Các phép biến đổi lượng giác – Phần 2
Bạn đang xem nội dung tài liệu Các phép biến đổi lượng giác – Phần 2, để tải tài liệu về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Lượng giác Tham gia khóa TOÁN 2014 để đạt 9 điểm Toán – www.moon.vn facebook: LyHung95 – fanpage: Hungdv95 III. MỐI QUAN HỆ CỦA CÁC CUNG LƯỢNG GIÁC ĐẶC BIỆT 1. Hai cung đối nhau: x và –x cos(–x) = cosx sin(–x) = –sinx tan(–x) = – tanx cot(–x) = –cotx 2. Hai cung bù nhau: x và pi – x sin(pi – x) = sinx cos(pi – x) = –cosx tan(pi – x) = –tanx cot(pi – x) = –cotx 3. Hai cung phụ nhau: x và pi/2 – x sin(pi/2 – x) = cosx cos(pi/2 – x) = sinx tan(pi/2 – x) = cotx cot(pi/2 – x) = tanx 4. Hai cung hơn nhau pi: x và pi + x sin(pi + x) = –sinx cos(pi + x) = –cosx tan(pi + x) = tanx cot(pi + x) = cotx 5. Hai cung hơn nhau pi/2: x và pi/2 + x sin(pi/2 + x) = cosx cos(pi/2 + x) = –sinx tan(pi/2 + x) = –cotx cot(pi/2 + x) = –tanx Chú ý: Với k là số nguyên thì ta có: sin(x + k2pi) = sinx cos(x + k2pi) = cosx tan(x + kpi) = tanx cot(x + kpi) = cotx Ví dụ 1: Rút gọn các biểu thức sau: a) ( ) ( )pi 3pisin pi cos cot 2pi tan 2 2 A x x x x = + + − + − + − b) ( )3pi 5pisin .cos 3pi .cot 2 2 B x x x = + − + c) ( )0 00 0 02sin 2550 .cos 1881tan 368 2cos638 cos98C − = + + Hướng dẫn giải: a) ( ) ( )pi 3pisin pi cos cot 2pi tan 2 2 A x x x x = + + − + − + − pi sin sin cot tan pi cot cot 0 2 x x x x x x = − + − + + − = − + = b) ( ) ( )3pi 5pi pi pisin .cos 3pi .cot sin pi .cos pi 2pi .cot 2pi 2 2 2 2 B x x x x x x = + − + = + + − − + + pi pi sin .cos( pi).cot cos .( cos ).( tan ) sin cos 2 2 x x x x x x x x = − + − + = − − − = − c) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2sin 2550 .cos 188 2sin 7.360 30 . os 180 81 1 7tan 368 2cos638 cos98 tan 360 8 2cos 180 . 8 os 90 8 2 c C c − + − − = + = + + + + + + 0 0 0 1 2sin 30 .( cos8 ) 1 cos8 2 tan 8 2sin8 sin 8 tan 8 sin 8 tan 8 − − = + = + = − Tài liệu bài giảng: 01. CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI LƯỢNG GIÁC – P2 Thầy Đặng Việt Hùng LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Lượng giác Tham gia khóa TOÁN 2014 để đạt 9 điểm Toán – www.moon.vn facebook: LyHung95 – fanpage: Hungdv95 Ví dụ 2: Chứng minh các đẳng thức sau a) 11pi 21pi 9pi 29pi 2pisin sin sin sin 2cos 10 10 10 10 5 + + − + − = − b) ( )( ) 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 sin515 .cos 475 cot 222 .cot 408 1 cos 25 2cot 415 .cot 505 tan197 .tan73 − + = − + c) ( ) ( )0 0 0 0tan105 tan 285 tan 435 tan 75 0+ − − − − = Hướng dẫn giải: a) 11pi 21pi 9pi 29pisin sin sin sin 10 10 10 10 A = + + − + − = 9pi 21pi 9pi 21pi sin 2pi sin sin sin 5pi 10 10 10 10 = − + + − + − = 9pi 21pi 9pi 21pi 9pi 9pi pi 2pi sin sin sin sin 2sin 2cos 2cos 10 10 10 10 10 10 2 5 = − + − − = − = − − = − b) ( )( ) 0 0 0 0 0 0 0 0 sin 515 .cos 475 cot 222 .cot 408 cot 415 .cot 505 tan197 .tan 73 B − + = = − + 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 2 0 0 0 0 sin(360 180 25 ).cos( 360 90 25 ) cot(180 42 ).cot(360 48 ) cot(360 55).cot( 360 90 55) tan(180 17). tan(90 17) sin 25 .( sin 25 ) cot 42 .cot(90 42 ) sin 25 1 cos 25 cot 55 .tan 55 tan17 .cot17 2 + + − − − + + + = = + − − − + + − − + − − + = = = + 0 2 c) ( ) ( )0 0 0 0tan105 tan 285 tan 435 tan 75C = + − − − − ( )0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 tan(180 75 ) tan(360 75 ) tan( 360 75 ) tan 75 tan 75 tan 75 tan 75 tan 75 0 = − + − − − − − − = = − − + + = Ví dụ 3: Rút gọn các biểu thức sau: a) ( ) 11pi 11picos 5pi 2sin sin 2 2 A x x x = + − − − + b) ( ) ( )pi 3picos cos pi cos cos 2pi 2 2 B x x x x = − + − + − + − c) 3pi 3pi 7pi 7picos sin cos cos 2 2 2 2 C x x x x = − − − + − − b) ( )5pi 11pi 7pisin cos 3sin 5pi tan .tan( ) 2 2 2 D x x x x x = − − − − − + − − Ví dụ 4: Rút gọn các biểu thức sau ( ) 3pi pi 3picos pi sin tan cot 2 2 2 A x x x x = − + − − + − ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0 0 0 0sin 270 2sin 450 cos 900 2sin 720 cos 540B x x x x x= − − − + + + − + − 3pi 3pi 7pitan .cos sin 2 2 2 pi 3pi cos . tan 2 2 x x x C x x − + − − = − + ( ) ( ) ( )2 211pi 3pi 13pi1 tan 1 cot 3pi .cos sin 11pi .cos sin 7pi 2 2 2 D x x x x x x = + − + − + − − − LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Lượng giác Tham gia khóa TOÁN 2014 để đạt 9 điểm Toán – www.moon.vn facebook: LyHung95 – fanpage: Hungdv95 Ví dụ 5: Cho 4 4 983sin 2cos . 81 x x+ = Tính giá trị biểu thức 4 42sin 3cos .A x x= + Ví dụ 6: Chứng minh các đẳng thức sau: a) ( )0 00 0 0cos 20 .sin 70 1sin160 .cos 340 . tan 250 − = b) 2 2 2 2 2 2 cos sin sin cos cot tan x x x x x x − = − c) 0 0 0 0 0 0 sin( 328 ).sin 958 cos( 508 ).cos( 1022 ) 1 cot 572 tan( 212 ) − − − − = − − d) 2 2 4 2 2 2 2 tan 1 cot 1 tan . 1 tan cot tan cot x x x x x x x + + = + + e) 4 4 6 6 1 cos sin 2 1 sin cos (2pi ) 3 x x x x − − = − − − IV. CÔNG THỨC CỘNG sin( ) sin .cos cos .sinx y x y x y± = ± cos( ) cos .cos sin .sinx y x y x y± = ∓ tanx tan tan( ) 1 tanx.tan y x y y ±± = ∓ Ta xét một số các trường hợp đặc biệt. Trường hợp 1: Với y = x, ta được công thức góc nhân đôi sin2x = 2sinx.cosx cos2x = cos2x – sin2x = 2cos2x – 1 = 1 – 2sin2x 2 2 tan tan 2 1 tan x x x = − Hệ quả (Công thức hạ bậc 2): 2 2 1 cos 2 sin 2 1 cos 2 cos 2 x x x x − = + = Trường hợp 2: Với y = 2x, ta được công thức góc nhân ba: sin3x = 3sinx – 4sin3x cos3x = 4cos3x – 3cosx 3 2 3tan tan tan 3 1 3tan x x x x − = − Hệ quả (Công thức hạ bậc 3): 3 2 3sin sin 3 sin 4 3cos cos3 cos 4 x x x x x x − = + = Ví dụ 1: Tính giá trị các biểu thức sau a) pitan 4 A x = − , với 9 3picos ; pi 41 2 x x= − < < b) Cho a, b là các góc nhọn thỏa mãn: 8 5sin , tan 17 12 a b= = Tính: ( ) ( ) ( )sin , cos , tana b a b a b− + − Hướng dẫn giải: a) 2 29 81 1600 40cos sin 1 cos 1 sin 41 1681 1681 41 x x x x= − ⇔ = − = − = ⇒ = ± Do 3pi 40 sin 40pi sin 0 sin tan 2 41 cos 9 x x x x x x < < → < → = − → = = LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Lượng giác Tham gia khóa TOÁN 2014 để đạt 9 điểm Toán – www.moon.vn facebook: LyHung95 – fanpage: Hungdv95 Từ đó ta được 40pi 1tan tanpi 3194tan . pi 404 491 tan tan 1 4 9 x A x x −− = − = = = + + b) Ta có: 8 15 sin a cos a 17 17 = → = ± Do a là góc nhọn 15 8cos 0 cos tan . 17 15 a a a⇒ > → = → = 5 5 tan sin cos 12 12 b b b= ⇔ = Từ đó ta có 2 2 55 sin sin cos 1312 12 cossin cos 1 13 bb b bb b = ±= ⇔ = ±+ = Do b là góc nhọn nên 5 sin 13 sin 0; cos 0 12 cos 13 b b b b = > > → = • 8 12 15 5 21 sin( ) sin cos cos sin . . 17 13 17 13 221 a b a b a b− = − = − = • 15 12 8 5 140 cos( ) cos cos sin sin . . 17 13 17 13 221 a b a b a b+ = − = − = • 8 5 tan tan 2115 12tan( ) 8 51 tan tan 2201 . 15 12 a b a b a b − − − = = = + + Ví dụ 2: Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào biến a) 2 2 2pi picos cos cos 3 3 A x x x = + + + − b) 3 33cos cos3 3sin sin 3 cos sin x x x xB x x − + = + Hướng dẫn giải: a) Cách 1 : 2 2 2 2 2 2pi pi pi pi pi picos cos cos cos cos cos sin sin cos cos sin sin 3 3 3 3 3 3 A x x x x x x x x = + + + − = + − + + 2 2 2 2 21 3 3 1 3 3cos cos sin cos sin cos sin cos sin 4 2 4 4 2 4 x x x x x x x x x= + − + + + + = 2 23 3 3cos sin 2 2 2 x x= + = Cách 2: Sử dụng công thức hạ bậc: 2 2 2 2pi 2pi1 cos 2 1 cos 2 pi pi 1 cos 2 3 3 cos cos cos 3 3 2 2 2 x x xA x x x + + + − + = + + + − = + + = 3 1 1 2pi 2pi 3 1 1 2pi cos 2 cos 2 cos 2 cos 2 2cos 2 .cos 2 2 2 3 3 2 2 2 3 x x x x x = + + + + − = + + = 3 1 2pi 3 1 1 3 3 cos 2 cos 2 .cos cos 2 cos 2 . 2 2 3 2 2 2 2 2 x x x x A= + + = + − = → = LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Lượng giác Tham gia khóa TOÁN 2014 để đạt 9 điểm Toán – www.moon.vn facebook: LyHung95 – fanpage: Hungdv95 Vậy biểu thức A không phụ thuộc vào biến x. b) Ta có 3 3 3 3 3 33cos cos3 3sin sin 3 3cos 4cos 3cos 3sin 4sin 3sin cos sin cos sin x x x x x x x x x xB x x x x − + − + − + = + = + 3 3 2 2cos 3cos sin 3sin cos sin 6 5 cos sin x x x x x x x x − + − + = + = − − + = Vậy biểu thức B không phụ thuộc vào biến x. Ví dụ 3: Chứng minh các đẳng thức sau a) ( ) ( )2 2 2 2sin sintan tan cos .cos a b a b a b a b + − − = b) 4 4 1 3sin cos cos 4 4 4 x x x+ = + c) 2 26 2cos 4 cot tan 1 cos 4 x x x x + = + − Hướng dẫn giải: a) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 sin sin sin .cos sin .cos tan tan cos cos cos .cos a b a b b a a b a b a b − − = − = 2 2 2 2 (sin cos sin cos )(sin cos sin cos ) sin( )sin( ) cos .cos cos .cos a b b a a b b a a b a b a b a b − + − + = = b) ( )24 4 2 2 2 21 1 3 1sin cos sin cos 2(sin cos ) 1 2. sin 2 1 (1 cos 4 ) cos 44 4 4 4x x x x x x x x x+ = + − = − = − − = + c) 2 2 4 4 2 2 2 2 2 2 sin cos sin cos tan cot cos sin sin cos x x x x x x x x x x + + = + = ( ) 222 2 2 2 2 1 1 14 1 sin 2 4 1 cos 4 sin cos 2(sin cos ) 6 2cos 42 4 4 1 1 cos 4sin 2 1 cos 4 sin 2 4 2 x x x x x x x xx x x − − + + − + = = = = − − Ví dụ 4: Cho tam giác ABC, chứng minh các đẳng thức sau: a) sin sin .cos sin .cosA B C C B= + b) tan tan tan tan .tan . tanA B C A B C+ + = Hướng dẫn giải: a) sin cos cos sin sin( ) sin(pi ) sinB C B C B C A A+ = + = − = → đpcm. b) sin sin sintan tan tan cos cos cos A B CA B C A B C + + = + + = sin cos cos sin cos cos sin cos cos cos cos cos cos (sin cos sin cos ) sin cos cos cos cos cos cos sin( ) sin cos cos cos .sin sin cos cos cos cos cos cos cos cos sin (cos cos cos ) cos cos A B C B A C C A B A B C C A B B A C A B A B C C A B C A B C C C A B A B C A B C C C A B A + + = + + = + + + = = − = [ ]sin cos( ) cos cos sin sin sin tan .tan .tan cos cos cos cos cos cos cos C A B A B C B A A B C B C A B C A B C − + − = = = Nhận xét: Cách giải trên là cách giải tương đối cổ điển, dựa vào phép biến đổi sơ cấp. Ngoài ra chúng ta có thể thực hiện phép biến đổi theo hương khác nhanh gọn hơn như sau ( ) ( ) tanA tanpi pi tan tan pi tan 1 tan A.tan BA B C A B C A B C C B + + + = ⇔ + = − → + = − ⇔ = − − tan tan tan tan . tan . tan tan tan tan tan . tan . tanA B C A B C A B C A B C dpcm⇔ + = − + ⇔ + + = → V. CÔNG BIẾN ĐỔI TỔNG SANG TÍCH VÀ TÍCH SANG TỔNG LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Lượng giác Tham gia khóa TOÁN 2014 để đạt 9 điểm Toán – www.moon.vn facebook: LyHung95 – fanpage: Hungdv95 Ví dụ 1: Chứng minh các đẳng thức sau a) 2 2pi pi 2sin sin sin 2 8 8 2 x x x + − − = b) sin (1 cos 2 ) sin 2 .cosx x x x+ = c) 1 2tan tan tan 2 x x x − = − d) 1tan 1 tan 2 cos x x x + = Ví dụ 2: Rút gọn các biểu thức sau pi pi pi pi sin .cos sin .cos 3 4 4 3 A x x x x = − − + − − sin 4 .cot 2 cos 4B x x x= − pi pi pi pi cos .cos cos .cos 3 4 6 4 C x x x x = − + − + − pi 2pi tan tan tan 3 4 D x x x = + + + + 2 pi1 sin 2sin 4 2 4cos 2 x x E x + − − = 3 3cos .sin sin .cos sin 2 .cos 2 x x x xF x x − = sin 4 .cos 2 (1 cos 4 )(1 cos 2 ) x xG x x = + + 2 2 2 2 sin 2 4sin sin 2 (4sin 4) x xH x x − = + − 22(sin 2 2cos 1) cos sin cos3 sin 3 x xI x x x x + − = − − + cos sin cos sin cos sin cos sin x x x xJ x x x x + − = − − + sin sin 3 sin 5 sin 7 cos cos3 cos5 cos7 x x x xK x x x x + + + = + + + 1 1 1 1 1 1 pi cos , 0 2 2 2 2 2 2 2 L x x = + + + < < Ví dụ 3: Chứng minh các đẳng thức sau: a) 2 2 2 2 tan 2 tan tan .tan 3 1 tan 2 . tan a a a a a a − = − b) pi pisin sin 2 sin 4 4 a a a + − − = c) ( ) ( ) 2 22 2sin sin cos .sin1 tan .cot a b a b a b a b − + = − − d) ( ) ( ) 2 22 2cos cos 1 tan . tancos .cos a b a b a b a b − + = − e) 4 1 34cos 2cos 2 cos 4 2 2 x x x− − = f) 3 3 sin 4cos .sin sin .cos 4 x x x x x− = Ví dụ 4: Cho x a vôùi a b a b a b 4 4sin cos 1 , , 0.+ = > + Chứng minh: x x a b a b 8 8 3 3 3 sin cos 1 ( ) + = + . Ví dụ 5: Chứng minh các đẳng thức sau: g) x x x 1 cos 2tan . 1 4 2 sin 2 pi pi pi + + + = + h) xx x 1 sin2 tan 4 cos2 pi + + = i) x x x cos cot 1 sin 4 2 pi = − − k) x xx x x x 2 2 2 2 tan 2 tantan .tan3 1 tan .tan 2 − = − c) x x x x x3 3 1sin .cos cos .sin sin 4 4 − = d) x x x x6 6 21sin cos cos (sin 4) 2 2 4 − = − f) x x x 2 2 1 sin 1 2cot .cos 4 4 pi pi − = + − Ví dụ 6: Chứng minh các đẳng thức sau: LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Lượng giác Tham gia khóa TOÁN 2014 để đạt 9 điểm Toán – www.moon.vn facebook: LyHung95 – fanpage: Hungdv95 a) x x x xcot tan 2 tan2 4cot 4− − = b) x x x x 21 2sin 2 1 tan2 1 sin 4 1 tan2 − + = − − c) xx x x 2 6 6 2 1 3tantan 1 cos cos − = + d) x xx x x x 1 sin2 cos2 tan4 cos4 sin2 cos2 − − = + e) x x x x x xtan6 tan4 tan2 tan2 .tan4 .tan6− − = f) x x x x x sin7 1 2cos2 2cos4 2cos6 sin = + + + g) x x x x x xcos5 .cos3 sin7 .sin cos2 .cos4+ =
File đính kèm:
01_Cac phep bien doi LG_p2.pdf
