Các dạng toán Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán Lớp 5

Một số dạng Toán tính nhanh
I. Các bài toán về dãy cách đều.
A. Công thức tính.
Tổng = (Số đầu + số cuối) x số số hạng : 2
Số khoảng cách = (Số lớn nhất - số bé nhất) : giá trị 1 khoảng cách 
Số số hạng = Số k/cách + 1 = (Số lớn nhất - số bé nhất) : giá trị 1 k/ cách + 1
Số lớn nhất = giá trị 1 khoảng cách x số k/cách + số bé nhất
Số bé nhất = Số lớn nhất - giá trị 1 khoảng cách x số k/cách 
Giá trị1 khoảng cách = hiệu 2 số liền nhau
B. Bài tập vận dụng.
 Tính nhanh các tổng sau.
1, 1 + 3 + 5 + 7 + ( dãy có 50 số hạng)
 Giải
Dãy trên là dãy cách đều, hai số liền nhau hơn kém nhau 2 đơn vị: 3-1=2 ; 5-3=2
Dãy có 50 số hạng nên số đầu cách số cuối 49 khoảng cách 2 đơn vị hay hiệu của chúng bằng : 49 x 2 = 98
Số cuối của dãy là : 1 + 98 = 99.
Tổng của dãy là : (1 + 99) x 50 : 2 = 2500
 Đáp số : 2500
2, 1,2 + 1,5 + 1,8 + . . . 6,6 + 6,9 
 Giải
Dãy trên là dãy cách đều, hai số liền nhau hơn kém nhau 0,3 đơn vị: 1,5-1,2= 0,3 ; 1,8-1,5 = 0,3. . . 
Số số hạng của dãy là: (6,9 - 1,2) : 0,3 + 1 = 20 (số hạng)
Tổng của dãy là : (1,2 + 6,9) x 20 : 2 = 81
 Đáp số : 81
C. Bài tập tự làm:
Bài 1: Tính nhanh giá trị các dãy sau:
1, Tổng của 20 số lẻ liên tiếp đầu tiên 
2, 3 + 6 + 9 + . . . (dãy có 20 số hạng)
3, 0,1 + 0,2 + . . . + 0,98 + 0.99
4, 1,1 - 1,11 + 1,12 - 1,13 - 1,97 + 1,98
Bài 2 : Tìm x, biết:
1, (x+9) + (x-2) + (x+7) + (x - 4) + (x+5) + (x - 6) + (x + 3) + (x - 8) + (x + 1) =95 
2, (x+1) + (x+2) + (x+3) . . . + (x+99) (x+100) = 5250 
ii. các bài toán về dãy cấp số nhân.
A. Công thức tính.
 S = + + + . . . + 
 Nếu : = : =  = k thì S x k = + + + + = + S - 
 S x (k - 1) = - ; S = ( - ) : (k - 1)
B. Bài tập vận dụng.
 Tính nhanh giá trị các dãy sau:
1, + + + + 
Cách 1: Giải
Ta thấy : : =2 ; : = 2 ; : = 2; : = 2
 Đặt S = + + + + 
 S x 2 = 2 x ( + + + + ) = 1 + + + + 
 S x 2 = 1 + S - 
 Bớt S ở cả hai vế, ta có:
 S = 1 - = 
 Đáp số: S = 
Cách 2: Giải
 Ta thấy : = 1 - ; = - ; = - ; = - ; = - 
 Vậy : + + + + = 1 - + - + - + - + - = 1 - = 
 Đáp số : 
Cách 3: Giải
 Ta thấy : + = = 1 - ; + + = = 1 - ; 
 Vậy : + + + + = 1 - = 
 Đáp số : 
2, 1 + 2 + 4 + 8 + . . . + 8192
 Giải
Ta thấy : 1 + 2 = 3 = 4 -1
 1 + 2 + 4 = 7 = 8 - 1
 1 + 2 + 4 + 8 = 15 = 16 -1.(hay = 8 x 2 -1) . . .
 Vậy 1 + 2 + 4 + 8 + . . . + 8192 = (8192 x 2) - 1 = 16384 - 1 = 16383
 Đáp số : 16383
C. Bài tập tự làm:
Bài 1 : Tính nhanh giá trị các dãy sau:
1, + + +  + 
2, + + + + 
3, + + + + . . . ( Dãy có 8 số hạng)
Bài 2 : Tìm x.
1, + + + + + = 
2, x X ( + + + + ) = 
iii. các bài toán qui về thừa số đối nhau
A. Công thức tính.
 + + = - + - + - = - (Với c-b = d-c = e-d = a)
B. Bài tập vận dụng.
 Tính nhanh giá trị các dãy sau.
1, + + + 
 Giải
 Ta thấy : = = 1 - ; = = - . . . 
 Vậy : + + + = 1- + - + - + - = 1 - = 
 Đáp số : 
2, 1 x + x + x + x 
 Giải
 Ta có : 1 x + x + x + x = + + + 
 Đặt : S = + + + 
 Sx2 = 2 x ( + + + ) = + + + 
 Sx2 = 1 - + - + - + - = 1- = 
 S = : 2 = 
 Vậy : 1 x + x + x + x = 
 Đáp số : 
C. Bài tập tự làm:
Tính nhanh giá trị các dãy sau:
1, x + x + x + x + x 
2, + + + 
3, + + + + + 
iv. các bài toán vận dụng các tính chất giao hoán, kết hợp của phép cộng (phép nhân, . .) để đưa về tổng (tích,. . . ) tròn chục, tròn trăm
A. Lí thuyết.
a + b = b + a a x b = b x a
a + 0 = 0 + a = a a x 0 = 0
a x 1 = a a : 1 = a 0 : a = 0 
(a + b) + c = a + (b + c) (a x b) x c = a x (b x c)
(a + b) x c = a x c + b x c (a - b) x c = a x c - b x c 
(a + b) : c = a : c + b : c (a - b) : c = a : c - b : c 
(a : b) : c = a : b : c = a : c : b (a x b) : c = (a : c) x b = a x (b : c)
a : (b : c) = a : b x c = a x c : b a : (b x c) = a : b : c = a : c : b 
a - (b + c - d - e) = a - b - c + d + e a + (b + c - d - e) = a + b + c - d - e 
a x 0,25 = a : 4 a : 0,25 = a x 4
a x 0,5 = a : 2 a : 0,5 = a x 2
a x 0,125 = a : 8 a : 0,125 = a x 8 
a x 0,2 = a : 5 a : 0,2 = a x 5
a x 0,75 = a x 3 : 4 a : 0,75 = a : 3 x 4 
a x 5 = a x 10 : 2 a : 5 = a : 10 x 2 
a x 25 = a x 100 : 4 a : 25 = a : 100 x 4
. . . . . . . . 
- Chia nhẩm (nhân nhẩm) một số thập phân cho (với) 10; 100; 1000ta dời dấu phẩy của số đó sang trái (sang phải) một, hai  chữ số
- Nhân nhẩm (chia nhẩm) một số thập phân với (cho) 0,1; 0,01; 0,001ta dơid dấu phẩy của số đó sang phải (sang trái) một, hai .chữ số.
- Cùng thêm hoặc cùng bớt một lượng ở cả hai số thì hiệu hai số không thay đổi.
- Thêm bao nhiêu ở số này và bớt bấy nhiêu ở số kia thì tổng hai số không thay đổi.
- Thêm a đơn vị ở số trừ và giữ nguyên số bị trừ thì hiệu giảm a đơn vị
- Thêm a đơn vị ở số bị trừ và giữ nguyên số trừ thì hiệu tăng a đơn vị
. . . . . 
B. Bài tập vận dụng.
 Tính nhanh các giá trị sau:
1, 36,75+ 1,32 - 1,75 + 3,68 + 0,5
 Giải
 36,75+ 1,32 - 1,75 + 3,68 + 0,5
= (36,75 - 1,75) + (1,32 + 3,68) + 0,5 
= 35 + 5 + 0,5 = 40 + 0,5 = 40,5
 Đáp số : 40,5
2, 
 Giải
= 4 x2 = 8
 Đáp số : 8
3, 467 x 138 + 138 x 534 
 Giải
 467 x 138 + 138 x 534 = 467 x 138 + 138 x (533 + 1)
= 467 x 138 + 138 x 533 + 138 x 1 = (467 + 533) x 138 + 138
= 1000 x 138 + 138 = 138000 + 138 = 138138 
 Đáp số : 138138
C. Bài tập tự làm:
Bài 1 : Tính nhanh giá trị các dãy sau.
1, 32,6 x 98 + 3 x 32,6 - 32,6
2, 
3, 
4, 
5, 1,25 x 25 x 3,86 x 32
6, - 
7, (792,81 x 0,25 + 792,81 x 0,75) x (11 x 9 - 90 x 0,1 - 9)
8, 87 x 11 x 0,1 + 1,235 x 5555 x (3 : 4 - 0,75)
9, 817 x 15 + 85 x 816
10, 
11, - + - + 
12, 
__________________________________________________
Một số bài toán về số và chữ số
A. Lí thuyết.
1, Dủng 10 chữ số để viết số trong hệ thập phân : 0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
2, ab = a x 10 + b
 abc = a x 100 + b x 10 + c 
 = ab x 10 + c
 = a x 100 + bc
. . . . . 
3, Hai số tự nhiên liên tiếp hơn kém nhau 1 đơn vị
4, Hai số chẵn hoặc hai số lẻ liên tiếp hơn kém nhau 2 đơn vị
5, Dãy STN liên tiếp bắt đầu từ 1 thì số lượng số của dãy bằng giá trị số đứng sau cùng. Nếu bắt đầu khác 1 thì số lượng số của dãy bằng số lớn nhất trừ số bé nhất + 1.
6, Dãy STN liên tiếp bắt đầu chẵn, kết thúc lẻ (hoặc bắt đầu lẻ, kết thúc chẵn) thì số lượng số chẵn bằng số lượng số lẻ. 
7, Dãy STN liên tiếp bắt đầu chẵn, kết thúc chẵn thì số lượng số chẵn hơn số lượng số lẻ là 1
8, Dãy STN l/ tiếp bắt đầu lẻ, kết thúc lẻ thì số lượng số lẻ hơn số lượng số chẵn là 1
B. Bài tập vận dụng.
Bài1: Dãy số tự nhiên liên tiếp từ 1 đến 99 có bao nhiêu số? Bao nhiêu số chẵn, bao nhiêu số lẻ?
 Giải
 Dãy số tự nhiên liên tiếp bắt đầu từ 1 thì số lượng số của dãy bằng giá trị số đứng sau cùng. Vậy dãy có 99 số.
Dãy STN l/ tiếp bắt đầu lẻ, kết thúc lẻ thì số lượng số lẻ hơn số lượng số chẵn là1.
Vậy dãy có số lượng số chẵn là : (99 - 1) : 2 = 49 (số)
Số lượng số lẻ là : 99 - 49 = 50 (hoặc 49 + 1 = 50)
 Đáp số : 99 số; 49 số chẵn và 50 số lẻ.
Bài 2: Cho 4 chữ số : 0, 3, 8, 9
a, Ta có thể lập được bao nhiêu số có 4 chữ số khác nhau ? Có 3 chữ số khác nhau ? 
b, Hãy lập các số có 3 chữ số khác nhau từ 4 chữ số đã cho.
 Giải
a, Có 3 cách chọn các chữ số đứng ở hàng nghìn (trừ chữ số 0)
Có 3 cách chọn các chữ số đứng ở hàng trăm (trừ các chữ số đã chọn đứng ở hàng nghìn)
Có hai cách chọn các chữ số đứng ở hàng chục (trừ các chữ số đã chọn đứng ở hàng nghìn, hàng trăm) 
Có một cách chọn các chữ số đứng ở hàng đơn vị (trừ các chữ số đã chọn đứng ở hàng nghìn, hàng trăm, hàng chục)
Ta lập được số lượng số có 4 chữ số khác nhau từ các chữ số đã cho là: 
 3 x 3 x 2 x 1 =18 (số)
b, Các số lập được là: 389; 398; 380; 308; 390; 309; 893; 839; 809; 890; 803; 830; 983; 938; 908; 980; 903; 930.
 Đáp số : 18 số; 18 số trên.
Bài 3: Để đánh quyển sách dày 108 trang cần ghi bao nhiêu chữ số?
 Giải 
Có 9 trang được ghi bằng 1 chữ số từ 1 đến 9
Có 90 trang được ghi bằng 2 chữ số từ 10 đến 99
Số trang được ghi bằng 3 chữ số là : 108 - (90 + 9) = 9 (trang)
Để đánh quyển sách dày 108 trang cần ghi số chữ số là: 
 9 x 1 + 90 x 2 + 9 x 3 = 216 (chữ số)
 Đáp số : 216 chữ số 
Bài 4: Tìm số tự nhiên có ba chữ số, biết rằng nếu thêm chữ số 2 vào bên trái của số phải tìm thì số mới này gấp 9 lần số phải tìm.
 Giải
Gọi STN có ba chữ số cần tìm là abc (a = 0); 
khi thêm chữ số 2 vào bên trái số đó ta được số 2abc.
Theo bài ra ta có: 2abc = 9 x abc
 2000 + abc = 9 x abc
Bớt abc ở cả hai vế ta có : 
 8 x abc = 2000
 abc = 2000 : 8
 abc = 250
Thử lại : 250 x 9 = 2250
 Đáp số : 250
Bài 5: Điền số thích hợp vào các chữ trong các phép tính sau, biết các chữ khác nhau thay bằng các số khác nhau
a, abcde x 4 = edcba
 Giải
Để phép tính có nghĩa thì a và e phải khác 0.
Vì thừa số thứ nhất có 5 chữ số và tích có 5 chữ số nên a <3 (a = 0).
Vậy a = 1 hoặc a = 2.
Ta thấy, e x 4 cho kết quả tận cùng bằng a và là kết quả chẵn, suy ra a = 2.
Mặt khác, a = 2 nên chữ số hàng chục nghìn của tích bằng 8 hoặc bằng 9, hay e = 8 hoặc e = 9. Vì e x 4 cho tận cùng bằng a (hay bằng 2), suy ra e = 8. 
Ta lại thấy, tích của 4 với chữ số hàng nghìn không qua 10 nên b <3, vậy b = 0 (hoặc 1; 2) mà 4 x d + 3 (nhớ ở hàng đơn vị sang) cho kq tận cùng bằng b (là kết quả lẻ) suy ra b = 1. 
4 x d + 3 cho kq tận cùng bằng b (bằng1); nên d = 7 hoặc d = 2. Nếu d = 2 thì 4 x c + 1 (nhớ ở hàng chục sang) cho tận cùng bằng c (loại - vì không có giá trị nào thoả mãn). Vậy d = 7. Với d = 7 thì c x 4+ 3 (nhớ ở hàng chục sang) cho tận cùng bằng c. Suy ra, c = 9.
Thay a = 2; b = 1; c = 9; d = 7; e = 8 ,ta có phép tính đúng : 21978 x 4 = 87912
 Đáp số : abcde = 21978 (a = 2; b = 1; c = 9; d = 7; e = 8) 
b, ab,cd - a,bcd = 17,865
 Giải
ab,cd - a,bcd = 17,865 a,bcd x 10 - a,bcd x 1 = 17,865
a,bcd x (10 - 1) = 17,865 a,bcd x 9 = 17,865
a,bcd = 17,865 : 9
a,bcd = 1,985 (hay a =1; b = 9; c = 8; d = 5)
Ta có phép tính đúng : 19.85 - 1,985 = 17,865
 Đáp số : a,bcd = 1,985 (a= 1; b = 9; c = 8; d = 5)
C. Bài tập tự làm.
Bài 1: Dãy số tự nhiên 2; 3; 4 .102; 103. có bao nhiêu số? Bao nhiêu số chẵn, bao nhiêu số lẻ?
Bài 2: Cho bốn chữ số 1; 2; 4; 7 .Ta cố thể lập được bao nhiêu số có 4 chữ số khác nhau từ bốn chữ số đã cho? (không liệt kê các số để tính).
Bài 3: Để đánh một quyển sách dày 128 trang thì cần ghi bao nhiêu chữ số?
Bài 4: Người ta phải đánh quyển sách dày bao nhiêu trang để tổng số chữ số của các trang gấp đôi số trang?
Bài 4: Thay a, b,c bởi các chữ số thích hợp trong các biểu thức sau để có phép tính đúng: 
1, a,b : (a + b) = 0,5
2, a7b,8c9 : 10,01 = ac,b
3, cab = 3 x ab + 8
4, 15abc : abc = 121
5, abab + ab = 2550
Bài 5 : Tìm một số có 3 chữ số, biết rằng khi viết thêm chữ số 5 vào bên phải số đó thì nó tăng thêm 1112 đơn vị.
Bài 6: Cho một số có ba chữ số, nếu ta xoá bỏ chữ số hàng trăm thì số đó giảm đI 7 lần. Tìm số đó.
Bài 7: Tìm một số có hai chữ số, biết rằng số đó chia cho hiệu các chữ số của nó được thương là 28 và dư 1.
Bài 8: Tìm số có hai chữ số, biết rằng khi viết thêm chữ số 5 vào bên phải số đó ta được số lớn hơn số phải tìm 230 đơn vị.
Bài 9: Hiệu của hai số là 319. Nếu xoá bỏ chữ số 4 ở hàng đơn vị của số bị trừ thì ta được số trừ. Tìm hai số đã cho.
Bài 10: Tìm một số có 3 chữ số, biết rằng viết thêm chữ số 0 xen giữa chữ số hàng trăm và hàng chục ta được một số lớn gấp 7 lần số đó.
Bài 11: Cho một số thập phân, dời dấu phẩy của số thập phân đó sang bên phải một chữ số được số TP thứ hai. Cộng hai số TP lại ta được 294,58. Tìm số TP ban đầu.
Bài 12: Cho một số TP, dời dấu phẩy của số TP đó sang bên trái hai chữ số, ta được số thứ hai. Lấy số ban đầu trừ đi số thứ hai ta được hiệu bằng 261,657. Tìm số thập phân ban đầu.
Bài 13: Cho một số TP, dời dấu phẩy của số đó sang bên phải một chữ số ta được số thứ hai, dời dấu phẩy của số ban đầu sang bên trái một chữ số ta được số thứ ba, cộng ba số lại ta được tổng bằng 360,306. Hãy tìm số TP ban đầu.
Bài 14: Khi thực hiện phép cộng hai số TP, một HS đã viết nhầm dấu phẩy của một số hạng sang bên phải một chữ số, do đó được kết quả là 692,22. Em hãy tìm hai số đã cho, biết tổng đúng của chúng bằng 100,556.
Bài 15: Trong một phép trừ có số bị trừ là số tự nhiên, số trừ là số thập phân mà phần thập phân có một chữ số. Một HS vì chép thiếu dấu phẩy nên đã tiến hành trừ hai số tự nhiên và tìm được kết quả là 164. Em hãy tìm số bị trừ, số trừ đã cho biết hiệu đúng của chúng bằng 328,7.
Bài 16: Khi nhân một số tự nhiên với 45, một HS đã đặt các tích riêng thẳng cột như trong phép cộng nên được kết quả là 2934. Em hãy tìm tích đúng của phép tính.
Bài 17: Không thực hiện phép tính, hãy tìm chữ số tận cùng của kết quả mỗi phép tính sau (có giải thích). 
a, 1 x 3 x 5 x 7 x 9 x. . . x 99
b, (1999 + 2378 + 4545 + 7956) - (315 + 598 +736 + 89)
c, 56 x 66 x 76 x 86 - 51 x 61 x 71 x 81.
Bài 18: Một người viết liên tiếp nhóm chữ CHAM HOC CHAM LAM thành dãy CHAM HOC CHAM LAM CHAM HOC CHAM LAM .
a, Chữ cái thứ 1000 trong dãy là chữ gì?
b, Nếu đếm được trong dãy có 1200 chữ H thì đếm được bao nhiêu chữ A?
c, Một người đếm được trong dãy có 1996 chữ C, hỏi người đó đếm đúng hay sai? Giải thích tại sao?
Bài 19: Điền các chữ số 1; 2; 3; 4; 5; 6 vào các ô tròn sao cho tổng 3 ô liền nhau trong một hàng bằng nhau và bằng 10; bằng 12.
Bài 20: Tìm x là số tự nhiên biết : 
a, (x + 238) x 45 = 22140
b, 6203 : x = 326 (dư 9)
c, 4,25 x (x + 41,53) - 12,5 = 53,5
d, x : 6 X 7,2 + 1,3 X x + x : 2 + 15 = 19,95
e, 7,75 - (0,5 X x : 5 - 6,2) = 5
g, + = 1 
h, (0,3 x x - 2,7) : 9,1 = 0
I , < < 
k, 12,34 < x X 2 < 13,34
l, (x - ) x = - 
m, 200 - 18 : (372 : 3 X x - 1) - 28 = 166
_____________________________________________________
Dấu hiệu chia hết
A. Lí thuyết
1, Dấu hiệu chia hết cho 2 : Các số chẵn thì chia hết cho 2 (các số có chữ số tận cùng là 0; 2; 4; 6; 8; )
2, Dấu hiệu chia hết cho 5: Các số có chữ số tận cùng là 0; 5 thì chia hết cho 5.
3, Số chia hết cho cả 2 và 5: Là những số có chữ số tận cùng bằng 0.
4, Dấu hiệu chia hết cho 3: Các số có tổng các chữ số chia hết cho 3 thì số đó chia hết cho 3.
5, Dấu hiệu chia hết cho 9: Các số có tổng các chữ số chia hết cho 9 thì số đó chia hết cho 9. (Những số chia hết cho 9 thì chia hết cho 3)
6, a : c và b : c thì (a + b) : c và (a - b) : c
7, (a + b) : c mà a : c (dư r) thì (b + r) : c.
8, a : c (dư r) và b : c (dư r) thì (a - b) : c
9, a : b và a : c thì a : (b x c) và ngược lại.
10,Dấu hiệu chia hết cho 4 (hoặc 25): Là những số có 2 chữ số tận cùng hợp thành số chia hết cho 4 (hoặc 25).
11,Dấu hiệu chia hết cho 8 (hoặc 125): Là những số có 3 chữ số tận cùng hợp thành số chia hết cho 8 (hoặc 125).
12,Số 1001 : 7 : 11 : 13 vì 7 x 11 x 13 = 1001.
B. Bài tập vận dụng.
Bài 1: Viết một chữ số vào dấu * để số 123*:
a, Chia hết cho 2: 1230; 1232; 1234; 1236; 1238
b, Chia hết cho 9: 1233
c, Chia hết cho 5: 1230; 1235
d, Chia hết cho cả 2 và 3: 1230; 1236
e, Chia hết cho cả 2 và 5: 1230
g, Chia hết cho 2 nhưng không chia hết cho 3: 1232; 1234; 1238.
Bài 2: Không thực hiện phép tính, hãy giải thích tại sao : 2010 và 1992 có tổng và hiệu đều chia hết cho cả 2 và 3.
 Giải
2010 : 2 và 1992 : 2 (vì 2010 và 1992 đều là số chẵn) 
nên (2010 + 1992) : 2 và (2010 - 1992) : 2
2010 : 3 (vì 2 + 0 + 1 + 0 = 3; 3 : 3) và 1992 : 3 (vì 1 + 9 + 9 + 2 = 21 ; 21: 3)
Nên (2010 + 1992) : 3 và (2010 - 1992) : 3 
Bài 3: Thay x và y trong số 1996xy để được số chia hết cho cả 2,; 5; và 9
 Giải
Để 1996xy : 2 thì y = 0 (hoặc 2; 4; 6; 8)
Để 1996xy : 5 thì y = 0 hoặc 5.
Để 1996xy : 2 : 5 thì y = 0
Thay y = 0 ta có : 1996xy = 1996x0
Để 1996x0 : 9 thì (1 + 9 + 9 + 6 + x + 0 ) : 9 hay (25 + x) : 9
Vì 25 : 9 = 2 (dư 7) nên (x + 7) : 9 ; x là số tự nhiên bé hơn 10 nên x = 2.
Thay x = 2 vào ta có : 1996x0 = 199620 
199620 : 2 : 5 : 9
 Vậy với x = 2 ; y = 0 ta có 1996xy = 199620 : 2 : 5 : 9
 Đáp số : x = 2 ; y = 0 ta được số 199620 : 2 : 5 : 9
Bài 4: Tìm số tự nhiên nhỏ nhất chia cho 2 dư 1; chia cho 3 dư 2; chia cho 4 dư 3 và chia cho 5 dư 4 và chia cho 6 dư 5.
 Giải
 Gọi số tự nhiên nhỏ nhất cần tìm là A.
A : 2 dư 1 nên (A + 1) : 2; A : 3 dư 2 nên (A + 1) : 3
A : 4 dư 3 nên (A + 1) : 4 A : 5 dư 4 nên (A + 1) : 5
A : 6 dư 5 nên (A + 1) : 6
Số chia hết cho 6 thì sẽ chia hết cho 2 và 3 (vì 6 = 2 x 3)
Số nhỏ nhất chia hết cho cả 6 và 4 là 12 .
Vậy số nhỏ nhất chia hết cho cả 2; 3; 4; 5; 6 bằng : 12 x 5 = 60
Hay A + 1 = 60 A = 60 - 1 A = 59
 Đáp số : A = 59
Bài 5: Chứng tỏ rằng không thể thay mỗi chữ cái trong phép tính sau bằng chữ số thích hợp để được một phép tính đúng.
 HOC HOC HOC
 _ 
 TOT TOT TOT
 1234 567 891
 Giải
Tổng các chữ của HOC HOC HOC là : 3 x ( H + O + C) : 3
Tổng các chữ của TOT TOT TOT là : 3 x ( T x 2 + O ) : 3
Nên 3 x (H + O + C) + 3 x ( T x 2 + O ) :3 hay (HOC HOC HOC - TOT TOT TOT) :3
Mà số 1234 567 891 không chia hết cho 3 nên ta không thể thay thế mỗi chữ cái trên bằng chữ số thích hợp đẻ có phép tính đúng. 
Bài 5: Một cửa hàng rau quả có 5 rổ đựng cam và chanh (trong mỗi rổ chỉ đựng một loại quả). Số quả trong mỗi rổ lần lượt là 104; 115; 132; 136 và 148 quả. Sau khi bán được một rổ cam, người bán hàng thấy rằng số chanh còn lại gấp 4 lần số cam. Hỏi cửa hàng đó có bao nhiêu quả mỗi loại?
 Giải
Tổng số cam và chanh cửa hàng có là:
104 + 115 + 132 + 136 + 148 + 635 (quả)
Khi bán đi một rổ cam thì số chanh còn lại gấp 4 lần số cam nên tổng số chanh và cam còn lại phải chia hết cho 5.
Tổng số quả là số chia hết cho 5 (635 : 5) ; số quả còn lại sau khi bán là số chia hết cho 5 (vì chanh gấp 4 lần cam nên tổng số quả còn lại gấp 5 lần cam) nên rổ cam bán đi có số quả là số chia hết cho 5 . Trong 5 rổ chỉ có một rổ có số quả chia hết cho 5 . Vậy rổ cam bán đi là rổ 115 quả.
Số quả còn lại là: 635 - 115 = 520 (quả)
Ta có sơ đồ số quả còn lại :
Cam : 
 520 quả 
Chanh : 
Theo sơ đồ Tổng số phần bằng nhau là: 1 + 4 = 5 (phần)
Số cam còn lại là : 520 : 5 = 1 0 4 (quả)
Số cam lúc đầu là : 115 + 104 = 219 (quả)
Số chanh lúc đầu là: 635 - 219 = 416 (quả)
 Đáp số : 219 quả ; 416 quả.
C. Bài tập tự làm
Bài 1: Cho 4 chữ số 0; 1; 5 và 8. Hãy thiết lập các số có 3 chữ số khác nhau thoả mãn điều kiện:
a, Chia hết cho 6 b, Chia hết cho 15
Bài 2:Hãy xác định các chữ số a, b để khi thay vào số 6a49b ta được sốchia hết cho:
a, 2; 5 và 9 b, 2 và 9
Bài 3: Cho a = 5x1y. Hãy thay x, y bằng những chữ số thích hợp để được một số có 4 chữ số khác nhau chia hết cho 2; 3 và chia cho 5 dư 4.
Bài 4: Viết:
a, Số lớn nhất có hai chữ số và là số chia hết cho 5
b, Số nhỏ nhất có ba chữ số và là số không chia hết cho 5
c, Số lớn nhất có ba chữ số và là số chia hết cho 5.
Bài 5: Tìm tất cả các số chẵn có ba chữ số mà khi chia mỗi số đó cho 9 ta được thương là số có ba chữ số
Bài 6: Cho ab là số tự nhiên có hai chữ số. Biết rằng ab chia hết cho 9; chia cho 5 dư 3. Tìm các chữ số a, b.
Bài 7: cho a = x459y. Hãy tìm x, y bởi những chữ số thích hợp để khi chia a cho 2, 5 và 9 đều dư 1.
Bài 8: Trong một đợt trồng cây, số cây lớp 5 A trồng được bằng số cây lớp 5 B trồng. Tính số cây mỗi lớp trồng, biết tổng số cây của hai lớp trồng được là một số chia hết cho 2; 3 và nhiều hơn 150 cây nhưng ít hơn 200 cây.
Bài 9: Cần phải viết thêm số có hai chữ số nào vào bên phải số 1935 để được số mới chia hết cho 102?
Bài 10: Tìm số tự nhiên nhỏ nhất sao cho khi chia số đó cho 2 dư 1, cho 3 dư 2, cho 4 dư 3, cho 5 dư 4, cho 6 dư 5 và cho 7 dư 6.
___________________________________________________
Một số bài toán về qui luật của dãy số
A. Lí thuyết
Một số qui luật thường gặp.
1, Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ hai) bằng số hạng đứng trước nó cộng (hoặc trừ) với một số tự nhiên.
2, Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ hai) bằng số hạng đứng trước nó nhân (hoặc chia) với một số tự nhiên q khác 0.
3, Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ ba) bằng tổng của hai số hạng đứng trước nó.
4, Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ tư) bằng tổng của số hạng đứng trước nó cộng với số tự nhiên d rồi cộng với số thứ tự của số hạng ấy.
5, Số hạng đứng sau bằng số hạng đứng trước nhân với số thứ tự.
. . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 
B. Bài tập vận dụng.
Viết tiếp ba số hạng vào dãy số sau:
a, 1, 3, 4, 7, 11, 18, . . . 
b, 0, 2, 4, 6, 12, 22, 
c, 1, 2, 6, 24, 
a, Giải
Ta thấy: 4 = 1 + 3 7 = 3 + 4 11 = 4 + 7 18 = 7 + 11 . . . . 
Qui luật của dãy : Mỗi số hạng (kể trừ số hạng thứ ba) bằng tổng của hai số đứng trước nó.
 Ta viết được 3 số hạng tiếp theo của dãy là: 
29 (29 = 11 + 18) ; 47 (47 = 18 + 29) ; 76 (76 = 29 + 47)
Ta có dãy : 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76,..
 Đáp số : 1, 2, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76
b, Giải 
Ta thấy: 6 = 0 + 2 + 4 ; 12 = 2 + 4 + 6 ; 22 = 4 + 6 + 12 
Qui luật của dãy : Kể từ số hạng thứ tư trở đi, mỗi số bằng tổng ba số đứng liền trước nó.
Ta viết được 3 số hạng tiếp theo của dãy là: 
40 (40 = 6 + 12 + 22) ; 74 (74 = 12 + 22 + 40) ; 136 (136 = 22 + 40 + 74)
Ta có dãy : 0, 2, 43, 6, 12, 22, 40, 74, 136, 
 Đáp số : 0, 2, 43, 6, 12, 22, 40, 74, 136, 
c, Giải
Ta thấy : 2 = 1 x 2 ; 6 = 2 x 3 ; 24 = 6 x 4 
Qui luật của dãy : Kể từ số hạng thứ hai trở đi, mỗi số bằng tích của số hạng đứng liền trước nó nhân với số thứ tự của số hạng ấy.
Ta viết được 3 số hạng tiếp theo của dãy là: 
120 (120 = 24 x 5) ; 720 (720 = 120 x 6) ; 5040 (5040 = 720 x 7)
Ta có dãy : 1, 2, 6, 24, 120, 720, 5040, .
 Đáp số: 1, 2, 6, 24, 120, 720, 5040, .
C. Bài tập tự làm
Bài 1: Viết tiếp ba số hạng sau của dãy.
a, 0, 3, 7, 12, 
b,100, 93, 85, 76, 
c, 1, 3, 3, 9, 27, 
Bài 2: Tìm số hạng đầu tiên của các dãy sau:
a, , 17, 19, 21.
b, ,64, 81, 1000
biết rằng mỗi dãy có 10 số hạng.
Bài 3: Em hãy cho biết: 
a, Các số 50 và 133 có thuộc dãy90; 95; 100; hay không?
b, Số 1996 thuộc dãy 2, 5, 8, 11, hay không?
c, Số nào trong các số 666, 1000, 9999, thuộc dãy 3, 6, 12, 24, 
d, Cho dãy số 1, 4, 7, 10, 13, .
Số 1996 có thuộc dãy trên hay không?
Giải thích tại sao?
Bài 4: a, Cho dãy số 11, 14, 17, 
Số hạng thứ 1996 là số mấy?
b, Cho dãy số 1, 3, 6, 10,  Số hạng thứ 40 của dãy là số mấy?
Bài 5: Điền các số thích hợp vào ô trống, sao cho tổng các số ở 3 ô liên tiếp đều bằng 1996:
496
996
___________________________________________________
So sánh phân số
A. Lí thuyết
Một số cách so sánh phân số.
1, So sánh hai phân số cùng mẫu số.
 Trong hai phân số có cùng mẫu số, phân số nào có tử số lớn hơn thì phân số đó lớn hơn và ngược lại. Hai phân số có tử số bằng nhau thì hai phân số đó bằng nhau.
2, So sánh hai phân số cùng tử số
Trong hai phân số có cùng tử số, phân số nào có mẫu số lớn hơn thì phân số đó bé hơn và ngược lại. Hai phân số có mẫu số bằng nhau thì hai phân số đó bằng nhau.
3, So sánh với 1
Phân số có tử số lớn hơn mẫu số thì phân số đó lớn hơn 1 và ngược lại.Phân số có tử số bằng mẫu số thì phân số đó bằng 1.
4, So sánh “phần bù” đơn vị của hai phân số.
Trong hai phân số, phân số nào có phần bù đơn vị lớn hơn thì phân số đó bé hơn và ngược lại. 
 Ví dụ : So sánh hai phân số và 
 Giải
 Ta thấy : 1 - = ; 1 - = 
 Vì > nên < 
 Đáp số: < 
(Thường dùng khi hiệu m/ số và tử số của hai PS bằng nhau hoặc chia hết cho nhau)
5, So sánh “phần hơn” đơn vị của hai phân số 
Trong hai phân số, phân số nào có “phần hơn” đơn vị lớn hơn thì phân số đó lớn hơn và ngược lại.
 Ví dụ : So sánh hai phân số và 
 Giải
 Ta thấy : - 1 = - 1 = 
 Vì > nên > 
 Đáp số: > 
(Thường dùng khi hiệu tử số và m/ số của hai PS bằng nhau hoặc chia hết cho nhau)
6, Đưa về hỗn số để so sánh.
Trong hai hỗn số, hỗn số nào có phần nguyên lớn hơn thì hỗn số đó lớn hơn và ngược lại; nếu phần nguyên bằng nhau thì hỗn số nào có phần phần phân số bé hơn 1 lớn hơn thì hỗn số đó lớn hơn.
 Ví dụ: a, So sánh hai phân số và 
 Giải
 Ta thấy : = 4 và = 3 
Vì 4 > 3 nên 4 > 3 . Vậy > 
 Đáp số: và 
 b, So sánh hai phân số và 
 Giải
 Ta thấy: = 3 và = 3 
 Vì < nên 3 < 3 . Vậy < 
 Đáp số: < 
(Thường dùng khi các phân số khi đưa về hỗn số có sự chênh lệch về phần nguyên hoặc phần nguyên bằng nhau nhưng phần phân số có các tử số hoặc các mẫu số bằng nhau hay chia hết cho nhau)
7, So sánh hai phân số qua phân số trung gian.
Phân số trung gian là phân số nằm giữa, lớn hơn PS này nhưng bé hơn phân số kia
 < và < thì < và ngược lại.
 Ví dụ: So sánh hai phân số và 
 Giải
 Ta thấy: < mà < . Vậy < 
 Hoặc < mà < . Vậy < 
 Đáp số: < 
(Thường dùng khi tử số của phân số A bé hơn tử số của phân số B nhưng mẫu số của phân số A lại lớn hơn mẫu số của phân số B và ngược lại. Phân số trung gian trong trường hợp đó chính là phân số có tử số của phân số A và mẫu số của phân số B hoặc mẫu số của phân số A và tử số của phân số B)
8, Rút gọn rồi so sánh.
Rút gọn, đưa hai phân số về cùng tử số hoặc cùng mẫu số để so sánh.
 Ví dụ: So sánh hai phân số và 
 Giải
 Ta thấy : = = = 
 Vì > nên > 
 Đáp số: > 
9, Nhân với phân số nghịch đảo.
 A x C > B x C thì A > B
Mục đích của việc nhân với phân số nghịch đảo là để đưa một giá trị về bằng 1 và giá trị còn lại sẽ lớn hơn hoặc bé hơn 1.
 Ví dụ: So sánh hai phân số và 
 Giải
 Ta thấy: x = 1 ; x = 
Vì 1 < nên < 
 Đáp số: < 
10, Nghịch đảo phân số.
Phân số nào khi nghịch đảo có giá trị lớn hơn thì phân số đó bé hơn.
 Ví dụ: So sánh hai phân số và 
 Giải
 Nghịch đảo phân số ta được phân số = 1 = 1 
 Nghịch