Chuyên đề 3. chữ số tận cùng của một số tự nhiên

Phân lo ại và ph ươ ng pháp gi ải các chuyên đề toán trên máy tính điện t ử 
 Chuyên đề 3. CH Ữ SỐ T ẬN CÙNG C ỦA M ỘT S Ố T Ự NHIÊN 
1. Ph ươ ng pháp gi ải toán qua các bài toán. 
Ví d ụ 1. Tìm ch ữ s ố hàng đơ n v ị c ủa s ố 17 2002 
 Hướng d ẫn 
 1000
Ta có: 172≡ 9 (mod 10) ⇒( 17 2) = 17 2000 ≡ 9 1000 (mod 10) 
Mặt khác ta l ại có: 92≡ 1 (mod 10) ⇒ 9 1000 ≡ 1 (mod 10) 
⇒172000 ≡ 1 (mod 10) ⇒172000 .17 2 = 17 2002 ≡ 1.9 ≡ 9 (mod 10) . 
Vậy ch ữ s ố t ận cùng c ủa 17 2002 là 9 
Ví d ụ 2. Tìm ch ữ s ố hàng ch ục của s ố 23 2005 . 
 Hướng d ẫn 
Ta có: 
231 ≡ 23 (mod100)
232 ≡ 29 (mod100)
233 ≡ 67 (mod100)
234 ≡ 41 (mod100)
Do đó: 
 5
2320= 23 4 ≡ 41 5 ≡ 01 (mod 100) ⇒ 232000 ≡ 01 100 ≡ 01 (mod 100)
 ( ) 
⇒232005 = 23 1 .23 4 .23 2000 ≡ 23.41.01 ≡ 43 (mod 100)
Vậy ch ữ s ố hàng ch ục c ủa s ố 23 2005 là 4 
Ví d ụ 3. Tìm hai ch ữ s ố t ận cùng c ủa S =1 + 3 + 32 + 3 3 + .. + 3 30 
 Hướng d ẫn 
Cách 1 : (tính trên máy tính casio fx-570ES và các máy tính điện t ử có tính n ăng t ươ ng đươ ng) 
 331− 1 3 31 − 1
Ta có : S = = 
 3− 1 2
 331 − 1 331 − 1
Th ực hi ện phép chia trên máy tính điện t ử ta được k ết qu ả ≈ 3,088366981.10 14 , 
 2 2
 331 − 1
suy ra k ết qu ả S = là m ột s ố có 15 ch ữ s ố mà 9 ch ữ s ố đầ u tiên (tính t ừ bên trái sang) là 
 2
Biên so ạn: Nguy ễn V ăn Ch ạy 1 Điện tho ại: 0935.237.247 
Phân lo ại và ph ươ ng pháp gi ải các chuyên đề toán trên máy tính điện t ử 
308836698 , khi đó b ấm Ans − 3,08836698.10 14 ta được k ết qu ả là 141973, t ức là 6 ch ữ s ố ti ếp 
theo (c ũng là 6 ch ữ s ố t ận cùng) c ủa S là 141973. Do đó ch ữ s ố t ận cùng c ủa S là ch ữ s ố 3. 
Cách 2: 
Sử d ụng k ết qu ả a4n+ 1 ≡ a(mod 10) ∀ n , a ∈ ℕ ta suy ra: 
313≡ 3( mod 10) , 3 14 ≡ 3 2( mod 10) ,.., 3 25 ≡ 3( mod 10) ,.., 3 30 ≡ 3 6 ( mod 10 ) 
⇒S ≡1 +( 3 + 32 + .. + 3 12) +( 3 + 3 2 + .. + 3 12) +( 3 + 3 2 + .. + 3 6 ) = 1595413 ≡ 3( mod 10 )
Vậy ch ữ s ố t ận cùng c ủa S là ch ữ s ố 3. 
Ví d ụ 4. Tìm hai ch ữ s ố t ận cùng c ủa s ố 12 2010 
 Đề thi h ọc sinh gi ỏi GTTMT ĐT c ủa t ỉnh Cà Mau, 2010-2011 
 Hướng d ẫn 
Cách 1: 
125≡ 32( mod 10 2 )
⇒1210 ≡ 32 2 ≡ 24( mod 10 2 )
⇒1230 ≡ 24 3 ≡ 24( mod 10 2 )
⇒1260 ≡ 24 2 ≡ 76( mod 10 2 )
 33
⇒121980 =( 12 60 ) ≡ 76 33 ≡ 76( mod 10 2 )
⇒122010 = 12 1980 .12 30 ≡ 76.24 ≡ 24( mod 10 2 )
Vậy hai ch ữ s ố t ận cùng c ủa s ố 12 2010 là 24 . 
Cách 2: 
Ta có: 
1220≡ 76( mod 10 2 )
 100
⇒122000 =( 12 20 ) ≡ 76 100 ≡ 76( mod 10 2 ) 
⇒122010 = 12 2000 .12 10 ≡ 76.12 10 ≡ 24( mod 10 2 )
Vậy hai ch ữ s ố t ận cùng c ủa s ố 12 2010 là 24 . 
 4
Ví d ụ 5. Tìm ch ữ s ố cu ối cùng c ủa số 23 
 Hướng d ẫn 
Cách 1: 
 Xét các lu ỹ th ừa c ủa 2 khi chia cho 10, ta được k ết qu ả sau: 
 21 22 23 24 25 26 27 28 29 210 211 ... 
 (2 4 8 6) (2 4 8 6) (2 4 8 ... 
Biên so ạn: Nguy ễn V ăn Ch ạy 2 Điện tho ại: 0935.237.247 
Phân lo ại và ph ươ ng pháp gi ải các chuyên đề toán trên máy tính điện t ử 
Hàng th ứ hai cho ta th ấy r ằng các s ố d ư l ặp l ại tu ần hoàn chu k ỳ 4 s ố (2, 4, 8, 6). 
 4
Ta có: 3 4 = 81 ≡ 1 (mod 4) ⇒ s ố d ư khi chia 23 cho 10 là 2 
 4
Vậy ch ữ s ố cu ối cùng c ủa s ố 23 là ch ữ s ố 2. 
Cách 2: 
Ta có: 220≡ 76( mod 10 2) ⇒ 2 80 ≡ 76 4 ≡ 76( mod 10 2 ) 
 4
⇒23 = 2 81 = 2 80 .2 ≡ 76.2 = 152 ≡ 52( mod 10 2 ) 
 4
Vậy ch ữ s ố t ận cùng c ủa s ố 23 là ch ữ s ố 2 
Nh ận xét : v ận d ụng ki ến th ức đồ ng d ư th ức v ẫn đi đến k ết qu ả, tuy nhiên cách làm ở cách 1 
cũng có điều thú v ị. 
Ví d ụ 6. Cho B =10110 + 102 11 + 103 12 + 104 13 + 105 14 . Tìm hai ch ữ s ố t ận cùng c ủa B 
 Đề thi h ọc sinh gi ỏi GTTMT ĐT vòng 1 c ủa TP. HCM, 2008-2009 
 Hướng d ẫn 
Hai ch ữ s ố t ận cùng c ủa B c ũng b ằng hai ch ữ s ố t ận cùng c ủa t ổng 
A =0110 + 02 11 + 03 12 + 04 13 + 05 14 . Vì A = 6171157979 nên hai ch ữ s ố tận cùng c ủa B là 
79 
Nh ận xét: n ếu tính toán có s ử d ụng máy tính điện t ử k ết h ợp v ới tính trên gi ấy thì ta được giá tr ị 
của B là B = 19967261650217155351815877579 , t ừ đó c ũng k ết lu ận được hai ch ữ s ố t ận 
cùng c ủa B là 79 
Ví d ụ 7. Tìm hai ch ữ s ố cu ối cùng c ủa s ố 21999+ 2 2000 + 2 2001 
 Đề thi h ọc sinh gi ỏi GTTMT ĐT d ự b ị c ấp khu v ực, 2001-2002 
 Hướng d ẫn 
Cách 1: 
Ta có: 220≡ 76( mod 10 2 ) 
Suy ra: 
 99
21980= 2 20 ≡ 76 99 ≡ 76 mod 10 2
 ( ) ( ) 
⇒21999 = 2 1980 .2 19 ≡ 76.2 19 ≡ 88( mod 10 2 )
Do đó suy ra 21999+ 2 2000 + 2 2001 ≡ 88 + 2.88 + 2 2 .88 = 616 ≡ 16( mod 10 2 ) 
Vậy hai ch ữ s ố t ận cùng c ủa s ố 21999+ 2 2000 + 2 2001 là 16 
Cách 2: 
Xét các l ũy th ừa c ủa 2 khi chia cho 100, ta được b ảng k ết qu ả sau: 
 21 22 23 24 25 26 27 28 29 210 211 212 
 2 (4 8 16 32 64 28 56 12 24 48 96 
Biên so ạn: Nguy ễn V ăn Ch ạy 3 Điện tho ại: 0935.237.247 
Phân lo ại và ph ươ ng pháp gi ải các chuyên đề toán trên máy tính điện t ử 
 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 
 92 84 68 36 72 44 88 76 52) (4 8 16 
⇒ các s ố d ư l ặp l ại tu ần hoàn theo chu kì 20 s ố (t ừ s ố 4 đế n s ố 52). 
Ta có: 
 1999 ≡ 19 (mod 20) ⇒ s ố d ư khi chia 2 1999 cho 100 là 88 
 2000 ≡ 0 (mod 20) ⇒ s ố d ư khi chia 2 2000 cho 100 là 76 
 2001 ≡ 1 (mod 20) ⇒ s ố d ư khi chia 2 2001 cho 100 là 52 
⇒ 88 + 76 + 52 = 216 ≡ 16 (mod 100) 
⇒ s ố d ư c ủa s ố A = 2 1999 + 2 2000 + 2 2001 khi chia cho 100 là 16 hay hai ch ữ s ố cu ối cùng c ủa s ố 
A là 16. 
Nh ận xét v ề ph ươ ng pháp gi ải toán: 
Để tìm k ch ữ s ố t ận cùng c ủa m ột s ố t ự nhiên d ạng l ũy th ừa A , chúng ta có th ể gi ải theo các 
cách gi ải sau: 
- Cách 1 ( sử dùng đồng d ư th ức): yêu c ầu tìm k ch ữ s ố t ận cùng c ủa m ột s ố A d ạng l ũy th ừa 
tươ ng đươ ng yêu c ầu tìm s ố d ư c ủa phép chia s ố A v ới 10, 100, 1000, 10000,… 
Do đó k ch ữ s ố t ận cùng c ủa m ột s ố A chính b ằng số d ư khi chia A cho 10 k . 
- Cách 2 ( sử dùng qui lu ật s ố l ũy th ừa): muốn tìm k ch ữ s ố c ủa m ột s ố d ạng l ũy th ừa thì ta th ực 
hi ện các b ước sau: 
 - B ước 1 : Tìm chu kì tu ần hoàn j c ủa k ch ữ s ố sau l ần th ứ m l ũy th ừa. 
 - B ước 2 : Tìm s ố d ư khi chia s ố l ũy th ừa cho j. 
 - B ước 3 : K ết lu ận k ch ữ s ố c ần tìm qua phép đếm (dùng đồng d ư th ức). 
Cả hai cách trên đều s ử d ụng ki ến th ức v ề đồ ng d ư th ức trong th ực hành tính toán. 
Với ki ến th ức v ề đồ ng d ư th ức, chúng ta có th ể gi ải quy ết được các bài toán tìm k ch ữ s ố t ận 
cùng c ủa m ột s ố nguyên, tìm s ố d ư trong phép chia 2 s ố nguyên có ch ứa l ũy th ừa ở s ố b ị chia… 
Ngoài ra, n ếu k ết h ợp thêm các ghi nh ớ v ề các ch ữ s ố b ất bi ến khi l ũy th ừa b ất kì và k ĩ n ăng 
phân tích thành nhân t ử h ằng s ố nh ạy bén thì s ẽ rút ng ằn th ời gian làm bài và tránh nh ầm l ẫn. 
Ph ươ ng pháp tìm chu kì các ch ữ s ố khi l ũy th ừa c ũng mang l ại nhi ều k ết qu ả thú v ị, tính hi ệu qu ả 
của cách làm này trong m ột s ố bài toán đặc bi ệt s ẽ nhanh h ơn s ử d ụng đồ ng d ư th ức. 
2. Bài t ập t ự luy ện. 
 1991
Bài 1. Tìm ba ch ữ s ố t ận cùng c ủa s ố 32 
 Đề thi h ọc sinh gi ỏi GTTMT ĐT c ủa huy ện Nho Quan, 2008-2009 
Bài 2. Tìm ba ch ữ s ố cu ối cùng c ủa s ố 73411 
Bài 3. Tìm ch ữ s ố hàng đơ n v ị, hàng ch ục, hàng tr ăm, hàng nghìn c ủa s ố t ự nhiên A = 2011 2010 
 Đề thi h ọc sinh gi ỏi GTTMT ĐT c ủa t ỉnh Th ừa Thiên Hu ế, 2010-2011 
Bài 4. Tìm ch ữ s ố hàng tr ăm c ủa s ố 29 2007 
 Đề thi h ọc sinh gi ỏi GTTMT ĐT c ủa t ỉnh Th ừa Thiên Hu ế, 2005-2006 
 12
Bài 5. Tìm ch ữ s ố hàng nghìn c ủa s ố sau: 65 
Bài 6. Tìm ch ữ s ố hàng ch ục c ủa s ố 23 2005 
Bài 7. Tìm 4 ch ữ s ố cu ối c ủa 1996 2010 
Bài 8. Tìm 5 ch ữ s ố hàng tận cùng c ủa s ố 6 2005 
Biên so ạn: Nguy ễn V ăn Ch ạy 4 Điện tho ại: 0935.237.247 
Phân lo ại và ph ươ ng pháp gi ải các chuyên đề toán trên máy tính điện t ử 
Bài 9. Tìm 3 ch ữ s ố t ận cùng c ủa s ố A = 2 1 + 2 2 + 2 3 + ….+ 2 2010 
Bài 10. Tìm t ổng các ch ữ s ố hàng đơ n v ị, hàng ch ục và hàng tr ăm c ủa s ố sau: 
 M =241523 + 632 324 + 23 243 
Bài 11. Tìm 3 ch ữ s ố t ận cùng c ủa C = 5 2009 + 5 2010 + 5 2011 
Bài 12. Tìm 3 ch ữ s ố t ận cùng c ủa s ố t ự nhiên sau: 2231 .42 245 .23 41 
Bài 13. Tìm 3 ch ữ s ố t ận cùng c ủa s ố M =12 + 2 2 + 3 2 + ... + 2010 2 + 2011 2 + 124254 3 
Bài 14. Tìm 4 ch ữ s ố t ận cùng c ủa tích các s ố t ự nhiên sau: 
 N = 1354768368949.93664736753.9474663648386. 75765.878.98 
Nguy ễn V ăn Ch ạy 
Giáo viên tr ường THCS&THPT Bàu Hàm, xã Bàu Hàm, huy ện Tr ảng Bom, t ỉnh Đồ ng Nai 
Số nhà: 21/5, khu 4, ấp H ưng Bình, xã H ưng Th ịnh, huy ện Tr ảng Bom, t ỉnh Đồ ng Nai. 
Email: vanchaybauham@gmail.com 
Điện tho ại: 0935.237.247 
Biên so ạn: Nguy ễn V ăn Ch ạy 5 Điện tho ại: 0935.237.247