Chuyên đề 20 Bồi dưỡng toán 8

20 CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG TOÁN 8 
TRƯỜNG THCS TIẾN THẮNG 
 
CHUYÊN ĐỀ 1 - PHẤN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ 
 A. MỤC TIÊU: 
* Hệ thống lại các dạng toán và các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử 
* Giải một số bài tập về phân tích đa thức thành nhân tử 
* Nâng cao trình độ và kỹ năng về phân tích đa thức thành nhân tử 
B. CÁC PHƯƠNG PHÁP VÀ BÀI TẬP 
I. TÁCH MỘT HẠNG TỬ THÀNH NHIỀU HẠNG TỬ: 
Định lí bổ sung: 
+ Đa thức f(x) có nghiệm hữu tỉ thì có dạng p/q trong đó p là ước của hệ số tự do, q là ước 
dương của hệ số cao nhất 
+ Nếu f(x) có tổng các hệ số bằng 0 thì f(x) có một nhân tử là x – 1 
+ Nếu f(x) có tổng các hệ số của các hạng tử bậc chẵn bằng tổng các hệ số của các hạng tử 
bậc lẻ thì f(x) có một nhân tử là x + 1 
+ Nếu a là nghiệm nguyên của f(x) và f(1); f(- 1) khác 0 thì f(1)
a - 1
 và f(-1)
a + 1
 đều là số nguyên. 
Để nhanh chóng loại trừ nghiệm là ước của hệ số tự do 
1. Ví dụ 1: 3x2 – 8x + 4 
Cách 1: Tách hạng tử thứ 2 
3x2 – 8x + 4 = 3x2 – 6x – 2x + 4 = 3x(x – 2) – 2(x – 2) = (x – 2)(3x – 2) 
Cách 2: Tách hạng tử thứ nhất: 
3x2 – 8x + 4 = (4x2 – 8x + 4) - x2 = (2x – 2)2 – x2 = (2x – 2 + x)(2x – 2 – x) 
= (x – 2)(3x – 2) 
Ví dụ 2: x3 – x2 - 4 
Ta nhân thấy nghiệm của f(x) nếu có thì x = 1; 2; 4   , chỉ có f(2) = 0 nên x = 2 là nghiệm 
của f(x) nên f(x) có một nhân tử là x – 2. Do đó ta tách f(x) thành các nhóm có xuất hiện 
một nhân tử là x – 2 
Cách 1: 
x3 – x2 – 4 =        3 2 2 22 2 2 4 2 ( 2) 2( 2)x x x x x x x x x x           =   22 2x x x   
www.VNMATH.com
1
20 CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG TOÁN 8 
TRƯỜNG THCS TIẾN THẮNG 
Cách 2:    3 2 3 2 3 2 24 8 4 8 4 ( 2)( 2 4) ( 2)( 2)x x x x x x x x x x x                 
 =    2 22 2 4 ( 2) ( 2)( 2)x x x x x x x           
Ví dụ 3: f(x) = 3x3 – 7x2 + 17x – 5 
Nhận xét: 1, 5  không là nghiệm của f(x), như vậy f(x) không có nghiệm nguyên. Nên 
f(x) nếu có nghiệm thì là nghiệm hữu tỉ 
Ta nhận thấy x = 1
3
 là nghiệm của f(x) do đó f(x) có một nhân tử là 3x – 1. Nên 
f(x) = 3x3 – 7x2 + 17x – 5 =      3 2 2 3 2 23 6 2 15 5 3 6 2 15 5x x x x x x x x x x           
 = 2 2(3 1) 2 (3 1) 5(3 1) (3 1)( 2 5)x x x x x x x x         
Vì 2 2 22 5 ( 2 1) 4 ( 1) 4 0x x x x x          với mọi x nên không phân tích được thành 
nhân tử nữa 
Ví dụ 4: x3 + 5x2 + 8x + 4 
Nhận xét: Tổng các hệ số của các hạng tử bậc chẵn bằng tổng các hệ số của các hạng tử 
bậc lẻ nên đa thức có một nhân tử là x + 1 
x3 + 5x2 + 8x + 4 = (x3 + x2 ) + (4x2 + 4x) + (4x + 4) = x2(x + 1) + 4x(x + 1) + 4(x + 1) 
= (x + 1)(x2 + 4x + 4) = (x + 1)(x + 2)2 
Ví dụ 5: f(x) = x5 – 2x4 + 3x3 – 4x2 + 2 
Tổng các hệ số bằng 0 thì nên đa thức có một nhân tử là x – 1, chia f(x) cho (x – 1) ta có: 
x5 – 2x4 + 3x3 – 4x2 + 2 = (x – 1)(x4 - x3 + 2 x2 - 2 x - 2) 
Vì x4 - x3 + 2 x2 - 2 x - 2 không có nghiệm nguyên cũng không có nghiệm hữu tỉ nên 
không phân tích được nữa 
Ví dụ 6: x4 + 1997x2 + 1996x + 1997 = (x4 + x2 + 1) + (1996x2 + 1996x + 1996) 
= (x2 + x + 1)(x2 - x + 1) + 1996(x2 + x + 1) 
= (x2 + x + 1)(x2 - x + 1 + 1996) = (x2 + x + 1)(x2 - x + 1997) 
Ví dụ 7: x2 - x - 2001.2002 = x2 - x - 2001.(2001 + 1) 
= x2 - x – 20012 - 2001 = (x2 – 20012) – (x + 2001) = (x + 2001)(x – 2002) 
II. THÊM , BỚT CÙNG MỘT HẠNG TỬ: 
1. Thêm, bớt cùng một số hạng tử để xuất hiện hiệu hai bình phương: 
www.VNMATH.com
2
20 CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG TOÁN 8 
TRƯỜNG THCS TIẾN THẮNG 
Ví dụ 1: 4x4 + 81 = 4x4 + 36x2 + 81 - 36x2 = (2x2 + 9)2 – 36x2 
= (2x2 + 9)2 – (6x)2 = (2x2 + 9 + 6x)(2x2 + 9 – 6x) 
= (2x2 + 6x + 9 )(2x2 – 6x + 9) 
Ví dụ 2: x8 + 98x4 + 1 = (x8 + 2x4 + 1 ) + 96x4 
= (x4 + 1)2 + 16x2(x4 + 1) + 64x4 - 16x2(x4 + 1) + 32x4 
= (x4 + 1 + 8x2)2 – 16x2(x4 + 1 – 2x2) = (x4 + 8x2 + 1)2 - 16x2(x2 – 1)2 
= (x4 + 8x2 + 1)2 - (4x3 – 4x )2 
= (x4 + 4x3 + 8x2 – 4x + 1)(x4 - 4x3 + 8x2 + 4x + 1) 
2. Thêm, bớt cùng một số hạng tử để xuất hiện nhân tử chung 
Ví dụ 1: x7 + x2 + 1 = (x7 – x) + (x2 + x + 1 ) = x(x6 – 1) + (x2 + x + 1 ) 
= x(x3 - 1)(x3 + 1) + (x2 + x + 1 ) = x(x – 1)(x2 + x + 1 ) (x3 + 1) + (x2 + x + 1) 
= (x2 + x + 1)[x(x – 1)(x3 + 1) + 1] = (x2 + x + 1)(x5 – x4 + x2 - x + 1) 
Ví dụ 2: x7 + x5 + 1 = (x7 – x ) + (x5 – x2 ) + (x2 + x + 1) 
= x(x3 – 1)(x3 + 1) + x2(x3 – 1) + (x2 + x + 1) 
= (x2 + x + 1)(x – 1)(x4 + x) + x2 (x – 1)(x2 + x + 1) + (x2 + x + 1) 
= (x2 + x + 1)[(x5 – x4 + x2 – x) + (x3 – x2 ) + 1] = (x2 + x + 1)(x5 – x4 + x3 – x + 1) 
Ghi nhớ: 
Các đa thức có dạng x3m + 1 + x3n + 2 + 1 như: x7 + x2 + 1 ; x7 + x5 + 1 ; x8 + x4 + 1 ; 
x5 + x + 1 ; x8 + x + 1 ; … đều có nhân tử chung là x2 + x + 1 
III. ĐẶT BIẾN PHỤ: 
Ví dụ 1: x(x + 4)(x + 6)(x + 10) + 128 = [x(x + 10)][(x + 4)(x + 6)] + 128 
 = (x2 + 10x) + (x2 + 10x + 24) + 128 
Đặt x2 + 10x + 12 = y, đa thức có dạng 
 (y – 12)(y + 12) + 128 = y2 – 144 + 128 = y2 – 16 = (y + 4)(y – 4) 
= ( x2 + 10x + 8 )(x2 + 10x + 16 ) = (x + 2)(x + 8)( x2 + 10x + 8 ) 
Ví dụ 2: A = x4 + 6x3 + 7x2 – 6x + 1 
Giả sử x  0 ta viết 
x4 + 6x3 + 7x2 – 6x + 1 = x2 ( x2 + 6x + 7 – 2
6 1 + 
x x
) = x2 [(x2 + 2
1 
x
) + 6(x - 1 
x
) + 7 ] 
www.VNMATH.com
3
20 CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG TOÁN 8 
TRƯỜNG THCS TIẾN THẮNG 
Đặt x - 1 
x
 = y thì x2 + 2
1 
x
 = y2 + 2, do đó 
A = x2(y2 + 2 + 6y + 7) = x2(y + 3)2 = (xy + 3x)2 = [x(x - 
1 
x
)2 + 3x]2 = (x2 + 3x – 1)2 
Chú ý: Ví dụ trên có thể giải bằng cách áp dụng hằng đẳng thức như sau: 
A = x4 + 6x3 + 7x2 – 6x + 1 = x4 + (6x3 – 2x2 ) + (9x2 – 6x + 1 ) 
 = x4 + 2x2(3x – 1) + (3x – 1)2 = (x2 + 3x – 1)2 
Ví dụ 3: A = 2 2 2 2 2( )( ) ( +zx)x y z x y z xy yz      
= 2 2 2 2 2 2 2( ) 2( +zx) ( ) ( +zx)x y z xy yz x y z xy yz          
Đặt 2 2 2x y z  = a, xy + yz + zx = b ta có 
A = a(a + 2b) + b2 = a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 = ( 2 2 2x y z  + xy + yz + zx)2 
Ví dụ 4: B = 4 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 42( ) ( ) 2( )( ) ( )x y z x y z x y z x y z x y z             
Đặt x4 + y4 + z4 = a, x2 + y2 + z2 = b, x + y + z = c ta có: 
B = 2a – b2 – 2bc2 + c4 = 2a – 2b2 + b2 - 2bc2 + c4 = 2(a – b2) + (b –c2)2 
Ta lại có: a – b2 = - 2( 2 2 2 2 2 2x y y z z x  ) và b –c2 = - 2(xy + yz + zx) Do đó; 
B = - 4( 2 2 2 2 2 2x y y z z x  ) + 4 (xy + yz + zx)2 
 = 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 24 4 4 4 4 4 8 8 8 8 ( )x y y z z x x y y z z x x yz xy z xyz xyz x y z            
Ví dụ 5: 3 3 3 3( ) 4( ) 12a b c a b c abc      
Đặt a + b = m, a – b = n thì 4ab = m2 – n2 
 a3 + b3 = (a + b)[(a – b)2 + ab] = m(n2 + 
2 2m - n
4
). Ta có: 
C = (m + c)3 – 4. 
3 2
3 2 2m + 3mn 4c 3c(m - n )
4
  = 3( - c3 +mc2 – mn2 + cn2) 
= 3[c2(m - c) - n2(m - c)] = 3(m - c)(c - n)(c + n) = 3(a + b - c)(c + a - b)(c - a + b) 
III. PHƯƠNG PHÁP HỆ SỐ BẤT ĐỊNH: 
Ví dụ 1: x4 - 6x3 + 12x2 - 14x + 3 
Nhận xét: các số  1,  3 không là nghiệm của đa thức, đa thức không có nghiệm nguyên 
củng không có nghiệm hữu tỉ 
Như vậy nếu đa thức phân tích được thành nhân tử thì phải có dạng 
www.VNMATH.com
4
20 CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG TOÁN 8 
TRƯỜNG THCS TIẾN THẮNG 
(x2 + ax + b)(x2 + cx + d) = x4 + (a + c)x3 + (ac + b + d)x2 + (ad + bc)x + bd 
đồng nhất đa thức này với đa thức đã cho ta có: 
6
12
14
3
a c
ac b d
ad bc
bd
         
 
Xét bd = 3 với b, d  Z, b   1, 3  với b = 3 thì d = 1 hệ điều kiện trên trở thành 
6
8 2 8 4
3 14 8 2
3
a c
ac c c
a c ac a
bd
                    
 
Vậy: x4 - 6x3 + 12x2 - 14x + 3 = (x2 - 2x + 3)(x2 - 4x + 1) 
Ví dụ 2: 2x4 - 3x3 - 7x2 + 6x + 8 
Nhận xét: đa thức có 1 nghiệm là x = 2 nên có thừa số là x - 2 do đó ta có: 
 2x4 - 3x3 - 7x2 + 6x + 8 = (x - 2)(2x3 + ax2 + bx + c) 
= 2x4 + (a - 4)x3 + (b - 2a)x2 + (c - 2b)x - 2c  
4 3
1
2 7
5
2 6
4
2 8
a
a
b a
b
c b
c
c
               
 
Suy ra: 2x4 - 3x3 - 7x2 + 6x + 8 = (x - 2)(2x3 + x2 - 5x - 4) 
Ta lại có 2x3 + x2 - 5x - 4 là đa thức có tổng hệ số của các hạng tử bậc lẻ và bậc chẵn bằng 
nahu nên có 1 nhân tử là x + 1 nên 2x3 + x2 - 5x - 4 = (x + 1)(2x2 - x - 4) 
Vậy: 2x4 - 3x3 - 7x2 + 6x + 8 = (x - 2)(x + 1)(2x2 - x - 4) 
Ví dụ 3: 
12x2 + 5x - 12y2 + 12y - 10xy - 3 = (a x + by + 3)(cx + dy - 1) 
= acx2 + (3c - a)x + bdy2 + (3d - b)y + (bc + ad)xy – 3 

12
4
10
3
3 5
6
12
2
3 12
ac
a
bc ad
c
c a
b
bd
d
d b
                 
 
 12x2 + 5x - 12y2 + 12y - 10xy - 3 = (4 x - 6y + 3)(3x + 2y - 1) 
www.VNMATH.com
5
20 CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG TOÁN 8 
TRƯỜNG THCS TIẾN THẮNG 
BÀI TẬP: 
 
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CHUYÊN  2 - S LC V CHNH HP, 
 
 
 
 
 
 
CHUYÊN ĐỀ 2: HOÁN VỊ, TỔ HỢP 
A. MỤC TIÊU: 
* Bước đầu HS hiểu về chỉnh hợp, hoán vị và tổ hợp 
* Vận dụng kiến thức vào một ssó bài toán cụ thể và thực tế 
* Tạo hứng thú và nâng cao kỹ năng giải toán cho HS 
B. KIẾN THỨC: 
I. Chỉnh hợp: 
1. định nghĩa: Cho một tập hợp X gồm n phần tử. Mỗi cách sắp xếp k phần tử của tập hợp 
X ( 1  k  n) theo một thứ tự nhất định gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử ấy 
Số tất cả các chỉnh hợp chập k của n phần tử được kí hiệu kn A 
2. Tính số chỉnh chập k của n phần tử 
 
1) x3 - 7x + 6 
2) x3 - 9x2 + 6x + 16 
3) x3 - 6x2 - x + 30 
4) 2x3 - x2 + 5x + 3 
5) 27x3 - 27x2 + 18x - 4 
6) x2 + 2xy + y2 - x - y - 12 
7) (x + 2)(x +3)(x + 4)(x + 5) - 24 
8) 4x4 - 32x2 + 1 
9) 3(x4 + x2 + 1) - (x2 + x + 1)2 
10) 64x4 + y4 
11) a6 + a4 + a2b2 + b4 - b6 
12) x3 + 3xy + y3 - 1 
13) 4x4 + 4x3 + 5x2 + 2x + 1 
14) x8 + x + 1 
15) x8 + 3x4 + 4 
16) 3x2 + 22xy + 11x + 37y + 7y2 +10 
17) x4 - 8x + 63 
k
n A = n(n - 1)(n - 2)[n - (k - 1)] 
www.VNMATH.com
6
20 CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG TOÁN 8 
TRƯỜNG THCS TIẾN THẮNG 
 
 
II. Hoán vị: 
1. Định nghĩa: Cho một tập hợp X gồm n phần tử. Mỗi cách sắp xếp n phần tử của tập hợp 
X theo một thứ tự nhất định gọi là một hoán vị của n phần tử ấy 
Số tất cả các hoán vị của n phần tử được kí hiệu Pn 
2. Tính số hoán vị của n phần tử 
( n! : n giai thừa) 
III. Tổ hợp: 
1. Định nghĩa: Cho một tập hợp X gồm n phần tử. Mỗi tập con của X gồm k phần tử 
trong n phần tử của tập hợp X ( 0  k  n) gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử ấy 
Số tất cả các tổ hợp chập k của n phần tử được kí hiệu kn C 
2. Tính số tổ hợp chập k của n phần tử 
 
 
 
C. Ví dụ: 
1. Ví dụ 1: 
Cho 5 chữ số: 1, 2, 3, 4, 5 
a) có bao nhiêu số tự nhiên có ba chữ số, các chữ số khác nhau, lập bởi ba trong các chữ 
số trên 
b) Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số, các chữ số khác nhau, lập bởi cả 5 chữ số trên 
c)Có bao nhiêu cách chọn ra ba chữ số trong 5 chữ số trên 
Giải: 
a) số tự nhiên có ba chữ số, các chữ số khác nhau, lập bởi ba trong các chữ số trên là 
chỉnh hợp chập 3 của 5 phần tử: 35 A = 5.(5 - 1).(5 - 2) = 5 . 4 . 3 = 60 số 
b) số tự nhiên có 5 chữ số, các chữ số khác nhau, lập bởi cả 5 chữ số trên là hoán vị cua 5 
phần tử (chỉnh hợp chập 5 của 5 phần tử): 
k
n C = nn A : k! = 
n(n - 1)(n - 2)...[n - (k - 1)]
k!
 
Pn = 
n
n A = n(n - 1)(n - 2) 2 .1 = n! 
www.VNMATH.com
7
20 CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG TOÁN 8 
TRƯỜNG THCS TIẾN THẮNG 
 55 A = 5.(5 - 1).(5 - 2).(5 - 3).(5 - 4) = 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 120 số 
c) cách chọn ra ba chữ số trong 5 chữ số trên là tổ hợp chập 3 của 5 phần tử: 
 3
5 C = 
5.(5 - 1).(5 - 2) 5 . 4 . 3 60 10
3! 3.(3 - 1)(3 - 2) 6
   nhóm 
2. Ví dụ 2: 
Cho 5 chữ số 1, 2, 3, 4, 5. Dùng 5 chữ số này: 
a) Lập được bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số trong đó không có chữ số nào lặp lại? Tính 
tổng các số lập được 
b) lập được bao nhiêu số chẵn có 5 chữ số khác nhau? 
c) Lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số, trong đó hai chữ số kề nhau phải khác 
nhau 
d) Lập được bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số, các chữ số khác nhau, trong đó có hai chữ 
số lẻ, hai chữ số chẵn 
Giải 
a) số tự nhiên có 4 chữ số, các chữ số khác nhau, lập bởi 4 trong các chữ số trên là chỉnh 
hợp chập 4 của 5 phần tử: 45 A = 5.(5 - 1).(5 - 2).(5 - 3) = 5 . 4 . 3 . 2 = 120 số 
Trong mỗi hang (Nghìn, trăm, chục, đơn vị), mỗi chữ số có mặt: 120 : 5 = 24 lần 
Tổng các chữ số ở mỗi hang: (1 + 2 + 3 + 4 + 5). 24 = 15 . 24 = 360 
Tổng các số được lập: 360 + 3600 + 36000 + 360000 = 399960 
b) chữ số tận cùng có 2 cách chọn (là 2 hoặc 4) 
bốn chữ số trước là hoán vị của của 4 chữ số còn lại và có P4 = 4! = 4 . 3 . 2 = 24 cách 
chọn 
Tất cả có 24 . 2 = 48 cách chọn 
c) Các số phải lập có dạng abcde , trong đó : a có 5 cách chọn, b có 4 cách chọn (khác a), 
c có 4 cách chọn (khác b), d có 4 cách chọn (khác c), e có 4 cách chọn (khác d) 
Tất cả có: 5 . 4 . 4 . 4 . 4 = 1280 số 
d) Chọn 2 trong 2 chữ số chẵn, có 1 cách chọn 
chọn 2 trong 3 chữ số lẻ, có 3 cách chọn. Các chữ số có thể hoán vị, do đó có: 
www.VNMATH.com
8
20 CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG TOÁN 8 
TRƯỜNG THCS TIẾN THẮNG 
1 . 3 . 4! =1 . 3 . 4 . 3 . 2 = 72 số 
Bài 3: Cho  0xAy 180 . Trên Ax lấy 6 điểm khác A, trên Ay lấy 5 điểm khác A. trong 12 
điểm nói trên (kể cả điểm A), hai điểm nào củng được nối với nhau bởi một đoạn thẳng. 
Có bao nhiêu tam giác mà các đỉnh là 3 trong 12 điểm ấy 
Giải 
Cách 1: Tam giác phải đếm gồm ba loại: 
+ Loại 1: các tam giác có một đỉnh là A, đỉnh thứ 2 thuộc 
Ax (có 6 cách chọn), đỉnh thứ 3 thuộc Ay (có 5 cách 
chọn), gồm có: 6 . 5 = 30 tam giác 
+ Loại 2: Các tam giác có 1 đỉnh là 1 trong 5 điểm B1, 
B2, B3, B4, B5 (có 5 cách chọn), hai đỉnh kia là 2 trong 6 
điểm A1, A2, A3, A4, A5, A6 ( Có 26 6.5 30 152! 2C    cách chọn) 
Gồm 5 . 15 = 75 tam giác 
+ Loại 3: Các tam giác có 1 đỉnh là 1 trong 6 điểm A1, A2, A3, A4, A5, A6 hai đỉnh kia là 2 
trong 5 điểm B1, B2, B3, B4, B5 gồm có: 6. 25 5.4 206. 6. 602! 2C    tam giác 
Tất cả có: 30 + 75 + 60 = 165 tam giác 
Cách 2: số các tam giác chọn 3 trong 12 điểm ấy là 312 12.11.10 1320 1320 2203! 3.2 6C     
Số bộ ba điểm thẳng hang trong 7 điểm thuộc tia Ax là: 37 7.6.5 210 210 353! 3.2 6C     
Số bộ ba điểm thẳng hang trong 6 điểm thuộc tia Ay là: 3
6
6.5.4 120 120 20
3! 3.2 6C     
Số tam giác tạo thành: 220 - ( 35 + 20) = 165 tam giác 
D. BÀI TẬP: 
Bài 1: cho 5 số: 0, 1, 2, 3, 4. từ các chữ số trên có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên: 
a) Có 5 chữ số gồm cả 5 chữ số ấy? 
b) Có 4 chữ số, có các chữ số khác nhau? 
c) có 3 chữ số, các chữ số khác nhau? 
x
yB5B4
B2B1
A5
A4
A3
A6
B3
A2A1
A
www.VNMATH.com
9
20 CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG TOÁN 8 
TRƯỜNG THCS TIẾN THẮNG 
d) có 3 chữ số, các chữ số có thể giống nhau? 
Bài 2: Có bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số lập bởi các chữ số 1, 2, 3 biết rằng số đó chia 
hết cho 9 
Bài 3: Trên trang vở có 6 đường kẻ thẳng đứng và 5 đường kẻ nằm ngang đôi một cắt 
nhau. Hỏi trên trang vở đó có bao nhiêu hình chữ nhật 
 
CHUYÊN ĐỀ 3 - LUỸ THỪA BẬC N CỦA MỘT NHỊ THỨC 
 
A. MỤC TIÊU: 
HS nắm được công thức khai triển luỹ thừa bậc n của một nhị thức: (a + b)n 
Vận dụng kiến thức vào các bài tập về xác định hệ số của luỹ thừa bậc n của một nhị 
thức, vận dụng vào các bài toán phân tích đa thức thành nhân tử 
B. KIẾN THỨC VÀ BÀI TẬP VẬN DỤNG: 
I. Nhị thức Niutơn: 
 
 
Trong đó: k n n(n - 1)(n - 2)...[n - (k - 1)]C 1.2.3...k 
II. Cách xác định hệ số của khai triển Niutơn: 
1. Cách 1: Dùng công thức k n n(n - 1)(n - 2)...[n - (k - 1)]C k ! 
Chẳng hạn hệ số của hạng tử a4b3 trong khai triển của (a + b)7 là 
4
7
7.6.5.4 7.6.5.4C 35
4! 4.3.2.1
   
Chú ý: a) k n
n !C 
n!(n - k) !
 với quy ước 0! = 1  47 7! 7.6.5.4.3.2.1C 354!.3! 4.3.2.1.3.2.1   
b) Ta có: k nC = k - 1 nC nên 4 37 7
7.6.5.C C 35
3!
   
2. Cách 2: Dùng tam giác Patxcan 
Đỉnh 1 
(a + b)n = an + 1nC a
n - 1 b + 2nC a
n - 2 b2 + + n 1nC
 ab n - 1 + bn 
www.VNMATH.com
10
20 CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG TOÁN 8 
TRƯỜNG THCS TIẾN THẮNG 
Dòng 1(n = 
1) 
 1 1 
Dòng 2(n = 
1) 
 1 2 1 
Dòng 3(n = 
3) 
 1 3 3 1 
Dòng 4(n = 
4) 
 1 4 6 4 1 
Dòng 5(n = 
5) 
 1 5 10 1
0 
 5 1 
Dòng 6(n = 
6) 
1 6 15 20 15 6 1 
Trong tam giác này, hai cạnh bên gồm các số 1; dòng k + 1 được thành lập từ dòng k 
 (k 1), chẳng hạn ở dòng 2 (n = 2) ta có 2 = 1 + 1, dòng 3 (n = 3): 3 = 2 + 1, 3 = 1 + 2 
dòng 4 (n = 4): 4 = 1 + 3, 6 = 3 + 3, 4 = 3 + 1, … 
Với n = 4 thì: (a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4 
Với n = 5 thì: (a + b)5 = a5 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 + 5ab4 + b5 
Với n = 6 thì: (a + b)6 = a6 + 6a5b + 15a4b2 + 20a3b3 + 15a2 b4 + 6ab5 + b6 
3. Cách 3: 
Tìm hệ số của hạng tử đứng sau theo các hệ số của hạng tử đứng trước: 
a) Hệ số của hạng tử thứ nhất bằng 1 
b) Muốn có hệ số của của hạng tử thứ k + 1, ta lấy hệ số của hạng tử thứ k nhân với số 
mũ của biến trong hạng tử thứ k rồi chia cho k 
Chẳng hạn: (a + b)4 = a4 + 1.41 a
3b + 4.3
2
a2b2 + 4.3.2
2.3
 ab3 + 4.3.2.
2.3.4
 b5 
Chú ý rằng: các hệ số của khai triển Niutơn có tính đối xứng qua hạng tử đứng giữa, nghĩa 
là các hạng tử cách đều hai hạng tử đầu và cuối có hệ số bằng nhau 
(a + b)n = an + nan -1b + n(n - 1)
1.2
an - 2b2 + …+ n(n - 1)
1.2
a2bn - 2 + nan - 1bn - 1 + bn 
www.VNMATH.com
11
20 CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG TOÁN 8 
TRƯỜNG THCS TIẾN THẮNG 
III. Ví dụ: 
1. Ví dụ 1: phân tích đa thức sau thành nhân tử 
a) A = (x + y)5 - x5 - y5 
Cách 1: khai triển (x + y)5 rồi rút gọn A 
A = (x + y)5 - x5 - y5 = ( x5 + 5x4y + 10x3y2 + 10x2y3 + 5xy4 + y5) - x5 - y5 
 = 5x4y + 10x3y2 + 10x2y3 + 5xy4 = 5xy(x3 + 2x2y + 2xy2 + y3) 
 = 5xy [(x + y)(x2 - xy + y2) + 2xy(x + y)] = 5xy(x + y)(x2 + xy + y2) 
Cách 2: A = (x + y)5 - (x5 + y5) 
x5 + y5 chia hết cho x + y nên chia x5 + y5 cho x + y ta có: 
x5 + y5 = (x + y)(x4 - x3y + x2y2 - xy3 + y4) nên A có nhân tử chung là (x + y), đặt (x + y) 
làm nhân tử chung, ta tìm được nhân tử còn lại 
b) B = (x + y)7 - x7 - y7 = (x7+7x6y +21x5y2 + 35x4y3 +35x3y4 +21x2y5 7xy6 + y7) - x7 - 
y7 
 = 7x6y + 21x5y2 + 35x4y3 + 35x3y4 + 21x2y5 + 7xy6 
 = 7xy[(x5 + y5 ) + 3(x4y + xy4) + 5(x3y2 + x2y3 )] 
 = 7xy {[(x + y)(x4 - x3y + x2y2 - xy3 + y4) ] + 3xy(x + y)(x2 - xy + y2) + 5x2y2(x + y)} 
 = 7xy(x + y)[x4 - x3y + x2y2 - xy3 + y4 + 3xy(x2 + xy + y2) + 5x2y2 ] 
 = 7xy(x + y)[x4 - x3y + x2y2 - xy3 + y4 + 3x3y - 3x2y2 + 3xy3 + 5x2y2 ] 
 = 7xy(x + y)[(x4 + 2x2y2 + y4) + 2xy (x2 + y2) + x2y2 ] = 7xy(x + y)(x2 + xy + y2 )2 
Ví dụ 2:Tìm tổng hệ số các đa thức có được sau khi khai triển 
a) (4x - 3)4 
Cách 1: Theo cônh thức Niu tơn ta có: 
(4x - 3)4 = 4.(4x)3.3 + 6.(4x)2.32 - 4. 4x. 33 + 34 = 256x4 - 768x3 + 864x2 - 432x + 81 
 Tổng các hệ số: 256 - 768 + 864 - 432 + 81 = 1 
b) Cách 2: Xét đẳng thức (4x - 3)4 = c0x4 + c1x3 + c2x2 + c3x + c4 
Tổng các hệ số: c0 + c1 + c2 + c3 + c4 
Thay x = 1 vào đẳng thức trên ta có: (4.1 - 3)4 = c0 + c1 + c2 + c3 + c4 
Vậy: c0 + c1 + c2 + c3 + c4 = 1 
www.VNMATH.com
12
20 CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG TOÁN 8 
TRƯỜNG THCS TIẾN THẮNG 
* Ghi chú: Tổng các hệ số khai triển của một nhị thức, một đa thức bằng giá trị của đa 
thức đó tại x = 1 
C. BÀI TẬP: 
Bài 1: Phân tích thành nhân tử 
a) (a + b)3 - a3 - b3 b) (x + y)4 + x4 + y4 
Bài 2: Tìm tổng các hệ số có được sau khi khai triển đa thức 
a) (5x - 2)5 b) (x2 + x - 2)2010 + (x2 - x + 1)2011 
 
 
CHUÊN ĐỀ 4 - CÁC BÀI TOÁN VỀ SỰ CHIA HẾT CỦA SỐ NGUYÊN 
A. MỤC TIÊU: 
* Củng cố, khắc sâu kiến thức về các bài toán chia hết giữa các số, các đa thức 
* HS tiếp tục thực hành thành thạo về các bài toán chứng minh chia hết, không chia hết, 
sốnguyên tố, số chính phương… 
* Vận dụng thành thạo kỹ năng chứng minh về chia hết, không chia hết… vào các bài 
toán cụ thể 
B.KIẾN THỨC VÀ CÁC BÀI TOÁN: 
I. Dạng 1: Chứng minh quan hệ chia hết 
1. Kiến thức: 
* Để chứng minh A(n) chia hết cho một số m ta phân tích A(n) thành nhân tử có một nhân 
tử làm hoặc bội của m, nếu m là hợp số thì ta lại phân tích nó thành nhân tử có các đoi 
một nguyên tố cùng nhau, rồi chứng minh A(n) chia hết cho các số đó 
* Chú ý: 
+ Với k số nguyên liên tiếp bao giờ củng tồn tại một bội của k 
+ Khi chứng minh A(n) chia hết cho m ta xét mọi trường hợp về số dư khi chia A(n) cho 
m 
+ Với mọi số nguyên a, b và số tự nhiên n thì: 
 
 
+) an - bn chia ht cho a - b (a  - b) 
+) a2n + 1 + b2n + 1 chia ht cho a + b 
+ (a + b)n = B(a) + bn 
+) (a + 1)n l BS(a )+ 1 
+)(a - 1)2n l B(a) + 1 
+) (a - 1)2n + 1 l B(a) - 1 
www.VNMATH.com
13
20 CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG TOÁN 8 
TRƯỜNG THCS TIẾN THẮNG 
 
2. Bài tập: 
 
2. Các bài toán 
Bài 1: chứng minh rằng 
a) 251 - 1 chia hết cho 7 b) 270 + 370 chia hết cho 13 
c) 1719 + 1917 chi hết cho 18 d) 3663 - 1 chia hết cho 7 nhưng không chia hết cho 
37 
e) 24n -1 chia hết cho 15 với n N 
Giải 
a) 251 - 1 = (23)17 - 1  23 - 1 = 7 
b) 270 + 370 (22)35 + (32)35 = 435 + 935  4 + 9 = 13 
c) 1719 + 1917 = (1719 + 1) + (1917 - 1) 
1719 + 1  17 + 1 = 18 và 1917 - 1  19 - 1 = 18 nên (1719 + 1) + (1917 - 1) 
hay 1719 + 1917  18 
d) 3663 - 1  36 - 1 = 35  7 
 3663 - 1 = (3663 + 1) - 2 chi cho 37 dư - 2 
e) 2 4n - 1 = (24) n - 1  24 - 1 = 15 
Bài 2: chứng minh rằng 
a) n5 - n chia hết cho 30 với n  N ; 
b) n4 -10n2 + 9 chia hết cho 384 với mọi n lẻ n Z 
c) 10n +18n -28 chia hết cho 27 với n N ; 
Giải: 
a) n5 - n = n(n4 - 1) = n(n - 1)(n + 1)(n2 + 1) = (n - 1).n.(n + 1)(n2 + 1) chia hết cho 6 vì 
(n - 1).n.(n+1) là tích của ba số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 2 và 3 (*) 
Mặt khác n5 - n = n(n2 - 1)(n2 + 1) = n(n2 - 1).(n2 - 4 + 5) = n(n2 - 1).(n2 - 4 ) + 5n(n2 - 1) 
 = (n - 2)(n - 1)n(n + 1)(n + 2) + 5n(n2 - 1) 
Vì (n - 2)(n - 1)n(n + 1)(n + 2) là tích của 5 số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 5 
www.VNMATH.com
14
20 CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG TOÁN 8 
TRƯỜNG THCS TIẾN THẮNG 
 5n(n2 - 1) chia hết cho 5 
Suy ra (n - 2)(n - 1)n(n + 1)(n + 2) + 5n(n2 - 1) chia hết cho 5 (**) 
Từ (*) và (**) suy ra đpcm 
b) Đặt A = n4 -10n2 + 9 = (n4 -n2 ) - (9n2 - 9) = (n2 - 1)(n2 - 9) = (n - 3)(n - 1)(n + 1)(n + 3) 
Vì n lẻ nên đặt n = 2k + 1 (k  Z) thì 
A = (2k - 2).2k.(2k + 2)(2k + 4) = 16(k - 1).k.(k + 1).(k + 2)  A chia hết cho 16 (1) 
Và (k - 1).k.(k + 1).(k + 2) là tích của 4 số nguyên liên tiếp nên A có chứa bội của 2, 3, 4 
nên A là bội của 24 hay A chia hết cho 24 (2) 
Từ (1) và (2) suy ra A chia hết cho 16. 24 = 384 
c) 10 n +18n -28 = ( 10 n - 9n - 1) + (27n - 27) 
+ Ta có: 27n - 27  27 (1) 
+ 10 n - 9n - 1 = [(
n
9...9 + 1) - 9n - 1] = 
n
9...9 - 9n = 9( 
n
1...1 - n)  27 (2) 
vì 9  9 và 
n
1...1 - n  3 do 
n
1...1 - n là một số có tổng các chữ số chia hết cho 3 
Từ (1) và (2) suy ra đpcm 
3. Bài 3: Chứng minh rằng với mọi số nguyên a thì 
a) a3 - a chia hết cho 3 
b) a7 - a chia hết cho 7 
Giải 
a) a3 - a = a(a2 - 1) = (a - 1) a (a + 1) là tích của ba số nguyên liên tiếp nên tồn tại một số 
là bội của 3 nên (a - 1) a (a + 1) chia hết cho 3 
b) ) a7 - a = a(a6 - 1) = a(a2 - 1)(a2 + a + 1)(a2 - a + 1) 
Nếu a = 7k (k  Z) thì a chia hết cho 7 
Nếu a = 7k + 1 (k Z) thì a2 - 1 = 49k2 + 14k chia hết cho 7 
Nếu a = 7k + 2 (k Z) thì a2 + a + 1 = 49k2 + 35k + 7 chia hết cho 7 
Nếu a = 7k + 3 (k Z) thì a2 - a + 1 = 49k2 + 35k + 7 chia hết cho 7 
Trong trường hợp nào củng có một thừa số chia hết cho 7 
Vậy: a7 - a chia hết cho 7 
www.VNMATH.com
15
20 CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG TOÁN 8 
TRƯỜNG THCS TIẾN THẮNG 
Bài 4: Chứng minh rằng A = 13 + 23 + 33 + ...+ 1003 chia hết cho B = 1 + 2 + 3 + ... + 100 
Giải 
Ta có: B = (1 + 100) + (2 + 99) + ...+ (50 + 51) = 101. 50 
Để chứng minh A chia hết cho B ta chứng minh A chia hết cho 50 và 101 
Ta có: A = (13 + 1003) + (23 + 993) + ... +(503 + 513) 
= (1 + 100)(12 + 100 + 1002) + (2 + 99)(22 + 2. 99 + 992) + ... + (50 + 51)(502 + 50. 51 + 
512) = 101(12 + 100 + 1002 + 22 + 2. 99 + 992 + ... + 502 + 50. 51 + 512) chia hết cho 101 
(1) 
Lại có: A = (13 + 993) + (23 + 983) + ... + (503 + 1003) 
Mỗi số hạng trong ngoặc đều chia hết cho 50 nên A chia hết cho 50 (2) 
Từ (1) và (2) suy ra A chia hết cho 101 và 50 nên A chi hết cho B 
Bài tập về nhà 
Chứng minh rằng: 
a) a5 – a chia hết cho 5 
b) n3 + 6n2 + 8n chia hết cho 48 với mọi n chẵn 
c) Cho a l à số nguyên tố lớn hơn 3. Cmr a2 – 1 chia hết cho 24 
d) Nếu a + b + c chia hết cho 6 thì a3 + b3 + c3 chia hết cho 6 
e) 20092010 không chia hết cho 2010 
f) n2 + 7n + 22 không chia hết cho 9 
Dạng 2: Tìm số dư của một phép chia 
Bài 1: 
Tìm số dư khi chia 2100 
a)cho 9, b) cho 25, c) cho 125 
Giải 
a) Luỹ thừa của 2 sát với bội của 9 là 23 = 8 = 9 - 1 
Ta có : 2100 = 2. (23)33 = 2.(9 - 1)33 = 2.[B(9) - 1] = B(9) - 2 = B(9) + 7 
Vậy: 2100 chia cho 9 thì dư 7 
b) Tương tự ta có: 2100 = (210)10 = 102410 = [B(25) - 1]10 = B(25) + 1 
www.VNMATH.com
16
20 CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG TOÁN 8 
TRƯỜNG THCS TIẾN THẮNG 
Vậy: 2100 chia chop 25 thì dư 1 
c)Sử dụng công thức Niutơn: 
2100 = (5 - 1)50 = (550 - 5. 549 + … + 
50.49
2
. 52 - 50 . 5 ) + 1 
Không kể phần hệ số của khai triển Niutơn thì 48 số hạng đầu đã chứa thừa số 5 với số mũ 
lớn hơn hoặc bằng 3 nên đều chia hết cho 53 = 125, hai số hạng tiếp theo: 50.49
2
. 52 - 50.5 
cũng chia hết cho 125 , số hạng cuối cùng là