Các chuyên đề Toán học kì II khối 11
Bạn đang xem trước 20 trang mẫu tài liệu Các chuyên đề Toán học kì II khối 11, để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
: GIÁO VIÊN: LẠI VĂN LONG TRƯỜNG THPT LÊ HOÀN
LẠI VĂN LONG 1
TRƯỜNG THPT LÊ HOÀN
Giáo viên : LẠI VĂN LONG
: GIÁO VIÊN: LẠI VĂN LONG TRƯỜNG THPT LÊ HOÀN
LẠI VĂN LONG 2
ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP HỌC KỲ II, MÔN TOÁN LỚP 11
NĂM HỌC 2013 - 2014
A. ĐẠI SỐ & GIẢI TÍCH
I. CÁC DẠNG BÀI TẬP THƯỜNG GẶP
CHƯƠNG IV : GIỚI HẠN
1/ Chứng minh dãy số (un) có giới hạn 0.
Phương pháp: - Vận dụng định lí: Nếu |un| ≤ vn, n và lim vn = 0 thì limun = 0
- Sử dụng một số dãy số có giới hạn 0: lim 01
n
, lim 01
n
, 3lim 0
1
n
, lim 0nq với |q|
< 1
2/ Tìm giới hạn của dãy số, của hàm số.
- Các quy tắc tìm giới hạn vô cực của dãy số:
+) Nếu limun = + thì lim 0
1
nu
- Các quy tắc tìm giới hạn vô cực của hàm số:
+) Nếu
0
lim
x x
f x
thì
0
lim 01
x x f x
- Chú ý khi gặp các dạng vô định: 0; ; ;0.
0
ta phải khử các dạng vô định đó bằng
cách: chia tử và mẫu cho n hoặc x mũ lớn nhất; phân tích tử hoặc mẫu thành nhân tử để đơn
giản, nhân cả tử và mẫu với một lượng liên hợp;
Phương pháp chung:
- Sử dụng kết quả của đlí 2 và các giới hạn cơ bản sau:
limun limvn = L lim(unvn)
L >0
L < 0
L >0
L < 0
limun=L limvn Dấu của vn
lim n
n
u
v
L >0 +
L > 0 -
L < 0 +
L < 0
0
-
)(lim
0
xf
xx
)(lim
0
xg
xx
)().(lim
0
xgxf
xx
+ ∞ L > 0 + ∞
- ∞ - ∞
+ ∞ L < 0 - ∞
- ∞ + ∞
)(lim
0
xf
xx
)(lim
0
xg
xx
Dấu của
g(x) )(
)(lim
0 xg
xf
xx
+ + ∞ L > 0 - - ∞
+ - ∞ L < 0
0
- + ∞
: GIÁO VIÊN: LẠI VĂN LONG TRƯỜNG THPT LÊ HOÀN
LẠI VĂN LONG 3
1.
0
lim
x x
C C
(C = const)
2. Nếu h/s f(x) x/đ tại điểm x0 thì
0
0lim ( ) ( )x x f x f x
3.
0
1lim 0nx x x
(với n > 0)
- Khử dạng vô định 0
0
;
; ; 0 x ∞
Ghi chú:
* Nếu PT f(x) = 0 có nghiệm x0 thì f(x) = (x-x0).g(x)
* Liên hợp của biểu thức:
1. a b là a b 2. a b là a b
3. 3 a b là 3 2 23 .a a b b 4. 3 a b là 3 2 23 .a a b b
Bài toán 1. Tính giới hạn của dãy sô:
Ví dụ: Tìm các giới hạn:
1/
2
3
2
8n 3nlim
n
2/
2
2
2n 3n 1lim
n 2
3/ 2lim n 1 n 1 4/ 3 4 1lim 2.4 2
n n
n n
Giải:
1/
2
33 3
2
8n 3n 3lim lim 8 8 2
nn
3/
2 2
2
2n 2lim n 1 n 1 lim lim 1
1 1n 1 n 1 1 1
n n
.
2/
2 2
2
2
3 122n 3n 1 2n nlim lim 2
2 1n 2 1
n
4/ 3 4 1lim
2.4 2
n n
n n
=lim
2
1
2
12
4
11
4
3
n
nn
3/ Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn
Phương pháp giải: Sử dụng công thức: 1uS ,| q | 1
1 q
Bài toán 2: Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn
Ví dụ: Tính tổng 2 n
1 1 1S 1 ... ....
2 2 2
Giải:
Đây là tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn, với 1q 1
2
và 1u 1 . Vậy: 1
u 1S 2
11 q 1
2
BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1: Chứng minh các dãy số sau có giới hạn 0:
2
1
)
2 1
n
na u n
sin 2)
1n
nb u
n
2
cos3) n
n nc u
n n
cos)
1n
nd u
n n
1
1
)
3
n
n ne u
2)
3 1
n
n nf u
1 1
1 1)
3 5
n
n n ng u
) 1nh u n n
Bài 2: Tính các giới hạn sau:
1) Lim
3
2 3
2 5 3
3
n n
n n
2) lim 2)54(
)32)(21(
n
nn 3) lim 2
3
31
2
n
nn
4) lim
252
3
3
32
nn
nn
: GIÁO VIÊN: LẠI VĂN LONG TRƯỜNG THPT LÊ HOÀN
LẠI VĂN LONG 4
5) lim(n – 2n3) 6) lim ( )1 nn 7)
lim
75
3342
3
23
nn
nnn
8) lim 22
3
)13(
)23()1(
n
nn 9) )1213lim( nn 10) lim nn
nn
5.32
54
Bài 3: Tìm các giới hạn sau:
3
3 2
2 3 1) lim n na
n n
3
2
3 2) lim
2 1
n nb
n
3
3 2) lim
2 1
nc
n n
5
3 2
1 2 3) lim
( 2) (5 1)
n nd
n n
24 1) lim
1 2
n ne
n
3 2.5) lim
3.5 4
n n
n nf
3 4 1) lim
2.4 2
n n
n ng
2 24 1 9 2) lim
2
n nh
n
) lim ni u với
1 1 1 1...
1.2 2.3 3.4 1n
u
n n
ĐS: a) -3 b) + c) 0 d) -3/25 e) -1 f) -2/3 g) -1/2 h) 1 i) 1
Bài 4 : Tính các giới hạn sau:
2) lim(3 1)a n n 4 2) lim( 2 3)b n n n 2) lim 3 sin 2c n n n
2) lim 3 1d n n
) lim 2.3 5.4n ne 2) lim 3 1 2f n n 2) lim 1g n n
2) limh n n n
2) lim 3 6 1 7i n n n ) lim 1k n n n 2) lim 3l n n n
3 3 2) limm n n n
ĐS: a) + b) - c) + d) + e) - f) - g) 0 h) + i) - k) -1/2 l) -3/2 m)
1/3
Bài 5: Tính tổng
1/ 2 1
11 11 ... ...
10 10 10
n
nS
2/ S = 2
2 2 21 ... ...
100 100 100n
3/
n 1
n
11 1 1, , ,..., ,...
3 9 27 3
Bài 6: Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn sau:
a)
11 1 1 11, , , ,..., ,...
2 4 8 2
n
b)
11 1 1 11, , , ,..., ,...
3 9 27 3
n
ĐS: a) 2/3 b) 3/2
Bài 7: Tính các giới hạn sau:
1, 22lim 5 1x x 2, 3
1lim
2x
x
x
3,
3
2 1lim
3x
x
x
4, 24
1lim
( 4)x
x
x
5, 3 2lim ( 1)
x
x x x
6,
2
21
2 3lim
2 1x
x x
x x
7,
2
2lim
7 3x
x
x
8,
3
3 2
2 3 4lim
1x
x x
x x
9,
2 24 1lim
2 3x
x x x
x
10,
0
1 1lim 1
1x x x
11, 2lim ( 4 2 )
x
x x x
: GIÁO VIÊN: LẠI VĂN LONG TRƯỜNG THPT LÊ HOÀN
LẠI VĂN LONG 5
12, 2 2lim 1x x x x 13, 21
3lim
2 3x
x
x x
14,
3 2
3 23
2 5 2 3lim
4 13 4 3x
x x x
x x x
15,
3
0
( 3) 27lim
x
x
x
16,
2
2 2lim
7 3x
x
x
17, 27
2 3lim
49x
x
x
Bài 8: Tìm giới hạn của các hàm số sau: (Dạng
):
a)
3
3 2
5 1lim
2 3 1x
x x
x x
b)
33 2lim
2 1x
x
x
c)
3 2
2
5 1lim
3x
x x
x x
d)
5 3
2 3
2 4lim
1 3 2x
x x x
x x
2
3 2
5 1) lim
2 3 1x
xe
x x
f)
2 22 4 1lim
2 5x
x x x
x
ĐS: a) -1/2 b) - c) - d) - e) 0 f) -1/5
Bài 9: Tìm giới hạn của các hàm số sau: (Dạng: a.):
a) 3 2lim ( 2 3 1)
x
x x x
b) 4 3lim ( 5 3)
x
x x x
c) 2lim 4 2
x
x x
d) 2lim 3 2
x
x x
e) 2lim 3 2x x x x f) 2lim 2x x x x
ĐS: a) + b) - c) + d) + e) - f) +
Bài 10: Tìm giới hạn của các hàm số sau: (Giới hạn một bên):
a)
3
1lim
3x
x
x
b)
24
1lim
4x
x
x
c)
3
2 1lim
3x
x
x
d)
2
2 1lim
2x
x
x
e) 20
2
lim
x
x x
x x
f)
1
3 1lim
1x
x
x
ĐS: a) - b) - c) + d) + e) 1 f) +
Bài 11: Tìm giới hạn của các hàm số sau: (Dạng 0
0
):
a/
2
3
9lim
3x
x
x
b/
2
1
3 2lim
1x
x x
x
c) 23
3lim
2 3x
x
x x
d)
3
21
1lim
1x
x
x
e)
2
21
2 3lim
2 1x
x x
x x
f)
2
2lim
7 3x
x
x
g)
2
3
9lim
1 2x
x
x
h)
4
2 1 3lim
2x
x
x
i)
1
2 1lim
5 2x
x
x
k)
2
2
3 2lim
2x
x x
x
ĐS: a) 6 b) -1 c) -4 d) 3/2 e) 4/3 f) -6 g) 24 h) 4/3 i) 2 k) 0
Bài 12: Tìm giới hạn của các hàm số sau: (Dạng 0. ):
a) 21
2 3lim 1
1x
xx
x
b) 2
3
2 1lim 9.
3x
xx
x
c/ 3 22lim 8 2x
xx
x
ĐS: a) -1 b) 0 c) + d) 0
Bài 13: Tìm giới hạn của các hàm số sau: (Dạng - ):
a) 2lim 1x x x b) 2 2lim 2 1x x x x c) 2lim 4 2x x x x
d) 2 2lim 1x x x x
ĐS: a) 0 b) 1 c) 1/4 d) 1/2
Bài 14: Tìm giới hạn của các hàm số sau: (Áp dụng
0
sinlim 1
x
x
x
)
a)
0
sin 3lim
x
x
x
b) 20
sin sin 2lim
3x
x x
x
c)
2
0
1 coslim
sinx
x
x x
d)
0
sin .sin 2 ....sinlim nx
x x nx
x
: GIÁO VIÊN: LẠI VĂN LONG TRƯỜNG THPT LÊ HOÀN
LẠI VĂN LONG 6
ĐS: a) 3 b) 2/3 c) 1 d) n!
4/ Xét tính liên tục của hàm số
* Xét tính liên tục của hàm số tại điểm:
– Dạng I: Cho h/s 1 0
2 0
( )
( )
( )
f x khi x x
f x
f x khi x x
Xét tính liên tục của h/s tại điểm x0 ?
Phương pháp chung:
B1: Tìm TXĐ: D = R
B2: Tính f(x0); )(lim
0
xf
xx
B3: )(lim
0
xf
xx
= f(x0) KL liên tục tại x0
– Dạng II: Cho h/s 1 0
2 0
( )
( )
( )
f x khi x x
f x
f x khi x x
Xét tính liên tục của h/s tại điểm x0 ?
* Xét tính liên tục của hàm số trên một khoảng
Phương pháp chung:
B1: Xét tính liên tục của h/s trên các khoảng đơn
B2: Xét tính liên tục của h/s tại các điểm giao
B3: Kết luận
* Sử dụng tính liên tục của hàm số để chứng minh phương trình có nghiệm
Phương pháp chung: Cho PT: f(x) = 0. Để c/m PT có k nghiệm trên ;a b :
B1: Tính f(a), f(b) f(a).f(b) < 0
B2: Kết luận về số nghiệm của PT trên ;a b
Ví dụ:CMR phương trình 7 53 2 0x x có ít nhất một nghiệm
Xét hàm số 7 53 2f x x x liên tục trên R nên f(x) liên tục trên [0;1]
Và
0 2 0
0 . 1 0
1 2 0
f
f f
f
Nên phương trình 0f x có ít nhất một nghiệm 0 0;1x , vậy bài toán được
chứng minh.
BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1: Xét tính liên tục của các hàm số sau:
1,
2 4 2( ) 2
4 2
x voi xf x x
voi x
tại x = -2 2, f(x) =
2 x 1
nÕu x 3
3 x
4 nÕu x 3
tại x = 3
3,
2 0
( )
1 0
x voi x
f x
x voi x
tai x = 0 4,
2
12
)(
x
x
xf
1,
1,
x
x
tại x = 1
Bài 2: Xét tính liên tục của các hàm số sau trên TXĐ của chúng
1,
2 2 2
( ) 2
2 2 2
x voi x
f x x
voi x
2, 2
1 2
( 2)( )
3 2
x voi x
xg x
voi x
3,
2
1
11
)( x
x
xf
0,
0,
x
x
4,
2 2 x > 2
2
5 x 2
x x khif x x
x khi
: GIÁO VIÊN: LẠI VĂN LONG TRƯỜNG THPT LÊ HOÀN
LẠI VĂN LONG 7
5, 1
2
f x
x
6, 3 1f x x
Bài 3: Tìm số thực a sao cho các hàm số liên tục trên R:
1,
2 1
( )
2 3 1
x voi x
f x
ax voi x
2,
2 2 x 1
1
x = -1
x x khif x x
a khi
Bài 4: Xét tính liên tục của các hàm số sau:
a)
2 4 -2( ) 2
4 -2
x khi xf x x
khi x
tại x0 = -2 b)
2 4 3 khi x<3( ) 3
5 khi 3
x x
f x x
x
tại x0 = 3
c)
22 3 5 1( ) 1
7 1
x x khi xf x x
khi x
tại x0 = 1 d)
2 1 3( ) 3
3 3
x khi xf x x
khi x
tại x0 = 3
e/
2 2 2
( ) 2
2 2 2
x khi x
f x x
khi x
tại x0 = 2 f)
2 2
( ) 1 1
3 4 2
x khi x
f x x
x khi x
tại x0 = 2
ĐS: a) liên tục ; b) không liên tục ; c) liên tục ; d) không liên tục ; e) liên tục ; f) liên tục
Bài 5: Xét tính liên tục của các hàm số sau trên TXĐ của chúng:
a)
2 3 2 2( ) 2
1 2
x x khi xf x x
khi x
b) 2
1 2
2( )
3 2
x khi x
xf x
khi x
c)
2 2 x 2
2
5 x 2
x x khif x x
x khi
d) 2
2
0
0 1
2 1 1
x khi x
f x x khi x
x x khi x
ĐS: a) hsliên tục trên R ; b) hs liên tục trên mỗi khoảng (-; 2), (2; +) và bị gián đọan tại x =
2.
c) hsliên tục trên R ; d) hs liên tục trên mỗi khoảng (-; 1), (1; +) và bị gián đọan tại x =
1.
Bài 6: Tìm điều kiện của số thực a sao cho các hàm số sau liên tục tại x0.
a)
2 2 1
1
1
x x khi xf x x
a khi x
với x0 = -1 b)
2 1
( )
2 3 1
x khi x
f x
ax khi x
với x0 = 1
c)
7 3 2( ) 2
1 2
x khi xf x x
a khi x
với x0 = 2 d)
23 1 1
( )
2 1 1
x khi x
f x
a khi x
với x0 = 1
ĐS: a) a = -3 b) a = 2 c) a = 7/6 d) a = 1/2
Bài 7:
a) CMR phương trình sau có ít nhất hai nghiệm: 32 10 7 0x x
b) CMR phương trình sau có it nhất một nghiệm âm: 3 1000 0,1 0x x
c) CMR: Phương trình x4-3x2 + 5x – 6 = 0 có nghiệm trong khoảng (1; 2).
: GIÁO VIÊN: LẠI VĂN LONG TRƯỜNG THPT LÊ HOÀN
LẠI VĂN LONG 8
d) Chứng minh phương trình 2 sin cos 1 0x x x x có ít nhất một nghiệm 0 0;x .
e) Chứng minh phương trình 31 2 2 3 0m x x x luôn có nghiệm với mọi giá trị
của m.
Bài 8:
a) 4 5 2 0x x có ít nhất một nghiệm.
b) 5 3 7 0x x có ít nhất một nghiệm.
c) 3 22 3 5 0x x có ít nhất một nghiệm
d) 32 10 7 0x x có ít nhất 2 nghiệm.
e) cosx = x có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (0; /3)
f) cos2x = 2sinx – 2 = 0 có ít nhất 2 nghiệm.
g) 3 23 1 0x x có 3 nghiệm phân biệt.
h) 32 21 1 3 0m x x x luôn có ít nhất 1 nghiệm thuộc khoảng (-1; -2) với mọi m.
i) 3 2 41 4 3 0m x x x luôn có ít nhất 2 nghiệm với mọi m.
CHƯƠNG V: ĐẠO HÀM
1/ Các công thức tính đạo hàm:
Đạo hàm của hàm số sơ cấp cơ bản Đạo hàm của hàm số hợp
C =0 (C lµ h»ng sè)
x =1 (kx)’=k (k lµ h»ng sè )
nx =n.xn-1 (nN, n2) nU =n.Un-1.U
2
1 1
x x
(x 0)
2
1 U
U U
(U 0)
)( x =
x2
1
(x>0)
UU
2 U
(U 0)
xg
x
gx
xtg
x
tgx
xx
xx
2
2
/
2
2
/
/
/
cot1
sin
1cot
1
cos
1
sincos
cossin
/2
/
/
2
/
//
//
sin
1cot
cos
1.
.sincos
.cossin
U
U
gU
U
U
tgU
UUU
UUU
- Các quy tắc tính đạo hàm (Ký hiệu U=U(x), V=V(x)).
U V U V UV U V UV (k.U) k.U (k là hằng số)
2
U U .V U.V
V V
2
1 1
V V
- Đạo hàm của hàm số hợp: g(x) = f[U(x)] , 'g x = uf ' . xU
- Đạo hàm cấp cao của hàm số
Đạo hàm cấp 2 : f "(x) = f(x)' '
Đạo hàm cấp n : n n-1f (x) = f(x) '
: GIÁO VIÊN: LẠI VĂN LONG TRƯỜNG THPT LÊ HOÀN
LẠI VĂN LONG 9
2/ Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số.
Phương pháp:pt tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm M0 có hoành độ x0 có dạng:
y = f’(x0) (x – x0) + f(x0)
3/ Vi phân
- Vi phân của hàm số tại nột điểm: 0 0( ) '( ).df x f x x
- Ứng dụng vi phân vào tính gần đúng: 0 0 0( ) ( ) '( )f x x f x f x x
- Vi phân của hàm số: ( ) '( )df x f x dx hay 'dy y dx
BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1: Dùng định nghĩa tìm đạo hàm các hàm số sau:
a) 3y x b) 23 1y x c) 1y x d) 1
1
y
x
Bài 2: Tìm đạo hàm các hàm số sau tại điểm đã chỉ ra:
a) y = x2 + x ; x0 = 2 b) y =
x
1 ; x0 = 2 c) y =
1
1
x
x ; x0 = 0 d) y = x - x; x0
= 2
e) y = x3 - x + 2; x0 = -1 f) y =
1
12
x
x ; x0 = 3 g) y = x.sinx; x0 = π3
h) y = 4cos2x + 5 sin3x; x0 = π3 i) Cho 13)( xxf , tính f ’’(1) k) Cho y = x cos2x .
Tính f”(x)
m) Cho 6f x x 10 . TÝnh f '' 2 l) f x sin 3x . Tính ; 02 18
f '' f '' f ''
Bài 3: Tìm đạo hàm các hàm số sau:
1. 123 xxy 2. 3
2
2 5 xxy 3. 2
4 210
x
xy 4. )1)(2( 3 xxy
5. )13(5 2 xxy 6. 32 )5( xy 7. )35)(1( 22 xxy
8. )23)(12( xxxy
9. 32 )3()2)(1( xxxy 10.
1
2
2
x
xy 11.
42
562 2
x
xxy
12.
1
35
2
xx
xy 13. 762 xxy 14. 21 xxy 15.
1)1( 2 xxxy 16.
12
322
x
xxy
23 2 117.
2 3
x xy
x
18) y =
2
3 2
2
x
x x
19)
33 2
a by
x xx
20) 3 3y a bx 21)
2 2 3
3 3 2y (a b ) 22) 32 2y x x
23)
2
3 4
(x 2)y
(x 1) (x 3)
24) 7 2y (x x) 25) 2y x 3x 2 26)
1 xy
1 x
27)
1y
x x
28/ y= x 21 x 30/ y=
x
x
1
1 31/ y= (2x+3)10 29/ y= x (x2-
x +1)
32/ y= (x2+3x-2)20
Bài 4: Tìm đạo hàm các hàm số sau:
: GIÁO VIÊN: LẠI VĂN LONG TRƯỜNG THPT LÊ HOÀN
LẠI VĂN LONG 10
1) xxy 3sin.sin3 2 2) 2)cot1( xy 3) xxy 2sin.cos 4)
x
xy
sin2
sin1
5)
2
sin 4 xy
6)
xx
xxy
cossin
cossin
7) 3y cot (2x )
4
8) 2y 2 tan x 9)
3
cosx 4y cot x
3sin x 3
10)
2
cos1 2 xy 11) 22 )2sin1(
1
x
y
12) y = 4sin 3x 13) y = cos ( x3 )
14) y= 5sinx-3cosx 15) y = x.cotx 16) 3 2y cot 1 x 17) y= sin(sinx)
18) 2y sin (cos3x) 19) x sin xy
1 tan x
20) sin x xy
x sin x
21)
x 1y tan
2
22)
y 1 2 tan x
Bài 5: Tìm đạo hàm các hàm số sau:
dcx
baxy
edx
cbxaxy
2
pnxmx
cbxaxy
2
2
Áp dung:
12
43
x
xy
12
22
x
xxy
32
43
2
2
xx
xxy
Bài 6: Cho hai hàm số : 4 4( ) sin cos f x x x và 1 ( ) cos 4
4
g x x Chứng minh
rằng: '( ) '( ) ( )f x g x x .
Bài 7: Cho 23 23 xxy . Tìm x để: a) y’ > 0 b) y’ < 3
ĐS: a)
0
2
x
x
b) 1 2 1 2x
Bài 8: Giải phương trình : f’(x) = 0 biết rằng:
a) f(x) = cos x + sin x + x. b) f(x) = xxcosxsin3
c) f(x) = 3cosx + 4sinx + 5x d) f(x) = 2x4 – 2x3 – 1
Bài 9: Cho hàm số f(x) 1 x. Tính : f(3) (x 3)f '(3)
Bài 10:
a) 2x 3y ; 2y ' (y 1)y"
x 4
b) 2 3y 2x x ; y y" 1 0
c) Cho hàm số y =
xcos.xsin1
xcosxsin 33
; y’' = - y d) Cho y =
4x
3x
; 2(y’)2 =(y -
1)y’’
e) Cho y = 73xgxcotxgcot
3
1 3 ; y’ = cotg4x f)Chof(x)= xsin1
xcos
2
2
;
3)
4
('f3)
4
(f
g) Chứng tỏ hàm y = acosx+bsinx thỏa hệ thức y’’ + y = 0
h) Cho hàm số:
2
222
xxy . Chứng minh rằng: 2y.y’’ – 1 =y’2
i) Cho hàm số y = cos22x.
a) Tính y”, y”’.
b) Tính giá trị của biểu thức: A= y’’’ +16y’ + 16y – 8.
Bài 11: Chứng minh rằng '( ) 0 f x x , biết:
a/ 9 6 3 22( ) 2 3 6 1
3
f x x x x x x b/ ( ) 2 sinf x x x
: GIÁO VIÊN: LẠI VĂN LONG TRƯỜNG THPT LÊ HOÀN
LẠI VĂN LONG 11
Bài 12: Cho hàm số
2
2
x xy
x
(C)
a) Tính đạo hàm của hàm số tại x = 1.
b/ Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M có hoành độ x0 = -1.
Bài 13: Cho hàm số y = f(x) = x3 – 2x2 (C)
a) Tìm f’(x). Giải bất phương trình f’(x) > 0.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M có hoành độ x0 = 2.
c) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng d: y = - x
+ 2.
Bài 14: Gọi ( C) là đồ thị hàm số : 3 25 2y x x . Viết phương trình tiếp tuyến của (C )
a) Tại M (0;2).
b) Biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y = -3x + 1.
c) Biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y = 1
7
x – 4.
Bài 15: Cho đường cong (C):
2
2
xy
x
. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C)
a) Tại điểm có hoành độ bằng 1
b) Tại điểm có tung độ bằng
1
3
c) Biết tiếp tuyến đó có hệ số góc là 4
Bài 16: Tính vi phân các hàm số sau:
a) 123 xxy b)
2
sin 4 xy c) 762 xxy d) xxy 2sin.cos e)
2)cot1( xy
Bài 17: Tìm đạo hàm cấp hai của các hàm số sau:
1) 1
2
xy
x
2) 2
2 1
2
xy
x x
3) 2 1
xy
x
4) 2 1y x x
5) 2 siny x x 6) 2(1 ) cosy x x 7) y = x.cos2x 8) y = sin5x.cos2x
ĐS: 1)
3
6''
2
y
x
2)
3 2
32
4 10 30 14''
2
x x xy
x x
3)
2
32
2 3
''
1
x x
y
x
4)
3
2 2
2 3''
1 1
x xy
x x
5) 2'' 2 sin 4 cosy x x x x 6) 2'' 4 sin ( 3)cosy x x x x 7) y’’ = -4sin2x – 4xcos2x
8) y’’ = -29sin5x.cos2x – 20cos5x.sin2x
Bài 18: Tính đạo hàm cấp n của các hàm số sau: a) 1
1
y
x
b) y = sinx
ĐS: a)
1
!1
1
nn
n
ny
x
b)
sin
2
ny x n
: GIÁO VIÊN: LẠI VĂN LONG TRƯỜNG THPT LÊ HOÀN
LẠI VĂN LONG 12
B. HÌNH HỌC
I. CÁC DẠNG BÀI TẬP THƯỜNG GẶP
Dạng 1: Chứng minh hai đường thẳng a và b vuông góc
Phương pháp 1: Chứng minh góc giữa hai đường thẳng a và b bằng 090 .
Phương pháp 2: . 0a b u v ( , u v lần lượt là vectơ chỉ phương của a và b).
Phương pháp 3: Chứng minh ( )a b hoặc ( )b a
Phương pháp 4: Áp dụng định lí 3 đường vuông góc ( 'a b a b với b’ là hình chiếu
của đt b lên mp chứa đt a).
Dạng 2: Chứng minh đường thẳng d vuông góc với mp (P).
Phương pháp 1: Chứng minh: d a và d b với a b = M; a,b (P)
Phương pháp 2: Chứng minh d // a, a (P)
Phương pháp 3: Chứng minh: d (Q) (P), d a = (P) (Q).
Phương pháp 4: Chứng minh: d = (Q) (R) và (Q) (P), (R) (P).
Dạng 3: Chứng minh hai mp (P) và (Q) vuông góc.
Phương pháp 1: Chứng minh (P) a (Q).
Phương pháp 2: Chứng minh (P) // (R) (Q).
Phương pháp 3: Chứng minh (P) // a (Q).
Dạng 4: Tính góc giữa 2 đt a và b.
Phương pháp: - Xác định đt a’// a, b’// b ( a’ b’ = O)
- Khi đó: (a, b) = (a’, b’).
Dạng 5: Tính góc giữa đt d và mp(P).
Phương pháp: Gọi góc giữa đt d và mp(P) là
+) Nếu d (P) thì = 900.
+) Nếu d không vuông góc với (P): - Xác định hình chiếu d’ của d lên mp(P)
- Khi đó: = (d,d’)
Dạng 6: Tính góc giữa hai mp (P) và (Q).
Phương pháp 1:
- Xác định a (P), b (Q).
- Tính góc = (a,b)
Phương pháp 2: Nếu (P) (Q) = d
- Tìm (R) d
- Xác định a = (R) (P)
- Xác định b = (R) (Q)
- Tính góc = (a,b).
Dạng 7: Tính khoảng cách.
Tính khoảng từ một điểm M đến đt a:
Phương pháp: ( , )d M a MH (với H là hình chiếu vuông góc của M trên a).
Tính khoảng từ một điểm A đến mp (P):
Phương pháp: - Tìm hình chiếu H của A lên (P).
- d(M, (P)) = AH
Tính khoảng giữa đt và mp (P) song song với nó: d(, (P)) = d(M, (P)) (M là điểm thuộc ).
Xác định đoạn vuông góc chung và tính khoảng giữa 2 đt chéo nhau a và b:
+) Phương pháp 1: Nếu a b :
- Dựng (P) a và (P) b
: GIÁO VIÊN: LẠI VĂN LONG TRƯỜNG THPT LÊ HOÀN
LẠI VĂN LONG 13
- Xác định A = (P) b
- Dựng hình chiếu H của A lên b
- AH là đoạn vuông góc chung của a và b
+) Phương pháp 2:
- Dựng (P) a và (P) // b.
- Dựng hình chiếu b’ của b lên (P). b’ // b, b’ a = H
- Dựng đt vuông góc với (P) tại H cắt đt b tại A.
- AH là đoạn vuông góc chung của a và b.
+) Phương pháp 2:
- Dựng đt (P) a tại I cắt b tại O
- Xác định hình chiếu b’ của b trên (P) (b’ đi qua O).
- Kẻ IK b’ tại K.
- Dựng đt vuông góc với (P) tại K, cắt b tại H.
- Kẻ đt đi qua H và song song với IK, cắt đt a tại A.
- AH là đoạn vuông góc chung của a và b.
II. BÀI TẬP
Bài 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B. SA (ABC).
a) Chứng minh: BC (SAB).
b) Gọi AH là đường cao của SAB. Chứng minh: AH SC.
Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông. SA (ABCD). Chứng minh rằng:
a) BC (SAB).
b) SD DC.
c) SC BD.
Bài 3: Cho tứ diện ABCD có AB=AC, DB=DC. Gọi I là trung điểm của BC.
a) Chứng minh: BC AD.
b) Gọi AH là đường cao của ADI. Chứng minh: AH (BCD).
Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông, tâm O và SA = SC = SB = SD = 2a .
a) Chứng minh SO (ABCD).
b) Gọi I, K lần lượt là trung điểm của AB và BC. Chứng minh IKSD
c) Tính góc giữa đt SB và mp(ABCD).
Bài 5: Cho tứ diện ABCD có AB CD, BC AD. Gọi H là hình chiếu của A lên mp(BCD).
Chứng minh:
a) H là trực tâm BCD.
b) AC BD.
Bài 6: Cho tứ diện đều ABCD. Chứng minh rằng các cặp cạnh đối diện của tứ diện vuông góc với
nhau từng đôi một.
Bài 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, tâm O và AB = SA = a, BC = 3a , SA
(ABCD).
a) Chứng minh các mặt bên của hình chóp là những tam giác vuông.
b) Gọi I là trung điểm của SC. Chứng minh IO (ABCD).
c) Tính góc giữa SC và (ABCD).
Bài 8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông, tâm O và SA (ABCD) . Gọi H, K lần lượt
là hình chiếu vuông góc của A lên SB, SD.
: GIÁO VIÊN: LẠI VĂN LONG TRƯỜNG THPT LÊ HOÀN
LẠI VĂN LONG 14
0BAD 60
a) Chứng minh BC (SAB), BD (SAC).
b) Chứng minh SC (AHK).
c) Chứng minh HK (SAC).
Bài 9: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, SA = AB = AC = a, SA
(ABC).
Gọi I là trung điểm BC.
a) Chứng minh BC (SAI).
b) Tính SI.
c) Tính góc giữa (SBC) và (ABC).
Bài 10: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B. SA (ABC) và SA = a, AC =
2a.
a) Chứng minh rằng: (SBC) (SAB).
b) Tính khoảng cách từ điểm A đến mp(SBC).
c) Tính góc giữa (SBC) và (ABC).
d) Dựng và tính độ dài đoạn vuông góc chung của SA và BC.
BÀI TẬP TỔNG HỢP
Bài 1: Cho tứ diện OABC có OA , OB , OC đôi một vuông góc và OA= OB = OC = a.
Gọi I là trung điểm BC; H, K lần lượt là hình chiếu của O lên trên các đường thẳng AB và
AC.
1. CMR: BC (OAI).
2. CMR: (OAI) (OHK).
3. Tính khoảng cách từ điểm O đến mp (ABC). ĐS: a / 3
5. Tính côsin của góc giữa OA và mp (OHK). ĐS:cos 6 / 3
6. Tính tang của góc giữa (OBC) và (ABC). ĐS: tan 2
7. Tìm đường vuông góc chung của hai đường thẳng HK và OI. Tính khoảng cách giữa hai
đường ấy. ĐS: a / 2
Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy AFile đính kèm:
DE CUONG ON THI KY II NAM 2014.pdf
