Chuyên đề 2 Biến đổi biểu thức đại số

Chuyên đề 2
Biến đổi biểu thức đại số
a – biển đổi biểu thức nguyên
I. Một số hằng đẳng thức cơ bản
(a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2 ;
(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca ;
 = ;
(a ± b)3 = a3 ± 3a2b + 3ab2 ± b3 = a3 ± b3 ± 3ab(a ± b);
 (a ± b)4 = a4 ± 4a3b + 6a2b2 ± 4ab3 + b4 ;
a2 – b2 = (a – b)(a + b) ;
a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2) ; 
an – bn = (a – b)(an – 1 + an – 2b + an – 3b2 +  + abn – 2 + bn – 1) ;
a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2) 
a5 + b5 = (a + b)(a4 – a3b + a2b2 – ab3 + b5) ;
a2k + 1 + b2k + 1 = (a + b)(a2k – a2k – 1b + a2k – 2b2 –  + a2b2k – 2 – ab2k – 1 + b2k) ;
II. Bảng các hệ số trong khai triển (a + b)n – Tam giác Pascal
Đỉnh
1
Dòng 1 (n = 1)
1
1
Dòng 2 (n = 2)
1
2
1
Dòng 3 (n = 3)
1
3
3
1
Dòng 4 (n = 4)
1
4
6
4
1
Dòng 5 (n = 5)
1
5
10
10
5
1
 Trong tam giác này, hai cạnh bên gồm các số 1 ; dòng k + 1 được thành lập từ dòng k (k ≥ 1), chẳng hạn ở dòng 2 ta có 2 = 1 + 1, ở dòng 3 ta có 3 = 2 + 1, 3 = 1 + 2, ở dòng 4 ta có 4 = 1 + 3, 6 = 3 + 3, 4 = 3 + 1, Khai triển (x + y)n thành tổng thì các hệ số của các hạng tử là các số trong dòng thứ n của bảng trên. Người ta gọi bảng trên là tam giác Pascal, nó thường được sử dụng khi n không quá lớn. Chẳng hạn, với n = 4 thì :
 (a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4
và với n = 5 thì :
 (a + b)5 = a5 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 + 10ab4 + b5
II. Các ví dụ
 Ví dụ 1. Đơn giản biểu thức sau : 
A = (x + y + z)3 – (x + y – z)3 – (y + z – x)3 – (z + x – y)3.
Lời giải
 A = [(x + y) + z]3 – [(x + y) – z]3 – [z – (x – y)]3 – [z + (x – y)]3
 = [(x + y)3 + 3(x + y)2z + 3(x + y)z2 + z3] – [(x + y)3 – 3(x + y)2z + 3(x + y)z2 – z3] –
 – [z3 – 3z2(x – y) + 3z(x – y)2 – (x – y)3] – [z3 + 3z2(x – y) + 3z(x – y)2 + (x – y)3] 
 = 6(x + y)2z – 6z(x – y)2 = 24xyz 
 Ví dụ 2. Cho x + y = a, xy = b (a2 ≥ 4b). Tính giá trị của các biểu thức sau :
 a) x2 + y2 ; b) x3 + y3 ; c) x4 + y4 ; d) x5 + y5
Lời giải
x2 + y2 = (x + y)2 – 2xy = a2 – 2b 
x3 + y3 = (x + y)3 – 3xy(x + y) = a3 – 3ab
x4 + y4 = (x2 + y2)2 – 2x2y2 = (a2 – 2b)2 – 2b2 = a4 – 4a2b + 2b2
(x2 + y2)(x3 + y3) = x5 + x2y3 + x3y2 + y5 = (x5 + y5) + x2y2(x + y)
Hay : (a2 – 2b)(a3 – 3ab) = (x5 + y5) + ab2 ị x5 + y5 = a5 – 5a3b + 5ab2
 Chú ý : a6 + b6 = (a2)3 + (b2)3 = (a3)2 + (b3)2
	 a7 + b7 = (a3 + b3)(a4 + b4) – a3b3(a + b)
 = (a2 + b2)(a5 + b5) – a2b2(a3 + b3)
 Ví dụ 3. Chứng minh các hằng đẳng thức :
a3 + b3 + c3 – 3abc = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 – ab – bc – ca) ;
(a + b + c)3 – a3 – b3 – c3 = 3(a + b)(b + c)(c + a)
Lời giải
a3 + b3 + c3 – 3abc = (a + b)3 + c3 – 3abc – 3a2b – 3ab2
 = (a + b + c)[(a + b)2 – (a + b)c + c2] – 3ab(a + b + c)
 = (a + b + c) [(a + b)2 – (a + b)c + c2 – 3ab] 
 = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 – ab – bc – ca) 
(a + b + c)3 – a3 – b3 – c3 = [(a + b + c)3 – a3] – (b3 + c3)
= (b + c)[(a + b + c)2 + (a + b + c)a + a2] – (b + c)(b2 – bc + c2)
= (b + c)(3a2 + 3ab + 3bc + 3ca) = 3(b + c)[a(a + b) + c(a + b)]
= 3(a + b)(b + c)(c + a)
 Ví dụ 4. Phân tích biểu thức sau thành nhân tử :
A = x3 – 3(a2 + b2)x + 2(a3 + b3)
Lời giải
 Đặt S = a + b và P = ab, thì a2 + b2 = ; a3 + b3 = . Vì vậy :
 A = x3 – 3()x + 2() = 
 = 
 = 
 = (x – a – b)[x2 + (a + b)x – 2(a + b)2 + 6ab]
 = (x – a – b)[x2 + (a + b)x – 2(a2 
 Ví dụ 5. Cho x + y + z = 0. Chứng minh rằng : 2(x5 + y5 + z5) = 5xyz(x2 + y2 + z2)
Lời giải
 Vì x + y + z = 0 nên x + y = –z ị (x + y)3 = –z3
 Hay x3 + y3 + 3xy(x + y) = –z3 ị 3xyz = x3 + y3 + z3
 Do đó : 3xyz(x2 + y2 + z2) = (x3 + y3 + z3)(x2 + y2 + z2)
 	= x5 + y5 + z5 + x3(y2 + z2) + y3(z2 + x2) + z3(x2 + y2)
 Mà x2 + y2 = (x + y)2 – 2xy = z2 – 2xy (vì x + y = –z). Tương tự :
	 y2 + z2 = x2 – 2yz ; z2 + x2 = y2 – 2zx.
 Vì vậy : 3xyz(x2 + y2 + z2) = x5 + y5 + z5 + x3(x2 – 2yz) + y3(y2 – 2zx) + z3(z3 – 2xy)
	 = 2(x5 + y5 + z5) – 2xyz(x2 + y2 + z2) 
 Suy ra : 2(x5 + y5 + z5) = 5xyz(x2 + y2 + z2) (đpcm)
Bài tập
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :
x3 + 4x2 – 29x + 24 ;
x4 + 6x3 + 7x2 – 6x + 1 ;
(x2 – x + 2)2 + (x – 2)2 ;
6x5 + 15x4 + 20x3 + 15x2 + 6x + 1 ;
x6 + 3x5 + 4x4 + 4x3 + 4x2 + 3x + 1.
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :
x8 + x4 + 1;
x10 + x5 + 1 ;
x12 + 1 ;
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử : 
(x + y + z)3 – x3 – y3 – z3 ;
(x + y + z)5 – x5 – y5 – z5.
Cho a + b + c = 0 và a2 + b2 + c2 = 14. Tính giá trị của biểu thức : A = a4 + b4 + c4.
Cho x + y + z = 0 và xy + yz + zx = 0. Tính giá trị của biểu thức :
B = (x – 1)2007 + y2008 + (z + 1)2009.
Cho a2 – b2 = 4c2. Chứng minh rằng : (5a – 3b + 8c)(5a – 3b – 8c) = (3a – 5b)2.
Chứng minh rằng nếu (x – y)2 + (y – z)2 + (z – x)2 =
 = (x + y – 2z)2 + (y + z – 2x)2 + (z + x – 2y)2 thì x = y = z.
 a) Chứng minh rằng nếu (a2 + b2)(x2 + y2) = (ax + by)2 và x, y khác 0 thì . 
 b) Chứng minh rằng nếu (a2 + b2 + c2)(x2 + y2 + z2) = (ax + by + cz)2 và x, y, z khác 0 thì .
Cho x + y + z = 0. Chứng minh rằng :
5(x3 + y3 + z3)(x2 + y2 + z2) = 6(x5 + y5 + z5) ;
x7 + y7 + z7 = 7xyz(x2y2 + y2z2 + z2x2) ;
10(x7 + y7 + z7) = 7(x2 + y2 + z2)(x5 + y5 + z5).
Chứng minh các hằng đằng thức sau :
(a + b + c)2 + a2 + b2 + c2 = (a + b)2 + (b + c)2 + (c + a)2 ;
x4 + y4 + (x + y)4 = 2(x2 + xy + y2)2.
Cho các số a, b, c, d thỏa mãn a2 + b2 + (a + b)2 = c2 + d2 + (c + d)2. 
 Chứng minh rằng : a4 + b4 + (a + b)4 = c4 + d4 + (c + d)4
 Cho a2 + b2 + c2 = a3 + b3 + c3 = 1. Tính giá trị của biểu thức : C = a2 + b9 + c1945.
 Hai số a, b lần lượt thỏa mãn các hệ thức sau :
a3 – 3a2 + 5a – 17 = 0 và b3 – 3b2 + 5b + 11 = 0. Hãy tính : D = a + b.
 Cho a3 – 3ab2 = 19 và b3 – 3a2b = 98. Hãy tính : E = a2 + b2.
 Cho x + y = a + b và x2 + y2 = a2 + b2. Tính giá trị của các biểu thức sau :
a) x3 + y3 ; b) x4 + y4 ; c) x5 + y5 ; d) x6 + y6 ; 
e) x7 + y7 ; f) x8 + y8 ; g) x2008 + y2008.
B – biển đổi phân thức hữu tỉ
Ví dụ 5. 
Chứng minh rằng phân số là phân số tối giản "nẻN ;
Cho phân số (nẻN). Có bao nhiêu số tự nhiên n nhỏ hơn 2009 sao cho phân số A chưa tối giản. Tính tổng của tất cả các số tự nhiên đó.
Lời giải
Đặt d = ƯCLN(5n + 2 ; 3n + 1) ị 3(5n + 2) – 5(3n + 1) M d hay 1 M d ị d = 1.
 Vậy phân số là phân số tối giản.
Ta có . Để A chưa tối giản thì phân số phải chưa tối giản. Suy ra n + 5 phải chia hết cho một trong các ước dương lớn hơn 1 của 29.
Vì 29 là số nguyên tố nên ta có n + 5 M 29 ị n + 5 = 29k (k ẻ N) hay n = 29k – 5.
Theo điều kiện đề bài thì 0 ≤ n = 29k – 5 < 2009 ị 1 ≤ k ≤ 69 hay kẻ{1; 2;; 69}
Vậy có 69 số tự nhiên n thỏa mãn điều kiện đề bài. Tổng của các số này là :
29(1 + 2 +  + 69) – 5.69 = 69690.
 Ví dụ 6. Cho a, b, c ≠ 0 và a + b + c ≠ 0 thỏa mãn điều kiện . 
 Chứng minh rằng trong ba số a, b, c có hai số đối nhau. Từ đó suy ra rằng :
.
Lời giải
 Ta có : Û 
 Û Û 
 Û (a + b)(b + c)(c + a) = 0 Û Û ị đpcm.	 
 Từ đó suy ra : 
	 ị .
 Ví dụ 7. Đơn giản biểu thức :
.
Lời giải
Đặt S = a + b và P = ab. Suy ra : a2 + b2 = (a + b)2 – 2ab = 
	a3 + b3 = (a + b)3 – 3ab(a + b) = .
	Do đó : 
 Ta có : A = 
 = 
 Hay A = 
 Ví dụ 8. Cho a, b, c là ba số phân biệt. Chứng minh rằng giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của x :
.
	Lời giải
 Cách 1
 = Ax2 – Bx + C
 với : ;
 ;
 Ta có : ;
 ;
 .
 Vậy S(x) = 1"x (đpcm).
 Cách 2
 Đặt P(x) = S(x) – 1 thì đa thức P(x) là đa thức có bậc không vượt quá 2. Do đó, P(x) chỉ có tối đa hai nghiệm.
 Nhận xét : P(a) = P(b) = P(c) = 0 ị a, b, c là ba nghiệm phân biệt của P(x).
 Điều này chỉ xảy ra khi và chỉ khi P(x) là đa thức không, tức là P(x) = 0 "x.
 Suy ra S(x) = 1 "x ị đpcm.
 Ví dụ 9. Cho . Tính giá trị của các biểu thức sau :
 a) ; b) ; c) ; d) .
Lời giải
 a) ;
 b) ;
 c) ;
 d) ị D = 7.18 – 3 = 123.
 Ví dụ 10. Xác định các số a, b, c sao cho : .
Lời giải
 Ta có : 
 Đồng nhất phân thức trên với phân thức , ta được :
 . Vậy .
Bài tập
 Cho phân thức .
Rút gọn P ;
Chứng minh rằng nếu n là số nguyên thì giá trị của phân thức tìm được trong câu a) tại n luôn là một phân số tối giản.
 a) Chứng minh rằng các phân số sau tối giản với mọi số tự nhiên n : 
 .
 b) Chứng minh rằng phân số không tối giản với mọi số nguyên dương n.
 c) Tính tổng các số tự nhiên n nhỏ hơn 100 sao cho là phân số chưa tối giản.
 Tính các tổng sau :
;
 ;
;
 ;
 ;
 (k! = 1.2.3k)
 Tính các tích sau :
;
 ;
;
.
 Tính : .
 Tính 
 Thực hiện các phép tính :
a) ;
b) ;
c) ;
d) 
 Rút gọn : .
 Rút gọn : .
 Rút gọn và tính giá trị của biểu thức sau với x = –1,76 và y = 0,12 :
.
(Trích đề thi HSG toàn quốc 1963)
 Rút gọn :
.
 Thực hiện các phép tính :
;
;
.
 a) Biết a – 2b = 5, hãy tính giá trị của biểu thức : ;
 b) Biết 2a – b = 7, hãy tính giá trị của biểu thức : ;
 c) Biết 10a2 –3b2 + 5ab = 0 và 9a2 – b2 ≠ 0, hãy tính : .
 Cho a + b + c = 0. Tính giá trị của các biểu thức sau :
 a) ;
 b) ;
 c) .
 Cho 3 số a, b, c khác 0 thỏa mãn điều kiện a3 + b3 + c3 = 3abc. Tính giá trị của biểu thức : .
 Cho 3 số a, b, c khác nhau đôi một thỏa mãn điều kiện . Tính giá trị của biểu thức : .
 a) Cho ba số a, b, c khác 0 thỏa mãn điều kiện a + b + c = 0. Chứng minh rằng :
.
 b) Tính D 
 Đơn giản các biểu thức sau :
a) .
b) .
 a) Chứng minh rằng nếu abc = 1 thì .
 b) Cho abcd = 1, hãy tính : 
 Chứng minh rằng nếu và a + b + c = abc thì .
(Trích đề thi HSG toàn quốc 1970)
 Cho và . Tính giá trị của biểu thức .
 Cho . CMR tồn tại hai trong ba số a, b, c bằng nhau.
 Rút gọn biểu thức : .
 Cho ba số a, b, c khác 0 thỏa mãn hệ thức : Chứng minh rằng trong ba phân thức ở vế trái, có ít nhất một phân thức bằng 0.
 Rút gọn biểu thức : .
 Cho a, b, c khác nhau đôi một và Rút gọn các biểu thức :
a) ;
b) ;
c) 
 Xác định a, b, c sao cho :
a) ; b) ;
c) .
 Rút gọn biểu thức : 
 Rút gọn biểu thức : .
 Rút gọn biểu thức : .
 Cho ba số a, b, c khác 0 thỏa mãn hai điều kiện abc = 1 và . Chứng minh rằng trong ba số a, b, c tồn tại một số bằng 1.
 Cho x, y, z khác 0 thỏa mãn điều kiện x + y + z = 2008 và . Chứng minh rằng tồn tại ít nhất một trong ba số x, y, z bằng 2008.
 Giả sử a, b, c là ba số khác nhau thỏa mãn . Chứng minh rằng : .
 Cho . Chứng minh rằng .
 Cho a + b + c = 0, x + y + z = 0 và . Chứng minh rằng 
ax2 + by2 + cz2 = 0.
 Cho x2 – 4x + 1 = 0. Tính giá trị của các biểu thức A = x5 + và B = x7 + .
 Cho Tính và .
 Cho dãy số a1, a2, a3,  sao cho : ; ;  ; .
a) Chứng minh rằng a1 = a5.
b) Xác định năm số đầu của dãy, biết rằng a101 = 108.