Chương trình luyện thi học sinh giỏi THCS

1
Câu 1: (2 điểm) Phân tích thành nhân tử
a(x2 + 1) – x(a2 + 1)
x – 1 + xn + 3 – xn 
HD:
a). a(x2 + 1) – x(a2 + 1) = ax2 – a2x + a – x = ax(x – a) – (x – a) = (x – a)(ax – 1).
b). x – 1 + xn(x3 – 1) = (x – 1)[1 + xn(x2 + x + 1)] = (x – 1)(xn+2 + xn+1 + 1).


Câu 2: (1,5 điểm) Thực hiện phép tính: 
HD:
+ Điều kiện xác định: ().
+


Câu 3: (1,5 điểm) Rút gọn biểu thức: 
HD:
+ Điều kiện xác định: ().
+ Xét 4 trường hợp:



Câu 4: (1,5 điểm) 
 Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức có giá trị nguyên.
HD:
+ M có nghĩa khi x2 
 


Câu 5: (3,5 điểm)
Cho hình vuông ABCD. Trên tia đối của tia BA lấy điểm E, trên tia đối của tia CB lấy điểm F sao cho AE = CF.
a)Chứng minh rằng tam giác EDF vuông cân.
b)Gọi O là giao điểm hai đường chéo AC và BD; I là trung điểm của EF; Chứng minh rằng ba điểm O, C, I thẳng hàng.
HD:


2
Câu 1: 
Cho đa thức : P(x) = 2x4 – 7x3 – 2x2 + 13x + 6
a)Phân tích P(x) thành nhân tử.
b)Chứng minh rằng P(x) chia hết cho 6 với mọi x Z.
HD:
a). P(x) = 2x4 – 7x3 – 2x2 + 13x + 6 = 2x4 – 6x3 – x3 + 3x2 – 5x2 + 15x – 2x + 6
= (x – 3)(2x3 – x2 – 5x – 2) = (x – 3)(2x3 – 4x2 + 3x2 – 6x +x – 2)
=(x – 3)(x – 2)(2x2 + 3x + 1) = (x – 3)(x – 2)(x + 1)(2x + 1).
b). P(x) = (x – 3)(x – 2)(x + 1)(2x + 1) = (x – 3)(x – 2)(x + 1)(2x – 2 + 3) 
= 2(x – 3)(x – 2)(x + 1)(x – 1) + 3(x – 3)(x – 2)(x + 1) (Đfcm).


Câu 2:
 Cho hình bình hành ABCD (AC > BD). Vẽ CE AB, CF AD.
 Chứng minh rằng AB.AE + AD.AF = AC2 


Câu 3: Cho phân thức 
a)Rút gọn phân thức.
b)Xác định giá trị của x để phân thức có giá trị nhỏ nhất.


Câu 4: 
Cho tam giác vuông ABC, cạnh huyền BC = 289 cm và đường cao AH = 120 cm. Tính hai cạnh AB và AC.


Câu 5: Cho 3 số dương a, b, c.
Chứng minh rằng: 


Câu 6: Cho 3 số dương a, b, c.
Giải phương trình: 

3
Câu 1: Giải phương trình: (3x – 1)(x + 1) = 2(9x2 – 6x + 1)


Câu 2: Giải bất phương trình: 


Câu 3: Tính giá trị của biểu thức: 
 Biết 10a2 – 3b2 + 5ab = 0 và 9a2 – b2 0.


Câu 4: Cho biểu thức: 
a)Tìm điều kiện xác định của P.
b)Rút gọn P.
c)Với giá trị nào của x thì biểu thức P có giá trị bằng 2.


Câu 5: Cho hình bình hành ABCD (BC//AD) có góc ABC = góc ACD.
 Biết BC = 12m, AD = 27m, tính độ dài đường chéo AC.


Câu 6: 
Cho tam giác ABC, M là trung điểm cạnh BC. Từ một điểm E trên cạnh BC ta kẻ đường thẳng Ex // AM. Ex cắt tia CA ở F và tia BA ở G. 
Chứng minh EF + EG = 2AM.

4
Câu 1:Rút gọn biểu thức: 


Câu 2: Cho biểu thức 
a)Tìm a để B có nghĩa.
b)Rút gọn biểu thức B.


Câu 3:
1) Giải bất phương trình: (x – 2)(x + 1) < 0.
2) Giải phương trình: 


Câu 4: Cho biểu thức: A = x2 + 6x + 15
a)Chứng minh rằng A luôn dương với mọi x.
b)Với giá trị nào của x thì A có giá trị nhỏ nhất hay lớn nhất, tìm giá trị nhỏ nhất hay lớn nhất đó.


Câu 5: Cho tứ giác ABCD, gọi M, N là trung điểm hai cạnh đối diện BC và AD. Cho . Chứng minh rằng ABCD là hình thang.


Câu 6: Cho hình bình hành ABCD, trên đường chéo AC lấy một điểm I. Tia DI cắt đường thẳng AB tại M, cắt đường thẳng BC tại N.
Chứng minh a) ; b) ID2 = IM.IN.

5
Câu 1: Cho a, b, c là số đo ba cạnh của một tam giác, chứng minh rằng:
a2b + b2c + c2a +ca2 + bc2 + ab2 – a3 – b3 – c3 > 0.


Câu 2: 
Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của biểu thức: 



Câu 3: Giải phương trình: 


Câu 4: Cho hình thoi ABCD có góc B tù. Kẻ BM và BN lần lượt vuông góc với cạnh AD và CD tại M và N. Tính các góc của hình thoi ABCD biết rằng 2MN = BD.

6
Câu 1: Cho a – b = 7. 
Tính giá trị của biểu thức: a2(a + 1) – b2(b – 1) + ab – 3ab(a – b + 1)


Câu 2: Thực hiện phép tính bằng cách nhanh nhất: 


Câu 3: Cho biểu thức B = 
a)Tìm x để B có nghĩa.
b)Rút gọn B.


Câu 4: Giải phương trình: (x – 2)(x + 2)(x2 – 10) = 72.


Câu 5: Cho hình thang ABCD có độ dài hai đáy là AB = 5 m, CD = 15 cm, độ dài hai đường chéo là AC = 16 cm, BD = 12 cm. Từ A vẽ đường thẳng song song với BD cắt CD tại E.
Chứng minh ACE là tam giác vuông tại A.
Tính diện tích hình thang ABCD.


Câu 6: Cho tam giác ABC, đường phân giác trong của góc C cắt cạnh AB tại D. 
Chứng minh rằng: CD2 < CA.CB

7
Câu 1:Cho a, b là hai số nguyên. Chứng minh rằng:
Nếu a chia cho 13 dư 2 và b chia cho 13 dư 3 thì : a2 + b2 chia hết cho 13.


Câu 2: Cho a, b là các số thực tuỳ ý. 
Chứng minh rằng: 10a2 + 5b2 + 12ab + 4a – 6b + 13 0. Đẳng thức xảy ra khi nào?


Câu 3: ở bên ngoài của hình bình hành ABCD, vẽ hai hình vuông ABEF và ADGH.
Chứng minh:
1) AC = FH và AC vuông góc với FH.
2) Tam giác CEG vuông cân.


Câu 4: Cho đa thức: P(x) = x4 + 2x3 – 13x2 – 14x + 24 (Với x nguyên)
1)Phân tích đa thức P(x) thành nhân tử.
2)Chứng minh rằng P(x) chia hết cho 6.


Câu 5: Cho tam giác ABC, BD và CE là hai đường cao của tam giác ABC. DF và EG là hai đường cao của tam giác ADE. Chứng minh rằng:
1)Hai tam giác ADE và ABC đồng dạng.
2)Chứng minh: FG//BC.


Câu 6:
1)Chứng minh rằng phương trình x4 – x3 – x – 1 = 0 chỉ có hai nghiệm.
2)Giải và biện luận phương trình: m2x + 1 = x + m (m là tham số)

8
Câu 1: Cho phân thức: 
Tìm điều kiện của x để A có nghĩa.
Rút gọn A.
Tính x để A < 1.


Câu 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của phân thức: 


Câu 3: Giải phương trình: 


Câu 4: Cho hình bình hành ABCD với đường chéo AC > BD. Gọi E, F lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ C đến các đường thẳng AB và AD; Gọi G là chân đường vuông góc kẻ từ B đến AC,
1) Chứng minh tam giác CBG đồng dạng với tam giác ACF.
2) Chứng minh AB.AE + AD.AF = AC2.
Bài tập tương tự:
1)Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn, hai đường cao BD và CE cắt nhau tại H. Chứng minh rằng BH.BD = CH.CE = BC2.
2)Cho tam giác ABC vẽ phân giác AD. 
Chứng minh : AD2 = AB.AC + BD.DC.
3)Cho tam giác ABC có: BC = a, AC = b, AB = c.
Chứng minh rằng 
4)Cho tam giác ABC. Biết đường phân giác ngoài của góc A cắt cạnh BC kéo dài tại E. Chứng minh rằng: AE2 = EB.EC + AB.AC.

9
Câu 1: Cho đa thức: P(x) = x4 – 3x3 + 5x2 – 9x + 6.
1)Trong trường hợp x là số nguyên dương. Chứng minh rằng P(x) chia hết cho 6.
2)Giải phương trình P(x) = 0.

9
Câu 2:Cho tứ giác ABCD có chu vi là 2p và M là một điểm ở trong tứ giác.
Chứng minh: 1) p < AC + BD < 2p;
 2) p < MA + MB + MC + MD < 3p. 

9
Câu 3: Cho a + b + c = 1, và a2 + b2 + c2 = 1.
Nếu . Chứng minh rằng: xy + yz + xz = 0.
Nếu a3 + b3 + c3 = 1. Tìm giá trị của a, b, c.

9
Câu 4: Cho tam giác ABC (AB < AC). Hai đường cao BD và CE cắt nhau tại H.
So sánh hai góc BAH và CAH.
So sánh hai đoạn thẳng BD và CE.
Chứng minh rằng hai tam giác ADE và ABC đồng dạng.

9
Câu 5: Giải phương trình: 

9
Câu 6: Giải phương trình: (Trong đó x là ẩn)

10
Câu 1: Giải phương trình: x4 + 2x3 – 4x2 – 5x – 6 = 0

10
Câu 2: Rút gọn biểu thức: 


10
Câu 3: 
Chứng tỏ rằng bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x: 

10
Câu 4: Tìm gái trị nhỏ nhất của biểu thức: 

10
Câu 5: Cho tam giác ABC vuông tai A (AC > AB), đường cao AH. Trong nửa mặt phẳng bờ AH có chứa điểm C vẽ hình vuông AHKE.
1)Chứng minh rằng .
2)Gọi P là giao điểm của AC và KE. Chứng minh rằng tam giác ABP vuông cân.
3)Gọi Q là đỉnh thứ tư của hình bình hành APQB và I là giao điểm của BP và AQ. Chứng minh ba điểm H, I, E thẳng hàng.
4)Chứng minh rằng HE // QK.

11
Câu 1: (3đ)
Chứng minh biểu thức P = không phụ thuộc vào biến x


11
Câu 2: (2đ) Giải phương trình: x3 + 12 = 3x2 + 4x

11
Câu 3: (2đ) Giải phương trình: 

11
Câu 4: (5đ) Cho ba phân thức:

Trong đó x, y, z đôi một khác nhau.
Chứng minh rằng nếu: x + y + z = 0 thì: A.B.C = 1.

11
Câu 5: (4đ)
Cho hình thang ABCD có đáy lớn là CD. Qua A kẻ đường thẳng song song với BC cắt đường chéo BD tại M và cắt CD tại I. Qua B kẻ đường thẳng song song với AD cắt cạnh CD ở K. Qua K kẻ đường thẳng song song với BD cắt BC ở P. Chứng minh rằng: MP//CD.

11
Câu 6: (4đ)
Cho tam giác ABC. Gọi O là một điểm nằm trong tam giác. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng: OB, OC, AC, AB.
1)Chứng minh tứ giác MNPQ là hình bình hành.
2)Để tứ giác MNPQ là hình chữ nhật thì điểm O nằm trên đường đặc biệt nào của tam giác ABC? Giải thích vì sao?

12
Câu 1: Phân tích đa thức thành nhân tử: P(x) = 6x3 + 13x2 + 4x – 3. 

12
Câu 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = (x – 1)(x + 2)(x + 3)(x + 6).

12
Câu 3: Cho a + b + c = 0. Chứng minh rằng: a3 + b3 + c3 = 3abc.

12
Câu 4: Giải phương trình: (4x + 3)3 + (5 – 7x)3 + (3x – 8)3 = 0.

12
Câu 5: Cho a, b, c, là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:
 ab + bc + ac a2 + b2 + c2 < 2(ab + ac + bc)

12
Câu 6: Cho a, b, c, là độ dài ba cạnh của một tam giác. 
Chứng minh rằng nếu ( a + b + c)2 = 3(ab + ac + bc) thì tam giác đó là tam giác đều

12
Câu 7: Cho hình vuông ABCD. Trên cạnh BC lấy một điểm M tuỳ ý. Đường thẳng vuông góc với AM tại M cắt CD tại E và AB tạ F. Chứng minh AM = FE.

12
Câu 8: Trong tam giác ABC kẻ trung tuyến AM, K là một điểm trên AM sao cho AM = 3AK. Gọi N là giao điểm của BK và AC.
1)Tính diện tích tam giác AKN. Biết diện tích tam giác ABC là S.
2)Một đường thẳng qua K cắt các cạnh AB và AC lần lượt tại I và J.
 Chứng minh rằng:.

13
Câu 1: Phân tích đa thức thành nhân tử: (x2 + x)2 – 2(x2 + x) – 15 

13
Câu 2: Phân tích đa thức thành nhân tử: (a + b + c)3 – a3 – b3 – c3 .

13
Câu 3: Giải phương trình: 

13
Câu 4: 
Cho a, b, c, d là các số thực thoả mãn ab, c d. Chứng minh: ac + bd bc + ad.

13
Câu 5: 
Cho hình vuông ABCD; Điểm E thuộc cạnh CD, điểm F thuộc cạnh BC. Biết góc FAE = 450. Chứng minh chu vi tam giác CFE bằng nửa chu vi hình vuông ABCD.

13
Câu 6: Cho tam giác ABC, lấy một điểm O nằm trong tam giác. Các tia AO, BO, CO cắt BC, AC, AB lần lượt tại P, Q, R. Chứng minh rằng .

14
Câu 1: Cho ba số khác 0 thoả mãn 
Tính giá trị của biểu thức: (a23 + b23)(b5 + c5)(a1995 + c1995)

14
Câu 2:Xác định đa thức bậc ba sao cho khi chia đa thức ấy cho các nhị thức lần lượt là: (x – 1); (x – 2); (x – 3) đều có số dư là 6 và tại x = – 1 thì đa thức nhận giá trị là (– 18).

14
Câu 3: Cho hình vuông ABCD có độ dài cạnh bằng 1. Trên các cạnh AB, AD lần lượt lấy các điểm M, N sao cho chu vi của tam giác AMN bằng 2. Tính số đo của góc MCN?

15
Câu 1: Cho biểu thức: 
1)Tính giá trị của A khi .
2)Tính giá trị của A khi 10a2 + 5a = 3.

15
Câu 2: Giải phương trình : x4 + 2x3 + 5x2 + 4x – 12 = 0.

15
Câu 3:
Cho đoạn thẳng AB, gọi O là trung điểm của AB. Vẽ về một phía của AB các tia Ax, By vuông góc với AB. Lấy C trên tia Ax, D trên tia By sao cho góc COD = 900.
1) Chứng minh tam giác ACO và tam giác BDO đồng dạng.
2) Chứng minh : CD = AC + BD.
3) Kẻ OM vuông góc với CD tại M, gọi N là giao điểm của AD và BC.
 Chứng minh rằng MN//AC.

16
Câu 1: Xác định số tự nhiên n để giá trị của biểu thức: là số tự nhiên. 

16
Câu 2:
Cho n là số tự nhiên. Chứng minh rằng B = n3 + 6n2 – 19n – 24 chia hết cho 6.

16
Câu 3: Tính tổng 

16
Câu 4: Cho hình bình hành ABCD có đường chéo lớn AC. Tia Dx cắt AC, AB, CB lần lượt tại I, M, N. Vẽ CE vuông góc với AB, CF vuông góc với AD, BG vuông góc với AC. Gọi K là điểm đối xứng của D qua I. Chứng minh:
IM.IN = ID2.
.
AB.AE + AD.AF = AC2.

16
Câu 5:Giải phương trình : 

16
Câu 6: Tìm giá trị nguyên của x, y trong đẳng thức: 2x3 + xy = 7.

16
Câu 7: Cho 4 số dương a, b, c, d. Chứng minh:


16
Câu 8: Cho tam giác ABC có BC = a và đường cao AH = h. Từ một điểm M trên đường cao AH vẽ đường thẳng song song với BC cắt hai cạnh AB, AC lần lượt tại P và Q. Vẽ PS và QR vuông góc với BC.
1)Tính diện tích của tứ giác PQRS theo a, h, x (trong đó AM = x).
2)Xác định vị trí của điểm M trên AH để diện tích này lớn nhất.

17
Câu 1: (2đ) Phân tích đa thức thành nhân tử: x3 – 7x – 6

17
Câu 2: (6đ) 
Một trường tổ chức lần lượt cho các lớp trồng cây: Lớp thứ nhất trồng được 18 cây và thêm 1/11 số cây còn lại. Rồi đến lớp thứ hai trồng 36 cây và thêm 1/11 số cây còn lại. Tiếp theo lớp thứ ba trồng 54 cây và thêm 1/11 số cây còn lại. Cứ như thế các lớp trồng hết số cây và số cây trồng được của mỗi lớp bằng nhau. Hỏi trường đó đã tồng được bao nhiêu cây?

17
Câu 3: (4đ) 
Cho biểu thức: 
Hãy viết A dưới dạng tổng của một biểu thức nguyên và một phân thức với bậc của tử thấp hơn bậc của mẫu.

17
Câu 4: (4đ) Chứng minh rằng “Tổng độ dài ba trung tuyến của một tam giác thì lớn hơn chu vi và nhỏ hơn chu vi của chính tam giác ấy”.

17
Câu 5: (4đ)
Gọi O là một điểm nằm trong tứ giác lồi MNPQ. Giả sử bốn tam giác MON, NOP, POQ, QOM có diện tích bằng nhau.
1) MP cắt NO ở A. Chứng minh A là trung điểm của NP.
2) Chứng minh O nằm trên đường chepos NQ hoặc đường chéo MP của tứ giác MNPQ.

18
Câu 1: (4đ) 
Rút gọn biểu thức: A = 75(41993 + … + 42 + 5) + 25.

18
Câu 2: (3đ) 
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 

18
Câu 3: (3đ)
Chứng minh rằng nếu: abc = a + b + c và thì 

18
Câu 4: (3đ) Tìm các số nguyên dương n để: n1988 + n1987 + 1 là số nguyên tố.

18
Câu 5: (3đ)
Cho tam giác ABC có AB = 5cm, AC = 6cm, BC = 7cm. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, O là giao điểm của hai tia phân giác trong của tam giác ABC.
 Chứng minh rằng: GO//AC.

18
Câu 6: (5đ)
Cho hình vuông ABCD, trên cạnh BC lấy điểm M sao cho BC = 3BM, trên tia đối của tia CD lấy điểm N sao cho AD = 2CN. Gọi I là giao điểm của AM và BN.
Chứng minh rằng: 5 điểm A, B, I, C, D cùng cách đều một điểm.

19
Câu 1: Chứng minh rằng: 2130 + 3921 chia hết cho 45.

19
Câu 2: Cho a, b, c là ba số dương.
Chứng minh rằng: 

19
Câu 3: Chứng minh rằng nếu x + y + z = 0 thì: 2(x5 + y5 + z5) = 5xyz(x2 + y2 + z2)

19
Câu 4: Cho tam giác ABC, trung tuyến CM. Qua điểm Q trên AB kẻ đường thẳng d song song với DM. Đường thẳng d cắt BC tại R và cắt AC tại P. Chứng minh nếu QA.QB = QP.QR thì tam giác ABC vuông tại C.

19
Câu 5: Trên các cạnh AB, BC, AC của tam giác ABC cố định; Người ta lần lượt lấy các điểm M, N, P sao cho 
Tính diện tích tam giác MNP theo diện tích tam giác ABC và theo k.
Tính k sao cho diện tích tam giác MNP đạt giá trị nhỏ nhất.

20
Câu 1: Biết m + n + p = 0. Tính giá trị của biểu thức:


20
Câu 2: Cho tích của hai số tự nhiên bằng 19851986. Hỏi tổng của haio số đó có phải là bội của 1986 hay không?

20
Câu 3: Một người đi xe gắn máy từ A đến B cách nhau 200 km. Cùng lúc đó có một người đi xe gắn máy khác từ B đến A. Sau 5 giờ hai xe gặp nhau. Nếu sau khi đi được 1giờ 15 phút mà người đi từ A dừng lại 40 phút rồi mới đi tiếp thì phải sau 5 giờ 22 phút kể từ lúc khởi hành, hai người mới gặp nhau. Tính vận tốc cua mỗi người?

20
Câu 4: Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại O. Chứng minh rằng nếu các tam giác AOB, BOC, COD và DOA có chu vi bằng nhau thì tứ giác ABCD là hình thoi.

20
Câu 5: Cho tứ giác ABCD có hai dường chéo cắt nhau tại O. Kí hiệu S là diện tích. Cho SAOB = a2 (cm2) và SCOD = b2 (cm2) với a, b là hai số cho trước.
1)Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của SABCD ?
2) Giả sử SABCD bé nhất. Hãy tìm trên đường chéo BD một điểm M sao cho đường thẳng qua M song song với AB bị hai cạnh AD, BC và hai đường chéo AC, BD chia thành ba phần bằng nhau

21
Câu 1: Chứng minh rằng với x, y nguyên thì:
A = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y4 là một số chính phương.

21
Câu 2: Phân tích đa thức thanh nhân tử: (a – x)y3 – (a – y)x3 + (x – y)a3.

21
Câu 3: Giải phương trình: 

21
Câu 4: Giải phương trình: x4 + 2x3 + 8x2 + 10x + 15 = 0.

21
Câu 5: Cho tam giác ABC cân tại A (góc A nhọn); CD là đường phân giác của góc ACB (D thuộc cạnh AB). Qua D kẻ đường vuông góc với CD; đường này cắt đường thẳng BC tại E. Chứng minh: EC = 2BD. 

21
Câu 6: Cho tam giác ABC (AB = AC) có góc ở đỉnh bằng 200; cạnh đáy là a, cạnh bên là b. Chứng minh: a3 + b3 = 3ab2.

22
Câu 1:Giải phương trình: 

22
Câu 2: Giải phương trình: 

22
Câu 3: Cho biểu thức: 
Rút gọn A.
Chứng tỏ rằng A không âm với mọi giá tị của x.
Tìm giá trị nhỏ nhất của A.

22
Câu 4: Cho hình vuông ABCD có độ dài cạnh là a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của cạnh AB, BC. Các đường thẳng DN, CM cắt nhau tại I. Chứng minh:
Tam giác CIN vuông.
Tính diện tích tam giác CIN theo a.
Tam giác AID cân.

23
Câu 1: (3đ) Cho phân thức: 
1). Tìm các giá trị của x để M có nghĩa.
2). Tìm các giá trị của x để M = 0.
3). Rút gọn M.

23
Câu 2: (5đ) Tìm x để A có giá trị nhỏ nhất: 

23
Câu 3: (5đ) chứng minh rằng:

23
Câu 4: (7đ) Cho tứ giác ABCD có: AB//CD, AB < CD, AB = BC = AD, và BD vuông góc với BC.
1). Tứ giác ABCD là hình gì? Tại sao?
2). Tính các góc trong của tứ giác ABCD.
2). So sánh diện tích của tam giác ABD với diện tích của tứ giác ABCD.

24
Câu 1: Rút gọn rồi tính giá tị của biểu thức: 
Biết rằng a là nghiệm của phương tình: 

24
Câu 2: 
Tìm giá trị nhỏ nhất của B và giá trị tương ứng của x với:


24
Câu 3: Cho a + b + c = 1. Chứng minh rằng: 

24
Câu 4: Cho 4 điểm A, E, F, B theo thứ tự ấy trên một đường thẳng. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB vẽ các hình vuông ABCD; EFGH.
1). Gọi O là giao điểm của AG và BH. Chứng minh rằng các tam giác OHE và OBC đồng dạng.
2). Chứng minh rằng các đường thẳng CE và DF cùng đi qua O.

24
Câu 5: 
Cho các điểm E, F nằm trên các cạnh AB và BC của hình bình hành ABCD sao cho AF = CE. Gọi I là giao điểm của AF và CE.
Chứng minh rằng ID là phân giác của góc AIC. 

25
Câu 1: Tìm một số có hai chữ số mà bình phương của nó bằng lập phương của tổng các chữ số của nó.

25
Câu 2: Cho a, b, c là số đo ba cạnh của một tam giác. Xác định hình dạng của tam giác để biểu thức sau : đạt giá trị nhỏ nhất.

25
Câu 3: Cho ba số , y, z thoả mãn điều kiện x + y + z = 0 và xy + yz + xz = 0.
Hãy tính giá trị của biểu thức: S = (x – 1)1995 + y1996 + (z + 1) 1997.

25
Câu 4: Cho hihf vuông ABCD cạnh a. Điểm M di động trên cạnh AB; Điểm N di động trên cạnh AD sao cho chu vi tam giác AMN không đổi và bằng 2a. Xác định vị trí của MN để diện tích tam giác CMN đạt giá trị lớn nhất và tính giá trị lớn nhất đó.

25
Câu 5: Cho tam giác ABC có . Tính số đo các cạnh của tam giác ABC biết các số đo ấy là ba số tự nhiên liên tiếp.

26
Câu 1:Chứng minh rằng nếu: thì (a + b)(b + c)(a + c) = 0.

26
Câu 2: a) Giải phương trình: .
b) Giải phương trình: x4 + 7x2 – 12x + 5 = 0.

26
Câu 3: Hai đội bóng bàn của hai trường A và B thi đấu giao hữu. Biết rằng mỗi đối thủ của đội A phải lần lượt gặp các đối thủ cua đội B một lần và số trận đấu gấp đôi tổng số đấu thủ của hai đội. Tính số đấu thủ của mỗi đội.

26
Câu 4: Cho hình bình hành ABCD. Trên cạnh CD và BC lấy điểm M, N sao cho BM = DN. Gọi I là giao điểm cua BM và DN. Chứng minh IA là phân giác của góc DIB.

26
Câu 5: Cho hình bình hành ABCD, với AC > DB. Gọi E và F lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ C đến các đường thẳng AB và AD.
 Chứng minh rằng: AB.AE + AD.AF = AC 2 .

27
Câu 1:
 Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 2a2b + 4ab2 – a2c + ac2 – 4b2c + 2bc2 – 4abc.

27
Câu 2: Tìm nghiệm của đa thức: f(x) = x2 + x – 6.

27
Câu 3: Cho a, b, c là ba số đôi một khác nhau, chứng minh rằng:


27
Câu 4: Giải phương trình: m2x + 2m = 4x + m2. (với x là ẩn).

27
Câu 5: Cho tam giác ABC vuông cân đỉnh A. Lấy điểm M tuỳ ý trên cạnh AC. Kẻ tia Ax vuông góc với BM. Gọi H là giao điểm của Ax với BC và K là điểm đối xứng với C qua H. Kẻ Ky vuông góc với BM. Gọi I là giao điểm của Ky với AB. Tính góc AIM?

28
Câu 1: Phân tích đa thức thành nhân tử:
x4 + 1997x2 + 1996x + 1997.
bc(b + c) + ac(a + c) + ab(a + b) + 2abc.

28
Câu 2: Tính giá trị của biểu thức A = xy + xz + yz + 2xyz.
 Biết: 

28
Câu 3: Tìm bốn số tự nhiên liên tiếp, biết tích của chúng là: 57120.

28
Câu 4: Cho hình vuông ABCD. Trên các tia đối CB và DC, lấy các điểm M, N sao cho DN = BM. Các đường thẳng song song kẻ từ M với AN và từ N với AM cắt nhau tại F. Chứng minh:
1). Tứ giác ANFM là hình vuông.
2). Điểm F nằm trên tia phân giác của góc MCN và góc ACF = 900.
3). Ba diểm B,O,D thẳng hàng và tứ giác BOFC là hình thang(O là trung điểm FA).


28
Câu 5: Cho đoạn thẳng PQ = a. Dựng một hình vuông PABC sao cho P là đỉnh và Q là trung điểm của cạnh AB.

29
Câu 1: Cho a, b, c, d là các số nguyên dương thoả mãn điều kiện: a2 – b2 = c2 – d2.
Chứng minh rằng S = a + b + c + d là hợp số.

29
Câu 2: chứng minh rằng nếu a, b là hai số dương thoả mãn điều kiện a + b = 1 thì:


29
Câu 3: Phân tích đa thức thành nhân tử: x4 + 1996x2 + 1995x + 1996.

29
Câu 4: Cho hình vuông ABCD. Trên cạnh CD lấy một điểm M bất kỳ. Các tia phân giác của các góc BAM và DAM lần lượt cắt cạnh BC tại E và cắt cạnh CD tại F. Chứng minh AM vuông góc với FE.

29
Câu 5: Cho tam giác ABC (AB khác AC). Trên tia đối của tia BA lấy điểm D, trên tia đối của tia CA lấy điểm E, sao cho BD = CE. Gọi N là trung điểm của cạnh BC. Vẽ hình bình hành ECNK và hình bình hành BDFN. Gọi M là giao điểm của DE và FK. Tìm quỹ tích điểm M khi D và E di động.

30
Câu 1: Cho biểu thức: 

a). Tìm điều kiện của x để B có nghĩa.
b). Rút gọn biểu thức B.

30
Câu 2: Chứng minh rằng: A = n8 + 4n7 + 6n6 + 4n5 + n4 chia hết cho 16, với mọi n là số nguyên.

30
Câu 3: 
1). Giải phương trình: 
2). Giải bất phương trình: 

30
Câu 4: Giải và biện luận phương trình sau
 Trong đó a, b là hằng số.

30
Câu 5: Cho hình thang vuông ABCD có đáy CD = 9 cm; đáy AB = 4 cm, cạnh xiên BC = 13 cm. Trên cạnh BC lấy điểm M sao cho BM = AB. Đường thẳng vuông góc với BC tại M cắt AD tại N.
1). Chứng minh rằng điểm N nằm trên tia phân giác của góc ABM.
2). Chứng minh rằng: BC2 = BN2 + ND2 + DC2.
3). Tính diện tích hình thang ABCD.

31
Câu 1: Giải phương trình: 


31
Câu 2: Tính giá trị của đa thức: f(x) = 6x4 – 7x3 – 22x2 + 7x + 2004, với x là nghiệm của phương trình 6x2 + 5x = 6.

31
Câu 3: Chứng minh bất đẳng thức: 

31
Câu 4: Chứng minh đẳng thức:


31
Câu 5: Cho tam giác ABC có AB = 4 cm, BC = 6 cm, CA = 8 cm. Các đường phân giác trong AD và BE cắt nhau tại I.
1). Tính độ dài các đoạn thẳng BD và CD.
2). Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Chứng minh IG//BC và suy ra độ dài của đoạn thẳng IG.

31
Câu 6:
1). Cho tam giác ABC có góc A = 300. Dựng ra bên ngoài tam giác đều BCD.
Chứng minh rằng: AD2 = AB2 + AC2.
2). Tổng tất cả các góc trong và một trong các góc ngoài của một đa giác có số đo là 47058,50. Tính số cạnh của đa giác?.

32
Câu 1: 
1). Chứng minh rằng với mọi số nguyên chẵn n thì: n3 + 20n chia hết cho 48.
2). Phân tích đa thức thành nhân tử: (x – a)b3 – (x – b)a3 + (a – b)x3.

32
Câu 2: Chứng minh rằng với mọi a, b, c ta đều có:


32
Câu 3: 
Cho x, y, z là ba số thoả mãn điều kiện:
Hãy tính giá trị của biểu thức: 


32
Câu 4: Cho tam giác ABC cân tại A có H là trung điểm cạnh BC. Gọi I là hình chiếu vuông góc của H trên cạnh AC và O là trung điểm của IH.
Chứng minh rằng AO vuông góc với IB.

32
Câu 5: Cho tam giác ABC cân tại A, lấy các điểm E và K lần lượt trêncác tia AB và AC sao cho AE + AK = AB + AC. Chứng minh rằng: EK > BC.

33
Câu 1: 
1). Phân tích đa thức thành nhân tử: x2 – 4x + 3 bằng hai cách.
2). Cho A(x) = 8x2 – 26x + m và B(x) = 2x – 3. Tìm m để A(x) chia hết cho B(x).

33
Câu 2: Với giá trị nào của a thì bất phương trình sau có nghiệm duy nhất:


33
Câu 3: Giải phương trình: 

33
Câu 4: Cho hình vuông ABCD trên BC lấy điểm M sao cho BC = 3BM. Trên tia đối của tia CD lấy điểm N sao cho BC = 2CN. Cạnh AM cắt BN tại I và CI cắt AB tại K. Gọi H là hình chiếu của M trên AC. Chứng minh K, M, H thẳng hàng.

33
Câu 5: Cho hình thang can ABCD (AB//CD) có AC = 6 cm, góc BDC = 450. Gọi O là giao điểm hai đường chéo. Tính diện tích hình thang ABCD bằng hai cách.

34
Câu 1: Phân tích đa thức thành nhân tử:
 1). x8 + 3x4 + 4 . 2). x6 – x4 – 2x3 + 2x2

34
Câu 2: Cho biểu thức:
 
a). Tìm x, y để biểu thức A có nghĩa.
b). Rút gọn biểut thức A.

34
Câu 3: 
Cho 3 số a, b, c thoả mãn: 
Chứng minh rằng a = b = c.

34
Câu 4: Cho tứ giác lồi ABCD. Qua trung điểm K của đường chéo BD dựng đường thẳng song song với đường chéo AC, đường thẳng này cắt AD tại E. Chứng minh rằng CE chia tứ giác thành hai phần có diện tích bằng nhau.

34
Câu 5: Dựng hình bình hành biết trung điểm ba cạnh của nó.

35
Câu 1:
1). Chứng minh rằng: 8351634 + 8241142 chia hết cho 26.
2). Chứng minh rằng A là số chính phương, biết rằng A có dạng:


35
Câu 2: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức: 

35
Câu 3:
Cho ba số a, b, c khác 0 thoả mãn đẳng thức: 
Tính giá trị của biểu thức: .

35
Câu 4: Các đường chéo của tứ giác lồi ABCD vuông góc với nhau. Qua trung điểm các cạnh AB và AD kẻ những đường vuông góc theo thứ tự với các cạnh CD và CB. Chứng minh rằng hai đường thẳng vuông góc này và đường thẳng AC đồng quy.

35
Câu 5: Cho hình thang ABCD có hai đáy là AB = 2a và CD =a. Hãy xác định vị trí của điểm M trên đường thẳng CD sao cho:
1). Đường thẳng AM chia hình thang thành hai phần có diện tích bằng nhau.
2). Đường thẳng AM chia hình thang thành hai phần mà phần có chứa đỉnh D có diện tích bằng (n – 1) lần diện tích phần kia(n là số tự nhiên lớn hơn 2).

36
Câu 1: 
Tính giá t