Các phép biến đổi lượng giác – Phần 1

 LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Lượng giác 
Tham gia khóa TOÁN 2014 để đạt 9 điểm Toán – www.moon.vn facebook: LyHung95 – fanpage: Hungdv95 
I. CÁC HỆ THỨC LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN 

 
2 2
2 2
2 2
sin 1 cos
sin cos 1
cos 1 sin
x x
x x
x x
 = −
+ = ⇒ 
= −

 
2 2
2 2
1 11 tan tan 1
cos cos
x x
x x
= + ⇒ = − 

 
2 2
2 2
1 11 cot cot 1
sin sin
x x
x x
= + ⇒ = − 

 
1
tan .cot 1 cot
tan
x x x
x
= ⇒ = 

 
4 4 2 2 6 6 2 2sin cos 1 2sin cos ; sin cos 1 3sin cos+ = − + = −x x x x x x x x 

 
3 3 3 3sin cos (sin cos )(1 sin .cos ); sin cos (sin cos )(1 sin .cos )+ = + − − = − +x x x x x x x x x x x x 
II. DẤU CỦA CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC 
 Góc I Góc II Góc III Góc IV 
sinx + + – – 
cosx + – – + 
tanx + – + – 
cotx + – + – 
Ví dụ 1. Tính giá trị của các hàm lượng giác còn lại của cung x sau: 
a) 1 pisin ;0
3 2
x x= < < b) 2 picos ; pi
25
x x= − < < 
c) 3pitan 2;pi
2
x x= < < d) 1 3picot ; 2pi
2 2
x x= − < < 
Hướng dẫn giải: 
a) 2 21 1 8 2 2sin cos 1 sin 1 cos
3 9 9 3
x x x x= ⇔ = − = − = ⇒ = ± 
Do pi 2 20 cos 0 cos .
2 3
x x x → = 
Từ đó ta được: 
sin 1 2
tan
cos 42 2
1
cot 2 2
tan
x
x
x
x
x

= = =


= =

b) 2 22 4 1 1cos sin 1 cos 1 sin
5 55 5
x x x x
−
= ⇒ = − = − = ⇒ = ± 
Do pi 1pi sin 0 sin .
2 5
x x x → = 
Tài liệu bài giảng: 
01. CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI LƯỢNG GIÁC – P1 
Thầy Đặng Việt Hùng 
 LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Lượng giác 
Tham gia khóa TOÁN 2014 để đạt 9 điểm Toán – www.moon.vn facebook: LyHung95 – fanpage: Hungdv95 
Từ đó ta được: 
sin 1
tan
cos 2
1
cot 2
tan
x
x
x
x
x
−
= =


= = −

c) Từ 1 1tan 2 cot
tan 2
x x
x
= ⇒ = = 
Ta có 
2
2
22 2
21
sinsin cos
sin 2costan 2 55
cos
4 15cos 1
sin cossin cos 1
5 5
xx x
x xx
x
x
x xx x

= ± = == =   
⇔ ⇔ ⇔   
=  
= = ±+ =   
Do 
2
sin
sin 03pi 5
pi
cos 0 12
cos
5
x
x
x
x
x
−
=< 
< < ⇒ ⇒ 
< − 
=

d) 1 1cot tan 2
2 cot
x x
x
= − ⇒ = = − 
Ta có 
2
2
22 2
21
sinsin cos
sin 2costan 2 55
cos
4 15cos 1
sin cossin cos 1
5 5
xx x
x xx
x
x
x xx x

= ± = = −= = −   
⇔ ⇔ ⇔   
=  
= = ±+ =   
Do 
2
sin
sin 03pi 52pi
cos 0 12
cos
5
x
x
x
x
x
−
=< 
< < ⇒ ⇒ 
> 
=

Ví dụ 2. Chứng minh các đẳng thức sau: 
a) 2 2 2 2tan sin tan sinx x x x− = b) sin cos 1 cos
sin cos 1 1 sin
x x x
x x x
+ −
=
− + +
c) 
2 2sin cos1 sin cos
1 cot 1 tan
x x
x x
x x
− − =
+ +
 d) tan tantan .tan
cot cot
x y
x y
x y
+
=
+
Hướng dẫn giải: 
a) 
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
2 2 2
sin sin sin cos sin (1 cos )
tan sin sin tan sin
cos cos cos
x x x x x x
x x x x x
x x x
− −
− = − = = = ⇒đpcm. 
b) Áp dụng công thức góc nhân đôi ở phần IV ta được: 
( )
2
2
2sin cos sin2sin cos 2sin cos sin
sin cos 1 2 2 22 2 2 2 2
, 1
sin cos 1 2sin cos 2sin cos sin2sin cos sin
2 2 2 2 22 2 2
x x xx x x x x
x x
x x x x xx x xx x
 
−
− − + −  
= = =
− +  + −+ 
 
Mặt khác ( )
2 2
2
cos sin cos sin
cos 2 2 2 2
, 2 .
1 sin
cos sinsin cos 2 22 2
x x x x
x
x xx x x
− −
= =
+   ++ 
 
Từ (1) và (2) suy ra điều phải chứng minh. 
c) 
2 2 2 2 3 3 3 3sin cos sin cos sin cos sin cos1 1 1 1
cos sin1 cot 1 tan sin cos sin cos sin cos1 1
sin cos
x x x x x x x x
x xx x x x x x x x
x x
+
− − = − − = − − = − =
+ + + + ++ +
 LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Lượng giác 
Tham gia khóa TOÁN 2014 để đạt 9 điểm Toán – www.moon.vn facebook: LyHung95 – fanpage: Hungdv95 
2 2(sin cos )(sin sin cos cos )1 1 (1 sin cos ) sin cos
sin cos
x x x x x x
x x x x
x x
+ − +
= − = − − = ⇒
+
đpcm. 
d) 
sin sin sin cos sin cos
tan tan sin sincos cos cos cos
tan tan
cos cos sin cos sin coscot cot cos cos
sin sin sin sin
x y x y y x
x y x yx y x y
x y
x y x y y xx y x y
x y x y
+
+
+
= = = = ⇒
++ +
đpcm. 
Ví dụ 3: Rút gọn các biểu thức sau 
2 2 2
2 2 2
cos cos cot
sin sin tan
x x xA
x x x
+
=
+
2cos 2sin (1 sin ) 2(1 sin )
.(1 sin )cos (1 sin )cos 1 sin
x x x xB
x x x x x
− − +
=
− + + −
3 3(1 cot )sin (1 tan )cos sin cosC x x x x x x= + + + − 
4 2 4 2sin 4cos cos 4sinD x x x x= + + + 
Hướng dẫn giải: 

 Ta có 
2 2 2 2
2 2
2 2 2 42 2 4
2 2 2 22 2 2 4
2 2
2 2
cos cos (sin cos )
cos cos .
cos cos cot cossin sin cot
sin sin (cos sin )sin sin tan sin
sin sin .
cos cos
x x x x
x x
x x x xx xA x
x x x xx x x x
x x
x x
+
++
= = = = =
++
+

 Ta có 
2 2 2cos 2sin (1 sin ) 1 sin 2sin (1 sin ) (1 sin )(1 sin 2sin ) (1 sin )
(1 sin )cos (1 sin )cos (1 sin 1 sin )cos 2cos 2cos
x x x x x x x x x x
x x x x x x x x x
− − − − − − + − −
= = =
− + + − + +
2 2(1 sin ) 2(1 sin ) (1 sin )(1 sin ) 1 sin
. cos
2cos 1 sin cos cos
x x x x xB x
x x x x
− + − + −
→ = = = =
−

 
3 3 3 3cos sin(1 cot )sin (1 tan )cos sin cos 1 sin 1 cos sin cos
sin cos
x xC x x x x x x x x x x
x x
   
= + + + − = + + + − =   
   
3 3 2 2
2 2
sin cos cos sin cos sin sin cos
(sin cos )(sin cos sin cos ) cos sin (sin cos ) sin cos
(sin cos )(1 sin cos ) sin cos (sin cos 1) sin cos sin cos
x x x x x x x x
x x x x x x x x x x x x
x x x x x x x x x x x x
= + + + −
= + + − + + −
= + − + + − = + −

 Ta có ( ) ( )2 24 2 4 2 2 2 2 2sin 4cos cos 4sin 1 cos 4cos 1 sin 4sinD x x x x x x x x= + + + = − + + − + 
( ) ( )2 24 2 4 2 2 2 2 2cos 2cos 1 sin 2sin 1 cos 1 sin 1 sin cos 2 3x x x x x x x x= + + + + + = + + + = + + = 
Ví dụ 4. Chứng minh các đẳng thức sau: 
a) 
2
2
sin sin cos
sin cos
sin cos tan 1
x x x
x x
x x x
+
− = +
− −
 b) 4 2 4
2 11 cot
sin sin
x
x x
− = − 
c) 
2
2
2
1 sin 1 2cot
1 cos
x
x
x
+
= +
−
 d) 22(1 sin )(1 cos ) (1 sin cos )x x x x− + = − + 
e) 
2
2
sin (1 cos ) sin tan
cos (1 sin ) cos cot
x x x x
x x x x
+ +
=
+ +
 f) 
2 2
2 2
2 2
cos sin
sin .cos
cot tan
x x
x x
x x
−
=
−
g) 
2 2
2
2
1 4sin cos (sin cos )(sin cos )
x x
x x
x x
−
= −
+
 h) 
2 2 4
4
2 2 4
sin cos cos
tan
cos sin sin
x x x
x
x x x
− +
=
− +
Ví dụ 5: Rút gọn các biểu thức sau 
 LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Lượng giác 
Tham gia khóa TOÁN 2014 để đạt 9 điểm Toán – www.moon.vn facebook: LyHung95 – fanpage: Hungdv95 
a) 2
1 cos 1
sin 1 cos
xA
x x
−
= −
+
 b) 
2 2
2
2
1 sin .cos
cos
cos
x xB x
x
−
= − 
c) 1 cos 1 cos
1 cos 1 cos
x xC
x x
− +
= −
+ −
 d) 2 21 cot .sin 1D x x= − + 
Ví dụ 6: Tính giác trị của các hàm số lượng giác 
a) 1 pisin ;0
23
x x= < < b) picot 2; 0
2
x x= − − < < 
c) pitan cot 2;0
2
x x x+ = < < d) 2 3picos ;pi
26
x x= < < 
e) 2 3pitan cot ;pi
23
x x x− = − < < f) 1 pitan ; pi
23
x x= − < < 
Ví dụ 7: Chứng minh các đẳng thức sau 
a) tan sin cos
sin cot
x x
x
x x
− =
 b) 
4 4
6 6
sin cos 1 2
sin cos 1 3
x x
x x
+ −
=
+ −
c) 
2
2
2
1 sin 1 2 tan
1 sin
x
x
x
+
= +
−
 d) 
2 2
6
2 2
sin tan
tan
cos cot
x x
x
x x
−
=
−
Ví dụ 8: Chứng minh các đẳng thức sau 
a) sin cos 1 2cos
1 cos sin cos 1
x x x
x x x
+ −
=
− − +
 b) 2 22 2
1 2 tan cot
sin .cos
= + +x x
x x
c) 
4 4
6 6 4
sin 3cos 1 3
sin cos 3cos 1 2
x x
x x x
+ −
=
+ + −
 d) 2 2 2 4cos (2sin cos ) 1 sin+ = −x x x x 
Ví dụ 9: Chứng minh các đẳng thức sau 
a) (cos 1 sin )(cos 1 sin ) 2sin cos+ + − + =x x x x x x b) 2(1 sin cos ) 2(1 sin )(1 cos )− + = − +x x x x 
c) 4 4 2cos sin cos (1 tan )(1 tan )− = − +x x x x x 
d) 3 3sin (1 cot ) cos (1 tan ) sin cos+ + + = +x x x x x x 
Ví dụ 10: Chứng minh rằng các biểu thức sau không phụ thuộc vào x? 
a) 2 cot 1
tan 1 cot 1
xA
x x
+
= +
− −
 b) 4 4 2 2 22cos sin sin cos 3sinB x x x x x= − + + 
c) 
2 2
6
2 2
tan sin
.cot
cot cos
x xC x
x x
−
=
−
 d) 2 2 2 2 2sin .tan 4sin tan 3cosD x x x x x= + − + 
Ví dụ 11: Tính giá trị biểu thức 
3 2
3 3
cos cos .sin sin
,
sin cos
x x x xA
x x
+ −
=
−
 với tanx = 2. 
1 cos sin
1 cos
x xB
x
+ +
=
−
, với 12cos
13
x = − và pi/2 < x < pi 
2 2
4 4
2sin sin .cos cos
sin cos
x x x xC
x x
+ +
=
−
, với tanx = 3.