Các dạng toán tính nhanh môn Toán Lớp 4,5

CÁC DẠNG TOÁN TÍNH NHANH Ở LỚP 4,5
1/ Những kiến thức cơ bản cần nhớ.
a/ Tính giao hoán.
	- Tổng (tích) không thay đổi khi ta đổi chỗ các số hạng(thừa số)
a + b = b + a
và a x b = b x a
	Chú ý:
	- Bài toán chỉ có cộng trừ hay chỉ có nhân, chia ta thay đổi vị trí tuỳ ý, nhớ kèm theo dấu của chúng.
	- Bài toán có phép cộng, trừ lẫn lộn với nhân, chia. Muốn giao hoán phải phân cụm để đưa về bài toán chỉ có công, trừ hay chỉ có nhận, chia giữa các cụm. Khi giao hoán phải giao hoán cả cụm.
b/ Tính kết hợp:
	Trong phép tính chỉ có cộng, trừ hoặc chỉ có nhân, chia ta đặt dấu ngoặc để nhóm các số hạng, thừa số một cách tuỳ ý nhưng chú ý nếu trước dấu ngoặc là dấu trừ hoặc dấu chia thì phải đổi dấu các số hạng, thừa số trong ngoặc:
	(a + b) + c = a + (b + c)
	(a + b) - c = a + (b - c) = (a - c) - b
	a - (b + c) = a - b - c
	(a x b) x c = a x (b x c)
	( a x b) : c = a x (b : c) = (a : c) x b
	a : (b x c) = a : b : c
c/ Tính phân phối:
	Chỉ dùng cho phép nhân hay phép chia.
	a x (b + c) = a x b + a x c
	a x (b - c) = a x b - a x c
	(a + b) : c = a : c + b : c
	(a - b) : c = a : c - b : c
d/ Các tính chất khác:
	* Phép tính với số không (0)
	- Phép nhân : 	a x o = o x a = o
	- Phép chia:	o : a = o
	- Phép cộng;	a + o = o + a = a
	- Phép trừ;	a - o = a
	* Phép nhân, chia với 1.
	- Phép nhân: 	a x 1 = 1 x a = a
	- Phép chia:	a : 1 = a; a : a = 1
	- Một số trừ cho một hiệu:
	a - (b - c) = a - b + c
	- Một số chia cho một thương:
	a : (b : c) = a : b x c
2- Các dạng toán tính nhanh thường gặp.
	Sau khi giáo viên đưa ra những lý thuyết cơ bản cần cho việc giải loại toán này thì tiến hành phân dạng. Bên cạnh những kiến thức chung đó thì mỗi dạng lại có cái riêng của nó và tôi sẽ trình bầy thêm khi đi vào những dạng cụ thể.
	Dạng 1
	Tính chất giao hoán và kết hợp:
	Đây là dạng toán đơn giản, học sinh chủ yếu áp dụng kiến thức cơ bản đã học trong chương trình sách giáo khoa. Nhưng cần chú ý trường hợp giao hoán cả cụm phép tính và dấu phép tính không được đổi.
	Ví dụ:
	a/ 50 x 38 : 5 : 19
	b/ 25 x 4 + 25 : 5 - 4 x (30 - 5) - 5
Hướng dẫn giải:
	a/ 50 x 38 : 5 : 19 = (50 : 5) x (38 : 19) 
	= 10 x 2
	= 20
b/ Phải phân cụm theo nguyên tắc nhóm những số và những ngoặc đơn nhân chia với nhau:
	25 x 4 + 25 : 5 - 4 x (30 - 5) - 5
 = (25 x 4) + (25 : 5) - 4 x (30 - 5) - 5
 = (25 x 4) - 4 x (30 - 5) + (25 : 5) - 5
 = (25 x 4) - 25 x 4 + 5 - 5 
 = 0 + 0
 = 0
* Tiểu kết
	Với dạng toán này giáo viên cần hướng dẫn cho học sinh quan sát tìm những số nào để giao hoán, kết hợp với nhau tạo ra một phép tính có thể nhẩm được trong óc mà không phait đặt tính bằng bút. Chú ý cách phân cụm sao cho chính xác.
	+ Sau khi hướng dẫn học sinh giáo viên đưa thêm một số bài toán tiêu biểu cho học sinh thực hành thuộc dạng toán này.
Dạng 2:
	Tính phân phối (đặt thừa số chung)
	Tính chất này chỉ có trong phép nhân, chia không có với phép cộng, trừ. 
	Phương pháp giải dạng toán này như sau:
	* Loại 1:
	- Quan sát trong các tích, các thương xem có thừa số nào chung hoặc dựa vào dấu hiệu bài toán tìm thừa số chung.
	- Đưa thừa số chung ra ngoài còn lại các số và phép tính đi kèm đưa vào trong ngoặc.
	- Thực hiện phép tích trong ngoặc trước rồi làm phép tính với thừa số chung để rồi tìm ra kết quả.
Ví dụ:
	 27 x 38 + 62 x 27 - 27 x 90
 	= 27 x (38 + 62 - 90)
 	= 27 x 10
 	= 270 
* Loại 2:
	Lấy lần lượt từng số hạng trong tổng hoặc hiệu nhân hay chia với thừa số chung. Sau đó cộng hoặc trừ các kết quả đó với nhau tìm ra kết quả của phép tính.
	Ví dụ:
	(99 + 66) : 33 = 99 : 33 + 66 : 33 
	 = 3 + 2
	 = 5
* Tiếp theo đó giáo viên đưa một số bài toán phương pháp ở dạng này nhưng ở mức nâng cao hơn cho học sinh luyện tập.
	+ Một số chú ý:
	- Phép tính có tính khuyết thừa số 1 thì khi đưa thừa số chung ra ngoài phải chú ý thừa số 1 còn lại trong ngoặc.
	- Quan sát kỹ để không nhầm lẫn giữa các tính chất.
Dạng 3:
	Dấu hiệu chia hết
* Trước hết cho học sinh nhắc lại nội dung cơ bản của dấu hiệu chia hết đối với những số thường gặp như: Dấu hiệu chia hết cho 2, 5, 3, 9, 4, 8.
* Phương phát giải loại toán này.
	- Quan sát xem tích của tử và tích của mẫu có cặp số nào cùng chi hết cho một số thì ta rút gọn.
	- Rút gọn một lần chưa hết ta rút gọn cho lần 2.
	- Sau khi rút gọn xong thì tính tích những thừa số còn lại của tử và mẫu để tìm ra kết quả:
	Ví dụ:
1 x 2 x 3 x 4
=
1 x 1 x 1 x 1
=
1
5 x 6 x 7 x 8
5 x 2 x 7 x 1
70
* Giáo viên đưa thêm bài tập dạng này cho học sinh làm để rèn luyện kỹ năng kỹ xảo của học sinh.
Dạng 4:
	Thêm (bớt) đơn vị hay giảm (gấp) số lầm.
	Giáo viên cần cung cấp cho học sinh một số tính chất cơ bản sau:
	- Trong một tổng nếu ta thêm vào số hạng này bao nhiêu đơn vị và bớt ở số hạng kia bấy nhiêu đơn vị thì tổng không thay đổi:
	a + b = (a - m) + (b + m)
	- Khi cùng thêm hoặc cùng bớt một số đơn vị như nhau ở cả số trừ và số bị trừ thì hiệu số không thay đổi:
	a - b = (a - m) - (b - m)
	- Trong phép chia nếu ta cùng tăng hoặc cùng giảm số bị chia và số chia cùng một số lần thì thương không thay đổi:
	a : b = (a : m) : (b : m)
	Ví dụ:
	 1, 25 x 16,84
	= (1,25 x 4) x (16,84 : 4)
	= 5 x 4,21
	= 21,05
Dạng 5:
	Cặp số đặc biệt:
* Giáo viên nêu cho học sinh một số cặp số đặc biệt yêu cầu học sinh học gần như học thuộc lòng.
	- Vận dụng nhân nhẩm với 10, 100, 1000..., 0,1; 0,01. . . Để tìm cặp số đặc biệt khác.
	- Cung cấp cho học sinh một số tính chất nhân nhẩm sau để học sinh tìm ra cặp số đặc biệt:
	a x 0,5 = a : 2
	a x 2,5 = a x 10 : 4
	a : 0,25 = a x 4
* Đối với dạng toán này có thể phân ra hai loại và có phương pháp giải như sau:
	+ Loại 1:
	Cặp số đặc biết có kết quả là 1, 10 , 100 . . .
	- Quan sát tìm ra những số cùng phép tính để có thể tạo thành cặp đặc biệt thì nhóm lại với nhau.
	- Tìm kết quả của cặp đặc biệt trước rồi mới tính kết quả của biểu thức.
	Ví dụ: 2 x 3 x 4 x 8 x 50 x 25 x 125
	= (2 x 50) x (4 x 25) x (8 x 125) x 3
	= 100 x 100 x 1000 x 3
	= 30 000 000
	+ Loại 2:
	Chữ số được lặp lại.
	Ví dụ: ababab; abcabcabc
	 Đối với loại này ta tiến hành như sau:
	- Tìm ra chữ số hoặc cặp chữ số (tử và mẫu) được lập lại.
	- Lấy số đó chia cho cặp chữ số hoặc chữ số lặp lại để tìm thương.
	- Phân tích số thành tích của chữ số hay cặp chữ số lặp lại và thương vừa tìm được.
	- Vận dụng tính chất phép tính tìm kết quả biểu thức:
	Ví dụ: 252525 x 4
	= 25 x 10101 x 4 
	= 25 x 4 x 10101
	= 100 x 10101
	= 1010100
	- Sau khi giải một số bài tập giáo viên rút ra cho học sinh mẹo phân tích số thành tích cho loại toán này như sau:
	. Quan sát tìm cặp chữ số hay chữ số được lặp lại
	. Đếm xem có bao nhiêu chữ số hoạc cặp chữ số lặp lại thì có thể phân tích số đó thành tích của chữ số hoặc cặp chữ số lặp lại với bấy nhiêu cặp 01; 001 ; 0001. . .
Dạng 6: 
	Qui luật dẫy số đặc biệt
	+ Trước hết giáo viên hướng dẫn cách tìm qui luật
	+ Giáo viên nêu một số qui luật thường gặp như :
	- Số hạng bất kỳ bằng số hạng liền trước nó nhân với a
	- Số hạng bất kỳ bằng số hạng liền trước nó cộng với a
	- Số hạng bất kỳ bằng số thứ tự của nó nhân với số thứ tự đó
	- Số hạng bất kỳ kể từ số hạng thứ 3 bằng tổng hai số hạng trước nó
	+ Giáo viên hướng dẫn học sinh phương pháp tính tổng.
Số số hạng
= 
Số lớn nhất - số nhỏ nhất
+
1
Khoảng cách a
Tổng
=
(Số lớn nhất + Số nhỏ nhất)
x
Số số hạng
2
	Sau đó giáo viên đưa ra một số vị dụ để học sinh thực hành cách giải.
Dạng 7:
	Thành phần hay kết quả của biểu thức bằng 0. Với dạng này giáo viên còn hướng dẫn học sinh như sau:
	- Quan sát biểu thức tìm ra những phép tính, nhóm phép tính có điểm đặc biệt (bằng 0)
	- Thực hiện phép tính, nhóm phép tính đó trước rồi tìm kết quả của biểu thức.
	Ví dụ: 754 x 75 - 25 - 2262 + 4568
	= 754 x 75 - 25 x 3 x 754 +4568
	= 754 x 75 - 75 x 754 + 4568
	= 0 + 4568
	= 0
	Sau khi giáo viên hướng dẫn giải một số bài toán tiêu biểu thì giáo viên cho học sinh giải thêm một số bài tập thuộc dạng để học sinh luyện tập.
Dạng 8:
	Thành phần hay kết quả của biểu thức bằng 1.
	- Trước hết hướng dẫn học sinh quan sát tìn ra hoặc làm xuất hiện những số hay phép tính giống nhau:
	- Áp dụng tính chất a : a = 1 để tìm ra kết quả của phép tính hay biểu thức.
	Ví dụ 1:
	(357 x 45 + 74 x 357 ) : 119
	= 357 x (45 + 74) : 119
	= 357 x 119 : 119
	= 257 x 1
	= 357
	Ví dụ 2:
1995
x
19961996
x
199319931993
1996
19931993
199519951995
=
1995 x 1996 x 10001 x 1993 x 100010001
1996 x 1993 x1 0001 x 1995 x 100010001
	 = 1
Dạng 9:
Cấu tạo số.
	Để giải được dạng toán tính nhanh này giáo viên cần cung cấp cho học sinh 1 số kiến thức về cấu tạo số như sau:
abc = a x 100 + b x 10 + c
	 = ab x 10 + c
	 = a 00 + b0 + c = ab0 + c
	Ví dụ 1:
	1057 - 57 = 1000 + 57 - 57 
	 = 1000 + 0
	 = 1000
	Ví dụ 2:
 1125 x 44 = (1000 + 100 + 25) x (40 + 4)
= (1000 + 100 + 25) x 40 + (1000 + 100 + 25) x 4
	= 1000 x 40 + 100 x 40 + 25 x 40 + 1000 x 4 + 100 x 4 + 25 x 4
	= 40.000 + 4000 + 1000 + 4000 + 400 + 100
	= 49500
	* Lưu ý: Tuỳ từng bài toán mà phân tích số theo cách nào cho phù hợp và thuận tiện.
Dạng 10:
 	Hiệu / tích.
	Giáo viên cho học sinh biết Hiệu / tích là dạng phân số có tử số là hiệu 2 số và mẫu số là tích 2 số.
	Dạng này ta có thể hướng dẫn học sinh giải theo 2 loại như sau:
* Loại 1: Phâm số có dạng Hiệu/tích .
	- Hướng dẫn học sinh phát hiện tìm ra các phân số có dạng hiệu/tích.
	- Phân tích các số có dạng Hiệu/tích thành hiệu 2 phân số có tử số là 1 và mẫu số lần lượt là 2 thừa số của tích.
	- Áp dụng tích chất phép tính để tìm được kết quả cuối cùng là phân số đầu trừ phân số cuối của biểu thức.
	Ví dụ: Tính nhanh.
1
x
1
+
1
x
1
+
1
x
1
+
1
x
1
+
1
x
1
1
2
2
3
3
4
4
5
5
6
	Ta thấy:
1
X
1
=
1
1
2
2
=
1
-
1
2
	Tương tự:
1
x
1
=
1
=
3
-
2
=
1
-
1
2
3
6
6
3
2
3
	. . . . .
	. . . . . . .
1
X
1
=
1
-
1
5
6
5
6
Vậy biểu thức đã cho có thể viết là:
=
1
-
1
+
1
-
1
+
1
-
1
+
1
-
1
+
1
-
1
1
2
2
3
3
4
4
5
5
6
=
1
+
0
+
0
+
0
+
0
-
1
6
=
1
-
1
=
6
-
1
=
5
6
6
6
6
Loại 2: Tổng các phân số có dạng hiệu/tích
	Ví dụ:
1
+
1
+
1
+
1
+
1
+
1
+
1
2
4
8
16
32
64
128
	Ta có:
1
=
1
-
1
;
1
+
1
=
1
-
1
2
2
2
4
4
1
+
1
+
1
=
3
+
1
=
7
=
1
-
1
2
4
8
4
8
8
8
1
+
1
+
1
+
1
=
7
+
1
=
1
-
1
2
4
8
16
8
16
16
Tương tự:
1
+
1
+
1
+
1
+
1
+
1
+
1
=
1
-
1
=
127
2
4
8
16
32
64
128
128
128
* Sau khi giáo viên hướng dẫn học sinh cách giải trên thì khuyến khích học sinh tìm cách giải nhanh khác và cho học sinh làm một số bài luyện tập.
Dạng 11:
	Dạng tổng hợp:
	* Sau khi học sinh nắm chắc các dạng toán cụ thể thì giáo viên đưa ra dạng toán tổng hợp tức là kết hợp vài dạng toán trong một bài toán để học sinh thực hành.
	Với dạng toán này học sinh phải quan sát biểu thức tìm ra phép tính hay nhóm phép tính này thuộc dạng nào thì áp dụng phương pháp giải cho thích hợp .
	Ví dụ: 
(1+ 2 + 4 + 8 + 10 + . . . + 512) x (101 x 102 - 101 x 101 - 50 - 51)
2 + 4 + 8 + 16 + . . . + 1024 + 2048
=
(1+ 2 + 4 + 8 + 10 + . . . + 512) x (101 x 102 - 101 x 101- 101)
2 + 4 + 8 + 16 + . . . + 1024 + 2048
=
(1+ 2 + 4 + 8 + 10 + . . . + 512) x 101 x (102 - 101 - 1)
2 + 4 + 8 + 16 + . . . + 1024 + 2048
=
(1+ 2 + 4 + 8 + 10 + . . . + 512) x 101 x 0
2 + 4 + 8 + 16 + . . . + 1024 + 2048
	= 0
	* Sau khi học sinh được học tất cả các dạng toán thì giáo viên cho các em luyện tập để rèn thành kỹ năng, kỹ xảo, biết vận dụng linh hoạt các bài toán với cách giải thích hợp.
	Ví dụ : Như những bài toán tính nhanh giáo viên có thể lấy ở các loại sách sau:
	- Toán nâng cao lớp 4 - 5.
	- Toán bồi dưỡng lớp 4 -5.
	- Toán phát triển lớp 4 -5.