Chuyên đề 1: Biến đổi biểu thức đại số (4 tiết)

Chuyên đề 1: Biến đổi biểu thức đại số (4 tiết) 

1. Một số kỹ năng cơ bản 

Bài 1: Khai triển các hằng đẳng thức

1) 	
2) 	
3) 	
4) 	
5) 	
6) 	
7) 	
8) 	
9) 	
10) 	
11) 	
12) 	

Bài 2: Phân tích thành các lũy thừa bậc hai

 1) 	
2) 
3) 
4) 
5) 
 6) 	
7) 
8) 
9) 
10) 
Bài 3: Phân tích thành nhân tử

1) 
2) 
3) 
4) 
5) 	
6) 25 – 3x2	
7) x – 4 (x > 0)
8) 11 + 9x (x < 0) 	
9) 31 + 7x (x < 0)	
10) 	

Bài 4: Tính: 
HD: Ta có: và và . Từ đó suy ra: 
Bài 5: Tìm giá trị của x để 
	1) x2 − 2x + 7 có giá trị nhỏ nhất	2) có giá trị lớn nhất
	3) có giá trị lớn nhất	4) có giá trị nhỏ nhất
Bài 6: Tìm các giá trị của x Î Z để các biểu thức sau có giá trị nguyên
	1) A = 	2) B = 	3) C = 	4) D = 	
Bài 7: Giải các bất phương trình
	1) 5(x − 2) + 3 > 1 − 2(x − 1)	2) 5 + 3x(x + 3) < (3x − 1)(x + 2)
	3) 	4) 

2. Bài tập tổng hợp 

Bài 8: Cho biểu thức: 
a) Rút gọn biểu thức A
	b) Tính giá trị của biểu thức A khi 
	c) Tìm giá trị của x khi A = 
HD: 	a) ĐK: x ≠ ±1: ; 
b) . Khi đó: A = −2	; 	c) ; 
Bài 9: Cho biểu thức: 
	a) Tìm điều kiện của x để A xác định
	b) Rút gọn biểu thức A
	c) Tìm giá trị của x để A > 0
HD: a) a ≠ −3, a ≠ 2	; b) 	; c) A > 0 Û x > 2 hoặc x < −1
Bài 10: Cho biểu thức 
	a) Tìm điều kiện đối với a để biểu thức C xác định. Rút gọn biểu thức C
	b) Tìm các giá trị của a để C = 1
	c) Khi nào thì C có giá trị dương? Có giá trị âm?
HD: a) a ≠ −3, a ≠ ±2; b) ; c) C = 1 Û 	; d) C > 0 Û ; C < 0 Û a < −3
Bài 11: Cho biểu thức 
	a) Tìm điều kiện đối với x để biểu thức C xác định
	b) Rút gọn biểu thức C
	c) Tính giá trị của biểu thức C khi 
	d) Tìm các giá trị nguyên của x để C có giá trị nguyên
HD: a) x ≠ 1, x ≠ −2, x ≠ 0; b) 	; c) ; d) x Î {−1, −3, −4, −6, 2} 
Bài 12: Cho biểu thức: 
	a) Với giá trị nào của a thì biểu thức A không xác định
	b) Rút gọn biểu thức A
	c) Với giá trị nguyên nào của a thì A có giá trị nguyên?
HD: a) A không xác định Û a < 0, a = 0, 1, 2. 
	b) Với a > 0, a ≠ 1, a ≠ 2: ; c) có duy nhất a = 6 thỏa mãn.
Bài 13: Cho biểu thức: 
	a) Rút gọn biểu thức B
	b) Tính giá trị của B khi 
	c) Với giá trị nào của x thì B > 0? B< 0? B = 0?
HD: a) ĐK x > 0, x ≠ 1: 	
b) ; 	
c) B > 0 Û x > 1; B < 0 Û x < 1; B = 0 Û x = 1 .
Bài 14: Cho biểu thức 
	a) Tìm điều kiện của a để B xác định. Rút gọn B
	b) Với giá trị nào của a thì B > 1? B< 1?
	c) Tìm các giá trị của x để B = 4
HD: a) a ≥ 0 và a ≠ 9: 	
b) B > 1 Û a > 9, B < 1 Û 0 ≤ a < 9	
c) B = 4 Û a = 15
Bài 15: Cho biểu thức A = 
	a) Rút gọn biểu thức A
	b) Tính giá trị của A khi x = 7 + 4
	c) Với giá trị nào của x thì A đạt giá trị nhỏ nhất
HD: a) ĐK: x ≥ 0, x ≠ 1. Rút gọn ta được
b) 	
c) min A = 4 khi 	
Bài 16: Cho 	1) Rút gọn P .
2) Chứng minh : Nếu 0 0.
3) Tìm giá trị lớn nhất của P.
HD: 1) Điều kiện để P có nghĩa : x ≥ 0 và x ≠ 1. Kết quả: 
	2) Nếu 0 0. 
3) . Dấu "=" xảy ra Û . Vậy: Bài 17: Cho biểu thức 
	a) Tìm điều kiện để biểu thức B xác định
	b) Rút gọn biểu thức B
	c) Tìm giá trị của x khi B = 4
	d) Tìm các giá trị nguyên dương của x để B có giá trị nguyên
HD: a) x > 1	
b) 	
c) B = 4 Û x = 10	
d) B nguyên x = m2 + 1 (m Î Z)
Bài 18: Cho biểu thức: 
	a) Tìm điều kiện của x để A có nghĩa, rút gọn A.
	b) So sánh A với 1
HD: a) Điều kiện: x > 0 và x ≠ 1. Ta có:	
	b) Xét hiệu: A – 1 = . Vậy: A < 1
Cách 2: Dễ thấy: A = vì: 
Chuyên đề 2: Hàm số và đồ thị (2 tiết)

Bài 1: Xác định a và b để đường thẳng y = ax + b đi qua hai điểm A(1; −2) và B(2; 1). 
ĐS: a = 3 và b = −5
Bài 2 : Viết phương trình đường thẳng có hệ số góc là −2 và đi qua điểm A(1; 5). 
ĐS: 	y = −2x + 7. 
Bài 3: Viết PT đường thẳng đi qua điểm B(−1; 8) và song song với đường thẳng y = 4x + 3. 
ĐS: 	y = 4x + 12
Bài 4: Viết phương trình đường thẳng song song với đường thẳng y = −x + 5 và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 2. 
ĐS: 	y = −x + 2. 
Bài 5: Xác định hệ số a, b của hàm số y = ax + b trong mỗi trường hợp sau:
	a) Đồ thị hàm số là một đường thẳng có hệ số góc bằng 3 và đi qua điểm A(−1 ; 3)
	b) Đồ thị của hàm số đi qua hai điểm B(2 ; 1) và C(1 ; 3)
	c) Đồ thị của hàm số đi qua điểm A(1 ; 3) và song song với đường thẳng y = 3x − 2
ĐS: a) (a ; b) = (3 ; 6). 	b) (a ; b) = (−2 ; 5). 	c) (a ; b) (3 ; 0)
Bài 6: Cho Parabol (P): y = 2x2 và hai đường thẳng: (d1): mx − y − 2 = 0 và (d2): 3x + 2y − 11 = 0
	a) Tìm giao điểm M của (d1) và (d2) khi m = 1
	b) Với giá trị nào của m thì (d1) song song với (d2)
	c) Với giá trị nào của m thì (d1) tiếp xúc với (P).
HD: a) M(3 ; 1); 	b) 
	c) (d1) tiếp xúc với (P) Û 2x2 − mx + 2 = 0 có nghiệm kép Û D = 0 Û m2 = 16 Û 
Lưu ý: Khai thác việc tìm tham số m để hai đường thẳng song song, trùng nhau, cắt nhau
Bài 7 Tìm giá trị của m để ba đường thẳng sau đồng qui: 
a) (d1): 5x + 11y = 8	(d2): 10x − 7y = 74	(d3): 4mx + (2m − 1)y = m + 2
b) 3x + 2y = 13	(d2): 2x + 3y = 7	(d3): (d1): y = (2m − 5)x − 5m
HD: a) ĐS: m = 0	b) m = 4,8
Bài 8 Tìm khoảng cách giữa hai điểm A và B trên mặt phẳng tọa độ biết:
	a) A(1 ; 1) và B(5 ; 4)	b) A(−2 ; 2) và B(3 ; 5)
HD: a) 
	b) 

Bài tập về nhà

Bài 9: Xác định a và b để đường thẳng y = ax + b đi qua A(−2 ; 15) và B(3 ; −5). 
Bài 10: Viết phương trình đường thẳng có hệ số góc là −1 và đi qua gốc tọa độ. 
Bài 11: Xác định a và b để đường thẳng y = ax + b song song với đường thẳng y = 3x và cắt đường thẳng tại điểm nằm trên trục tung. 
Bài 12: Gọi (d) là đường thẳng đi qua A(1 ; 1) và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ là 2005. Hãy viết phương trình đường thẳng (d). 
Bài 13: Cho hàm số : y = x + m (D). Tìm các giá trị của m để đường thẳng (D) : 
a) Đi qua điểm A (1 ; 2003) ; 
b) Song song với đường thẳng x - y + 3 = 0 ; 
c) Tiếp xúc với parabol y = –1/4.x2
Bài 14: Cho hai hàm số y = 2x + 3m và y = (2m + 1)x + 2m − 3. Tìm điều kiện của m để:
	a) Hai đường thẳng cắt nhau
	b) Hai đường thẳng song song với nhau
	c) Hai đường thẳng trùng nhau

Chuyên đề 3: Phương trình và hệ phương trình (6 tiết)

1. Hệ phương trình bậc nhất
Bài 1: Giải các hệ phương trình:	
	1) 	2) 	3) 	4) 
Bài 2: Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp đặt ẩn phụ:
	a) 	b) 	c) 	d) 
HD: a) ĐS: 	b) 	c) (x ; y) = (5 ; 3)	d) 
Bài 3: Cho hệ phương trình	
	a) Giải hệ phương trình khi cho m = 1
	b) Tìm giá trị của m để hệ phương trình vô nghiệm
HD: a) Với m = 1: (x ; y) = (2002 ; 2001). 	b) Hệ đã cho vô nghiệm Û 
Bài 4: Cho hệ phương trình: 
	a) Giải hệ phương trình với m = –3
	b) Tìm giá trị của m để hệ phương trình có một nghiệm duy nhất
HD: a) Hệ có vô số nghiệm	b) m ≠ 0 và m ≠ –3
Bài 5: Cho hệ phương trình: Chứng tỏ khi m = –1, hệ phương trình có vô số nghiệm
HD: Thay m = –1 vào hệ Þ đpcm
Bài 6: Cho hệ phương trình: 
	a) Giải hệ phương trình khi m = 1
	b) Tìm giá trị của m để hệ phương trình có một nghiệm duy nhất
HD: a) (x ; y) = (–2; 1); b) m ≠ 0

2. Phương trình bậc hai
Bài 7: Giải các phương trình:
	1) x2 – 4x + 3 = 0	2) x2 + 6x + 5 = 0	3) 3x2 – 4x + 1 = 0	4) x2 – 5x + 6 = 0
	5) 	6) 	7) 
	8) x4 – 11x2 + 10 = 0	9) 3x4 – 11x2 + 8 = 0	10) 9x4 – 22x2 + 13 = 0
	11) (2x2 + x – 4)2 – (2x – 1)2 = 0	12) (x – 3)2 + (x + 4)2 = 23 – 3x
	13) 	14) 
	15) 3(x2 + x) – 2(x2 + x) – 1 = 0	16) (x2 – 4x + 2)2 + x2 – 4x – 4 = 0
Bài 8: Cho phương trình và gọi hai nghiệm của phương trình là x1, x2. Không giải phương trình, tính giá trị của các biểu thức sau:
	a) 	b) 	c) 	d) 
HD: Đưa các biểu thức về dạng x1 + x2 và x1x2 rồi sử dụng hệ thức Viét
Bài 9: Cho phương trình: x2 – 2mx + m + 2 = 0. Tìm giá trị của m để phương trình có một nghiệm x1 = 2. Tìm nghiệm x2.
HD: m = 2, x2 = 2
Bài 10: Cho phương trình x2 + 2(m + 1)x + m2 = 0 (1)
	a) Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt
	b) Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt và trong hai nghiệm đó có một nghiệm bằng −2
HD: a) PT (1) có hai nghiệm phân biệt Û 
	b) m = 0 hoặc m = 4
Bài 11: Cho phương trình (m + 1)x2 − 2(m − 1)x + m − 3 = 0 (1)
	a) Chứng minh rằng "m ≠ −1 phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt
	b) Tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm cùng dấu
HD: a) Chứng minh D' > 0
	b) Phương trình (1) có hai nghiệm cùng dấu Û m 3
Bài 12: Cho phương trình x2 − 2(m + 1)x + m − 4 = 0 (1)
	a) Giải phương trình (1) khi m = 1
	b) Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi giá trị của m
	c) gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình (1). Chứng minh rằng A = x1(1 − x2) + x2(1 − x1) không phụ thuộc vào giá trị của m
HD: a) Khi m = 1: PT có hai nghiệm 
	b) A = 2(m + 1) − 2(m − 4) = 10 Þ A không phụ thuộc vào m
Bài 13: Gọi x1, x2 là các nghiệm của phương trình x2 − 2(m − 1)x + m − 3 = 0
	a) Không giải phương trình hãy tính giá trị của biểu thức P = (x1)2 + (x2)2 theo m
	b) Tìm m để P nhỏ nhất
HD: a) P = (x1 + x2)2 − 2x1x2 = 4(m − 1)2 − 2(m − 3) = 4m2 − 10m + 10
	c) P = . Dấu "=" xảy ra Û 
Bài 14: Cho phương trình x2 − 6x + m = 0 (m là tham số) 	(1)
	a) Giải phương trình (1) với m = 5
	b) Tìm giá trị của m để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt x1 và x2 thỏa mãn 3x1 + 2x2 = 20
HD: a) Với m = 5 Þ x1 = 1, x2 = 5
	b) Đáp số: m = −16 (x1 = 8, x2 = −2)
Bài 15: Cho phương trình x2 − 4x + k = 0
	a) Giải phương trình với k = 3
	b) Tìm tất cả các số nguyên dương k để phương trình có hai nghiệm phân biệt
HD: a) Với m = 3: x1 = 1, x2 = 3
	b) D' = 4 − k > 0 Û k < 4. ĐS: k Î {1 ; 2 ; 3}
Bài 16: Cho phương trình : x2 − (m + 5)x − m + 6 = 0 (1) 
a) Giải phương trình với m = 1. 
b) Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có một nghiệm x = −2. 
HD: a) ĐS: x1 = 1, x2 = 5
	b) ĐS: m = − 20
Bài 17: Cho phương trình: (m − 1)x2 + 2mx + m − 2 = 0. (*) 
a) Giải phương trình (*) khi m = 1. 
b) Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt. 
HD: a) Khi m = 1: ; 	b) ĐS: .
Bài 18: Cho phương trình x2 − 2mx + (m − 1)3 = 0
	a) Giải phương trình với m = −1
	b) Xác định m để phương trình có hai nghiệm phân biệt, trong đó có một nghiệm bằng bình phương của nghiệm còn lại.
HD: a) Với m = −1 Þ x1 = 2, x2 = −4	b) m = 0 hoặc m = 3
Chuyên đề 4: Giải bài toán bằng cách lập phương trình và hệ phương trình (4 tiết)

Bài 1: Một người đi xe máy từ A đến B với vận tốc trung bình 30km/h. Khi đến B, người đó nghỉ 20 phút rồi quay trở về A với vận tốc trung bình 25km/h. Tính quãng đường AB, biết rằng thời gian cả đi lẫn về là 5 giờ 50 phút.
HD: Gọi độ dài quãng đường AB là x km (x > 0). 
	Ta có phương trình: . Giải ra ta được: x = 75 (km)
Bài 2: Hai canô cùng khởi hành một lúc và chạy từ bến A đến bến B. Canô I chạy với vận tốc 20km/h, canô II chạy với vận tốc 24km/h. Trên đường đi, canô II dừng lại 40 phút, sau đó tiếp tục chạy với vận tốc như cũ. Tính chiều dài quãng sông AB, biết rằng hai canô đến bến B cùng 1 lúc.
HD: Gọi chiều dài quãng sông AB là x km (x > 0)
	Ta có phương trình: . Giải ra ta được: x = 80 (km)

Bài 3: Một ôtô dự định đi từ tỉnh A đến tỉnh B với vận tốc trung bình 40km/h. Lúc đầu ôtô đi với vận tốc đó, khi còn 60km nữa thì đi được một nửa quãng đường AB, người lái xe tăng thêm vận tốc 10km/h trên quãng đường còn lại, do đó ôtô đến tỉnh B sớm hơn 1giờ so với dự định. Tính quãng đường AB.
HD: Gọi độ dài quãng đường AB là x km (x > 120)
	Ta có phương trình: . Giải ra ta được: x = 280 (km)
Bài 4: Một tàu thủy chạy trên một khúc sông dài 80km, cả đi lẫn về mất 8giờ 20phút. Tính vận tốc của tàu thủy khi nước yên lặng, biết rằng vận tốc của dòng nước là 4km/h.
HD: Gọi vận tốc của tàu thủy khi nước yên lặng là x km/h (x > 0)
	Ta có phương trình: . Giải ra ta được: (loại), x2 = 20 (km)
Bài 5: Một ca nô và một bè gỗ xuất phát cùng một lúc từ bến A xuôi dòng sông. Sau khi đi được 24 km ca nô quay trở lại và gặp bè gỗ tại một địa điểm cách A 8 km. Tính vận tốc của ca nô khi nước yên lặng biết vận tốc của dòng nước là 4 km / h.
HD: Gọi vận tốc canô khi nước yên lặng là x km/h (x > 4)
	Ta có phương trình: . Giải ra ta được x1 = 0 (loại), x2 = 20 (km/h)
Bài 6: Một người đi xe đạp từ tỉnh A đến tỉnh B cách nhau 50 km. Sau đó 1 giờ 30 phút, một người đi xe máy cũng đi từ A và đến B sớm hơn 1 giờ. Tính vận tốc của mỗi xe, biết rằng vận tốc xe máy gấp 2,5 lần vận tốc xe đạp.
HD: Gọi vận tốc xe đạp là x km/h (x > 0)
	Ta có phương trình: . Giải ra ta được: x = 12 (thỏa mãn)
Bài 7: Nhà trường tổ chức cho 180 học sinh khối 9 đi tham quan di tích lịch sử. Người ta dự tính: Nếu dùng loại xe lớn chuyên chở một lượt hết số học sinh thì phải điều ít hơn nếu dùng loại xe nhỏ 2 chiếc. Biết rằng mỗi xe lớn có nhiều hơn mỗi xe nhỏ là 15 chỗ ngồi. Tính số xe lớn, nếu loại xe đó được huy động
HD: Gọi số xe lớn là x (x Î Z+). Ta có PT: Þ x1 = 4; x2 = –6 (loại)
Bài 8: Một đội xe cần chuyên chở 100 tấn hàng. Hôm làm việc, có hai xe được điều đi làm nhiệm vụ mới nên mỗi xe phải chở thêm 2,5 tấn. Hỏi đội có bao nhiêu xe? (biết rằng số hàng chở được của mỗi xe là như nhau)
HD: Gọi x (xe) là số xe của đội (x > 2 và x Î N)
	Ta có phương trình: . Giải ra ta được: x1 = −8 (loại), x2 = 10 (thỏa mãn)
Bài 9: Để làm một chiếc hộp hình hộp không nắp, người ta cắt đi 4 hình vuông bằng nhau ở 4 góc của một miếng nhôm hình chữ nhật dài 24cm, rộng 18cm. Hỏi cạnh của các hình vuông đó bằng bao nhiêu, biết rằng tổng diện tích của 4 hình vuông đó bằng diện tích đáy hộp?
HD: Gọi x (cm) là độ dài cạnh của hình vuông bị cắt ( 0 < x < 9)
	Ta có phương trình: . Giải ra ta được: x1 = −18 (loại), x2 = 4 (thỏa)
Bài 10: Cho một số có hai chữ số. Tìm số đó, biết rằng tổng hai chữ số của nó nhỏ hơn số đó 6 lần, nếu thêm 25 vào tích của hai chữ số đó sẽ được một số viết theo thứ tự ngược lại với số đã cho
HD: Gọi số phải tìm là (0 < x, y ≤ 9 và x, y Î Z)
	Ta có hệ: . Vậy số phải tìm là 54
Bài 11: Hai vòi nước cùng chảy vào một bể thì sau 1 giờ 20 phút bể đầy. Nếu mở vòi thứ nhất chảy trong 10 phút và vòi thứ hai trong 12 phút thì đầy bể. Hỏi nếu mỗi vòi chảy một mình thì phải bao lâu mới đầy bể.
HD: Gọi thời gian chảy một mình đầy bể của vòi I, II lần lượt là x, y phút (x, y > 80)
	Ta có hệ: 
Bài 12: Hai người thợ cùng làm một công việc trong 16giờ thì xong. Nếu người thứ nhất làm 3giờ và người thứ hai làm 6giờ thì họ làm được 25% công việc. Hỏi mỗi người làm công việc đó một mình thì trong bao lâu sẽ hoàn thành công việc.
HD: Gọi x, y (giờ) là thời gian người thứ nhất, hai làm một mình xong công việc (x > 0, y > 16)
	Ta có hệ: (thỏa mãn điều kiện đầu bài)
Bài 13: Một phòng họp có 360 ghế ngồi được xếp thành từng dãy và số ghế của mỗi dãy đều bằng nhau. Nếu số dãy tăng thêm 1 và số ghế của mỗi dãy cũng tăng thêm 1 thì trong phòng có 400 ghế. Hỏi trong phòng họp có bao nhiêu dãy ghế và mỗi dãy có bao nhiêu ghế?
HD: Gọi số dãy ghế trong phòng họp là x dãy (x Î Z, x > 0)
	Ta có phương trình: . Giải ra ta được: x1 = 15, x2 = 24
ĐS: 15 dãy với 24 người/dãy, 24 dãy với 15 người/dãy.
Bài 14: Theo kế hoạch hai tổ sản xuất 600 sản phẩm trong một thời gian nhất định. Do áp dụng kĩ thuật mới nên tổ I đã vượt mức 18% và tổ II đã vượt mức 21%. Vì vậy, trong thời gian qui định họ đã vượt mức 120 sản phẩm. Hỏi số sản phẩm được giao của mỗi tổ theo kế hoạch.
HD: Gọi x, y là số sản phẩm của tổ I, II theo kế hoạch (x, y Î N*)
	Ta có hệ phương trình: 
	
Bài 14: Một xe máy đi từ A đến B trong một thời gian dự định. Nếu vận tốc tăng thêm 14km/h thì đến sớm hơn 2 giờ, nếu giảm vận tốc đi 4km/h thì đến muộn 1 giờ. Tính vận tốc dự định và thời gian dự định
HD: Gọi thời gian dự định là x và vận tốc dự định là y (x, y > 0). Ta có hệ:
	
Chuyên đề 5: Một số bài toán hình học tổng hợp (6 tiết)

Bài 1: Cho Dc.ABC (AB = AC), I là tâm đường tròn nội tiếp, K là tâm đường tròn bàng tiếp , O là trung điểm của IK
	a) Chứng minh rằng bốn điểm B, I, C, K cùng thuộc một đường tròn tâm O
	b) Chứng minh AC là tiếp tuyến của đường tròn (O)
	c) Tính bán kính của đường tròn (O), biết AB = AC = 20cm, BC = 24cm
HD: a) (Tính chất phân giác) Þ BICK nội tiếp (O)
	b) Þ OC ^ AC Þ AC là tiếp tuyến của (O)
	c) (cm). 
(cm)
Vậy: OC = (cm) 
Bài 2: Cho hình vuông ABCD, điểm E thuộc cạnh BC. Qua B kẻ đường thẳng vuông góc với DE, đường thẳng này cắt các đường thẳng DE và DC theo thứ tự ở H và K
	a) Chứng minh rằng BHCD là tứ giác nội tiếp
	b) Tính góc 
	c) Chứng minh KC.KD = KH.KB
	d) Khi điểm E chuyển động trên cạnh BC thì điểm 
H chuyển động trên đường nào?
HD: a) Þ BHCD nội tiếp
	b) 
	c) DKCH DKDC (g.g) Þ KC.KD = KH.KB
	d) Khi E chuyển động trên đoạn BC 
thì H chuyển động trên 
Bài 3: Cho đường tròn (O, R) có hai đường kính AB và CD vuông góc với nhau. Trên đoạn thẳng AB lấy một điểm M (khác O). Đường thẳng CM cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai N. Đường thẳng vuông góc với AB tại M cắt tiếp tuyến tại N của đường tròn ở điểm P. Chứng minh rằng:
	a) Tứ giác OMNP nội tiếp
	b) Tứ giác CMPO là hình bình hành
	c) Tích CM.CN không phụ thuộc vị trí điểm M
	d)* Khi M di động trên đoạn thẳng AB thì P chạy trên một đoạn thẳng cố định
HD: a) Þ ONMP nội tiếp 
	b) OC // MP (cùng vuông góc với AB), MP = OD = OC
Suy ra: CMPO là hình bình hành
	c) DCOM DCND (g.g) Suy ra:
	 Þ CM.CN = CO.CD = Const
	d) DONP = DODP (c.g.c) Þ . 
Suy ra: P chạy trên đường thẳng cố định. 
Vì M Î [AB] nên P Î [EF]

Bài 4: Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Từ A kẻ hai tiếp tuyến Ax và By. Qua điểm M thuộc nửa đường tròn, kẻ tiếp tuyến thứ ba, cắt tiếp tuyến Ax và By lần lượt ở E và F.
	a) Chứng minh AEMO là tứ giác nội tiếp
	b) AM ∩ OE ≡ P, BM ∩ OF ≡ Q. Tứ giác MPOQ là hình gì? tại sao?
	c) Kẻ MH ^ AB (H Î AB). Gọi K ≡ MH ∩ EB. So sánh MK với KH
HD: a) Þ AEMO nội tiếp
	b) MPOQ là hình chữ nhật vì có ba góc vuông.
	c) DEMK DEFB: do MF = BF Þ 
Mặt khác: DABE DHBK: . Vì: (Talet)
Þ . Vì: EM = AE Þ MK = KH.


Bài 5: Cho đường tròn (O) đường kính AB cố định. Điểm I nằm giữa A và O sao cho . Kẻ dây MN ^ AB tại I. Gọi C là điểm tùy ý thuộc cung lớn MN sao cho C không trùng với M, N và B. Nối AC cắt MN tại E.
	a) Chứng minh tứ giác IECB nội tiếp
	b) Chứng minh DAME DACM và AM2 = AE.AC
	c) Chứng minh AE.AC − AI.IB = AI2
HD: a) Dễ thấy Þ IECB nội tiếp.
	b) Ta có Þ DAME DACM (g.g)
Þ AM2 = AE.AC (1)
	c) Ta có: MI2 = AI.IB (2). Theo (1) và (2) và ĐL Pitago: 
AI2 = AM2 − MI2 = AE.AC − AI.IB

Bài 6: Cho DABC có các góc đều nhọn, . Vẽ các đường cao BD và CE của DABC. Gọi H là giao điểm cảu BD và CE.
	a) Chứng minh tứ giác ADHE nội tiếp
	b) Chứng minh HD = DC
	c) Tính tỉ số DE : BC
	d) Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp DABC. CM: OA ^ DE.
HD: a) Ta có: Þ đpcm
	b) Dv.AEC có ÞÞDDCH vuông cân
tại D Þ HD = HC.
	c) DADE DABC (g.g) Þ .
	d) Dựng tia tiếp tuyến Ax với đường tròn (O), ta có 
mà (cùng bù với ) Þ Þ DE // Ax Þ OA ^ DE.
Bài 7: Cho hình bình hành ABCD có đỉnh D nằm trên đường tròn đường kính AB. Hạ BN và DM cùng vuông góc với đường chéo AC. Chứng minh:
	a) Tứ giác CBMD nội tiếp được trong đường tròn
	b) Khi điểm D di động trên đường tròn thì không đổi
	c) DB.DC = DN.AC
HD: a) CBMD nội tiếp trong đường tròn đường kính CD
	b) Khi điểm D thay đổi, tứ giác CBMD luôn là
tứ giác nội tiếp Þ 
	c) Ta có: (gt) Þ N Î (O)
Mặt khác: 	 (Cùng chắn )
	 (So le trong)
	Suy ra: . 
Lại có: (Cùng chắn ) 
Vậy:	ΔACD ΔBDN (g.g) Þ đpcm
Bài 8: Cho DABC vuông ở A (AB > AC), đường cao AH. Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa điểm A, vẽ nửa đường tròn đường kính BH cắt AB tại E, nửa đường tròn đường kính HC cắt AC tại F
	a) Chứng minh tứ giác AFHE là hình chữ nhật
	b) Chứng minh BEFC là tứ giác nội tiếp
	c) Chứng minh AE.AB = AF.AC
	d)* Chứng minh rằng EF là tiếp tuyến chung của hai nửa đường tròn
HD: a) AEHF có ba góc vuông Þ AEHF là hình chữ nhật
	b) Þ BEFC nội tiếp
	c) DAEF DACB (g.g) Þ AE.AB = AF.AC
	d) Þ EF là tiếp tuyến của (O1). 
Tương tự: EF là tiếp tuyến của (O2)

Bài 9. Cho ΔABC nội tiếp đường tròn (O). Gọi D là điểm chính giữa của cung nhỏ BC. Hai tiếp tuyến tại C và D với đường tròn (O) cắt nhau tại E. Gọi P, Q lần lượt là giao điểm của các cặp đường thẳng AB và CD; AD và CE
	a) Chứng minh BC // DE
	b) Chứng minh các tứ giác CODE và APQC nội tiếp
	c) Tứ giác BCQP là hình gì?
HD: a) BC và DE cùng vuông góc với OD Þ BC // DE
	b) Þ CODE nội tiếp
	Ta có: (Do )Þ APQC nội tiếp
	c) BCQP là hình thang. Vì: 
	Ta có: (Cùng chắn cung QC của (APQC)
	Lại có: và (cùng chắn ) Þ BC // PQ

Bài 10. Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B. Các tiếp tuyến tại A của các đường tròn (O) và (O’) cắt đường tròn (O’) và (O) theo thứ tự tại C và D. gọi P và Q lần lượt là trung điểm của các dây AC và AD. Chứng minh:
	a) ΔABD ΔCBA	
b) 	
c) Tứ giác APBQ nội tiếp
HD: a) Ta có: (Cùng chắn )
	Lại có: (Cùng chắn )
Suy ra: ΔABD ΔCBA
	b) ΔABD ΔCBA Þ (Do P, Q là trung điểm của AC, AD)
Và: . Suy ra: ΔBQD ΔAPB Þ 
	c) Do suy ra: APBQ nội tiếp
Bài 11: Cho DABC vuông ở A và một điểm D nằm giữa A và B. Đường tròn đường kính BD cắt BC tại E. Các đường thẳng CD, AE lần lượt cắt đường tròn tại cá điểm thứ hai F, G. Chứng minh:
	a) DABC DEBD
	b) Tứ giác ADEC và AFBC nội tiếp
	c) AC // FG
	d)* Các đường thẳng AC, DE, BF đồng qui
HD: a) DABC DEBD (Hai tam giác vuông có chung)
	b) Học sinh tự chứng minh
	c) Þ AC // FG
	d) Gọi S ≡ BF ∩ CA Þ DBSC có D là trực tâm. 
Þ S, D, E thẳng hàng rồi Þ BF, CA, ED đồng qui tại S.
Bài 12: Cho điểm C thuộc đoạn thẳng AB sao cho AC = 10cm, CB = 40cm. Vẽ về một phía AB các nửa đường tròn có đường kính theo thứ tự là AB, AC, CB và có tâm theo thứ tự là O, I, K. Đường vuông góc với AB tại C cắt nửa đường tròn (O) ở E. Gọi M, N theo thứ tự là giao điểm của EA, EB với các nửa đường tròn (I), (K)
	a) Chứng minh rằng EC = MN
	b) CmR: MN là tiếp tuyến chung của các nửa đường tròn (I), (K)
	c) Tính độ dài MN
	d) Tính diện tích hình được giới hạn bởi ba nửa đường tròn
HD: a) Chứng minh CMEN là hình chữ nhật Þ EC = MN
	b) Gọi S ≡ MN ∩ EC: Þ MN ^ MI
Tương tự: Þ MN ^ NK Þ MN là tiếp tuyến chung của hai đường tròn
	c) MN = EC = . 	d) 
Bài 13: Cho đường tròn tâm O, đường kính AB. Trên đoạn thẳng OB lấy một điểm H bất kì (H ≠ O, B). Trên đường thẳng vuông góc với OB tại H, lấy một điểm M ở ngoài đường tròn. MA, MB theo thứ tự cắt đường tròn (O) tại C và D. Gọi I là giao điểm của AD và BC
	a) Chứng minh rằng tứ giác MCID nội tiếp
	b) Chứng minh các đường thẳng AD, BC, MH đồng qui tại I
	c) Gọi K là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác MCID, chứng minh 
rằng KCOH nội tiếp
HD: a) Þ MCID nội tiếp
	b) Chứng minh I là trực tâm của DMAB rồi suy ra đường cao
MH đi qua I
	c) Xét hai tam giác cân OCA và KCM, chứng minh: 
, từ đó suy ra KCOH nội tiếp.



Bài 14: Cho DABC vuông tại A. Dựng ở miền ngoài tam giác các hình vuông ABHK và ACDE
	a) Chứng minh ba điểm H, A, D thẳng hàng
	b) Đường thẳng HD cắt đường tròn ngoại tiếp DABC tại F, chứng minh rằng DFBC vuông cân
	c) Cho biết . Gọi M là giao điểm của BP và ED, 
chứng minh rằng năm điểm B, K, E, M, C cùng thuộc một đường tròn
	d) Chứng minh MC là tiếp tuyến của đường tròn (ABC)
HD: a) Từ gt chứng minh: rồi chứng
Minh: Þ H, A, D thẳng hàng
	b) Chứng minh . Suy ra
DBFC vuông cân
	c) Chứng minh , từ đó
suy ra B, K, E, M, C cùng thuộc một đường tròn. Chú ý
đến FMDC là tứ giác nội tiếp
	d) Chứng minh DFCM vuông cân, . Từ đó ta có:
 hay: MC ^ BC Þ MC là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp DABC.