Chuẩn kiến thức, kỹ năng Toán 12 nâng cao

lớp 12
Chủ đề
Mức độ cần đạt
Ghi chú
I. ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số
1. Sự liên quan giữa tính đơn điệu của một hàm số và dấu của đạo hàm cấp một của hàm số đó.
Về kiến thức :
- Biết tính đơn điệu của hàm số. 
- Biết mối liên hệ giữa sự đồng biến, nghịch biến của một hàm số và dấu đạo hàm cấp một của nó.
Về kỹ năng:
 Biết cách xét sự đồng biến, nghịch biến của một hàm số trên một khoảng dựa vào dấu đạo hàm cấp một của nó.
 Ví dụ. Xét sự đồng biến, nghịch biến của các hàm số: y = x4 - 2x2 + 3, y = 2x3 - 6x + 2, y = .
Ví dụ. Xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số .
2. Cực trị của hàm số.
Định nghĩa. Điều kiện đủ để có cực trị.
Về kiến thức :
- Biết các khái niệm điểm cực đại, điểm cực tiểu, điểm cực trị của hàm số.
- Biết các điều kiện đủ để có điểm cực trị của hàm số.
Về kỹ năng:
 Biết cách tìm điểm cực trị của hàm số.
 Ví dụ. Tìm các điểm cực trị của các hàm số y = x3(1 - x)2, y = 2x3 + 3x2 - 36x - 10. 
 Ví dụ. Cho hàm số (1)
a) Tính khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số (1).
b) Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số (1) 
3. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số.
Về kiến thức :
 Biết các khái niệm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một tập hợp số.
Về kỹ năng:
 Biết cách tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn, một khoảng.
Ví dụ. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x3 - 3x2 - 9x + 35 trên đoạn [- 4; 4]. 
 Ví dụ. Tính các cạnh của hình chữ nhật có chu vi nhỏ nhất trong tất cả các hình chữ nhật có diện tích 48m2. 
Ví dụ. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [ -1; 1]. 
Ví dụ. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = cos 2x + 4 sin x trên đoạn .
4. Đồ thị của hàm số
Về kiến thức : 
 Hiểu một số phép biến đổi đơn giản đồ thị của hàm số (phép tịnh tiến song song với trục toạ độ, phép đối xứng qua trục toạ độ).
Về kỹ năng:
 Vận dụng được các phép biến đổi đơn giản đồ thị của hàm số (phép tịnh tiến song song với trục toạ độ, phép đối xứng qua trục toạ độ).
 Ví dụ. Vẽ đồ thị của các hàm số sau bằng cách tịnh tiến hoặc lấy đối xứng đồ thị của các hàm số đã biết:
 a) y = (x + 1)2 từ đồ thị hàm số y = x2
 b) y = - 5 từ đồ thị hàm số y = 
 c) y = - (x + 2)2 từ đồ thị hàm số y = x2.
5. Đường tiệm cận của đồ thị hàm số. Định nghĩa và cách tìm các đường tiệm cận đứng, tiệm cận ngang, tiệm cận xiên.
Về kiến thức :
 Biết khái niệm đường tiệm cận đứng, đường tiệm cận ngang, tiệm cận xiên của đồ thị.
Về kỹ năng:
 Tìm được đường tiệm đứng, tiệm cận ngang, tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.
 Ví dụ. Tìm đường tiệm cận đứng, tiệm cận ngang của đồ thị các hàm số 
 a) y = ; b) y = . 
 Ví dụ. Tìm đường tiệm cận đứng, tiệm cận xiên của đồ thị hàm số 
y = .
6. Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số. Giao điểm của hai đồ thị. Sự tiếp xúc của hai đường cong.
Về kiến thức :
- Biết sơ đồ tổng quát để khảo sát hàm số (tìm tập xác định, xét chiều biến thiên, tìm cực trị, tìm tiệm cận, lập bảng biến thiên, vẽ đồ thị).
Về kỹ năng:
- Biết cách khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số 
 y = ax4 + bx2 + c (a ạ 0), 
 y = ax3 + bx2 + cx + d (a ạ 0) 
y = (ac ạ 0)
 y = , trong đó a, b, c, d, m. n là các số cho trước, am ạ 0.
- Biết cách dùng đồ thị hàm số để biện luận số nghiệm của một phương trình.
- Biết cách viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại một điểm thuộc đồ thị hàm số. 
- Biết cách viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đường cong tại điểm chung. 
 Có giới thiệu điểm uốn của đồ thị hàm số bậc ba, bậc bốn. 
Ví dụ. Khảo sát và vẽ đồ thị các hàm số : y = - x2 - ; y = - x3 + 3x +1 ; 
y = ; y = .
 Ví dụ. Dựa vào đồ thị của hàm số y = x3 + 3x2, biện luận số nghiệm của phương trình x3 + 3x2 + m = 0 theo giá trị của tham số m.
Ví dụ. a) Khảo sát hàm số 
 (1)
Tìm m để đường thẳng d(m): 
 y = mx + 2 –2m
cắt đồ thị của hàm số (1) tại hai điểm phân biệt.
 Ví dụ. Chứng minh rằng hai đường cong y = x3 + x – 2 và y = x2 + x – 2 tiếp xúc với nhau tại một điểm nào đó. Viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đườngcong đã cho tại điểm đó. 
II. Hàm số luỹ thừa, hàm số mũ và hàm số lôgarit
1. Luỹ thừa.
Định nghĩa luỹ thừa với số mũ nguyên, số mũ hữu tỉ, số mũ thực. Các tính chất.
Về kiến thức :
- Biết các khái niệm luỹ thừa với số mũ nguyên của số thực, luỹ thừa với số mũ hữu tỉ và luỹ thừa với số mũ thực của số thực dương.
- Biết các tính chất của luỹ thừa với số mũ nguyên, luỹ thừa với số mũ hữu tỉ và luỹ thừa với số mũ thực.
Về kỹ năng:
- Biết dùng các tính chất của luỹ thừa để đơn giản biểu thức, so sánh những biểu thức có chứa luỹ thừa.
 Ví dụ. Tính .
 Ví dụ. Rút gọn biểu thức 
 . ( với a > 0)
 Ví dụ. Chứng minh rằng .
 Ví dụ. Cho x = 1 + 2a và y = 1 + 2-a . Tính y theo x. 
 Ví dụ. Rút gọn biểu thức 
 .
2. Lôgarit.
Định nghĩa lôgarit cơ số a của một số dương (a > 0, a ạ 1) . Các tính chất cơ bản của lôgarit. Lôgarit thập phân. Số e và lôgarit tự nhiên.
Về kiến thức :
- Biết khái niệm lôgarit cơ số a (a > 0, a ạ 1) của một số dương.
- Biết các tính chất của lôgarit (so sánh hai lôgarit cùng cơ số, quy tắc tính lôgarit, đổi cơ số của lôgarit).
- Biết các khái niệm lôgarit thập phân, số e và lôgarit tự nhiên.
Về kỹ năng:
- Biết vận dụng định nghĩa để tính một số biểu thức chứa lôgarit đơn giản.
- Biết vận dụng các tính chất của lôgarit vào các bài tập biến đổi, tính toán các biểu thức chứa lôgarit.
 Ví dụ. Tính
 a) ; b) .
 Ví dụ. Biểu diễn qua và .
 Ví dụ. So sánh các số:
 a) và ; 
 b) và .
 Ví dụ. Tìm x nếu = 0. 
3. Hàm số luỹ thừa. Hàm số mũ. Hàm số lôgarit.
Định nghĩa, tính chất, đạo hàm và đồ thị.
Về kiến thức :
- Biết khái niệm và tính chất của hàm số luỹ thừa, hàm số mũ, hàm số lôgarit.
- Biết được dạng đồ thị của các hàm số luỹ thừa, hàm số mũ, hàm số lôgarit.
- Biết công thức tính đạo hàm của các hàm số luỹ thừa, hàm số mũ, hàm số lôgarit.
Về kỹ năng:
- Biết vận dụng tính chất của các hàm số mũ, hàm số lôgarit vào việc so sánh hai số, hai biểu thức chứa mũ và lôgarit.
- Biết vẽ đồ thị các hàm số luỹ thừa, hàm số mũ, hàm số lôgarit.
- Tính được đạo hàm các hàm số luỹ thừa, mũ và lôgarit.
Ví dụ. Vẽ đồ thị của các hàm số :
 a) y = 3.2x b) y = 
 Ví dụ. Vẽ đồ thị các hàm số:
 a) y = 2; b) y = .
 Ví dụ. Tính đạo hàm của các hàm số:
 a) y = 2xex + 3sin 2x ;
 b) y = 5x2 - ln x + 8cos x. 
 Ví dụ. Tính đạo hàm của các hàm số:
a) ;
b) .
4. Phương trình, hệ phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit.
Về kỹ năng:
- Giải được phương trình, bất phương trình mũ: phương pháp đưa về luỹ thừa cùng cơ số, phương pháp lôgarit hoá, phương pháp dùng ẩn số phụ, phương pháp sử dụng tính chất của hàm số.
- Giải được phương trình, bất phương trình lôgarit: phương trình đưa về lôgarit cùng cơ số, phương pháp mũ hoá, phương pháp dùng ẩn số phụ, phương pháp sử dụng tính chất của hàm số.
- Giải được một số hệ phương trình, hệ bất phương trình mũ, lôgarit đơn giản.
Ví dụ. Giải phương trình
 .
 Ví dụ. Giải phương trình
 2.16x - 17.4x + 8 = 0.
 Ví dụ. Giải phương trình 5x + 12x = 13x.
 Ví dụ. Giải phương trình 
 log4 (x + 2) = log2 x.
 Ví dụ. Giải các hệ phương trình:
 a) b) 
 Ví dụ. Giải bất phương trình 
 9x - 5. 3x + 6 < 0.
 Ví dụ. Giải bất phương trình 
log0,5 (4x +11) < log0,5 (x2 + 6x + 8).
III. Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng
1. Nguyên hàm.
 Định nghĩa và các tính chất của nguyên hàm. Kí hiệu họ các nguyên hàm của một hàm số. Bảng nguyên hàm của một số hàm số sơ cấp. Phương pháp đổi biến số. Tính nguyên hàm từng phần. 
Về kiến thức :
- Hiểu khái niệm nguyên hàm của một hàm số.
- Biết các tính chất cơ bản của nguyên hàm.
Về kỹ năng:
 - Tìm được nguyên hàm của một số hàm số tương đối đơn giản dựa vào bảng nguyên hàm và cách tính nguyên hàm từng phần.
- Sử dụng được phương pháp đổi biến số (khi đã chỉ rõ cách đổi biến số và không đổi biến số quá một lần) để tính nguyên hàm.
Dùng kí hiệu để chỉ họ các nguyên hàm của f(x).
 Ví dụ. Tính .
 Ví dụ. Tính .
 Ví dụ. Tính .
 Ví dụ. Tính 
 (Hướng dẫn: đặt u = 3x + 1).
 Ví dụ. Tính 
2. Tích phân.
Diện tích hình thang cong. Định nghĩa và các tính chất của tích phân. Phương pháp tích phân từng phần và phương pháp đổi biến số để tính tích phân
Về kiến thức :
- Biết khái niệm về diện tích hình thang cong.
- Biết định nghĩa tích phân của hàm số liên tục bằng công thức Niu-tơn - Lai-bơ-nit.
- Biết các tính chất của của tích phân.
Về kỹ năng:
- Tính được tích phân của một số hàm số tương đối đơn giản bằng định nghĩa hoặc phương pháp tính tích phân từng phần.
- Sử dụng được phương pháp đổi biến số (khi đã chỉ rõ cách đổi biến số và không đổi biến số quá một lần) để tính tích phân.
 Ví dụ. Tính .
 Ví dụ. Tính .
 Ví dụ. Tính .
 Ví dụ. Tính 
 (Hướng dẫn: đặt u = x + 2).
 Ví dụ. Tính 
(Hướng dẫn: đặt u =x2 + x + 2).
 Ví dụ. Tính .
3. ứng dụng hình học của tích phân.
Về kiến thức :
 Biết các công thức tính diện tích, thể tích nhờ tích phân.
Về kỹ năng:
 Tính được diện tích một số hình phẳng, thể tích một số khối nhờ tích phân.
 Ví dụ. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol y = 2 - x2 và đường thẳng y = - x. 
 Ví dụ. Tính thể tích vật thể tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi trục hoành và parabol y = x(4 - x) quay quanh trục hoành.
IV. Số phức
1. Dạng đại số của số phức. Biểu diễn hình học của số phức. Các phép tính cộng, trừ, nhân, chia số phức.
Về kiến thức :
- Biết dạng đại số của số phức.
- Biết cách biểu diễn hình học của số phức, môđun của số phức, số phức liên hợp.
Về kỹ năng:
 Thực hiện được các phép tính cộng, trừ, nhân, chia số phức.
 Ví dụ. Tính:
 a) 5 + 2i - 3(-7 + 6i) 
 b) (2 -i)(+ i)
 c) (1 +i)2
 d) .
2. Căn bậc hai của số phức. Giải phương trình bậc hai với hệ số phức.
Về kiến thức :
- Biết khái niệm căn bậc hai của số phức.
- Biết công thức tính nghiệm của phương trình bậc hai với hệ số phức.
Về kỹ năng:
- Biết cách tính căn bậc hai của số phức.
- Giải được phương trình bậc hai với hệ số phức.
 Ví dụ. Tính căn bậc hai của các số phức 3 + 4i, 5 - 12i. 
 Ví dụ. Giải các phương trình (trong tập số phức):
a) x2 + x + 1 = 0
b) x2 - 3x + 4 - 6i = 0
c) 2x2 + ix - 4 - 2i = 0
3. Dạng lượng giác của số phức và ứng dụng.
Về kiến thức :
- Biết dạng lượng giác của số phức.
- Biết công thức Moa-vrơ và ứng dụng.
Về kỹ năng:
- Biết cách nhân, chia các số phức dưới dạng lượng giác.
- Biết cách biểu diễn cos3α, sinn4a,... qua cosα và sinα.
 Ví dụ. Viết số 1 + i dưới dạng lượng giác rồi tính (1 + i)15.
V. Khối đa diện
1. Khái niệm về khối đa diện. Khối lăng trụ, khối chóp, khối đa diện. Phân chia và lắp ghép các khối đa diện. 
Về kiến thức :
 - Biết khái niệm khối đa diện. 
 - Biết khái niệm khối lăng trụ, khối chóp, khối chóp cụt, khối đa diện.
2. Giới thiệu khối đa diện đều. 
Về kiến thức :
- Biết khái niệm khối đa diện đều.
- Biết 5 loại khối đa diện đều.
3. Khái niệm về thể tích khối đa diện. Thể tích khối hộp chữ nhật. Công thức thể tích khối lăng trụ và khối chóp. 
 Về kiến thức :
- Biết khái niệm về thể tích khối đa diện. 
 - Biết các công thức tính thể tích các khối lăng trụ và khối chóp.
Về kỹ năng :
Tính được thể tích khối lăng trụ và khối chóp.
Ví dụ. Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, góc SAC bằng 45°. Tính thể tích hình chóp S.ABCD.
Ví dụ : Cho khối hộp MNPQM'N'P có thể tích V. Tính thể tích của khối tứ diện P'MNP theo V.
Ví dụ. Trên cạnh PQ của tứ diện MNPQ lấy điểm I sao cho . Tỉ số thể tích của hai khối tứ diện MNIQ và MNIP.
VI. Mặt cầu, mặt trụ, mặt nón
1. Mặt cầu.
Giao của mặt cầu và mặt phẳng. Mặt phẳng kính, đường tròn lớn. Mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu.
Giao của mặt cầu với đường thẳng.
Tiếp tuyến của mặt cầu.
Công thức tính diện tích mặt cầu.
Về kiến thức :
- Hiểu các khái niệm mặt cầu, mặt phẳng kính, đường tròn lớn, mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu, tiếp tuyến của mặt cầu. 
- Biết công thức tính diện tích mặt cầu. 
Về kỹ năng:
 Tính được diện tích mặt cầu, thể tích khối cầu.
 Ví dụ. Một mặt cầu bán kính R đi qua 8 đỉnh của hình lập phương ABCD.A'B'C'D'.
a) Tính cạnh của hình lập phương đó theo R.
b) Mặt phẳng kính chứa cạnh AB cắt hình lập phương theo một thiết diện. Tính thiết diện tạo thành.
Ví dụ. Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, góc SAC bằng 600. Xác định tâm và bán kính mặt cầu đi qua các đỉnh của hình chóp S.ABCD.
Ví dụ. Cho hình lăng trụ tam giác đều có tất cả các cạnh đều bằng a. Tính diện tích của mặt cầu đi qua 6 đỉnh của hình lăng trụ. 
2. Khái niệm về mặt tròn xoay.
Về kiến thức:
 Biết khái niệm mặt tròn xoay.
3. Mặt nón. Giao của mặt nón với mặt phẳng. Diện tích xung quanh của hình nón. 
Về kiến thức :
 Biết khái niệm mặt nón và công thức tính diện tích xung quanh của hình nón.
Về kỹ năng:
 Tính được diện tích xung quanh của hình nón.
 Ví dụ. Cho một hình nón có đường cao bằng 12cm, bán kính đáy bằng 16cm. Tính diện tích xung quanh của hình nón đó. 
Ví dụ. Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, góc SAB bằng 300. Tính diện tích xung quanh của hình nón đỉnh O, đáy là đường tròn ngoại tiếp ABCD. 
4. Mặt trụ. Giao của mặt trụ với mặt phẳng. Diện tích xung quanh của hình trụ. 
Về kiến thức :
 Biết khái niệm mặt trụ và công thức tính diện tích xung quanh của hình trụ.
Về kỹ năng :
 Tính được diện tích xung quanh của hình trụ.
Ví dụ. Cắt khối trụ bằng một mặt phẳng qua trục của khối trụ được một hình vuông cạnh a. Tính diện tích xung quanh của khối trụ đó. 
VII. Phương pháp toạ độ trong không gian 
1. Hệ toạ độ trong không gian. 
 Toạ độ của một vectơ. Biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ. Toạ độ của điểm. Khoảng cách giữa hai điểm. Phương trình mặt cầu.
Về kiến thức :
- Biết các khái niệm hệ toạ độ trong không gian, toạ độ của một vectơ, toạ độ của điểm, biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ, khoảng cách giữa hai điểm.
- Biết khái niệm và một số ứng dụng của tích vectơ (tích có hướng của hai vectơ).
- Biết phương trình mặt cầu. 
Về kỹ năng:
- Tính được toạ độ của tổng, hiệu, tích vectơ với một số; tính được tích vô hướng của hai vectơ.
- Tính được tích có hướng của hai vectơ. Tính được diện tích hình bình hành, thể tích khối hộp bằng cách dùng tích có hướng của hai vectơ.
- Tính được khoảng cách giữa hai điểm có toạ độ cho trước.
- Xác định được toạ độ tâm và bán kính của mặt cầu có phương trình cho trước.
- Viết được phương trình mặt cầu.
 Ví dụ. Cho ba vectơ = ( 1; -2; 4), = ( -5, 2; 3), = ( -1; 1; 2).
a)Tính toạ độ của vectơ = 2 + 3-.
b) Tính .. 
Ví dụ. Cho và . Xác định vectơ sao cho và .
Ví dụ. Trong không gian Oxyz cho hình hộp ABCD.A'B'C'D', biết A(-1; 1; 2), B(1; 0; 1), D(-1; 1; 0), A'(2; -1; -2).
a) Tính diện tích đáy ABCD.
b) Tính thể tích của hình hộp. 
c) Tính độ dài đường cao của hình hộp xuất phát từ đỉnh A'.
Ví dụ. Xác định toạ độ tâm và bán kính của các mặt cầu có phương trình sau đây:
 a) x2 + y2 + z2 - 8x + 2y + 1 = 0
 b) x2 + y2 + z2 + 4x + 8y - 2z - 4 = 0
 Ví dụ. Viết phương trình mặt cầu:
 a) Có đường kính là đoạn thẳng AB với A(1; 2; -3) và B(- 2; 3; 5). 
 b) Đi qua bốn điểm O(0; 0; 0), A(2; 2; 3), B(1; 2; - 4), C(1; - 3; - 1). 
2. Phương trình mặt phẳng. 
Véctơ pháp tuyến của mặt phẳng. Phương trình tổng quát của mặt phẳng. Điều kiện để hai mặt phẳng song song, vuông góc. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng. 
Về kiến thức :
- Hiểu khái niệm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng. 
- Biết phương trình tổng quát của mặt phẳng, điều kiện vuông góc hoặc song song của hai mặt phẳng, công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.
Về kỹ năng:
- Xác định được vectơ pháp tuyến của mặt phẳng.
- Biết cách viết phương trình mặt phẳng và tính được khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.
Ví dụ. Viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm A(- 1; 2; 3), B(2; - 4; 3), C(4; 5; 6).
 Ví dụ. Viết phương trình mặt phẳng đi qua hai điểm A(3; 1; - 1), B(2; - 1; 4) và vuông góc với mặt phẳng 2x - y + 3z - 1 = 0.
 Ví dụ. Tính khoảng cách từ điểm A(3; - 4; 5) đến mặt phẳng x + 5y - z + 7 = 0.
3. Phương trình đường thẳng. 
 Phương trình tham số của đường thẳng. Điều kiện để hai đường thẳng chéo nhau, cắt nhau, song song hoặc vuông góc với nhau. 
Về kiến thức :
 Biết phương trình tham số của đường thẳng, điều kiện để hai đường thẳng chéo nhau, cắt nhau, song song hoặc vuông góc với nhau. 
Về kỹ năng:
 - Biết cách viết phương trình tham số của đường thẳng.
- Biết cách sử dụng phương trình của hai đường thẳng để xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng đó.
 Có thể giới thiệu phương trình chính tắc của đường thẳng nhưng không tách thành một mục riêng. Sử dụng thuật ngữ "phương trình chính tắc của đường thẳng" khi cả ba toạ độ của vectơ chỉ phương đều khác 0.
 Ví dụ. Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua hai điểm A(4; 1; - 2), B(2; - 1; 9).
 Ví dụ. Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm A(3; 2; - 1) và song song với đường thẳng . 
 Ví dụ. Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng:
 d1: 
 d2: