Các dạng phương trình lượng giác lớp 11

GV: Nguyeãn Vaên Khaùnh CAÙC DAÏNG PHÖÔNG TRÌNH LÖÔÏNG GIAÙC LÔÙP 11 T.H.P.T soá 2 Phuø Myõ 
 - 1 - 
 LÔØI NOÙI ÑAÀU 
 Phöông trình löôïng giaùc laø moät trong caùc daïng toaùn cô baûn vaø quan troïng trong chöông 
trình toaùn THPT ,ñaëc bieät noù luoân ñöôïc caáu truùc trong caùc ñeà thi Ñaïi hoïc-Cao ñaúng haèng naêm . 
 Thöïc teá,nhieàu hoïc sinh chöa coù kæ naêng giaûi ñuùng vaø hoaøn chænh moät baøi veà phöông trình 
löôïng giaùc . Thaäm chí , giaûi phöông trình löôïng giaùc cô baûn coù khi coøn sai .Maët khaùc baøi taäp giaûi 
phöông trình löôïng giaùc trong SGK Ñaïi soá –Giaûi tích 11 cô baûn vaø naâng cao, daïng caàn reøn luyeän coøn 
ít ,chöa ñöôïc heä thoáng saép xeáp öùng vôùi töøng chuû ñeà vaø caùc coâng thöùc löôïng giaùc hoïc ôû lôùp 10 phuïc 
vuï cho vieäc giaûi phöông trình löôïng giaùc raát nhieàu – Trong SGK chöa ñöôïc toùm taét vaø oân taäp laïi. 
 Chuyeân ñeà naøy laø moät phöông tieän giuùp caùc em hoïc sinh deã daøng naém baét caùc kieán thöùc cô baûn 
vaø coù kæ naêng giaûi toát phöông trình löôïng giaùc ôû möùc ñoä yeâu caàu phuø hôïp vôùi chöông trình chuaån 
kieán thöùc-kæ naêng vaø noäi dung giaûm taûi cuûa Boä GD-ÑT ñaõ ban haønh baét ñaàu töø naêm hoïc 2011-2012 
 Moãi chuû ñeà ñeàu coù: 
 Toùm toùm taét kieán thöùc caàn nhôù. 
 Daïng baøi taäp 
 Phöông phaùp giaûi 
 Baøi taäp maãu 
 Luyeän taäp 
CHUÙ YÙ: Baøi taäp coù daáu (*) laø thuoäc daïng baøi giaûm taûi daønh cho HS khaù-gioûi lôùp 
Ban Cô baûn hoaëc HS thuoäc lôùp Ban Töï nhieân 
 Noäi dung chuyeân ñeà goàm : 
 Chuû ñeà 1: Phöông trình löôïng giaùc cô baûn 
 Chuû ñeà 2: Phöông trình löôïng giaùc thöôøng gaëp 
 Caâu hoûi traéc nghieäm 
 Phuï luïc: Phöông trình löôïng giaùc trong caùc ñeà thi Ñaïi hoïc-Cao ñaúng nhöõng naêm gaàn ñaây 
 Baøi taäp daønh cho HS töï luyeän taäp laø caùc baøi töông töï vôùi daïng baøi taäp ñaõ giaûi maãu vaø baøi 
taäp trong SGK cô baûn ,SGK naâng cao ñoàng thôøi ñöôïc saép xeáp laïi theo daïng . Chuyeân ñeà töï bieân soaïn, 
taát nhieân khoâng sao traùnh khoûi sai soùt ,raát mong yù kieánï ñoùng goùp cuûa quí ñoàng nghieäp vaø caùc em HS 
ñeå chuyeân ñeà ñöôïc hoaøn chænh hôn. 
 Bình Döông,ngaøy 28 thaùng 08 naêm 2013 
 GV: Nguyeãn Vaên Khaùnh 
  
GV: Nguyeãn Vaên Khaùnh CAÙC DAÏNG PHÖÔNG TRÌNH LÖÔÏNG GIAÙC LÔÙP 11 T.H.P.T soá 2 Phuø Myõ 
 - 2 - 
 TOÙM TAÉT KIEÁN THÖÙC CAÀN NHÔÙ 
 Daïng 
 (m  ) 
 Ñ.k coù 
nghieäm 
 Coâng thöùc nghieäm 
 (k   ) 
 Ví duï ñôn giaûn Ghi chuù 
sinx =sin sinx =sin 2
2
 
    
x k
x k
 
  
 2 2
5 5) sin sin 45 2 25 5
 
 

 
  
     
   
       
x k x k
a x
x k x k
 laø soá ñaõ 
bieát theo ñ/v 
rad 
0sin sinx 
0 0
0
0 0 0
.360sin sin
180 .360



  
  
  
x kx
x k
0sin sin 20 x
0 0 0 0
0 0 0 0 0
20 .360 20 .360
180 20 .360 160 .360
    
  
      
x k x k
x k x k
 laø soá ñaõ 
bieát theo ñ/v 
ñoä 
sinx = m -1 ≤m≤ 1 arcsin 2sin arcsin 2
x m kx m x m k

 
 
    
1arcsin 2
31sin 3 1arcsin 23

 
         
       
 
x k
x
x k
arcsin m laø 
k/h sñ cuûa 
cung(rad) 
maø coù sin 
baèng m 
sin ( ) sin ( )f x g x
( ) ( ) 2sin ( ) sin ( ) ( ) ( ) 2

 
 
    
f x g x kf x g x f x g x k
cos cosx 2cos cos 2
 

 
 
     
x kx x k
cos cos
12

x
2
12
2
12





 

   
x k
x k
0cos cosx
0 0
0
0 0
.360cos cos
.360



  
  
  
x kx
x k
 0cos cos10x
0 0
0 0
10 .360
10 .360
  

   
x k
x k
cos x m -1 ≤m≤ 1 arccos m 2cos arccos m 2


 
     
x kx m x k 
2arcsin 22 3cos 23 arcsin 2
3


  
  
   
x k
x
x k
arccosm laø 
k/h sñ cuûa 
cung(rad) maø 
coù cos baèng 
m 
cos ( ) cos ( )f x g x
( ) ( ) 2cos ( ) cos ( )
( ) ( ) 2


 
    
f x g x kf x g x
f x g x k
cos2x = cos(x
3

 ) 
2 2 23 3
22 23 9 3
  
  
       
  
           
x x k x k
kx x k x
tan tanx
 tan tan     x x k tan tan 
7

x
7

  x k 
0tan tanx
0 0 0tan tan 180    x x k
0 0 0tan tan15 15 180   x x k 
 tanx = m m tuøy yù 
x≠ 

2

+k  
tan arctan    x m x m k tan 3x arctan3   x k arctanm laø 
k/h sñ cuûa 
cung(rad) 
maø coù tan 
baèng m 
tan ( ) tan ( )f x g x
f(x) 
vaøg(x)≠
 /2+k  
tan ( ) tan ( ) ( ) ( )    f x g x f x g x k
PT :tan2x = tanx . ÑK cos2 x  0 vaø cosx ≠ 0 . 
tan2x = tanx ⇔ 2x = x + k  ⇔ x = k  (thoûa ÑK) 
 DANG : PHÖÔNG TRÌNH LÖÔÏNG GIAÙC CÔ BAÛN 
GV: Nguyeãn Vaên Khaùnh CAÙC DAÏNG PHÖÔNG TRÌNH LÖÔÏNG GIAÙC LÔÙP 11 T.H.P.T soá 2 Phuø Myõ 
 - 3 - 
cot cotx
cot cot     x x k 
3cot 
3
x cot cot 
3

 x
3

  x k 
0tan tanx
0 0 0tan tan 180    x x k
0 0 0tan tan15 15 180   x x k 
cot x m m tuøy yù 
x  k 
cot arccot    x m x m k 1cot
4
x 1arccot
4
  x k arccotm laø 
k/h sñ cuûa 
cung(rad) 
maø coù sin 
baèng m 
cot ( ) cot ( )f x g x
f(x),g(x)
≠ k  
cot ( ) cot ( )f x g x
( ) ( )   f x g x k 
PT :cot2x = cotx . ÑK sin2 x  0 (1) vaø sinx ≠ 0 (2) 
. 
cot2x = cotx ⇔ 2x = x + k  ⇔ x = k  (0 thoûa) 
 PTVN 
Chuù yù:  Trong PTLG thaáy khoâng coù ñôn vò naøo thì xem nhö ñôn vò rad 
  Khi giaûi PTLG khoâng ñöôïc trình baøy theo hai ñôn vò vöøa rad ,vöøa ñoä . 
 PTLG CÔ BAÛN DAÏNG ÑAËC BIEÄT 
 Daïng Coâng thöùc nghieäm (k   ) Ví duï ñôn giaûn 
sin ( ) 0f x sin ( ) 0 f x ( ) f x k sin 05 5 5
  
          
 
x x k x k 
sin ( ) 1f x sin ( ) 1 f x ( ) 22

 f x k 
0 0 0 0
0 0
sin( 30 ) 1 30 90 .360
120 .360
     
  
x x k
x k
sin ( ) 1 f x sin ( ) 1  f x ( ) 22

  f x k sinx = -1 22

   x k 
cos ( ) 0f x cos ( ) 0 f x ( ) 2

 f x k cos2x = 0 2 2 4 2
  
     
kx k x 
cos ( ) 1f x cos ( ) 1 f x ( ) 2f x k cos 4 1 4 2 2

    
kx x k x 
cos ( ) 1 f x cos ( ) 1  f x ( ) (2 1) f x k 0 0 0
0 0
cos(2 15 ) 1 2 30 (2 1).180
15 (2 1).90
      
   
x x k
x k
tan ( ) 0f x tan ( ) 0 f x ( ) f x k  0 0 0
0 0
tan 12 0 12 .180
12 .180
     
  
x x k
x k
tan ( ) 1f x tan ( ) 1 f x ( ) 4

 f x k tan 2 1 2 4 8 2
  
      
kx x k x 
tan ( ) 1 f x tan ( ) 1  f x ( ) 4

  f x k tan 2 1 2 4 8 2
  
         
kx x k x 
cot ( ) 0f x cot ( ) 0 f x ( ) 2

 f x k cot 0 x 2

 x k 
cot ( ) 1f x cot ( ) 1 f x ( ) 4

 f x k cot 1 22 2 4 2
 
       
x x k x k 
cot ( ) 1 f x cot ( ) 1  f x ( ) 4

  f x k cot 1 22 2 4 2
 
          
x x k x k 
Chuù yù: f(x) laø bieåu thöùc chöùa aån x,coù theå f(x) = x 
 DAÏNG BAØI TAÄP 
GV: Nguyeãn Vaên Khaùnh CAÙC DAÏNG PHÖÔNG TRÌNH LÖÔÏNG GIAÙC LÔÙP 11 T.H.P.T soá 2 Phuø Myõ 
 - 4 - 
DAÏNG 1 : 
 ( laø soá ñaõ bieát, f(x) laø bieåu thöùc chöùa aån x) 
 PHÖÔNG PHAÙP: Döa theo coâng thöùc nghieäm cuûa PT sinx=sin , cosx=cos ,v.v 
Chaúng haïn PT     
2
   ...
2
f x k
Sin f x sin
f x k
 

  
  
        
tieáp tuïc giaûi xem nhö PT 1 aån x 
 BAØI TAÄP MAÃU: 
Giaûi: sin( ) sin
3 3
 
 x
22 23 3 3
22
3 3
  

 
  
       
      
x k x k
x kx k
Giaûi: 
2 2
6 6cos 2 cos
6 6 2 2 36 6
  
 

  

                     
x kx k
x
x kx k
Giaûi: 
0 0 0 0 0 0 0 0 0
tan(2 1 ) tan19 2 1 19 .180 2 20 .180 10 .90x x k x k x k            
CHUÙ YÙ: Giaûi PT treân,HS coøn sai laàm vieát 
0 0
2 1 19 .x k    (?) 
 LUYEÄN TAÄP Giaûi phöông trình: 
1. cos3x = 0cos12 (3b/28-SGK 11 CB ) ÑS: 
0 0
0 0
x 4 k.120
x 4 + k.120
  

 
2. sin(2x +250) = 0sin135 ÑS: 
0 0
0 0
x 55 k.180
x 10 + k.180
  


3. cos cos
3 3
x
  
  
 
 ÑS: 2x k  vaø 
2
2
3
x k

  
4. sin sin
3 2 3
    
 
x
 ÑS: 4x k   vaø 
2
4
3
x k

   
Baøi 1: Giaûi phöông trình: sin( ) sin
6 3
 
 x 
Baøi 3: Giaûi phöông trình: 
0 0
tan(2 1 ) tan19x   
 
 
Baøi 2: Giaûi phöông trình: cos 2 cos
6 6
    
 
x 
GV: Nguyeãn Vaên Khaùnh CAÙC DAÏNG PHÖÔNG TRÌNH LÖÔÏNG GIAÙC LÔÙP 11 T.H.P.T soá 2 Phuø Myõ 
 - 5 - 
5. sin 4 sin
5

x (14a/28-SGK 11 NC ) ÑS: ,
20 2 5 2
k k
x x
   
    
6. cos cos 2
2

x
 (14c/28-SGK 11 NC ) ÑS: 2 4  x k 
7. 3tan 3 tan
5

x (18a/29-SGK 11 NC ) ÑS: 
5 3
x k
 
  
8. 1tan 2 tan
2
x ÑS: 1
4 2
k
x

  
9. 1cot2x cot
3
 
  
 
 (18d/29-SGK 11 NC ) ÑS: 
1
6 2
x k

   
10. cot4x = cot 2
7

 ÑS: x = 
14 4
k
 
 
11. cot(x² 4x 3) cot6   (Ban TN) ÑS: x = -2 ± 7 k , vôùi k   vaø k  -2 
      
GV: Nguyeãn Vaên Khaùnh CAÙC DAÏNG PHÖÔNG TRÌNH LÖÔÏNG GIAÙC LÔÙP 11 T.H.P.T soá 2 Phuø Myõ 
 - 6 - 
 DAÏNG 2 : 
  vaø f(x) laø bieåu thöùc chöùa aån x 
 PHÖÔNG PHAÙP: Coù 2 tröôøng hôïp : 
Tröôøng hôïp 1: m laø GTLG cuûa caùc cung (goùc) ñaëc bieät  ,chaúng haïn m = 
1 3 2
, ,
2 2 2
, (Ñ/v sin vaø 
cos) , m = 
3
, 3
3
,(Ñ/v tan vaø cotang) .Khi ñoù ta thay m baèng caùc GTLG cuûa cung (goùc)  ñoù vaø aùp 
duïng coâng thöùc nghieäm daïng sinx=sin ,cosx=cos,. ñöa veà PT 1 aån x ñeå giaûi 
Ví duï: 
3sin( )
6 2

 x ( thay 3m sin
2 3

  ) ,  0 3tan 15
3
x   ( thay 0
3
m tan30
3
  )v,v 
Tröôøng hôïp 2: m khoâng laø GTLG cuûa caùc cung (goùc) ñaëc bieät ,khi ñoù ta coi m laø GTLG cuûa caùc 
cung (goùc)  khoâng ñaëc bieät naøo ñoù hoaëc thay  baèng caùc kí hieäu arcsinm,arccosm v,v ñeå giaûi 
Ví duï:   2x 1= +k21sin 2x 1 ( sin ) ...
3 2x 1= - +k2
 

  
 
     
tieáp tuïc giaûi tìm nghieäm x (  coi nhö soá 
ñaõ bieát, coù sin baèng 
1
3
) 
hoaëc   1sin 2x 1
3
   
1
2x 1 arcsin  k2
3
...
1
2x 1 arcsin  k2
3

 

  
 
    
tieáp tuïc giaûi tìm nghieäm x (
1
arcsin 
3
 laø 
k/h sñ cuûa cung (goùc ) maø coù sin baèng 
1
3
) 
Chuù yù :Baûng GTLG cuûa caùc cung (goùc) ñaëc bieät: 
 α
 )30(
6

)45(
4

)60(
3

Sin α 
2
1
 2
2
 2
3
 Cos α
2
3
 2
2
 2
1
Tan α
3
3
1 3
 Cotα 
 3 1 
3
3
GV: Nguyeãn Vaên Khaùnh CAÙC DAÏNG PHÖÔNG TRÌNH LÖÔÏNG GIAÙC LÔÙP 11 T.H.P.T soá 2 Phuø Myõ 
 - 7 - 
 BAØI TAÄP MAÃU: 
Giaûi: Ta coù 
0
3
tan30
3
 Khi ñoù: 
   0 0 0 0 0 0 0 03tan 15 tan 15 tan 30 15 30 .180 45 .180
3
x x x k x k            
CHUÙ YÙ: Khi giaûi PTLG cô baûn treân, thöïc teá raát nhieàu em HS sai laàm ôû choã khoâng vieát: 
0
3
tan30
3
 maø laïi vieát 0
3
30
3
 hay 
3
3 6

 . Moät nghòch lyù vaø voâ cuøng sai laàm ! 
Giaûi: Ta coù 
3
2
= sin
3
 
2 2 23 6 3 3 6 2sin( ) sin( ) sin 56 2 6 3 22 2 66 3 3 6
    
  
  
   
   
           
         
              
x k x k x k
x x
x kx k x k
 CHUÙ YÙ: Choã HS sai laàm cuõng töông töï nhö treân, vieát 
3
2
=
3

Giaûi: 
1cot 2 6 2 cot( 6) cot( 6)
2 2

        
kx x arc k x arc 
CHUÙ YÙ: 
 Raát nhieàu em HS chöa hieåu ñöôïc kí hieäu cot( 6)arc , quan nieäm raèng cot( 6)arc laø moät tích hai 
thöøa soá laø arccot vaø(-6),chính vì vaäy neân khi giaûi PT 2 cot( 6)   x arc k HS ruùt ra 
x =
6cot( )
2 2


karc laø moät sai laàm lôùn ! 
 HS neân khaéc saâu: cot( 6)arc laø kí hieäu moät soá (rad) maø coù cotang baèng -6. Vì vaäy khi giaûi PT 
2 cot( 6)   x arc k ta ruùt ra cot( 6)
2 2

 
arc kx hoaëc vieát 1 cot( 6)
2 2

  
kx arc laø ñuùng ,chöù 
trong coâng thöùc nghieäm khoâng ñöôïc laáy 
6
2

 Chuù yù treân cuõng ñöôïc hieåu töông töï ñ/v caùc kí hieäu arcsina, arcccosa, arctana (a  ) 
Baøi 2: Giaûi phöông trình: 
3sin( )
6 2

 x 
Baøi 3: Giaûi phöông trình: cot 2 6x 
 Baøi 1: (5a/29-SGK 11 CB ) 
 Giaûi phöông trình:  0 3tan 15
3
x   
GV: Nguyeãn Vaên Khaùnh CAÙC DAÏNG PHÖÔNG TRÌNH LÖÔÏNG GIAÙC LÔÙP 11 T.H.P.T soá 2 Phuø Myõ 
 - 8 - 
Giaûi: 
 
1 1
2x 1 arcsin  k2 2x 1 arcsin  k2
1 3 3
sin 2x 1        
3 1 1
2x 1 arcsin  k2 2x 1 arcsin  k2
3 3
1 1 1
x - arcsin  k
2 2 3
1 1 1
x - arcsin   k
2 2 2 3
 
   



 
       
     
           

  
 
    
 LUYEÄN TAÄP Giaûi phöông trình: 
1. 1sin
6 2
x
 
  
 
 ÑS: 2x k  vaø 
2
2
3
x k

  
2. cos(2x+ 150) = 
2
2
 ÑS: x= 15
0
 + k180
0
 , x = 30
0
+ k180
0
3. 1cot(2 )
8 3

 x ÑS: 11
48
x k

  
4. sin(x +2) = 13 (1a/28-SGK 11 CB ) ÑS: 
1
x -2+arcsin  k2
3
  vaø
1
x -2+ -arcsin  k2
3
   
5. 2cos( 1)
3
x   (3a/28-SGK 11 CB ) ÑS: 
1
1 arccos 2
3
x k    
6. 0tan( 5 ) 5x   (18b/29-SGK 11 NC) ÑS: 0 0 015 .180x k   vôùi tan0 = 5 
7. tan(2 1) 3x   (18a/29-SGK 11 NC) ÑS: 
5 3
k
x
 
  
8. 0 1tan(2 1 )
2
x   ÑS: 
0 0
0
1
.90
2 2
x k

   vôùi tan0 = 
1
2
9. 1sin( )
5 2

 x ÑS: 2
30

 x k vaø 19 2
30

  x k 
10. (16b/28-SGK 11 NC) Tìm nghieäm cuûa PT sau trong khoaûng ñaõ cho: 
3cos( 5)
2
 x vôùi –  <x<  ÑS: 115
6

 vaø
135
6

 
      
 Baøi 4: Giaûi phöông trình:   1sin 2x 1
3
  
GV: Nguyeãn Vaên Khaùnh CAÙC DAÏNG PHÖÔNG TRÌNH LÖÔÏNG GIAÙC LÔÙP 11 T.H.P.T soá 2 Phuø Myõ 
 - 9 - 
 DAÏNG 3 : (Daïng ñaëc bieät) 
 vaø f(x) laø bieåu thöùc chöùa aån x)
 PHÖÔNG PHAÙP: AÙp duïng coâng thöùc nghieäm cuûa caùc PTLG daïng ñaëc bieät sinx=1,cosx=0 
v.v 
Chaúng haïn PT    sinf x 1 f x 2
2
k

    ,    cosf x 0 f x
2
k

    v.v 
 BAØI TAÄP MAÃU: 
Giaûi: 
2sin 3 1 3 2
2 6 3
  
      
kx x k x 
Giaûi: sin( ) 1
6

  x 2 2 26 2 6 2 3
    
              x k x k x k 
Giaûi: cot(2 ) 0 2
6 6 2 3 2
    
        
kx x k x 
Giaûi: 
0 0 0 0 0 0tan(3 30 ) 1 3 30 45 .180 25 .60        x x k x k 
LUYEÄN TAÄP Giaûi phöông trình: 
1. cos 2 0x ÑS: 
4 2
k
x
 
  
2. cos 2 1
2
   
 
x ÑS: 
4
x k

   
3.  0cos 30 1  x ÑS: 0 030 (2 1).180x k   
4. 2sin 0
3 3
x  
  
 
 (1c/28-SGK CB) ÑS: 
3
2 2
k
x
 
  
5. 0sin 60 1
2
x 
   
 
 ÑS: 
0 0
160 .720x k   
6. sin 2 1x ÑS: .4

 x k 
Baøi 2: Giaûi phöông trình: sin( ) 1
6

  x 
Baøi 3: Giaûi phöông trình: cot(2 ) 0
6

 x 
Baøi 4: Giaûi phöông trình: 
0tan(2 30 ) 1 x 
Baøi 1:(1b/28-SGK CB) Giaûi phöông trình: sin 3 1x 
GV: Nguyeãn Vaên Khaùnh CAÙC DAÏNG PHÖÔNG TRÌNH LÖÔÏNG GIAÙC LÔÙP 11 T.H.P.T soá 2 Phuø Myõ 
 - 10 - 
7. tan 1
3
   
 
x ÑS: 7
12
x k

  
8. tan 0
2 8
   
 
x
 ÑS: 2
4
x k

  
9. tan 2 1
4
    
 
x ÑS: 
4 2
k
x
 
   
10. cot 5 0
8
   
 
x ÑS: 
5
kx   
11. cot 1
6
x
 
   
 
 ÑS: 
5
12
x k

  
12.  2sin 2 0x x  (Ban TN) ÑS: 2 4 , , 1     x k k k 
13.  cos sin 1x  (Ban TN) ÑS: x= m, m  
 HD: sinx = k2  . ÑK pt coù nghieäm laø 2k   1  k = 0 . 
14. (20a/29-SGK 11 NC) Tìm nghieäm cuûa PT sau trong khoaûng ñaõ cho: 
tan(2x -15
0
) = 1 vôùi -180
0
<x<80
0
 ÑS: -150
0
,-60
0
,30
0
      
GV: Nguyeãn Vaên Khaùnh CAÙC DAÏNG PHÖÔNG TRÌNH LÖÔÏNG GIAÙC LÔÙP 11 T.H.P.T soá 2 Phuø Myõ 
 - 11 - 
Sin[f(x)] = sin[g(x] ,cos[f(x]) = cos[g(x)] 
tan[f(x)] = tan[g(x)], cot[f(x)] = cot[g(x)] 
 DAÏNG 4 : 
 (f(x) ,g(x) laø caùc bieåu thöùc chöùa aån x) 
 PHÖÔNG PHAÙP: AÙp duïng coâng thöùc bieán ñoåi töông ñöông gioáng nhö coâng thöùc nghieäm 
cuûa caùc PTLG cô baûn sinx=sin ,cpsx=cos v.v 
Chaúng haïn:PT     
( ) 2
( )   ...
( ) 2
f x g x k
Sin f x sin g x
f x g x k

 
  
          
tieáp tuïc giaûi xem nhö PT 1 aån x 
Chuù yù: Ñoái vôùi PT daïng tan[f(x)] = tan[g(x)] , cot[f(x)] = cot[g(x)] caàn coù ÑK ñeå tan vaø cot xaùc ñònh 
 BAØI TAÄP MAÃU: 
Giaûi: 
23x= 2 2
2 10 5cos3x=cos 2
2 3x= 2 2 22 2
  

  
                        
x k x k
x
x k x k
Giaûi: 
0 0 0 0
0
0 0 0 0 0
3x=x 60 .360 30 .180
sin3x sin(x 60 ) 
3x=180 (x 60 ) .360 60 .90
k x k
k x k
     
    
      
Giaûi: Theo ñeà baøi laø ñi giaûi phöông trình: tan tan2
4
x x
   
 
 ÑK 
cos2x 0
4 2
cos 0 4 2
4
4 2
x k
x k
x
x k
 
 

 
                 
 . 
 Khi ñoù tan 
4
  
 
x =tan 2x  2x= 
4
  
 
x +k   x= 12 3
 
 k 
Ñoái chieáu ÑK , xeùt 3 tröôøng hôïp : 
 k = 3m  x= 12

m (thoaõ ÑK) 
 k = 3m +1  x= 
5
12

m (thoaõ ÑK) 
 k = 3m +2  x= 
3
4

m ( khoâng thoaõ ÑK) 
Baøi 1: Giaûi phöông trình: cos3x=cos 2
2
  
 
x 
Baøi 3 (*) : (6/29-SGK 11CB) Vôùi giaù trò naøo cuûa x thì giaù trò cuûa caùc h/s y= tan2x 
vaø y= tan
4
x
 
 
 
 baèng nhau? 
Baøi 2: Giaûi phöông trình: 
0
sin3x sin(x 60 )   
GV: Nguyeãn Vaên Khaùnh CAÙC DAÏNG PHÖÔNG TRÌNH LÖÔÏNG GIAÙC LÔÙP 11 T.H.P.T soá 2 Phuø Myõ 
 - 12 - 
Vaäy PT coù nghieäm x= 12 3
 
 k ( k ≠ 3m +2 ) ,m Î  ) 
 LUYEÄN TAÄP 
1. (*) ( 2/28-SGK 11CB ) 
Vôùi giaù trò naøo cuûa x thì giaù trò cuûa caùc h/s y= sinx vaø y= sin3x baèng nhau? 
 ÑS: x k vaø 4 2
 
 
kx 
 Giaûi phöông trình: 
2. cos 2x =cos
6 6
        
   
x ÑS: 2
3

 x k vaø 2
3


kx 
3. sin2x=sin
3
  
 
x ÑS: 2
9 3
 
 
kx vaø 2 2
3

 x k 
4.    0 0cot x 15 cot 3x 45   ÑS: 0 030 180  x k 
5. tan2x=tanx ÑS: x = k  
      
GV: Nguyeãn Vaên Khaùnh CAÙC DAÏNG PHÖÔNG TRÌNH LÖÔÏNG GIAÙC LÔÙP 11 T.H.P.T soá 2 Phuø Myõ 
 - 13 - 
 DAÏNG 5: 
Chuù yù : Coâng thöùc gtlg cuûa caùc cung (goùc) lieân quan ñaëc bieät 
1) Hai cung (goùc) ñoái nhau : α vaø – α 
Chuù yù: Hai cung ñoái coù toång sñ baèng 0 (0 ) 
 cos (-α) = cosα , sin (-α) = - sin α , tan(-α) = - tan α , cot(-α) = - cot α 
 2) Hai cung (goùc) bù nhau : α vaø π – α 
Chuù yù: Hai cung buø coù toång sñ baèng  (180) 
sin ( -α)=sin α ,cos ( -α) = -cosα , tan( -α) =- tan α ,cot( - ) -cot α 
3 ) Hai cung (goùc) phụ nhau : α vaø 


2 
Chuù yù: Hai cung phuï coù toång sñ baèng 
2

 (90 ) 
 sin (
2

-α) = cos α , cos (
2

-α) = sinα , tan(
2
 -α) = cot α ,cot(
2

-α )=tan α 
Ghi chuù : Ñeå deã nhôù caùc coâng thöùc (1) ,(2) vaø (3) ta nhôù caâu “ cos ñoái,sin buø ,phuï cheùo nhau” 
 BAØI TAÄP MAÃU: 
Giaûi: 
2 21 6 12sin 2 sin 2 sin sin 2 sin
2 6 6 2 ( ) 2
6 12
 
 
 
 
  
                   
         
x k x k
x x x
x k x k
Giaûi: 
2 3
cos( ) cos( ) cos cos( ) cos ( )
5 2 5 4 5 4
3 3 19
2 2 2
5 4 4 5 20
3 3 11
2 2 2
5 4 4 5 20
x x x coângthöùccungbuø
x k x k x k
x k x k x k
    
    
  
    
  
         
  
         
    
                
Chuù yù: Ñ/v cos - Nhieàu HS thöôøng sai laàm cho raèng 
2
2
  cos( )
4


Giaûi: tan 2x = 
3
cot tan 2 tan 2
5 2 5 2 5 20 2
      

 
          
 
k
x x k x 
Baøi 1: Giaûi phöông trình: 
1sin 2
2
 x 
Baøi 2: Giaûi phöông trình: 
2cos( )
5 2

  x 
Baøi 3: Giaûi phöông trình: tan 2x = cot
5

AÙp duïng coâng thöùc hai cung (goùc) ñoái nhau,buø nhau ,phuï 
 nhau ñeå ñöa PT veà daïng PTLG cô baûn 
GV: Nguyeãn Vaên Khaùnh CAÙC DAÏNG PHÖÔNG TRÌNH LÖÔÏNG GIAÙC LÔÙP 11 T.H.P.T soá 2 Phuø Myõ 
 - 14 - 
Giaûi: ÑK: cos3x  0 vaø cosx  0 .Khi ñoù 
1
tan3 .tan 1 tan3 cot tan 3
tan 2 2 8 4
k
x x x x x x x k x
x
   

 
             
 
 (Thoûa ÑK) 
Chuù yù: Muoán laøm maát daáu “ - “ tröôùc sin,tan,cot thì duøng coâng thöùc cung (goùc) ñoái 
Vi dụ: sin
6

  sin
6
  
 
 , tan tan
6 6
     
 
 hoaëc 
5tan tan
6 6
 
  ,v.v. 
Muoán laøm maát daáu “ - “ tröôùc cos thì duøng coâng thöùc cung (goùc) buø.
Vi dụ: 3cos cos
4 4
 
  
Muoán ñoåi tang  cot ,sin  cos vaø ngöôïc laïi thì duøng coâng thöùc cung (goùc) phuï nhau 
 Vi dụ: cot
5

 tan
2 5
  
 
 
, sin 20
0
 = cos70
0
 ,. 
 LUYEÄN TAÄP Giaûi phöông trình: 
1. 3x 1cos 
2 4 2
 
   
 
 (3c/28-SGK CB) ÑS: 11 4
18 3
x k
 
  vaø 
5 4
18 3
x k
 
   
2. sin sin
3 5
x
  
   
 
 ÑS: 2 2
15
x k

  23 2
15
x k

  
3. cot(3 1) 3  x (5b/29-SGK 11 CB ) ÑS: 1 5
3 18 3
x k
 
   
4. 2 1 1cot tan6 3
x    
 
 ÑS: x = 
3 3
2 k



 
5. cos sin
5
x

  ÑS: x = 
7
2
10
x k

   
6. 2cot 3 tan 5

x (18f/29 -SGK 11 NC) ÑS: 
30 3
k
x
 
  
7. (*) (7a/29 -SGK 11CB) sin3x –cos5x 0    
HD: Û cos5x = cos 3 5 3 2
2 2
x x x k
 

   
        
   
. ÑS: 
16 4
 
 
kx vaø 
4

  x k 
8. (*) (6a/37 -SGK 11CB )    tan 3 1 . tan 2 1 1x x   ÑS: 10 5
 
 
kx HD:  PT tan f(x) =tan g(x) 
Chuù yù: khoâng theå duøng coâng thöùc coäng tan(a+b)=. Ñeå giaûi (?) 
Baøi 4 (*): (7b/29 -SGK 11CB) 
 Giaûi phöông trình: tan3 .tan 1x x  
GV: Nguyeãn Vaên Khaùnh CAÙC DAÏNG PHÖÔNG TRÌNH LÖÔÏNG GIAÙC LÔÙP 11 T.H.P.T soá 2 Phuø Myõ 
 - 15 - 
9. (16a/2a -SGK 11 NC) 1sin2x 
2
  vôùi 0<x<  ÑS:
7 11
,
12 12
 
 DAÏNG 6 : 
 ( m ≥ 0) 
 PHÖÔNG PHAÙP: AÙp duïng t/c 2 ( 0)A m m A m     
 CHUÙ YÙ: Coù theå aùp duïng coâng thöùc haï baäc ñeå giaûi 
 BAØI TAÄP MAÃU: 
Giaûi: 
2
x= k (1)cos2x= 1 2x= k2cos 2x=1 (2k+1)cos2x= 1 2x= (2k+1) x= (2)
2





       

Caùch khaùc: (aùp duïng coâng thöùc haï baäc) 
2 1 cos 4cos 2x= 1 1 cos 4 1 4 2 (3)
2 2



       
x kx x k x 
Chuù yù: KQ hai caùch giaûi treân ñeàu ñuùng ,neáu bieåu dieãn ñieåm cuoái hai ÑS ,treân cuøng moät ñöôøng troøn 
LG thì KQ nhö nhau .Coâng thöùc hoï nghieäm (3) chính laø töø (1) vaø (2) goäp laïi 
Giaûi: 
2 tan x=2 x=arctan2+ktan x= 4 tan x=-2 x=-arctan(-2)+k


 
  
 
Giaûi: 
2
x= 2x= cot 2x= 1 8 24cot 2x= 1 cot 2x= -1 2x= - x= -
4 8 2
 

  

  
   
    
kk
kk
 LUYEÄN TAÄP: Giaûi phöông trình: 
1. 2 3cos 2x= 
4
 ÑS: 
5x= , x= 
12 12
 
    k k 
2. 2cos 3 1x ÑS: 
3


kx 
3. (4b/41 -SGK 11CB) 2 1sin 2
2
x ÑS: x= 
8

  k vaø 3x= 
8

  k 
4. (4c/41 -SGK 11CB) 2 1cot
2 3

x
 ÑS: 
2x= 2
3

  k 
5.  2 0tan x 30 = 3 ÑS: 0 0x= 30 180 k vaø 0 0x= 90 180 k 
Baøi 1: Giaûi phöông trình: 
2 1cos 2
4
x (3d/28 -SGK 11CB) 
Baøi 2: Giaûi phöông trình: 
2tan x= 4 
Baøi 3: Giaûi phöông trình: 
2cot 2x= 1 
sin
2
[f(x)] = m ,cos
2
[f(x]) =m 
tan
2
[f(x)] =m cot
2
[f(x)] =m
GV: Nguyeãn Vaên Khaùnh CAÙC DAÏNG PHÖÔNG TRÌNH LÖÔÏNG GIAÙC LÔÙP 11 T.H.P.T soá 2 Phuø Myõ 
 - 16 - 
6. 2 0cot 30 = 1
2
  
 
x
 ÑS: 
0 0 0 0150 360 , 30 360    x k x k 
7. tan2 12
5 3
   
 
x ÑS: 11x= 
60 2
 

k
 vaø x= 
60 2
 

k
8. tan2x tan23x = 1 (Ban TN) 
 HD: ÑK : cosx ≠ 0 , cos3x ≠ 0  pt tanx tan3x = ± 1  tan 3x = ± cotx  ÑS: ;
8 4 4 2
kk x      
      
 DAÏNG 7: 
 PHÖÔNG PHAÙP: 
 Chuù yù : 1/ 
0
0
0
A
AB
B
 
   
 , 0 0( : 0)
A
A ÑK B
B
    
 2/ Khi giaûi caùc PTLG coù chöùa tan ,cot (tröø PTLG cô baûn) thì phaûi neâu ÑKXÑ cuûa PT ñeå tan 
hay cot coù nghóa 
 BAØI TAÄP MAÃU 
Giaûi: Ñk cuûa pt : x  k. Khi ñoù: 
(Chuù yù vaán ñeà xeùt nghieäm : Vì 
3
k
x

 maø k 3 ( töùc k=3m)  x= m thì khoâng thoûa ÑK neân 
( 3 , )
3
k
x vôùik m m

   .Coøn 
2
x k

  hieån nhieân laø thoûa ÑK x  k) 
Giaûi: Ñ k cuûa PT : 
 
4

 x k (Loaïi) 
Baøi 1: (5d/29-SGK 11CB) Giaûi phöông trình: sin3x cotx = 0 
3 ( 3 , )
sin3 0 3
sin3x cotx 0
cot 0
(ThoaÑK)2
2
k
x k x k m m
x
x x k
x k û


 


                 

Baøi 2: (4/29-SGK 11CB) Giaûi phöông trình: 
2cos 2 0
1 s 2


x
in x
 sin 2 1 2 2
2 4
 
          x x k x k1 sin 2x 0
2 2
2 42cos 2 0 cos 2 0
2 2
2 4
 
 
 
 
     
     
      
  
x k x k
x x
x k x k
2cos 2 0
1 s 2
 

x
in x
Tích A.B=0 , thöông 0
A
B
 
GV: Nguyeãn Vaên Khaùnh CAÙC DAÏNG PHÖÔNG TRÌNH LÖÔÏNG GIAÙC LÔÙP 11 T.H.P.T soá 2 Phuø Myõ 
 - 17 - 
 
4

  x k (Thoûa ÑK) . Va