Chương trình dạy thêm Hình học 8 - Chủ đề: Hình chóp tam giác đều, tứ giác đều. Tính diện tích xung quanh, thể tích

HH8 C10 B1: HÌNH CHÓP TAM GIÁC ĐỀU, TỨ GIÁC ĐỀU
TÍNH DIỆN TÍCH XUNG QUANH, THỂ TÍCH
I. TÓM TẮT LÍ THYẾT
A. Hình chóp tam giác đều
1. Các yếu tố của hình chóp tam giác đều
- Hình chóp tam giác đều có đáy là một tam giác đều, các mặt bên là các tam giác cân bằng nhau, chung một đỉnh. ĐỈnh chung này được gọi là đỉnh của chóp đều.
- Đoạn thẳng nối từ đỉnh của hình chóp và trọng tâm của tam giác được gọi là đường cao của hình chóp tam giác đều.
- Đường cao vẽ từ đỉnh của mỗi mặt bên gọi là trung đoạn của hình chóp tam giác đều.
+ Hình chóp tam giác đều như hình vẽ bên có 4 mặt, 6 cạnh.
+ Hình chóp tam giác đều 
+ Mặt đáy là một tam giác đều
+ Các mặt bên là những tam giác cân tại 
+ Các cạnh đáy bằng nhau.
+ Các cạnh bên bằng nhau
+ gọi là đỉnh của hình chóp tam giác đều 
+ là đường cao của hình chóp tam giác đều 
+ là một trung đoạn của hình chóp tam giác đều 
2. Diện tích xung quanh của hình chóp tam giác đều
Diện tích xung quanh của hình chóp tam giác đều bằng nửa tích chi vi đáy với độ dài trung đoạn.
Công thức tổng quát: trong đó
+ : Diện tích xung quanh của hình chóp tam giác đều
+ : nửa chu vi đáy
+ độ dài trung đoạn của hình chóp tam giác đều
3. Thể tích của hình chóp tam giác đều
Thể tích của hình chóp tam giác đều bằng một phần ba tích của diện tích đáy với chiều cao.
Công thức tổng quát: Trong đó
+ : Thể tích hình chóp tam giác đều.
+ : Diện tích đáy.
+ : Chiều cao của hình chóp tam giác đều.
II. Hình chóp tứ giác đều
1. Các yếu tố của hình chóp tứ giác đều
+ Hình chóp tứ giác đều (như hình vẽ bên)
+ Hình chóp tứ giác có 5 mặt, 8 cạnh
+ Mặt đáy là hình vuông
+ Các mặt bên là những tam giác cân tại .
+ Các cạnh đáy bằng nhau
+ Các cạnh bên bằng nhau
+ gọi là đỉnh của hình chóp tứ giác đều 
+ là một trung đoạn của hình chóp tứ giác đều .
2. Diện tích xung quanh của hình chóp tứ giác đều
- Diện tích xung quanh của hình chóp tứ giác đều bằng nửa tích chu vi đáy với độ dài trung đoạn.
- Công thức tổng quát: trong đó
+ : Diện tích xung quanh của hình chóp tứ giác đều
+ : nửa chu vi đáy
+ độ dài trung đoạn của hình chóp tứ giác đều
3. Thể tích hình chóp tứ giác đều
- Thể tích của hình chóp tứ giác đều bằng một phần ba tích của diện tích đáy với chiều cao.
- Công thức tổng quát: Trong đó
+ : Thể tích hình chóp tứ giác đều.
+ : Diện tích đáy.
+ : Chiều cao của hình chóp tứ giác đều.
- Công thức tính diện tích tam giác đều cạnh 
II. CÁC DẠNG BÀI
Dạng 1: Nhận biết các yếu tố của hình chóp tam giác đều. Tính diện tích xung quanh, thể tích của hình chóp tam giác đều.
I. Phương pháp giải
+ Sử dụng công thức tính diện tích xung quanh của hình chóp tam giác đều
+ Sử dụng công thức tính thể tích của hình chóp tam giác đều
II. Bài toán
Bài 1: 
a) Hình chóp tam giác đều có bao nhiêu đỉnh?
b) Hình chóp tam giác đều có bao nhiêu cạnh?
c) Hình chóp tam giác đều có bao nhiêu mặt?
Lời giải
a) 4. 	b) 6	c) 4.
Bài 2: Cho hình chóp tam giác đều có đường cao .
a) Nêu tên các đỉnh, các cạnh của hình chóp tam giác đều 
b) Nêu tên các mặt bên; mặt đáy của hình chóp tam giác đều 
c) Nêu các trung đoạn của hình chóp tam giác đều 
Lời giải
a) Các đỉnh: 
b) Các cạnh: 
c) Các mặt bên: 
Mặt đáy: 
d) Các trung đoạn: 
Bài 3: Hình ảnh bên là khối có bốn mặt, các mặt bên, mặt đáy là tam giác đều.
a) Khối có dạng như hình bên thường được gọi là hình gì?
b) Cho biết số mặt, cố cạnh, số đỉnh của hình khối bên?
c) Hình vẽ bên là hình ảnh một chiếc - 4 mặt, mỗi mặt đều được ghép bởi những tam giác đều nhỏ bằng nhau. Hãy cho biết có bao nhiêu tam giác đều có trên một mặt của chiếc này? 
Lời giải
a) Khối có dạng như hình bên thường được gọi là hình chóp tam giác đều.
b) Số mặt là 4, số cạnh là 6, số đỉnh là 1.
c) Có 13 tam giác đều có trên mặt của một chiếc này.
Bài 4: Cho hình chóp tam giác đều có cạnh bên cm và cạnh đáy cm. Hãy cho biết:
a) Độ dài các cạnh bên và cạnh đáy còn lại của hình chóp tam giác đều 
b) Số đo mỗi góc của mặt đáy
c) Chu vi đáy là bao nhiêu.
Lời giải
a) Vì các cạnh bên của hình chóp đều bằng nhau nên cm.
Hình chóp tam giác đều có đáy là tam giác đều nên các cạnh đáy bằng nhau. Do đó
cm
b) Hình chóp tam giác đều có đáy là tam giác đều nên các góc của đáy bằng nhau và bằng 
c) Chu vi của đáy là: cm
Bài 5: Một giỏ hoa gỗ mini có dạng hình chóp tam giác đều có độ dài cạnh đáy là 10 cm và độ dài trung đoạn bằng 20 cm.
a) Tính chu vi đáy của hình chóp
b) Tính diện tích xung quanh của giõ hoa gỗ mini đó
Lời giải
a) Chu vi đáy của hình chóp tam giác đều là: (cm)
b) Nửa chu vi đáy là: (cm)
Diện tích xùng quanh của giỏ hoa gỗ mini là: ()
Bài 6: 
a) Một khối chóp inox đặt trên đỉnh núi Fansipan (Việt Nam) có dạng hình chóp tam giác đều với diện tích đáy khoảng và chiều cao khoảng cm. Tính thể tích của chóp inox trên đỉnh núi Fansipan.
b) Cho hình chóp tam giác đều có độ dài cạnh đáy là cm, chiều cao của hình chóp là cm. Tính thể tích của hình chóp/
Lời giải
a) Thể tích của chóp inox trên đỉnh núi Fansipan (Việt Nam) là:
 ()
b) Cạnh của tam giác đáy là cm.
Diện tích đáy của tam giác đều là: ()
Thể tích của hình chóp là: ()
Bài 7: 
a) Một khối Rubik có dạng hình chóp tam giác đều. Biết chiều cao của khối Rubik là cm, thể tích của khối Rubik là . Tính diện tích đáy của khối Rubik
b) Một hối hình chóp tam giác đều có thể tích là , diện tích đáy là . Tính chiều cao của hình chóp tam giác đều đó
Lời giải
a) Ta có Suy ra 
Diện tích đáy của khối Rubik là: 
b) Ta có: Suy ra 
Chiều cao của hình chóp tam giác đều đó là: (cm)
Bài 8: Cho hình chóp tam giác đều với các kích thước như hình vẽ sau:
a) Cho biết độ dài trung đoạn của hình chóp 
b) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần ( tức tổng diện tích các mặt) của hình chóp 
c) Tính thể tích của hình chóp biết chiều cao của hình chóp khoảng cm.
Lời giải
a) Độ dài trung đoạn của hình chóp là: cm
b) Diện tích xung quanh của hình chóp là: 
Tổng diện tích các mặt của hình chóp là: 
c) Thể tích của hình chóp tam giác đều là: 
Bài 9: Cho hình chóp tam giác đều có đường cao cm, đường cao trong tam giác bằng 3 cm.
a) Tính cạnh của tam giác 
b) Tính tổng diện tích các mặt của hình chóp 
c) Tính thể tích của hình chóp 
Lời giải:
a) Gọi là trung điểm của 
Vì là trọng tâm của nên 
 vuông tại nên theo định lí Pythagore ta có 
b) vuông tại nên theo định lí Pythagore ta có:
Diện tích của đáy là: 
Diện tích xung quanh của hình chóp là: 
Tổng diện tích các mặt của hình chóp là: 
c) Thể tích của hình chóp là: 
Bài 10: Cho hình chóp đều , đáy là tam giác đều có cạnh bằng cm. Gọi là tâm của đường tròn ngoại tiếp .
a) Chứng minh 
b) Tính thể tích của hình chóp, biết 
Lời giải
a) Chứng minh 
Xét đều có là tâm đường tròn ngoại tiếp .
Ta có: ( do là hình chóp đều).
Xét và có: (c-c-c)
 (hai góc tương ứng) 
Tương tự chứng minh được (c-c-c)
 (hai góc tương ứng) 
Từ và ta có 
b) Tính thể tích của hình chóp, biết 
Gọi là trung điểm của 
Xét đều có là trung điểm của 
ÁP dụng định lí Pyhtagore vào vuông tại có:
 (Do cm)
cm
Ta có cm
Xét vuông tại ta có suy ra vuông tân tại cm
Thể tích của hình chóp là: 
BÀI TẬP TỰ LUYỆN DẠNG 1
Bài 1: Cho hình chóp tam giác đều như hình vẽ. Hãy điền vào chỗ trống () các ý sao cho đủ nghĩa
a) Tên mặt đáy là., đáy là hình.
b) gọi làcủa hình chóp tam giác đều.
c) Tên các mặt bên:.
Các mặt bên là hình.bằng nhau
d) gọi làcủa hình chóp tam giác đều
Các đoạn 
Lời giải:
a) Tên mặt đáy là , đáy là hình tam giác đều
b) gọi là đỉnh của hình chóp tam giác đều.
c) Tên các mặt bên: 
Các mặt bên là hình tam giác cân bằng nhau 
d) gọi là cạnh bên của hình chóp tam giác đều 
Các đoạn bằng nhau
Bài 2: Cho hình chóp tam giác đều như hình vẽ. Hãy điền vào chỗ trống () các ý cho đủ nghĩa
a) Chiều cao của hình chóp tam giác đều là đoạn..
b) Trung đoạn của hình chóp tam giác đều là đoạn.
c) Công thức tổng quát diện tích xung quanh của hình chóp tam giác đều là.
d) Công thức tổng quát thể tích của hình chóp tam giác đều là..
Lời giải:
a) Chiều cao của hình chóp tam giác đều là đoạn 
b) Trung đoạn của hình chóp tam giác đều là đoạn 
c) Công thức tổng quát diện tích xung quanh của hình chóp tam giác đều là 
d) Công thức tổng quát thể tích của hình chóp tam giác đều là 
Bài 3: Cho hình chóp đều có đường cao 
a) Xác định vị trí chân đường cao của hình chóp
b) Kể tên đỉnh của hình chóp
c) Kể tên các cạnh bên
d) Kể tên mặt đáy và các mặt bên của hình chóp
Lời giải:
a) Ta có lần lượt là hình chiếu vuông góc của lên . Mà nên là tâm đường tròn ngoại tiếp 
b) Đỉnh cảu hình chóp: 
c) Các cạnh bên: 
d) Mặt đáy: . Mặt bên: 
Bài 4: Cho hình chóp đều có cạnh đáy bằng cm, cạnh bên bằng cm
a) Tính chiều cao của hình chóp đều
b) Tính diện tích của một mặt bên
Lời giải:
a) Gọi là tâm là đường cao của hình chóp là tam giác đều
 (cm)
 vuông tại (cm)
b) Gọi là trung điểm của (cm)
 vuông tại (cm)
 ()
Bài 5:
a) Một chiếc đèn thả trần có dạng hình chóp tam giác đều có tất cả các cạnh đều khoảng 20 cm. Độ dài trung đoạn khoảng 17,32 cm. Tính diện tích xung quanh cảu chiếc đàn thả trần đó.
b) Cho hình chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng 4cm và chiều cao tam giác đáy là 3,5cm, trung đoạn bằng 5cm. Tính diện tích xung quang và tổng diện tíc các mặt của hình chóp
Lời giải:
a) Nửa chu vi đáy của chiếc đèn thả trần là: (cm)
Diện dích xung quanh của chiếc đèn thả trần đó là: 
b) Diện tích xung quanh của hình chóp là: 
Tổng diện tích các mặt của hình chóp là: 
Bài 6: Cho hình chóp tam giác đều có , chiều cao , là trung điểm của 
a) Tính b) Tính thể tích hình chóp
Lời giải:
a) Tính 
Xét đều có là trung điểm của 
Áp dụng định lý Pythagore vào vuông tại có:
 ( do (cm))
b) Tính thể tích hình chóp
Ta có: 
Thể tích hình chóp là: 
Bài 7: Cho hình chóp tam giác đều có các mặt bên cũng là các tam giác đều. Gọi là đường cao của hình chóp đều, biết . Tính độ dài cạnh của hình chóp
Lời giải:
Vì là hình chóp tam giác đều, có các mặt bên là tam giác đều
Gọi là giáo điểm của 
là chiều cao của hình chóp đều là trọng tâm 
, là trung điểm của 
Ta có: 
Vì đều, là trung điểm của vuông tại 
Bài 8: Cho hình chóp tam giác đều có chiều cao bằng và thể tích bằng 
a) Độ dài đáy của hình chóp là bao nhiêu?
b) Tính diện tích xung quanh của hình chóp
c) Tính tổng diện tích các mặt của hình chóp
Lời giải:
a) Ta có: 
Gọi độ dài cạnh đáy là thì diện tích đáy là:
b) Vì nên 
Vậy là tâm của tam giác đều 
Vì đều nên: 
Trong vuông tại , theo định lý Pythagore ta có: 
Diện tích xung quanh hình chóp: 
c) Diện tích đáy tam giác đều : 
Tổng diện tích các mặt của hình chóp: 
Bài 9: Cho hình chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng a và chiều cao là 2a
a) Tính độ dài trung đoạn của hình chóp theo a
b) Tính tổng diện tích các mặt của hình chóp theo a
Lời giải:
a) Xét hình chóp có: và 
Gọi là trung điểm của thì vừa là đường trung tuyến , vừa là đường cao, vừa là đường phân giác của tam giác đều nên và 
Áp dụng định lý Pythagore vào tam giác vuông vuông tại ta được:
Do đó 
Áp dụng định lý Pythagore vào tam giác vuông vuông tại , ta có:
b)Ta có: 
Tổng diện tích các mặt của hình chóp là: 
Bài 10: Cho hình chóp , chân đường cao hạ từ xuống mặt phẳng trùng với điểm ( là giao điểm ba đường trung trực )
a) Chứng minh: 
b) Trong trường hợp là tam giác đều có cạnh là và thì diện tích xung quang, tổng diện tích các mặt của hình chóp là bao nhiêu? (làm tròn hai chữ số thập phân)
Lời giải:
a) Chứng minh được các tam giác vuông bằng nhau (c.g.c)
b) Tam giác đều là hình chóp đều, các mặt bên là các tam giác cân bằng nhau: (SH là đường cao của tam giác SBC)
(: là cạnh đều, tính theo dựa váo định lý Pythagore trong tam giác vuông )
Do 
Tam giác vuông SOH , theo định lý Pythagore ta có:
Tổng diện tích các mặt của hình chóp là .