Chủ đề Biểu thức đại số

Phòng giáo dục đao tạo vụ bản
Chủ đề
Biểu thức đại số
Biên soạn : Trần Đại Thắng - Trường THCS Hiển Khánh
 Nguyễn Minh Đức – Trường THCS Hợp Hưng
Một số dạng bài tập thường gặp:
1/ Loại 1: Tìm điều kiện để biểu thức có nghĩa:
 Tìm điều kiện để biểu thức có nghĩa là tìm điều kiện cho sự tồn tại của các biểu thức có trong bài toán và suất hiện trong quá trình biến đổi.
 Khi làm câu hỏi này cần chú ý:
+ Đối với phân thức có nghĩa B0
+ Đối với căn thức có nghĩa A 0
2/ Loai 2: Rút gọn biểu thức đại số:
Khi rút gọn biểu thức đại số ta cần đặt điều kiện cho sự tồn tại của biểu thức
Sử dụng thành thạo , linh hoạt các phép biến đổi
Chú ý một số phương pháp :
 * Thông thường một biểu thức cần rút gọn ở dạng 
 M = (
 - Trước hết cần rút gọn từng phân thức ( nếu có thể)
 - Biến đổi , quy đồng , thực hiện phép tính.
 * Nếu a x2 + b x + c = 0 có 2 nghiệm x1, x2 thì
	a x2 + b x + c = a ( x – x1)( x- x2)
Ví dụ : CMR giá trị của biểu thức 
không phụ thuộc vào biến số x 
 Bài làm
 Vậy M không phụ thuộc vào x.
 * Biến đổi biểu thức bên trong căn về dạng bình phương để khai phương.
Ví dụ: Rút gọn biểu thức :
	 (a;b;c 0 )
Bài làm
	* Trong quá trình biến đổi biểu thức ta hay sử dụng các hằng đẳng thức sau:
 a - b = ( - ) (+)
 3 3 = ( ) ( a + b)
 ( ) 2 = a 2 + b
3/ Loại 3: Tính giá trị của biểu thức đại số.
Dạng 1: Tính giá trị của biểu thức số:
Chú ý: Nếu biểu thức có dạng A 2 Trong đó A = a+b và B = a.b Thì
	A 2 = ( ) 2
Ví dụ : = 
 = 
Dạng 2: Tính giá trị của biểu thức đại số tại giá trị cho trước của biến (tính A(x) tại x = a)
+) Bước 1: Rút gọn A(x) nếu có thể
+) Bước 2: Thay giá trị của biến vào biểu thức đã rút gọn rồi thực hiện phép tính.
+) Bước 3: Kết luận.
 4/ Loại 4: Tìm điều kiện của biến số x để biểu thức A(x) thoả mãn một điều kiện nào đó.
VD: +) Tìm x để A(x) = m (m ) (1)
 +) Tìm a để A(x) > m hoặc A(x)< m (2)
Việc tìm x chính là tìm nghiệm của (1); (2)
Mở rộng: A(x) = B(x); A(x) > B(x); A(x) < B(x).
+) Tìm x để A(x) thoả mãn một số điều kiện khác như:
Biểu thức A(x) nhận giá trị nguyên.
Biểu thức A(x) đạt giá trịlớn nhất, nhỏ nhất: 
Chú ý: +) Khi tìm được giá trị của biến số ta cần kết hợp với điều kiện xác định của biểu thức để kết luận.
 + Sử dụng tính chất chia hết để tìm giá trị nguyên của biểu thức: 
VD: Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức A = đạt giá trị nguyên.
 Ư (1)
x = 
Với x = 2 thì A = 0
Với x = -2 thì A = - 4
5/ Loại 5: Chứng minh biểu thức không phụ thuộc vào giá trị của biến số x
Chứng minh giá trị của biểu thức A(x) không phục thuộc vào biến sốx nghĩa là ta đi rút gọn A(x) để kết quả sau khi rút gọn không chứa biến.
6/ Loại 6: Chứng minh đẳng thức A(x)= B(x)
Thông thường ta biến đổi từ vế phức tạp về vế đơn giản.
B. Bài tập trắc nghiệm:
Một số các câu hỏi trắc nghiệm về chương căn
Câu 1: Căn bậc hai của (a-b)2 là:
A. a- b 	B. b- a 	C. 	D. a- b và b - a	
Câu 2: Căn bậc hai số học của (a+ b)2 là:
A. a + b 	B. – (a + b)	C. 	D. (a + b) và - (a+ b)	
Câu 3: a/ Giá trị của x để 5 = 70 là 
A. x= 980 	B. x = 14 	C. x= 196	D. – 196 
	b/ Giá trị của x để	 	là : 
A. x=2	B. x= 16	C. x = 1	D. 8
	c/ Giá trị của x để 	 <là
A. x3	D. x=3
	d/ Giá trị của x để - là 
A. x20	C. 0 4
Câu 4: Điều hệ thức hoặc cụm từ thích hợp vào chỗ trống.
a/ có nghĩa khi  
b/ có nghĩa khi 
c/ có nghĩa 
d/ có nghĩa khi
e/ có nghĩa khi
f/ xác định khi
g/ xác định
h/ xác định khi
Câu 5: Kết quả của phép khai căn : là 
A. a-5	B. 5-a	C. 	D. cả 3 điều sai
Câu 6: Kết quả của phép tính là 
A. 3- 	B. 	C. 	D. cả 3 điều sai
Câu 7: Kết quả của phép tính : x-3 + với x< 3 là 
A. 2x – 6 	B. 0	C. 2x – 6 hoặc 0	D. Cả 3 đều sai
Câu 8: Giá trị của x để là:
A. x = 4	B. x< 4 	C. x	D. x
Câu 9: Điền số thích hợp vào ô trống :
a/ ă = 
b/ ă + 
c/ = ă - ă 
Câu 10.Điền dấu (>,<,=) vàoă
a/ ă 
b/ ă
c/ ă 2 
d/ ă (a)
e/ ă (a)
g/ ă 
h/ - ă - 
f/ 5 ă 6 
i/ ă 2 
k/ ă 3 
Câu 11. Giá trị của biểu thức bằng
A. - 8	B. 8	C. 12	D. -12
Câu 12: Giá trị của biểu thức
- là
A. - 	B. 	C. 	D. Một kết quả khác.
Câu 13: Giá trị của x để là:
A. 5	B. 9	C. 6	D. Cả A,B,C đều sai
Câu 14: Giá trị của biểu thức: 
 = 
A. 1	B. 12	C. 2	D. 
Câu 15: Giá trị của biểu thức: bằng:
 A. 	B.12	C.6	D.3
Câu 16: Giá trị của biểu thức: bằng:
A. 	B.	C.1	D. 
Đáp án
Câu1: D
Câu2:C	
Câu3a:C	3b:B	3c:B	3d:B
Câu 4:
a/a	b/a	c/a	d/b <2	
e/ x	f/ a	g/ /a	h//
Câu 5:C
Câu 6: C
Câu 7: B
Câu 8:C
Câu 9: a/3	b/	c/
Câu 10: 
a/ 	 b/	c/	d/
e/	g/	h/	f/	
i/	k/	
Câu11:C
Câu 12:A
Câu13:B
Câu14:B
Câu15:C
Câu16:
C. Bài tập tự luận:
Bài 1: Thực hiện phép tính:
a/ 
b/ 
c/ 
d/ 
e/ 
h/ 
Bài làm: 
3 
d)
e) 
h) 
Bài 2 : Thực hiên phép tính 
Bài 2 : 
 c) Nhân cả tử và mẫu với 
 d) Nhân cả tử và mẫu với 
 e) Tương tự như phần b
Bài 3 : Rút gọn biểu thức .
Bài làm 
c. Ta chứng minh : Với a,b ,c khác 0, a+ b + c = 0 thì :
Thật vậy : 
Vậy : 
Cộng vế với vế các đẳng thức trên ta được :
Bài 4: Rút gọn biểu thức:
A = (x > 0; a > 0)
Bài giải:
Với x > 0; a > 0 ta có: 
A= 
= 
= 
Nếu x thì 
Nên A = 
Nếu 0 < x< thì nên A = 
Vậy A = 
Nhận xét: Biểu thức A là một số dương có dạng nên có thể bình phương biểu thức A.
Bài 5: Cho biểu thức
B = () :
a/ Tìm điều kiện xác định của A
b/ Rút gọn biểu thức A
Giải:
a/ Điều kiện xác định của A
b/ Rút gọn
A = 
= 
=
= 
Bài6: Cho biểu thức A = (1 - ) : ()
a/ Rút gọn biểu thức A.
b/ Tính giá trị của A biết x = 2000 - 2
Giải:
a/ điều kiện x 
A = 
= = = 
b/ Thay x = 2000 - 2 vào biểu thức A ta được:
A = 
= = + 1 = 
Bài tập 7: Cho biểu thức P = 
a/ Rút gọn P với x > 0; y > 0; x 1; x 4y
b/ Tính giá trị của biểu thức P biết 	2x2 + y2 – 4x – 2xy + 4 = 0
Giải:	
a/ P = 
= 
=
= 
b/ Ta có 2x2 + y2 – 4x – 2xy + 4 = 0
 (TMĐK)
Thay x = y = 2 vào biểu thức P ta được
P = = 1
Bài tập 8: Cho biểu thức A = ().()
a/ Rút gọn biểu thức A.
b/ Tìm x để A > - 6
Giải
a/ đkxđ: x > 0; x 1
Với x> 0; x 1 ta có:
A = 
= 
Vậy với x> 0; x 1 thì A = 
b/ A> - 6 
Vậy và x 1 thì A > - 6 
 Bài tập 9: Cho biểu thức:
 (đk: x>1)
a,Rút gọn biểu thức 
b,Tìm x để 
Bài giải:
a,Với ta có:
Vậy với thì 
không thoả mãn đk 
thoả mãn đk 
Vậy với thì 
Bài tập 10 : Cho biểu thức:
a,Rút gọn biểu thức 
b,Chứng minh rằng thì 
Bài giải:
a,Đkxđ:
-Với ta có:
Vậy với thì 
b,Với 
 Vậy với mọi 
 > 0 với mọi 
 với mọi
 Bài tập 11: Cho biểu thức:
a,Chứng minh 	 
b) Tìm để biểu thức nhận giá trị nguyên 
Bài giải: 
a,Đkxđ:
Khi đó ta có:
b,Với thì 
 là ước nguyên của 5
Mà Ư(5) =
Ta có : =1 = -2 ( loại)
 	 +3 = -1 = -4 (loại)
	 = -5 = -8 ( loại)
	 = 5 = 2 
 	 x = 4
Ta thấy x= 4 thoả mãn điều kiện 
Kết luận : Vậy x = 4 thì A 
 Bài tập 12 : Cho biểu thức :
Rút gọn biểu thức A.
Tìm x để biểu thức A đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị đó.
Bài giải : 
ĐKXĐ : .
Với ta có :
Với ta có : 
Ta thấy : với mọi x
Vậy .
Đẳng thức xảy ra khi ( loại- không thoả mãn đk)
Vậy không tìm được giá trị của x để bểu thức A đạt giá trị nhỏ nhất
 Bài tập 13 : Cho biểu thức :
Chứng minh rằng biểu thức Akhông phụ thuộc vào a và b.
Bài giải : ĐK : .
Khi đó ta có :
Ta luôn có A = 1 với mọi .
Vậy là A không phụ thuộc vào a và b.
Bài 14: Cho 
*) Rút gọn A 
 *) Tính giá trị của A khi 
Bài làm :
Có : 
Bài 15 : Cho biểu thức :
Tìm ĐK của x để B xác định 
Rút gọn B .
Tìm để biểu thức B nhận giá trị nguyên.
Bài làm : 
B xác định 
Ư(2)
ĐK)
Bài 16 : Cho 
Rút gọn P
Tìm a để P >
Bài làm
P=1-a
Vậy 
Bài 17 : Cho 
Rút gọnQ
Tính giá trị của Q khi 
CMR .
Bài làm : ĐK 
 thay x vào Q ta có :
Dấu bằng xảy ra khi : (loại)
Vậy 
Bài 18 : Cho 
*) CMR thì 
*) Tìm x nguyên để A nhận giá trị nguyên.
Bài 19 : Cho 
Tìm x , y để C có nghĩa 
Rút gọn C.
Tìm x , y để C = 1
Bài làm :
C có nghĩa 
Vậy 
Bài 20 : Cho 
Rút gọn P.
Tìm số tự nhiên x để là số tự nhiên .
Tính P khi 
Bài làm:
P xác định 
 ( TMĐK)
Vậy x = 0 thì .
Thay vào P ta được :
Bài 21: Cho 
Rút gọn P.
Tìm x để P = -1 
Tìm m để mọi x > 9 ta có 
Bài làm
 ĐK : 
 ( TMĐK )
+ Nếu thì tập nghiệm không thể chứa mọi giá trị của x >9.
+Nếu thì 
Do đó bpt thoả mãn với mọi x >9 
Bài 22 : Cho 
Rút gọn N .
CMR nếu thì N có giá trị không đổi .
Bài làm a) 
b. áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có :
 Thay vào N ta được : ( không đổi khi )
Bài 23 Cho biểu thức : 
Rút gọn A .
Tìm giá trị nguyên lớn nhất của x để A có giá trị nguyên .
Bài làm a)
+ Nếu thì 
+ Nếu thì 
b. Xét 
Ư(16) Và 
Xét và x
Nếu là số vô tỉ thì A cũng là số vô tỷ nên không thoả mãn 
Do đó với p, q nguyên dương và (p;q) = 1
Khi đó 
Ta thấy chia hết cho mà (p;q) = 1	 nên q là Ư(2)
vậy q=1 hoặc q=2
Tương tự thì p là Ư(8) nên p=1;2;4;8
vì (p;q) = 1 nên q= 2 ; p=1 (loại ) 
 q= 1 ; p=4 (TM )x = 20
 q= 1 ; p=8 (TM )x =68
 q= 1 ; p=2 (loại )
D. Bài tập Tự làm
Bài tập 1 : Cho biểu thức :
 Tính giá trị của A khi .
Bài tập 2 : Cho biểu thức :
Tìm ĐKXĐ của A.
Rút gọn A.
Tính giá trị của A khi 
Bài tập 3 : Cho biểu thức :
Tìm ĐKXĐ của A.
Rút gọn biểu thức A.
Tính giá trị của A biết 
 Bài tập 4 : Cho biểu thức :
Tìm ĐKXĐ của A.
Tính giá trị của A khi 
Bài tập 5 : Cho biểu thức :
Rút gọn biểu thức A.
Tìm x để .
Bài tập 6: Cho biểu thức :
Rút gọn biểu thức A.
Tìm x để .
Bài tập 7: Cho biểu thức :
Rút gọn biểu thức A.
Chứng minh .
Bài tập 8: Cho biểu thức :
Rút gọn biểu thức A.
Chứng minh rằng nếu thì 
Tìm giá trị lớn nhất của A .
GV: Trần Đại Thắng	 Trường THCS Hiển Khánh
 Đề thi tuyển sinh vào THPT môn toán
Trắc nghiệm (2 điểm)
 Khoanh tròn vào chữ cái đứng trước câu trả lời đúng.
Câu 1: Căn bậc hai của 25 là
A. 5	B. -5	C. 5 và -5	D. 625
Câu 2: Căn bậc hai số học của (x - 5)2 là:
A. x – 5	B. 5 – x	C. 	D. x – 5 và 5 – x
Câu 3: Giá trị của x để là:
A. x < 2	B. x < 16 	C. 0 x < 16	D. x = 16
Câu 4: Giá trị của biểu thức - bằng:
A. - 	B. 	C. 0	D. Một biểu thức khác.
Câu 5: Đánh dấu x vào ô đúng hoặc sai tương ứng với các khẳng định sau:
Câu
Đúng
Sai
a/ xác định khi x2
b/ Nếu a< b thì < 
c/ = 
d/ khi a < 0, b 
B/ Tự luận (8 điểm)
Câu 6: (2 điểm) Cho phương trình 2x2 + 2mx + m2 – 2 = 0
Tìm m để phương trình có hai nghiệm.
Gọi hai nghiệm là xi, x2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 
A = 
Câu 7 (2 điểm) cho p = 
a/ Rút gọn.
b/ Tìm giá trị nhỏ nhất của p.
c/ Tìm x để biểu thức Q = nhận giá trị là số nguyên.
Câu 8(3 điểm) 
Cho (0), đường kính Ab. Điểm I nằm giữa A và O sao cho AI = AC.Kẻ dây MN AB tại I. Gọi C là điểm tuỳ ý thuộc cung lớn MN sao cho C không trùng với M, N và B. Nối AC cắt MN tại E.
a, Chứng minh tứ giác IECB nội tiếp.
b, Chứng minh AM2 = AE.AC
c, Chứng minh AE.AC- AI.IB =AI2.
Câu 9(1 điểm) Cho phương trình:
	x4 – 2 (m + 1)x2 + (2m + 1) = 0. (1)
Tìm giá trị của m để phương trình (1) có 4 nghiệm xi, x2, x3, x4 (x1< x2 <x3 < x4) thoả mãn x4- x3 = x3 – x2 = x2 – x1.
Đáp án và biểu điểm
I/ Trắc nghhiệm(mỗi câu đúng được 0,25 điểm) :
Câu 1: C
Câu 2: C
Câu 3: C
Câu 4: A
Câu 5: a –S 	b - S	c - Đ	d- Đ
II/ Tự luận:
Câu 6. a/ 
Để phương trình có 2 nghiệm 
b/ Theo định lý viet ta có:	x1 + x2 = -m	x1 x2	= 	
Do đó A = = 
Vì -2 nên (m+2)(m-3)
Do đó A = (m+2)(3-m) = -m2+m+6=-(m-)2+
Vậy giá trị lớn nhất của A là: khi m=
Hoặc giải theo cách khác:
A = =
Vì -2
Câu 7: 
a/ Điều kiện: x> 0 và x Khi đó P = x - 
b/ P = ()
Pmin = khi 
c/ Q= 
Với x> 0 và x . áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có:
M = 
Do đó Q nguyên
Bài 8: 	a/ +) (gt)
	+) (góc nội tiếp..)
	+) Kết luận EICB nội tiếp
 E
 x
 I O
 M	 C	 
	b/ +) sđ AM = sđ AN
	 + 
A	B	 + chung, đồng dạng	 dạng với 
	N	
c/ MI là đường cao cuả tam giác vuông MAB 
Từ (1) và (2) điều phải chứng minh.
Bầi 9: Đặt x2 = t 0 ta có t2 – 2(m +1)t + (2m + 1) = 0 (2)
Để phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt dương.
Gọi 2 nghiệm của phương trình (2) là t1, t2 (t1 < t2) x1 = - , x2 = -, 
x3 = ,x4=
Từ x4 – x3 = x3- x2 - = - (-)t2 = 9 t1
Kết hợp với vi ét ta có 
Với t1=1; t2= 9 m= 4(thoả mãn điều kiện)
Với t1 = (thoả mãn điều kiện)
GV Nguyễn Minh Đức Trường THCS Hợp Hưng
Đề thi tuyển sinh vào THPT môn toán
Phần trắc nghiệm : 
Hãy khoanh tròn vào đáp án đúng trong các câu sau đây :
Câu 1 : Với mọi số thực luôn tồn tại số thực x không âm duy nhất mà , lúc đó :
 gọi là căn bậc hai dương của a .
 gọi là căn bậc hai số học của a.
Cả hai câu A, B đều đúng.
Cả hai câu A, B đều sai.
Câu 2 : điều kiện của x để có nghĩa là :
x 1 C. D. x1
Câu 3:Khi xét giá trị của biểu thức có các kết quả sau .Tìm kết quả đúng :
 với mọi a.
 với mọi a 0.
 khi a 0
 khi a 0 và khi a > 0
Câu 4 : Giá trị x để là :
x B.x C. x D. x 
Câu 5 : Giá trị x để là :
 x 12 C. D. x > 2.
Câu 6 : Kết quả của phép tính là :
Câu 7 : Giá trị của biểu thức là :
 B. C.6 D.3
Câu 8 : Giá trị của x để : là : 
5 B.2 C.6 D. Cả 3 kết quả trên đều sai.
Phần tự luận :
Câu 9 : Cho biểu thức :
Rút gọn biểu thức A.
Chứng minh rằng nếu thì 
Tìm giá trị lớn nhất của A .
Câu 10 : cho phương trình : 
	 ( m là tham số ).
Chứng tỏ rằng PT (1) có nghiệm với mọi m 
Tính giá trị của biểu thức A = 2()-5 theo m .
Tìm m để PT(1) có nghiệm .
Câu 11 : Cho đường tròn tâm O bán kính R. M là điểm nằm ngoài (O) . vẽ hai tiếp tuyến MA , MB ( A, B là hai tiếp điểm ) và một đường thẳng đi qua M cắt đường tròn tại C; D . Gọi I là trung điểm của CD . Gọi E; F; K thứ tự là các giao điểm của đường thẳng AB với các đường MO; MD; OI.
Chướng minh rằng : .
Tứ giác MAIO nội tiếp được đường tròn.
Khi . Chứng minh :
Câu 12 : Cho a + b + c = 0. 
CMR : 
Đáp án tóm tắt phần tự luận
Câu 9 :
 ĐKXĐ của A là : .
Rút gọn A được A = 
 Với thì > 0 và < 1
 1- > 0 > 0.
	Vậy A > 0 với mọi .
Với ta có :
A= - x + = - (-.
Đẳng thức xảy ra khi = x = ( thoả mãn ĐK).
Vậy giá trị lớn nhất của A là .
Câu 10 : 
Xét PT : 
có .
Vậy phương trình (1) có nghiệm với mọi m.
Do phương trình (1) có nghiệm với mọi m .
Theo Viét : += 2m ; =2m-1
Theo đầu bài : A = 2()-5
 = 2( 9
 = 
Kết hợp 3 điều kiện :
ta được pt : 
Giải Pt được 
Câu 11 :	
Ta có :vuông tại A và AE MO OE.OM=OA2 = R2.
Ta c/m được ∽
OI.OK= OE.OM
 OE.OM= OI.OK = R2.
– Ta có : Tứ giác MAIO nội tiếp.
– Ta c/m được ME.MO=MC.MD
CEOD nội tiếp .
Câu 12 : Ta có :
Vậy với a + b + c = 0