ môû voøi thöù nhaát, sau 9 giôø môû voøi thöù hai thì sau giôø nöõa môùi nay beå . Neáu moät mình voøi thöù hai chaûy bao laâu seõ nay beå. Ñaùp soá : 8 giôø. Baøi 13 : (trang 24): Bieát raèng m gam kg nöôùc giaûm t0C thì toûa nhieät löôïng Q = mt (kcal). Hoûi phaûi duøng bao nhieâu lít 1000C vaø bao nhieâu lít 200C ñeå ñöôïc hoãn hôïp 10 lít 400C. Höôøng daõn : Ta coù heä pt : Vaäy caàn 2,5 lít nöôùc soâi vaø 75 lít nöôùc 200C. Baøi 14 : Khi theâm 200g axít vaøo dung dòch axít thì dung dòch môùi coù noàng ñoä 50%. Laïi theâm 300g nöôùc vaøo dung dòch môùi ñöôïc dung dòch axít coù noàng ñoä 40%. Tính noàng ñoä axít trong dung dòch ban ñaàu. Höôøng daõn :Goïi x khoái axit ban ñaàu, y laø khoái löôïng dung dòch ban ñaàu. Theo baøi ra ta coù heä pt : Vaäy noàng ñoä phaàn traêm cuûa dung dòch axít ban ñaàu laø 40%. Ph¬ng tr×nh bËc hai ®Þnh lý viet vµ øng dông A.Kiến thức cần ghi nhớ 1. Để biện luận sự có nghiệm của phương trình : ax2 + bx + c = 0 (1) trong đó a,b ,c phụ thuộc tham số m,ta xét 2 trường hợp a) Nếu a= 0 khi đó ta tìm được một vài giá trị nào đó của m ,thay giá trị đó vào (1).Phương trình (1) trở thành phương trình bậc nhất nên có thể : - Có một nghiệm duy nhất - hoặc vô nghiệm - hoặc vô số nghiệm b)Nếu a 0 Lập biệt số = b2 – 4ac hoặc / = b/2 – ac * < 0 (/ < 0 ) thì phương trình (1) vô nghiệm * = 0 (/ = 0 ) : phương trình (1) có nghiệm kép x1,2 = - (hoặc x1,2 = -) * > 0 (/ > 0 ) : phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt: x1 = ; x2 = (hoặc x1 = ; x2 = ) 2. Định lý Viét. Nếu x1 , x2 là nghiệm của phương trình ax2 + bx + c = 0 (a 0) thì S = x1 + x2 = - p = x1x2 = Đảo l¹i: Nếu có hai số x1,x2 mà x1 + x2 = S và x1x2 = p thì hai số đó là nghiệm (nếu cã ) cña ph¬ng tr×nh bËc 2: x2 – S x + p = 0 3.DÊu cña nghiÖm sè cña ph¬ng tr×nh bËc hai. Cho ph¬ng tr×nh bËc hai ax2 + bx + c = 0 (a 0) . Gäi x1 ,x2 lµ c¸c nghiÖm cña ph¬ng tr×nh .Ta cã c¸c kÕt qu¶ sau: x1 vµ x2 tr¸i dÊu ( x1 < 0 < x2 ) p = x1x2 < 0 Hai nghiÖm cïng d¬ng( x1 > 0 vµ x2 > 0 ) Hai nghiÖm cïng ©m (x1 < 0 vµ x2 < 0) Mét nghiÖm b»ng 0 vµ 1 nghiÖm d¬ng( x2 > x1 = 0) Mét nghiÖm b»ng 0 vµ 1 nghiÖm ©m (x1 < x2 = 0) 4.Vµi bµi to¸n øng dông ®Þnh lý ViÐt a)TÝnh nhÈm nghiÖm. XÐt ph¬ng tr×nh bËc hai: ax2 + bx + c = 0 (a 0) NÕu a + b + c = 0 th× ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x1 = 1 , x2 = NÕu a – b + c = 0 th× ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x1 = -1 , x2 = - NÕu x1 + x2 = m +n , x1x2 = mn vµ th× ph¬ng tr×nh cã nghiÖm x1 = m , x2 = n hoÆc x1 = n , x2 = m b) LËp ph¬ng tr×nh bËc hai khi biÕt hai nghiÖm x1 ,x2 cña nã C¸ch lµm : - LËp tæng S = x1 + x2 - LËp tÝch p = x1x2 - Ph¬ng tr×nh cÇn t×m lµ : x2 – S x + p = 0 c)T×m ®iÒu kiÖn cña tham sè ®Ó ph¬ng tr×nh bËc 2 cã nghÖm x1 , x2 tho¶ m·n ®iÒu kiÖn cho tríc.(C¸c ®iÒu kiÖn cho tríc thêng gÆp vµ c¸ch biÕn ®æi): *) x12+ x22 = (x1+ x2)2 – 2x1x2 = S2 – 2p *) (x1 – x2)2 = (x 1 + x2)2 – 4x1x2 = S2 – 4p *) x13 + x23 = (x1 + x2)3 – 3x1x2(x1 + x2) = S3 – 3Sp *) x14 + x24 = (x12 + x22)2 – 2x12x22 *) = *) = *) (x1 – a)( x2 – a) = x1x2 – a(x1 + x2) + a2 = p – aS + a2 *) (Chó ý : c¸c gi¸ trÞ cña tham sè rót ra tõ ®iÒu kiÖn cho tríc ph¶i tho¶ m·n ®iÒu kiÖn ) d)T×m ®iÒu kiÖn cña tham sè ®Ó ph¬ng tr×nh bËc hai cã mét nghiÖm x = x1 cho tríc .T×m nghiÖm thø 2 C¸ch gi¶i: T×m ®iÒu kiÖn ®Ó ph¬ng tr×nh cã nghiÖm x= x1 cho tríc cã hai c¸ch lµm +) C¸ch 1:- LËp ®iÒu kiÖn ®Ó ph¬ng tr×nh bËc 2 ®· cho cã 2 nghiÖm: (hoÆc ) (*) - Thay x = x1 vµo ph¬ng tr×nh ®· cho ,t×m ®îc gi¸ trÞ cña tham sè §èi chiÕu gi¸ trÞ võa t×m ®îc cña tham sè víi ®iÒu kiÖn(*) ®Ó kÕt luËn +) C¸ch 2: - Kh«ng cÇn lËp ®iÒu kiÖn (hoÆc ) mµ ta thay lu«n x = x1 vµo ph¬ng tr×nh ®· cho, t×m ®îc gi¸ trÞ cña tham sè - Sau ®ã thay gi¸ trÞ t×m ®îc cña tham sè vµo ph¬ng tr×nh vµ gi¶i ph¬ng tr×nh Chó ý : NÕu sau khi thay gi¸ trÞ cña tham sè vµo ph¬ng tr×nh ®· cho mµ ph¬ng tr×nh bËc hai nµy cã < 0 th× kÕt luËn kh«ng cã gi¸ trÞ nµo cña tham sè ®Ó ph¬ng tr×nh cã nghiÖm x1 cho tríc. §ª t×m nghiÖm thø 2 ta cã 3 c¸ch lµm +) C¸ch 1: Thay gi¸ trÞ cña tham sè t×m ®îc vµo ph¬ng tr×nh råi gi¶i ph¬ng tr×nh (nh c¸ch 2 tr×nh bÇy ë trªn) +) C¸ch 2 :Thay gi¸ trÞ cña tham sè t×m ®îc vµo c«ng thøc tæng 2 nghiÖm sÏ t×m ®îc nghiÖm thø 2 +) C¸ch 3: thay gi¸ trÞ cña tham sè t×m ®îc vµo c«ng thøc tÝch hai nghiÖm ,tõ ®ã t×m ®îc nghiÖm thø 2 B . Bµi tËp ¸p dông Bµi 1: Gi¶i vµ biÖn luËn ph¬ng tr×nh : x2 – 2(m + 1) +2m+10 = 0 Gi¶i. Ta cã = (m + 1)2 – 2m + 10 = m2 – 9 + NÕu > 0 m2 – 9 > 0 m 3 .Ph¬ng tr×nh ®· cho cã 2 nghiÖm ph©n biÖt: x1 = m + 1 - x2 = m + 1 + + NÕu = 0 m = 3 Víi m =3 th× ph¬ng tr×nh cã nghiÖm lµ x1.2 = 4 Víi m = -3 th× ph¬ng tr×nh cã nghiÖm lµ x1.2 = -2 + NÕu < 0 -3 < m < 3 th× ph¬ng tr×nh v« nghiÖm KÕt kuËn: Víi m = 3 th× ph¬ng tr×nh cã nghiÖm x = 4 Víi m = - 3 th× ph¬ng tr×nh cã nghiÖm x = -2 Víi m 3 th× ph¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm ph©n biÖt x1 = m + 1 - x2 = m + 1 + Víi -3< m < 3 th× ph¬ng tr×nh v« nghiÖm Bµi 2: Gi¶i vµ biÖn luËn ph¬ng tr×nh: (m- 3) x2 – 2mx + m – 6 = 0 Híng dÉn NÕu m – 3 = 0 m = 3 th× ph¬ng tr×nh ®· cho cã d¹ng - 6x – 3 = 0 x = - * NÕu m – 3 0 m 3 .Ph¬ng tr×nh ®· cho lµ ph¬ng tr×nh bËc hai cã biÖt sè = m2 – (m – 3)(m – 6) = 9m – 18 - NÕu = 0 9m – 18 = 0 m = 2 .ph¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp x1 = x2 = - = - 2 - NÕu > 0 m >2 .Ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt x1,2 = - NÕu < 0 m < 2 .Ph¬ng tr×nh v« nghiÖm KÕt luËn: Víi m = 3 ph¬ng tr×nh cã nghiÖm x = - Víi m = 2 ph¬ng tr×nh cã nghiÖm x1 = x2 = -2 Víi m > 2 vµ m 3 ph¬ng tr×nh cã nghiÖm x1,2 = Víi m < 2 ph¬ng tr×nh v« nghiÖm Bµi 3: Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau b»ng c¸ch nhÈm nhanh nhÊt 2x2 + 2007x – 2009 = 0 17x2 + 221x + 204 = 0 x2 + ()x - = 0 x2 –(3 - 2)x - 6 = 0 Gi¶i 2x2 + 2007x – 2009 = 0 cã a + b + c = 2 + 2007 +(-2009) = 0 VËy ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt: x1 = 1 , x2 = 17x2 + 221x + 204 = 0 cã a – b + c = 17 – 221 + 204 = 0 VËy ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt: x1 = -1 , x2 = - = - 12 c) x2 + ()x - = 0 cã: ac = - < 0 . Do ®ã ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt x1 , x2 .¸p dông hÖ thøc Viet ta cã : x1 + x2 = -() = - + x1x2 = - = (- ) VËy ph¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm lµ x1 = - , x2= (hoÆc x1 = , x2 = - ) d ) x2 –(3 - 2)x - 6 = 0 cã : ac = - 6 < 0 Do ®ã ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt x1 , x2 .¸p dông hÖ thøc ViÐt ,ta cã VËy ph¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm x1 = 3 , x2 = - 2 Bµi 4 : Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau b»ng c¸nh nhÈm nhanh nhÊt (m lµ tham sè) x2 + (3m – 5)x – 3m + 4 = 0 (m – 3)x2 – (m + 1)x – 2m + 2 = 0 Híng dÉn : x2 + (3m – 5)x – 3m + 4 = 0 cã a + b + c = 1 + 3m – 5 – 3m + 4 = 0 Suy ra : x1 = 2 HoÆc x2 = b) (m – 3)x2 – (m + 1)x – 2m + 2 = 0 (*) * m- 3 = 0 m = 3 (*) trë thµnh – 4x – 4 = 0 x = - 1 * m – 3 0 m 3 (*) Bµi 5: Gäi x1 , x2 lµ c¸c nghÞªm cña ph¬ng tr×nh : x2 – 3x – 7 = 0 a) TÝnh: A = x12 + x22 B = C= D = (3x1 + x2)(3x2 + x1) lËp ph¬ng tr×nh bËc 2 cã c¸c nghiÖm lµ vµ Gi¶i ; Ph¬ng tr×nh b©c hai x2 – 3x – 7 = 0 cã tÝch ac = - 7 < 0 , suy ra ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt x1 , x2 . Theo hÖ thøc ViÐt ,ta cã : S = x1 + x2 = 3 vµ p = x1x2 = -7 a)Ta cã + A = x12 + x22 = (x1 + x2)2 – 2x1x2 = S2 – 2p = 9 – 2(-7) = 23 + (x1 – x2)2 = S2 – 4p => B = = + C = = + D = (3x1 + x2)(3x2 + x1) = 9x1x2 + 3(x12 + x22) + x1x2 = 10x1x2 + 3 (x12 + x22) = 10p + 3(S2 – 2p) = 3S2 + 4p = - 1 b)Ta cã : S = (theo c©u a) p = VËy vµ lµ nghiÖm cña h¬ng tr×nh : X2 – SX + p = 0 X2 + X - = 0 9X2 + X - 1 = 0 Bµi 6 : Cho ph¬ng tr×nh : x2 – ( k – 1)x - k2 + k – 2 = 0 (1) (k lµ tham sè) 1. Chøng minh ph¬ng tr×nh (1 ) lu«n cã hai nghiÖm ph©n biÖt víi mäi gi¸ trÞ cña k 2. T×m nh÷ng gi¸ trÞ cña k ®Ó ph¬ng tr×nh (1) cã 2 nghiÖm ph©n biÖt tr¸i dÊu 3. Gäi x1 , x2 lµ nghÖm cña ph¬ng tr×nh (1) .T×m k ®Ó : x13 + x23 > 0 Gi¶i. 1. Ph¬ng tr×nh (1) lµ ph¬ng tr×nh bËc hai cã: = (k -1)2 – 4(- k2 + k – 2) = 5k2 – 6k + 9 = 5(k2 - k + ) = 5(k2 – 2.k + + ) = 5(k - ) + > 0 víi mäi gi¸ trÞ cña k. VËy ph¬ng tr×nh (1) lu«n cã hai nghiÖm ph©n biÖt Ph¬ng tr×nh (1) cã hai nghiÖm ph©n biÖt tr¸i dÊu p < 0 - k2 + k – 2 < 0 - ( k2 – 2.k + + ) < 0 -(k - )2 - < 0 lu«n ®óng víi mäi k.VËy ph¬ng tr×nh (1) cã hai nghiÖm ph©n biÖt tr¸i dÊu víi mäi k 3. Ta cã x13 + x23 = (x1 + x2)3 – 3x1x2(x1 + x2) V× ph¬ng tr×nh cã nghiÖm víi mäi k .Theo hÖ thøc viÐt ta cã x1 + x2 = k – 1 vµ x1x2 = - k2 + k – 2 x13 + x23 = (k – 1)3 – 3(- k2 + k – 2)( k – 1) = (k – 1) [(k – 1)2 - 3(- k2 + k – 2)] = (k – 1) (4k2 – 5k + 7) = (k – 1)[(2k - )2 + ] Do ®ã x13 + x23 > 0 (k – 1)[(2k - )2 + ] > 0 k – 1 > 0 ( v× (2k - )2 + > 0 víi mäi k) k > 1 VËy k > 1 lµ gi¸ trÞ cÇn t×m Bµi 7: Cho ph¬ng tr×nh : x2 – 2( m + 1) x + m – 4 = 0 (1) (m lµ tham sè) Gi¶i ph¬ng tr×nh (1) víi m = -5 Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh (1) lu«n cã hai nghiÖm x1 , x2 ph©n biÖt víi mäi m T×m m ®Ó ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt (x1 , x2 lµ hao nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (1) nãi trong phÇn 2.) Gi¶i Víi m = - 5 ph¬ng tr×nh (1) trë thµnh x2 + 8x – 9 = 0 vµ cã 2 nghiÖm lµ x1 = 1 , x2 = - 9 Cã = (m + 1)2 – (m – 4) = m2 + 2m + 1 – m + 4 = m2 + m + 5 = m2 + 2.m. + + = (m + )2 + > 0 víi mäi m VËy ph¬ng tr×nh (1) lu«n cã 2 nghiÖm ph©n biÖt x1 , x2 V× ph¬ng tr×nh cã nghiÖm víi mäi m ,theo hÖ thøc ViÐt ta cã: x1 + x2 = 2( m + 1) vµ x1x2 = m – 4 Ta cã (x1 – x2)2 = (x1 + x2)2 – 4x1x2 = 4( m + 1)2 – 4 (m – 4) = 4m2 + 4m + 20 = 4(m2 + m + 5) = 4[(m + )2 + ] => = 2 = khi m + = 0 m = - VËy ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt b»ng khi m = - Bµi 8 : Cho ph¬ng tr×nh (m + 2) x2 + (1 – 2m)x + m – 3 = 0 (m lµ tham sè) Gi¶i ph¬ng tr×nh khi m = - Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh ®· cho cã nghiÖm víi mäi m T×m tÊt c¶ c¸c gi¸ trÞ cña m sao cho ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt vµ nghiÖm nµy gÊp ba lÇn nghiÖm kia. Gi¶i: Thay m = - vµo ph¬ng tr×nh ®· cho vµ thu gän ta ®îc 5x2 - 20 x + 15 = 0 ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x1 = 1 , x2= 3 + NÕu: m + 2 = 0 => m = - 2 khi ®ã ph¬ng tr×nh ®· cho trë thµnh; 5x – 5 = 0 x = 1 + NÕu : m + 2 0 => m - 2 .Khi ®ã ph¬ng tr×nh ®· cho lµ ph¬ng tr×nh bËc hai cã biÖt sè : = (1 – 2m)2 - 4(m + 2)( m – 3) = 1 – 4m + 4m2 – 4(m2- m – 6) = 25 > 0 Do ®ã ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt x1 = = x2 = Tãm l¹i ph¬ng tr×nh ®· cho lu«n cã nghiÖm víi mäi m 3)Theo c©u 2 ta cã m - 2 th× ph¬ng tr×nh ®· cho cã hai nghiÖm ph©n biÖt.§Ó nghiÖm nµy gÊp 3 lÇn nghiÖm kia ta sÐt 2 trêng hîp Trêng hîp 1 : 3x1 = x2 3 = gi¶i ra ta ®îc m = - (®· gi¶i ë c©u 1) Trêng hîp 2: x1 = 3x2 1= 3. m + 2 = 3m – 9 m = (tho¶ m·n ®iÒu kiÖn m - 2) KiÓm tra l¹i: Thay m = vµo ph¬ng tr×nh ®· cho ta ®îc ph¬ng tr×nh : 15x2 – 20x + 5 = 0 ph¬ng tr×nh nµy cã hai nghiÖm x1 = 1 , x2 = = (tho¶ m·n ®Çu bµi) Bµi 9: Cho ph¬ng tr×nh : mx2 – 2(m-2)x + m – 3 = 0 (1) víi m lµ tham sè . BiÖn luËn theo m sù cã nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (1) T×m m ®Ó (1) cã 2 nghiÖm tr¸i dÊu. T×m m ®Ó (1) cã mét nghiÖm b»ng 3. T×m nghiÖm thø hai. Gi¶i 1.+ NÕu m = 0 thay vµo (1) ta cã : 4x – 3 = 0 x = + NÕu m 0 .LËp biÖt sè = (m – 2)2 – m(m-3) = m2- 4m + 4 – m2 + 3m = - m + 4 4 : (1) v« nghiÖm = 0 - m + 4 = 0 m = 4 : (1) cã nghiÖm kÐp x1 = x2 = - > 0 - m + 4 > 0 m < 4: (1) cã 2 nghiÖm ph©n biÖt x1 = ; x2 = VËy : m > 4 : ph¬ng tr×nh (1) v« nghiÖm m = 4 : ph¬ng tr×nh (1) Cã nghiÖm kÐp x = 0 m < 4 : ph¬ng tr×nh (1) cã hai nghiÖm ph©n biÖt: x1 = ; x2 = m = 0 : Ph¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm ®¬n x = 2. (1) cã nghiÖm tr¸i dÊu < 0 < 0 Trêng hîp kh«ng tho¶ m·n Trêng hîp 0 < m < 3 3. *)C¸ch 1: LËp ®iÒu kiÖn ®Ó ph¬ng tr×nh (1) cã hai nghiÖm 0 0 m 4 (*) (ë c©u a ®· cã) - Thay x = 3 vµo ph¬ng tr×nh (1) ta cã : 9m – 6(m – 2) + m -3 = 0 4m = -9 m = - - §èi chiÕu víi ®iÒu kiÖn (*), gi¸ trÞ m = - tho¶ m·n *) C¸ch 2: Kh«ng cÇn lËp ®iÒu kiÖn 0 mµ thay x = 3 vµo (1) ®Ó t×m ®îc m = -.Sau ®ã thay m = - vµo ph¬ng tr×nh (1) : -x2 – 2(- - 2)x - - 3 = 0 -9x2 +34x – 21 = 0 cã = 289 – 189 = 100 > 0 => VËy víi m = - th× ph¬ng tr×nh (1) cã mét nghiÖm x= 3 *)§Ó t×m nghiÖm thø 2 ,ta cã 3 c¸ch lµm C¸ch 1: Thay m = - vµo ph¬ng tr×nh ®· cho råi gi¶i ph¬ng tr×nh ®Ó t×m ®îc x2 = (Nh phÇn trªn ®· lµm) C¸ch 2: Thay m = - vµo c«ng thøc tÝnh tæng 2 nghiÖm: x1 + x2 = x2 = - x1 = - 3 = C¸ch 3: Thay m = - vµo c«ng trøc tÝnh tÝch hai nghiÖm x1x2 = => x2 = : x1 = : 3 = Bµi 10: Cho ph¬ng tr×nh : x2 + 2kx + 2 – 5k = 0 (1) víi k lµ tham sè 1.T×m k ®Ó ph¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm kÐp 2. Tim k ®Ó ph¬ng tr×nh (1) cã 2 nghiÖm x1 , x2 tho¶ m·n ®iÒu kiÖn : x12 + x22 = 10 Gi¶i. 1.Ph¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm kÐp = 0 k2 – (2 – 5k) = 0 k2 + 5k – 2 = 0 ( cã = 25 + 8 = 33 > 0 ) k1 = ; k2 = VËy cã 2 gi¸ trÞ k1 = hoÆc k2 = th× ph¬ng tr×nh (1) Cã nghiÖm kÐp. 2.Cã 2 c¸ch gi¶i. C¸ch 1: LËp ®iÒu kiÖn ®Ó ph¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm: 0 k2 + 5k – 2 0 (*) Ta cã x12 + x22 = (x1 + x2)2 – 2x1x2 Theo bµi ra ta cã (x1 + x2)2 – 2x1x2 = 10 Víi ®iÒu kiÖn(*) , ¸p dông hÖ trøc vi Ðt: x1 + x2 = - - 2k vµ x1x2 = 2 – 5k VËy (-2k)2 – 2(2 – 5k) = 10 2k2 + 5k – 7 = 0 (Cã a + b + c = 2+ 5 – 7 = 0 ) => k1 = 1 , k2 = - §Ó ®èi chiÕu víi ®iÒu kiÖn (*) ta thay lÇn lît k1
File đính kèm:
Cac chuyen de On Toan TS 10.doc
