Các đề thi học sinh giỏi Toán 9 thành phố Vũng Tàu

CÁC ĐỀ THI HSG THÀNH PHỐ VŨNG TÀU
Bài 1: Cho ( ). M là 1 điểm trên cạnh huyền BC. Hạ MP AB, MQ AC.
1/. Xác định vị trí của M để độ dài PQ nhỏ nhất.
2/. Xác định vị trí của M để diện tích tứ giác APMQ lớn nhất. (1992- 1993) .vòng 1.
Bài 2: C/m rằng 1 đường thẳng và 1 đường tròn không có quá 2 điểm chung. (1992- 1993).vòng 1.
Bài 3: a, b, c là độ dài các cạnh của tam giác vuông (c là cạnh huyền). C/m rằng a3 + b3 < c3.
Bài 4: Trong 1 đường tròn (O) cho 1 điểm A điểm O. Tìm trên đ/tròn 1 điểm M sao cho lớn nhất. (Vòng 2)
Bài 5: Cho (O), đường kính AB cố định. Một góc vuông xAy quay quanh A cắt (O) tại M và N. Trên tia đối của tia MA lấy điểm E sao cho ME = MA. Trên tia đối của tia NA lấy điểm F sao cho NF = NA.
1/. C/m: MN là đ/kính của đ/tròn (O).
2/. C/m E, B, F thẳng hàng.
3/. Xác định vị trí của góc xAy để EF là tiếp tuyến của đ/tròn đã cho. (93- 94)
Bài 6: Cho (O) , đường kính cố định AB = 2R và 1 cát tuyến MN quay xung quanh trung điểm H của OB.
1/. CMR trung điểm I của MN chạy trên 1 đường tròn cố định khi cát tuyến MN di động.
2/. Hạ AA’MN, BI cắt AA’ tại D. C/m tứ giác DMBN là hình bình hành.
Bài 7: Trong 1 hình tròn bán kính bằng 1, đặt 2 tam giác có diện tích lớn hơn 1. CMR khi đó 2 tam giác phải có vô số điểm chung. (94- 95).
Bài 8: Qua 1 điểm P ở miền trong của kẻ 3 đường thẳng song song với các cạnh của nó. Các đ/t này chia tam giác ra thành 6 phần, trong đó có 3 tam giác với các diện tích S1, S2, S3. Gọi diện tích là S. Hãy c/m: .
Bài 9: Cho (O) và 2 bán kính OA và OB vuông góc với nhau. Gọi M và N là 2 điểm trên cung nhỏ AB sao cho AM = BN và C là giao điểm của 2 đường thẳngAM và BN. CM rằng AB CD. (95 – 96). 
Bài 10: Cho nửa đ/tròn (O) bán kính R, đường kính AB cố định, M là 1 điểm di động trên nửa đ/tròn (M không trùng với A và B). Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên AB. Gọi C, D lần lượt là hình chiếu vuông góc của H trên MA và MB.
1/. C/m: 
2/. Tìm vị trí của điểm M trên cung AB để diện tích của tam giác CHD lớn nhất. Tính giá trị lớn nhất đó. (96- 97)
Bài 11: Cho (O; R) cố định. Từ 1 điểm M ở ngoài (O) vẽ 2 tiếp tuyến MA, MB. Đường trung trực của đường kính BC cắt đường thẳng AC tại E.
1/. C/m ME = R.
2/. Tìm tập hợp của điểm M sao cho tam giác AMB luôn luôn đều.
Bài 12: Cho 3 đường tròn tâm A, B, C tiếp xúc nhau và cùng tiếp xúc với đ/t (d) lần lượt tại A1, B1, C1.Gọi bán kính của 3 đ/tròn tâm A, B, C theo thứ tự là a, b, c. C/m:(97- 98)
Bài 13: có diện tích là S. trung tuyến AE, CF, BM cắt nhau tại O.
a/. Nêu cách dựng 1 tam giác có 3 cạnh bằng 3 trung tuyến của .
b/. Tính diện tích của tam giác này theo diện tích S của .
Bài 14: Cho đều nội tiếp đ/tròn tâm O. Một điểm M chạy trên cung nhỏ AB. CMR tổng các khoảng cách từ điểm M đến điểm A và B không lớn hơn đường kính của đ/tròn tâm O. (98- 99)
Bài 15: Cho (O) và 1 điểm A cố định trên đường tròn đó. Dựng tiếp tuyến xAy với đ/tròn. Từ 1 điểm M trên xAy vẽ tiếp tuyến MB với (O). (B là tiếp điểm).
Tìm quỹ tích trực tâm H của khi M di động trên xAy.
Bài 16: CMR nếu các đường phân giác trong của 3 góc A, B, C cắt đ/tròn ngoại tiếp tại các điểm A1, B1, C1 theo thứ tự đó thì: AA1 + BB1 + CC1 > AB + BC + CA. (1999- 2000).
Bài 17: Cho hai (O) và (O’) tiếp xúc ngoài tại A. Một góc vuông xAy quay quanh A, hai tia Ax, Ay cắt hai (O) và (O’) theo thứ tự tại P và Q. Tìm tập hợp trung điểm M của đoạn PQ.
Bài 18: Ở miền trong của 1 hình vuông cạnh 1 dm người ta đặt tuỳ ý 2001 điểm. CMR có thể vẽ 1 hình tròn bán kính 1cm chứa ít nhất 21 điểm nói trên. (2000- 2001).
Bài 19: Cho 2 điểm A, B cố định trên (O). Các điểm C, D chạy trên đ/tròn sao cho AD //BC và C, D ở cùng phía với dây AB. Gọi M là giao điểm của AC, BD. Các tiếp tuyến với đ/tròn tại A và D cắt nhau tại I.
CM: 1/. Ba điểm M, O, I thẳng hàng.
2/. Bốn điểm A, B, M, O cùng thuộc 1 đ/tròn., từ đó suy ra bán kính đ/tròn ngoại tiếp là hằng số.
Bài 20: Gọi R, r lần lượt là bán kính các đ/tròn ngoại tiếp, nội tiếp 1 tam giác. CMR: 
 ( 2001- 2002).
Bài 21: Cho một tứ giác lồi ABCD. Xét một điểm M di động trên đường thẳng AB sao cho M không trùng với A và với B. Gọi N là giao điểm thứ hai khác M của đ/tròn(MAC) và đ/tròn(MBD). CMR:
1/ Điểm N di động trên 1 đròn cố định.
2/ Đường thẳng MN luôn đi qua 1 điểm cố định. (Đề thi HSG quốc gia 2005- 2006)
Bài 22: Cho hình thang cân ABCD có CD là đáy lớn. Xét 1 điểm M di động trên đường thẳng CD sao cho M không trùng với C và với D. Gọi N là giao điểm thứ 2 khác M của đường tròn (BCM) và đường tròn (DAM). Chứng minh rằng:
Điểm N di động trên 1 đường tròn cố định?
Đường thẳng MN luôn đi qua 1 điểm cố định? (Đề thi HSG quốc gia 2005-2006)
Bài 23: Cho tam giác ABC vuông tại B với AB=2BC. Lấy điểm D thuộc cạnh AC sao cho BC=CD, điểm E thuộc cạnh AD sao cho AD=AE. Chứng minh rằng AD2 = AB.BE. (T6/349)
Bài 24: Trong mặt phẳng cho 2 đường thẳng , cắt nhau tại O. Điểm M thay đổi không thuộc , sao cho OM=R không đổi. H, K theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của M trên , . Tìm tập hợp tâm đường tròn nội tiếp tam giác MHK. (T7/349)
Bài 25: Giả sử M là 1 điểm nằm trong tam giác nhọn ABC thõa mãn điều kiện . Gọi K, L theo thứ tự là chân đường vuông góc hạ từ M tới AB, AC. Chứng minh rằng 2 điểm K, L cách đều trung điểm của cạnh BC và trung tuyến xuất phát từ M của tam giác MKL luôn đi qua 1 điểm cố định khi M thay đổi bên trong tam giác ABC. (T6/350)
Bài 26: Cho tam giác ABC vuông ở A và đường cao AH. Một đường tròn đi qua B và C cắt AB và AC lần lượt ở M và N. Vẽ hình chữ nhật AMDC. Chứng minh rằng HN vuông góc với HD. (T7/350)
Bài 27: Cho góc vuông xAy. Trên Ax, Ay lấy lần lượt các điểm B, C sao cho AB = AC = a và M là 1 điểm nằm giữa B và C. Gọi (O1) là đ/tròn tâm O1 đi qua M tiếp xúc với Ax tại B, (O2) là đ/tròn tâm O2 đi qua M tiếp xúc với Ay tại C, (O1) cắt (O2) tại N khác M.
C/m hệ thức MB2 + MC2 = 2MA2.
CMR đ/t O1N là 1 tiếp tuyến của (O2).
Gọi D là giao điểm của đ/t BO1 và CO2, c/m 5 điểm A, B, N, D, C cùng nằm trên 1 đ/tròn.
Tìm vị trí của M để độ dài đoạn thẳng O1O2 ngắn nhất.
Bài 28: Cho có BC = a, AC = b, AB = c thoả mãn b + c = 2a. CMR tâm O của đ/tròn nội tiếp chia đường phân giác AD theo tỉ số ( 2005- 2006).
Bài 29: Cho . P là điểm nằm trên đường thẳng BC. Trên tai đối của tia AP lấy điểm D sao cho . Gọi E và F theo thứ tự là trung điểm của DB và DC. Chứng minh rằng đường tròn đường kính EF luôn đi qua 1 điểm cố định khi P di động trên đường thẳng BC. (T6/348)
Bài 30: Cho có AB = AC = a, đường cao AH. Vẽ đường tròn tâm A, bán kính R với R<a. Từ B, C lần lượt kẻ các tiếp tuyến BM, CN (M, N là các tiếp điểm) với đường tròn trên sao cho chúng không đối xứng với nhau qua AH. Gọi giao điểm của các đường thẳng BM và CN là I.
Tìm tập hợp điểm I khi R thay đổi.
Chứng minh rằng với AI=d. (T7/348)
Bài 31: Cho tứ giác ABCD. Lấy các điểm M, P theo thứ tự trên các cạnh AB, AC sao cho . Tìm tập hợp trung điểm I của MP khi M, P di động trên AB, AC. (T6/347)
Bài 32: Tam giác ABC có , AM và BN là các đường cao. Đường thẳng MN cắt đường trung trực của AC tại P. Gọi D và E theo thứ tự là trung điểm của NP và BC. Chứng minh rằng tam giác ADE là tam giác vuông cân. (T7/347)
Bài 33: Cho tam giác ABC có tù. Đặt và . Chứng minh rằng sin(x+y) = sinx.cosy +siny.cosx. (T6/346)
Bài 34: Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong đường tròn (O) có AB không song song với CD và 2 đường chéo cắt nhau tại I. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của BC và CD. Chứng minh rằng nếu NI vuông góc với AB thì MI vuông góc với AD. (T7/346)
Bài 35: Trên hai cạnh AB, AC của tam giác ABC lần lượt lấy hai điểm E, D sao cho . Gọi giao điểm của BD và CE là M. Xác định vị trí của E, D sao cho diện tích của tam giác BMC đạt giá trị lớn nhất và tính giá trị lớn nhất đó theo diện tích của tam giác ABC. (T6/345)
Bài 36: Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn (O). Tia phân giác của góc BAC cắt đường tròn (O) tại A và D. Đường tròn tâm D bán kính DB cắt đường thẳng AB tại B và Q, cắt đường thẳng AC tại C và P. Chứng minh rằng AO vuông góc với PQ. (T7/345).
Bài 37: Cho X là một điểm nằm trên cạnh AB của hình bình hành ABCD. Đường thẳng qua X song song với AD, cắt AC tại M và cắt BD tại N. XD cắt AC tại P và XC cắt BD tại Q. Chứng minh rằng . Đẳng thức xảy ra khi nào? (T6/344)
Bài 38: Cho tam giác ABC với các đường cao AM, BN và nội tiếp đường tròn (O). D là một điểm nằm trên đường tròn đó mà khác A, B và DA không song song với BN. Các đường thẳng DA và BN cắt nhau tại Q. Các đường thẳng DB và AM cắt nhau tại P. Chứng minh rằng khi D di động trên đường tròn (O) thì trung điểm của đoạn PQ luôn nằm trên 1 đường thẳng cố định. (T7/344)
Bài 39: Cho tam giác ABC với BC = a, AB = AC = b (a > b). Đường phân giác BD có độ dài bằng cạnh bên. Chứng minh rằng:
(T6/343)
Bài 40: Cho tam giác ABC với các đường phân giác . Biết rằng . Tính số đo góc ABC. (T7/343)
Bài 41: Cho tam giác ABC cân tại A với . Lấy điểm M nằm trong tam giác sao cho và . Tính góc MBC. (T6/342)
Bài 42: Cho đường tròn (O), hai dây cung CA, CB không đi qua tâm O và . Đường thẳng qua điểm A vuông góc với đường thẳng OB cắt đường thẳng CB tại điểm N. Gọi M là trung điểm của AN. Đường thẳng BM cắt đường tròn (O) lần nữa tại D. Gọi OE là đường kính của đường tròn đi qua các điểm B, D, O. Chứng minh rằng ba điểm A, C, E thẳng hàng. (T7/342)