Các dạng toán lập phương trình Lớp 8

DẠNG TOÁN CHUYỂN ĐỘNG
Bài 1 : Một xe ô tô đi từ tỉnh A đến tỉnh B với vận tốc 60km/h rồi quay về A với vận tốc 50km/h. Thời gian lúc đi ít hơn thời gian lúc về là 48 phút. Tính quãng đường AB.
Tóm tắt
	

S ( km)
V ( km/h)
t ( h)
Đi từ A -> B
S
60km/h

Về từ B -> A
S
50km/h

	
Giải 
	Gọi x ( km ) là quãng đường AB mà ô tô đi được: ( ĐK : x > 0 ) 
	Thời gian ô tô đi từ A đến B là :
	
	Thời gian ô tô quay về từ B đến A là :
	
	Vì thời gian lúc đi ít hơn thời gian lúc về là 48 phút. Nên ta có phương trình:
	
6x – 5x = 240	 x = 240 ( nhận )
 Vậy quãng đường AB dài là 240 km

	Bài 2 : Một xe ô tô chạy trên quãng đường AB. Lúc đi ô tô chạy với vận tốc 42 km/h, lúc về ô tô chạy với vận tốc 36km/h, vì vậy thời gian về nhiều hơn về thời gian đi là 60 phút. Tính quãng đường AB.
Tóm tắt
	

S ( km)
V ( km/h)
t ( h)
Đi từ A -> B
S
42km/h

Về từ B -> A
S
36km/h

	
Giải 
	Gọi x ( km ) là quãng đường AB mà ô tô đi được: ( ĐK : x > 0 ) 
	Thời gian ô tô đi từ A đến B là :
	
	Thời gian ô tô quay về từ B đến A là :
	
	Vì thời gian lúc về nhiều hơn thời gian lúc đi là 60 phút. Nên ta có phương trình:
	
7x – 6x = 252	 x = 252 ( nhận )
 Vậy quãng đường AB dài là 252 km

Bài 3 : Một xe ô tô đi từ tỉnh A đến tỉnh B với vận tốc 35km/h, lúc về ô tô tăng vận tốc thêm 7 km/h. Nên thời gian lúc về ít hơn thời gian lúc đi là 30 phút. Tính quãng đường AB.
Tóm tắt
	

S ( km)
V ( km/h)
t ( h)
Đi từ A -> B
S
35km/h

Về từ B -> A
S
35km + 7km = 42km/h

	
Giải 
	Gọi x ( km ) là quãng đường AB mà ô tô đi được: ( ĐK : x > 0 ) 
	Thời gian ô tô đi từ A đến B là :
	
	Thời gian ô tô quay về từ B đến A là :
	
	Vì thời gian về ít hơn thời gian lúc đi là 30 phút. Nên ta có phương trình:
	
6x – 5x = 105	 x = 105 ( nhận )
 Vậy quãng đường AB dài là 105 km
Bài 4 : Một xe ô tô đi từ tỉnh A đến tỉnh B mất 3 giờ, sau đó trở về A mất 3 giờ 45 phút. Tính quãng đường AB biết vận tốc lúc đi lớn hơn vận tốc lúc về là 10km/h.
Tóm tắt
	

S ( km)
V ( km/h)
t ( h)
Đi từ A -> B
S
35km/h

Về từ B -> A
S
35km + 7km = 42km/h

	10 km/h	
Giải 
	Gọi x ( km ) là quãng đường AB mà ô tô đi được: ( ĐK : x > 0 ) 
	Vận tốc ô tô đi từ A đến B là :
	
	Vận tốc ô tô quay về từ B đến A là :
	
	Vì vận tốc lúc đi lớn hơn vận tốc lúc về là 10km/giờ. Nên ta có phương trình:
	
5x – 4x = 150	 x = 150 ( nhận )
 Vậy quãng đường AB dài là 150 km

	



Bài 5 : Lúc 6 giờ, ô tô một khởi hànhh từ A. Đến 7 giờ 30 phút ô tô hai cũng khởi hành từ A với vận tốc lớn hơn vận tốc ô tô một là 20km/h và gặp nhau lúc 10 giờ 30 phút. Tính vận tốc mỗi ô tô ?
	Giải 
	Gọi x ( km/h ) là vận tốc của mỗi ô tô đi được: ( ĐK : x > 0 ) 
	Thời gian 6 giờ đến 10 giờ 30 phút là 4,5 giờ 
	Quãng đường AB xe ô tô một đi là 4,5 giờ	
	Quãng đường AB xe ô tô hai đi là :
	4,5 giờ - 1,5 giờ = 3 giờ
	Vận tốc ô tô một đi được:	
	
 Vận tốc ô tô một đi được: 
 Theo đề bài ta có phương trình :
	
	3x – 2x = 180 	x = 180 ( nhận )
	Vậy quãng đường AB dài là 180 km
	 Vận tốc ô tô một đi được là :
	
	Vận tốc ô tô hai đi được là :
	
Bài 6 : Hai xe cùng khởi hành một lúc từ hai địa điểm A và B cách nhau 220 km và sau 2 giờ thì gặp nhau. Biết xe đi từ A có vận tốc lớn hơn xe đi từ B là 10km/h. Tính vận tốc của mỗi xe.
	Giải 
	Gọi x ( km/h ) là vận tốc của xe đi từ B: ( ĐK : x > 0 ) 
	Vận tốc của xe đi từ A đến B : 	x + 10 
Sau 1 giờ hai xe đi ngược chiều để gặp nhau với quãng đường là 220 km, nên ta có phương trình
	2x + 2( x + 10 ) = 220
	2x + 2x + 20 = 220
	4x = 200
	Suy ra x = 50 ( nhận)
	Vậy vận tốc xe thứ nhất là 50km/h
	 Vận tốc xe thứ hai là :
	50 + 10 = 60 km/h
	










DẠNG TOÁN HÌNH CHỮ NHẬT
Bài 1 : Một hình chữ nhật có chiều dài hơn chiều rộng là 4m. Nếu tăng chiều rộng 2m và tăng chiều dài thêm 6m thì diện tích tăng thêm 84m2. Tính chiều dài, chiều rộng lúc đầu của hình chữ nhật.
Tóm tắt
	

Chiều rộng ( m)
Chiều dài ( m)
Diện tích ( m2 )
Lúc đầu
x
x + 4
x(x + 4 )
Lúc sau
x + 2
x + 4 + 6 = x + 10
( x + 2 )( x + 10 )
	DTLS = DTLĐ + DT tăng	
( x + 2 )( x + 10 ) = x(x + 4 )	+ 84
Giải 
	Gọi x ( m ) là chiều rộng hình chữ nhật lúc đầu : ( ĐK : x > 0 ) 
	Chiều dài hình chữ nhật lúc đầu:	x + 4
	Diện tích hình chữ nhật lúc đầu:	x.( x + 4 )
	Chiều rộng hình chữ nhật lúc sau:	x + 2
Chiều dài hình chữ nhật lúc sau:	x + 4 + 6 = x + 10
	Diện tích hình chữ nhật lúc sau:	 ( x + 2 )( x + 10 )
	Theo đề bài ta có phương trình :
	( x + 2 )( x + 10 ) = x.( x + 4 ) + 84
	x2 + 10x + 2x + 20 = x2 + 4x + 84
	x2 - x2 + 10x + 2x – 4x = 84 - 20
	8x = 64 ó x = 8 ( nhận )
	Vậy chiều rộng hình chữ nhật lúc đầu là 8m
	Chiều dài hình chữ nhật lúc đầu là :
	8 + 4 = 12m
	
Bài 2 : Một hình chữ nhật có chiều dài hơn chiều rộng là 5m. Nếu tăng chiều rộng 2m và tăng chiều dài thêm 7m thì diện tích tăng thêm 51m2. Tính tính chu vi hình chữ nhật lúc đầu.
Tóm tắt
	

Chiều rộng ( m)
Chiều dài ( m)
Diện tích ( m2 )
Lúc đầu
x
x + 5
x(x + 5 )
Lúc sau
x - 2
x + 5 + 7 = x + 12
( x - 2 )( x + 12 )
	DTLS = DTLĐ + DT tăng	
( x - 2 )( x + 12 ) = x(x + 5 )	+ 51
Giải 
	Gọi x ( m ) là chiều rộng hình chữ nhật lúc đầu : ( ĐK : x > 0 ) 
	Chiều dài hình chữ nhật lúc đầu:	x + 5
	Diện tích hình chữ nhật lúc đầu:	x.( x + 5 )
	Chiều rộng hình chữ nhật lúc sau:	x - 2
Chiều dài hình chữ nhật lúc sau:	x + 5 + 7 = x + 12
	Diện tích hình chữ nhật lúc sau:	 ( x - 2 )( x + 12 )
	Theo đề bài ta có phương trình :
	( x - 2 )( x + 12 ) = x.( x + 5 ) + 51
	x2 + 12x - 2x - 24 = x2 + 5x + 51
	x2 - x2 + 12x - 2x – 5x = 51 + 24
	5x = 75 ó x = 25 ( nhận )
	Vậy chiều rộng hình chữ nhật lúc đầu là 25m
	Chiều dài hình chữ nhật lúc đầu là :
	25 + 5 = 30m
	Chu vi hình chữ nhật :
	( 30 + 25 ).2 = 100m

	Bài 3 : Một khu vườn hình chữ nhật có chiều dài gấp 3 lần chiều rộng. Nếu tăng chiều rộng 2m và giảm chiều dài 10m thì diện tích giảm 60m2. Tính diện tích khu vườn ban đầu của hình chữ nhật.
Tóm tắt
	

Chiều rộng ( m)
Chiều dài ( m)
Diện tích ( m2 )
Lúc đầu
x
3.x 
3x.x = 3x2
Lúc sau
x + 2
3x - 10
( x + 2)( 3x - 10 )
	DTLS = DTLĐ - DT giảm	
( x + 2)( 3x - 10 )= 3x2 - 60
Giải 
	Gọi x ( m ) là chiều rộng hình chữ nhật lúc đầu : ( ĐK : x > 0 ) 
	Chiều dài hình chữ nhật lúc đầu:	3.x
	Diện tích hình chữ nhật lúc đầu:	3x.x = 3x2
	Chiều rộng hình chữ nhật lúc sau:	x + 5
Chiều dài hình chữ nhật lúc sau:	3x + 5
	Diện tích hình chữ nhật lúc sau:	 ( x + 5)( 3x + 5 )
	Theo đề bài ta có phương trình :
	( x + 5)( 3x + 5 )= 3x2 + 385
	3x2 + 5x + 15x + 25 = 3x2 + 385
	3x2 - 3x2 + 5x + 15x = 385 - 25
	20x = 360 ó x = 18 ( nhận )
	Vậy chiều rộng hình chữ nhật lúc đầu là 18m
	Chiều dài hình chữ nhật lúc đầu là :
	3.18 = 54m
	
Bài 4 : Một khu vườn hình chữ nhật có chiều dài gấp 3 lần chiều rộng. Nếu tăng thêm mỗi cạnh lên 5m thì diện tích khu vườn tăng thêm 385m2. Tìm kích thước khu vườn ban đầu của hình chữ nhật ấy.
Tóm tắt
	

Chiều rộng ( m)
Chiều dài ( m)
Diện tích ( m2 )
Lúc đầu
x
3.x 
3x.x = 3x2
Lúc sau
x + 5
3x + 5
( x + 5)( 3x + 5 )
	DTLS = DTLĐ + DT tăng	
( x + 5)( 3x + 5 )= 3x2	 + 385
Giải 
	Gọi x ( m ) là chiều rộng hình chữ nhật lúc đầu : ( ĐK : x > 0 ) 
	Chiều dài hình khu vườn chữ nhật lúc đầu: 3.x
	Diện tích hình chữ nhật lúc đầu:	3x.x = 3x2
	Chiều rộng khu vườn hình chữ nhật lúc sau:	x + 2
Chiều dài khu vườn hình chữ nhật lúc sau:	3x - 10
	Diện tích khu vườn hình chữ nhật lúc sau:	 ( x + 2)( 3x - 10 )
	Theo đề bài ta có phương trình :
	( x + 2)( 3x - 10 ) = 3x2 - 60
	3x2 - 10x + 6x - 20 = 3x2 - 60
	3x2 - 10x + 6x - 3x2 = 20 - 60
 -4x = -40 ó x = 10 ( nhận )
	Vậy chiều rộng khu vườn hình chữ nhật lúc đầu là 10m
	Chiều dài khu vườn hình chữ nhật lúc đầu là :
	3.10 = 30m
	Diện tích khu vườn hình chữ nhật lúc đầu :
	30.10 = 300m2

Bài 5 : Một khu vườn hình chữ nhật có chiều dài hơn chiều rộng là 12m. Nếu tăng chiều dài 3m và giảm chiều rộng 1,5m thì diện tích khu vườn không thay đổi. Tính chu vi của khu vườn ban đầu.
Tóm tắt
	

Chiều rộng ( m)
Chiều dài ( m)
Diện tích ( m2 )
Lúc đầu
x
x + 12
x(x + 12 )
Lúc sau
x – 1,5
x + 12 + 3 = x + 15
( x – 1,5 )( x + 15 )
	DTLĐ = DTLS 
x(x + 12 ) = ( x – 1,5 )( x + 15 )	
Giải 
	Gọi x ( m ) là chiều rộng hình chữ nhật lúc đầu : ( ĐK : x > 0 ) 
	Chiều dài hình chữ nhật lúc đầu:	x + 4
	Diện tích hình chữ nhật lúc đầu:	x(x + 12 )
	Chiều rộng hình chữ nhật lúc sau:	x – 1,5
Chiều dài hình chữ nhật lúc sau:	x + 12 + 3 = x + 15
	Diện tích hình chữ nhật lúc sau:	 ( x – 1,5 )( x + 15 )
	Theo đề bài ta có phương trình :
x(x + 12 ) = ( x – 1,5 )( x + 15 )	
	x2 + 12x = x2 + 15x – 1,5 x – 22,5
	x2 - x2 + 12x – 15 x + 1,5x = -22,5
	-1,5x = -22,5 ó x = 15 ( nhận )
	Vậy chiều rộng hình chữ nhật lúc đầu là 15m
	Chiều dài hình chữ nhật lúc đầu là :
	15 + 12 = 27m
	Chu vi hình chữ nhật :
	(27 + 15 ).2 = 84m

Bài 6 : Một khu vườn hình chữ nhật có chu vi là 56m. Nếu giảm chiều rộng 1m và tăng chiều dài thêm 3m thì diện tích tăng thêm 5m2. Tính kích thước khu vườn lúc đầu.
Tóm tắt
	

Chiều rộng ( m)
Chiều dài ( m)
Diện tích ( m2 )
Lúc đầu
x
28 - x
x(28 - x )
Lúc sau
x - 1
28 – x + 3 = 31 - x
( x - 1 )( 31 - x )
	DTLS = DTLĐ + DT tăng	
( x - 1 )( 31 - x ) = x(28 - x ) + 6
Giải 
	Gọi x ( m ) là chiều rộng hình chữ nhật lúc đầu : ( ĐK : x > 0 ) 
	Chiều dài hình chữ nhật lúc đầu:	28 - x
	Diện tích hình chữ nhật lúc đầu:	x(28 - x )
	Chiều rộng hình chữ nhật lúc sau:	x - 1
Chiều dài hình chữ nhật lúc sau:	28 – x + 3 = 31 - x	
	Diện tích hình chữ nhật lúc sau:	 ( x - 1 )( 31 - x )
	Theo đề bài ta có phương trình :
	( x - 1 )( 31 - x ) = x(28 - x ) + 5
	31x - x2 - 31 + x = 28x - x2 + 5
	x2 - x2 + 31x + x – 28x = 5 + 31
	4x = 36 ó x = 9 ( nhận )
	Vậy chiều rộng hình chữ nhật lúc đầu là 9m
	Chiều dài hình chữ nhật lúc đầu là :
	28 - 9 = 19m
	
Bài 7 : Một khu vườn hình chữ nhật có chu vi là 82m. Chiều dài hơn chiều rộng 11m. tính diện tích khu vườn.
Giải 
	Gọi x ( m ) là chiều dài khu vườn hình chữ nhật: ( ĐK : x > 0 ) 
	Chiều rộng khu vườn hình chữ nhật:	x - 11
	Chu vi của khu vườn là 82m nên ta có phương trình :
	 
	x + ( x – 11 ) = 41
	x + x -11 = 41 ó 2x = 41 + 11
	2x = 52 ó x = 26 ( nhận )
	Vậy chiều dài khu vườn hình chữ nhật là 26m
	Chiều rộng khu vườn hình chữ nhật là :
	26 - 11 = 15m
	Diện tích khu vườn hình chữ nhật là :
	26 x 15 = 390m2
Bài 8 : Một hình chữ nhật có chu vi bằng 8m và diện tích bằng 3m2. Tính các kích thước của hình chữ nhật.
Giải 
	Gọi x ( m ) là chiều dài hình chữ nhật: ( ĐK : x > 1 ) 
	Chiều rộng hình chữ nhật:	4 - x
	Biết diện tích bằng 3m2, theo đề bài ta có phương trình :
	x(4 - x) = 3
	4x – x2 = 3 => x2 - 4x + 3 = 0
	x2 – x - 3x + 3 = 0 => x(x -1 ) – 3(x - 1) = 0
	=> (x -1 )(x - 3) = 0
	=> x – 1 = 0 => x = 1 ( loại)
	Hay x – 3 = 0 => x = 3 ( nhận )
	Vậy chiều dài hình chữ nhật là 3m
	Chiều rộng hình chữ nhật là :
	4 - 3 = 1m

DẠNG TOÁN KHÁC
Bài 1 : Một ca nô xuôi dòng từ bến A đến bến B mất 4 giờ và ngược dòng từ bến B về bến A mất 5 giờ. Tính khoảng cách từ bến A đến bến B, biết rằng vận tốc dòng nước là 2km/h.
Giải 
	Gọi x ( m ) là khoảng cách giữa hai bến A và B: ( ĐK : x > 0 ) 
	Vận tốc ca nô xuôi dòng là:	
Vì vận tốc dòng nước là 2km/h nên vận tốc ca nô khi nước yên lặng:	
 
	Vận tốc ca nô ngược dòng là:
	 
	Theo đề bài ca nô đi về ngược dòng hết 5 giờ nên ta có phương trình:
	

	 => 5x – 80 = 4x 
5x – 4x = 80 => x = 80 ( nhận )
Vậy quãng đường A đến B dài là 80km