Chuyên đề Bài tập Vecto Toán 10

 Hình Học 10 - 1 - 
 Gv : Trần Duy Thái 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
TRƯỜNG THPT GÒ CÔNG ĐÔNG 
 
TÀI LIỆU HỌC TẬP 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 GV: Trần Duy Thái 
 
 
 
 
 
CHƯƠNG I: VECTƠ 
 
 Hình Học 10 - 2 - 
 Gv : Trần Duy Thái 
§ 1 : CÁC ĐỊNH NGHĨA 
 
A. TÓM TẮT LÍ THUYẾT: 
 
• Vectơ là đoạn thẳng có hướng. Ký hiệu : 




AB ;




CD hoặc 

a ;

b 
• Vectơ – không là vectơ có điểm đầu trùng điểm cuối. Ký hiệu 

0 . 
• Giá của vectơ là đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của vectơ đó. 
• Hai vectơ cùng phương là hai vectơ có giá song song hoặc trùng nhau. 
• Hai vectơ cùng phương thì hoặc cùng hướng hoặc ngược hướng 
• Hai vecto cùng hướng thì luôn cùng phương. 
• Độ dài vecto 




AB chính là độ dài đoạn thẳng AB. Kí hiệu: 




AB = AB 
• Hai vectơ bằng nhau nếu chúng cùng hướng và cùng độ dài 
 Vậy: 
, cïng h−íng
a b
a b
a b
 =
= ⇔ 

 
 
  

Các phương pháp chứng minh: 
• Ba điểm A,B,C thẳng hàng ⇔



 



,AB AC cùng phương. 
• Chứng minh = ⇔



 



AB DC ABCD là hình bình hành. 
 
B. CÁC DẠNG BÀI TẬP: 

Dạng 1: Xác định một vectơ, sự cùng phương và hướng của hai vectơ 
Phương pháp giải: 
• Để xác định vectơ ta cần biết độ dài và hướng của vectơ, hoặc biết điểm đầu và 
điểm cuối của vectơ đó. Ví dụ 2 điểm phân biệt A, B ta có 2 vectơ khác nhau là 




AB và




BA . 
• Vectơ 

a là vectơ-không khi và chỉ khi =

0a hoặc =
 



a AA với A là điểm bất kì. 
Bài tập: 
Bài 1: Cho ∆ABC . Có bao nhiêu vectơ được lập ra từ các cạnh của tam giác đó. 
Bài 2: Cho 4 điểm phân biệt A, B, C, D. Có bao nhiêu vectơ được lập ra từ 4 điểm đã 
cho. 
Bài 3: Cho ngũ giác ABCDE. 
 a). Có bao nhiêu vectơ được lập ra từ các cạnh và đường chéo của ngũ giác. 
 b). Có bao nhiêu vectơ được lập ra từ các dỉnh của ngũ giác. 

Dạng 2: Khảo sát sự bằng nhau của 2 vectơ. 
Phương pháp giải: Để chứng minh 2 vectơ bằng nhau có 3 cách: 
• 
 à cïng h−íng
a b
a b
a v b
= 
⇒ =

 
 
  
 
 
 Hình Học 10 - 3 - 
 Gv : Trần Duy Thái 
• ABCD là hbh ⇒ =



 



AB DC và =



 



BC AD 
• Nếu 

a = 

b ,

b = 

c thì 

a = 

c 
Bài tập: 
Bài 1: Cho tam giác ABC có D, E, F lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB. Tìm các 
vectơ bằng nhau và chứng minh. 
Bài 2: Cho điểm M và 

a . Dựng điểm N sao cho: 
 a). =




 
MN a b). 





MN cùng phương với 

a và có độ dài bằng 

a . 
Bài 3: Cho hình vuông ABCD tâm O. Liệt kê tất cả các vectơ bằng nhau (khác 

0 ) 
nhận đỉnh và tâm của hình vuông làm điểm đầu và điểm cuối. 
Bài 4: Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm các cạnh AD, BC. Chứng 
minh rằng nếu =




 



MN AB và =




 



MN DC , thì ABCD là hình bình hành. 
Bài 5: Cho tứ giác ABCD, chứng minh rằng nếu =



 



AB DC thì =



 



AD BC . 
Bài 6: Cho hình bình hành ABCD. Gọi E là điểm đối xứng với C qua D. Chứng tỏ: 
=



 



AE BD . 
Bài 7: Cho hình bình hành ABCD. Lấy điểm M trên đoạn AB và điểm N trên đoạn CD 
sao cho AM=CN. Chứng minh: =



 




AN MC và =




 



MD BN . 
Bài 8: Cho hình bình hành ABCD. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD. 
AN và CM lần lượt cắt BD tại E và F. Chứng ming rằng: = =



 


 



EDE F FB . 
Bài 9: Cho tam giác ABC và điểm M ở trong tam giác. Gọi A’, B’, C’ lần lượt là trung 
điểm của BC, CA, AB và M, N, P lần lượt là các điểm đối xứng với M qua A’, B’, C’. 
Chứng minh: 
a). =



 



AQ CN và =




 



AM PC b). AN, BP, CQ đồng quy. 
Bài 10: Cho lục giác đều ABCDEF có tâm O. 
a). Tìm các vecto khác 

0 và cùng phương với 




OA . 
b). Tìm các vecto bằng vecto 



 



,AB OE . 
Bài 11: Cho hình bình hành ABCD có tâm là O.Tìm các vectơ từ 5 điểm A,B,C,D,O: 
a). Bằng vectơ 




AB ; 




OB . b). Có độ dài bằng 




OB . 
Bài 12: Cho tam giác đều ABC . Các đẳng thức sau đây đúng hay sai? 
a). =



 



AB BC b). = −



 



AB AC c). =



 



AB AC 
Bài 13 : Cho tứ giác ABCD, gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm AB, BC, CD, DA. 
Chứng minh : = =




 


 


 




;MN QP NP MQ . 
Bài 14: Cho hình bình hành ABCD. Hai điểm M và N lần lượt là trung điểm của BC và 
AD. Gọi I là giao điểm AM và BN, K là giao điểm DM và CN. 
CMR: = =




 


 


 


,AM NC DK NI . 
Bài 15 : Cho tam giác ABC có trực tâm H và O tâm là đường tròn ngoại tiếp . Gọi B’ 
là điểm đối xứng B qua O . Chứng minh : =



 




'AH B C . 
 
 Hình Học 10 - 4 - 
 Gv : Trần Duy Thái 
 
 
 
§ 2 : TỔNG VÀ HIỆU CỦA CÁC VECTƠ 
 
A. TÓM TẮT LÍ THUYẾT: 
 
* Định nghĩa: Cho =



 
AB a ; =



 
BC b . Khi đó = +



  
AC a b 
* Tính chất : * Giao hoán : +
 
a b = +
 
b a 
 * Kết hợp : ( +
 
a b ) +

c = +
 
(a b +

c ) 
 * Tính chất vectơ –không : 

a +

0 =

a 
* Quy tắc 3 điểm : Cho A, B ,O tùy ý, ta có : 
• = +



 


 



AB AO OB (phép cộng) 
• = −



 


 



AB OB OA (phép trừ) 
* Quy tắc hình bình hành: Nếu ABCD là hình bình hành thì = +



 


 



AC AB AD 
* Vecto đối: Vecto đối của vecto 

a là một vecto có cùng độ dài nhưng ngược hướng. 
Kí hiệu: −

a . Vậy + − =
  
( ) 0a a . 
 Chú ý: = −



 



AB BA 
* Tính chất trung điểm và tính chất trọng tâm: 
• I là trung điểm AB ⇔ + =


 

 
0IA IB 
• G là trọng tâm ∆ABC ⇔ + + =



 


 


 
0GA GB GC 
 
B. CÁC DẠNG BÀI TẬP: 

 Dạng 1: Tìm tổng của hai vectơ và tổng của nhiều vectơ 
Phương pháp giải: 
Dùng định nghĩa tổng của 2 vectơ, quy tắc 3 điểm, quy tắc hbh và các tính chất 
của tổng các vectơ 
Bài tập: 
Bài 1: Cho hbh ABCD. Hai điểm M và N lần lượt là trung điểm của BC và AD. 
a). Tìm tổng của 2 vectơ 




NC và 





MC ; 





AM và 




CD ; 




AD và 




NC . 
b). Chứng minh + = +




 


 


 



AM AN AB AD . 
Bài 2: Cho lục giác đều ABCDEFF tâm O. Chứng minh 
+ + + + + =



 


 


 


 


 


 
OF 0OA OB OC OD OE . 
Bài 3: Cho năm điểm A, B, C, D, E. Hãy tính tổng + + +



 


 


 



AB BC CD DE . 

 Dạng 2: Tìm vectơ đối và hiệu của 2 vectơ 
Phương pháp giải: 
• Theo định nghĩa, tìm hiệu 

a - 

b , ta làm hai bước sau: 
- Tìm vectơ đối của 

b 
 Hình Học 10 - 5 - 
 Gv : Trần Duy Thái 
- Tính tổng + −
 
( )a b 
• Vận dụng quy tắc − =



 


 



OA OB BA với ba điểm O, A, B bất kì. 
Bài Tập: 
Bài 1: Cho tam giac ABC. Các điểm M, N và P lần lượt là trung điểm của AB, AC và 
BC. 
a). Tìm hiệu − − − −




 


 



 


 



 


 


 



, , ,AM AN MN NC MN PN BP CP . 
b). Phân tích 





AM theo 2 vectơ 





MN và 




MP . 
Bài 2: Cho 4 điểm A, B, C, D. Chứng minh − = −



 


 


 



AB CD AC BD 
Bài 3: Cho 2 điểm phân biệt A và B. Tìm điểm M thỏa mãn 1 trong các điều kiện sau: 
a). − =



 


 



MA MB BA b). − =



 


 



MA MB AB c). + =



 


 
0MA MB 
Bài 4: Chứng minh rằng điểm I là trung điểm của đoạn thẳng AB khi và chỉ khi 
= −


 


IA IB . 

 Dạng 3: Chứng minh đẳng thức vectơ: 
Phương pháp giải: 
 + Sử dụng qui tắc ba điểm;quy tắc hình bình hành; trung điểm. 
 + Vận dụng các các chứng minh đẳng thức: biến đổi VT thành VP và ngược lại; 
biến đổi hai vế cùng thành một đẳng thức; biến đổi đẳng thức đã cho thành một đẳng 
thức luôn đúng. 
Bài tập: 
Bài 1: Cho 4 điểm bất kỳ A, B, C, D. Chứng minh các đẳng thức sau: 
a). + = +



 


 


 



AC BD AD BC b). + = +



 


 


 



AB CD AD CB c). − = −



 


 


 



AB CD AC BD . 
Bài 2: Cho 6 điểm A, B, C, D, E, F tùy ý. Chứng minh rằng: 
 + + = + +



 


 


 


 


 



E AAC BD F F BC ED . 
Bài 3: Cho hình bình hành ABCD tâm O. Chứng minh: 
 − = −



 


 


 



BD BA OC OB và − + =



 


 


 
0BC BD BA . 
Bài 4: Cho hình bình hành ABCD tâm O. M là điểm tùy ý. Chứng minh: 
 + =



 


 



AB OA OB và + = +



 



 


 




MA MC MB MD . 
Bài 5: Cho hình bình hành ABCD. Gọi M và N là trung điểm của AD và BC. Chứng 
minh rằng: 
 a). + + =



 


 


 
0AD MB NA b). − + =



 


 


 
0CD CA CB 
Bài 6: Cho 6 điểm A, B, C, D, E, F. CMR : (Bằng nhiều cách khác nhau) 
a). + = +



 


 


 



AB CD AD CB b). − = +



 


 


 



AB CD AC DB 
c). − = −



 


 


 



AB AD CB CD d). + + + =



 


 


 


 
0AB BC CD DA 
e). + + = + +



 


 


 


 


 



AD BE CF AE BF CD f) + − − + =



 


 


 


 


 



AC DE DC CE CB AB 
Bài 7: Cho hình bình hành ABCD, M tùy ý. Cm: + = +



 



 


 




MA MC MB MD 
Bài 8: ∆ ABC có G là trọng tâm, các điểm M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh 
AB, BC, CA. Chứng minh + + =




 


 


 
 0GM GN GP 
Bài 9: Cho hình bình hành ABCD có tâm O. CMR: 
 Hình Học 10 - 6 - 
 Gv : Trần Duy Thái 
 a). − =



 


 



CO OB BA b). − =



 


 



AB BC DB 
 c). − = −



 


 


 



DA DB OD OC d). − + =



 


 


 
0DA DB DC 
Bài 10: Cho ∆ABC . Bên ngoài của tam giác vẽ các hình bình hành ABIJ, BCPQ, 
CARS. Chứng minh: + + =


 

 

 
0RJ IQ PS . 
Bài 11: Cho lụ giác đều ABCDEF có tâm là O . CMR : 
a). 




OA +




OB +




OC +




OD +




OE +




OF =

0 b). 




OA +




OC +




OE = 

0 
c). 




AB +




AO +




AF =




AD d). 




MA +





MC +




ME = 




MB +





MD +




MF ( M tùy ý ) 
Bài 12: Cho 7 điểm A ; B ; C ; D ; E ; F ; G . Chứng minh rằng : 
a). 




AB + 




CD + 




EA = 




CB + 




ED 
b). 




AD + 




BE + 




CF = 




AE + 




BF + 




CD 
c). 




AB + 




CD + 




EF + 




GA = 




CB + 




ED + 




GF 
d). 




AB - 




AF + 




CD - 




CB + 




EF - 




ED = 

0 
Bài 13: Cho tam giác ABC. Gọi M,N,P là trung điểm AB, AC, BC. CMR: với điểm O 
bất kì: + + = + +



 


 


 



 


 



OA OB OC OM ON OP 
Bài 14 : Cho tam giác ABC . Gọi A’ la điểm đối xứng của B qua A, B’ là điểm đối 
xứng với C qua B, C’ là điểm đối xứng của A qua C. Với một điểm O bất kỳ, CMR: 
+ + = + +



 


 


 


 



 




' ' 'OA OB OC OA OB OC 
Bài 15: Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O , trực tâm H , vẽ đường 
kính AD 
a). Chứng minh rằng 




HB + 




HC = 




HD 
b). Gọi H’ là đối xứng của H qua O .Chứng minh rằng 




HA + 




HB + 




HC = 





'HH 
Bài 16: CMR: =



 



AB CD khi và chỉ khi trung điểm của hai đoạn thẳng AD và BC 
trùng nhau. 
Bài 17: Cho hình bình hành ABCD tâm O . Đặt 




AO = 

a ; 




BO = 

b 
 Tính 




AB ; 




BC ; 




CD ; 




DA theo 

a và 

b 
Bài 18: Cho tam giác ABC. Xác định điểm M sao cho − + =



 


 



 
0MA MB MC 

 Dạng 4: Tính độ dài của vectơ: 
Phương pháp giải: 
Đưa tổng hoặc hiệu của các vectơ về một vectơ có độ dài là một cạnh của đa giác. 
Bài tập: 
Bài 1: Cho tam giác ABC vuông tại A biết AB=a, AC=2a. Tính: +



 



AB AC và 
−



 



AB AC 
Bài 2: Cho tam giác đều ABC cạnh a. Tính: +



 



AB BC và −



 



CA CB . 
 Hình Học 10 - 7 - 
 Gv : Trần Duy Thái 
Bài 3: Cho tam giác ABC vuông tại A biết AB=a và  = 060B . Tính: +



 



AB BC và 
−



 



AB AC . 
Bài 4: Cho tam giác đều ABC cạnh a và đường cao AH. Tính: +



 



AB AC ; 
+



 



AB BH ; −



 



AB AC . 
Bài 5: Cho hình vuông ABCD cạnh a . Tính 




BC + 




AB  ; 




AB - 




AC  theo a 
Bài 6: Cho hình thoi ABCD có  = 060BAD và cạnh là a. Gọi O là giao điểm hai 
đường chéo. Tính: 
a. +



 



AB AD b. −



 



BA BC c. −



 



OB DC 
Bài 7: Cho hình vuông ABCD cạnh a có O là giao điểm hai đường chéo. Tính 
a. −



 



OA CB b. +



 



AB DC c. −



 



CD DA 
Bài 8: Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. 
 a. Với M tùy ý, Hãy chứng minh + = +



 



 


 




 MA MC MB MD 
 b. Chứng minh rằng: + = −



 


 


 



 AB AD AB AD 
Bài 9: Cho 2 véc tơ 

a và 

b cùng khác 

0 . Khi nào thì: 
a) + = +
   
a b a b ; b) + = −
   
a b a b ; C) − = −
   
a b a b 
Bài 10: Tìm tính chất tam giác ABC, biết rằng : 




CA + 




CB  = 




CA - 




CB 
 
§ 3. TÍCH CỦA VECTƠ VỚI MỘT SỐ 
 
 
A. TÓM TẮT LÍ THUYẾT: 
 
* Cho số thực ≠ 0k ,

a ≠

0 . Tích của một số thực k và vecto 

a là 1 vectơ, kí hiệu: 

ka và được xác định: 
 Nếu k > 0 thì k 

a cùng hướng với 

a ; k < 0 thì k

a ngược hướng với 

a . 
 Độ dài: 

.k a = k .

a  

Tính chất : 
a). k(m

a ) = (km) 

a b). (k + m) 

a = k

a + m

a 
c). k(

a + 

b ) = k

a + k

b d). k 

a = 

0 ⇔ k = 0 hoặc 

a = 

0 
 
 
 Hình Học 10 - 8 - 
 Gv : Trần Duy Thái 
 
• 

b cùng phương 

a (

a ≠

0 ) khi và chỉ khi có số k thỏa 

b =k

a . 
• Điều kiện cần và đủ để A , B , C thẳng hàng là có số k sao cho 




AB =k




AC . 
• Tính chất trung điểm và tính chất trọng tâm: 
 I trung điểm đoạn thẳng AB, với mọi điểm M bất kỳ: + =



 


 



2MA MB MI . 
 G là trọng tâm ∆ABC , với mọi điểm M bất kỳ: + + =



 


 



 




3MA MB MC MG . 
• Phân tích một vecto theo hai vecto không cùng phương: 
 Cho 

b , 

a là hai vecto không cùng phương, với mọi 

x tùy ý, khi đó: 
 

x = m

a + n

b ( m, n duy nhất ). 
 
B. CÁC DẠNG BÀI TẬP: 

 Dạng 1: Chứng minh đẳng thức vectơ: 
Bài 1: Cho hình bình hành ABCD. Cmr: + + =



 


 


 



2 3AB AC AD AC 
Bài 2: Cho tam giác ABC có AM là trung tuyến, D là trung điểm của AM. Cm: 
a). + + =



 


 


 
2 0DA DB DC b). + + =



 


 


 



2 4OA OB OC OD ( với O tùy ý) 
Bài 3: Cho tam giác ABC có G là trọng tâm. CMR: + + =



 


 



 




3MA MB MC MG , với M 
bất kỳ. 
Bài 4: Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của 2 đường chéo AC và 
BD. CMR: + =



 


 



 2AB CD MI 
Bài 5: Gọi I, J lần lượt là trung điểm của đoạn thẳng AB và CD. 
Chứng minh rằng: 2 = + = +


 


 


 


 



 IJ AC BD AD BC 
Bài 6: CMR nếu G và G' lần lượt là trọng tâm của ∆ ABC và ∆ A'B'C' thì 
= + +




 


 


 




3 ' ' ' 'GG AA BB CC 
Bài 7: Cho tứ giác ABCD. Gọi E,F là trung điểm của AB, CD và O là trung điểm EF. 
CMR: a). ( )= +


 


 


1
2
EF AC BD b). + + + =



 


 


 


 
0OA OB OC OD 
 c). + + + =



 


 



 



 




4MA MB MC MD MO (M là điểm bất kỳ) 
Bài 8: Gọi M,N là trung điểm AB và CD của tứ giác ABCD. Cmr: 
 = + = +




 


 


 


 



2MN AC BD BC AD 
Bài 9: Cho tam giác ABC. Gọi M,N,P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB. 
 CMR: + + =




 


 


 
0AM BN CP . 
Bài 10: CMR: nếu G và G’ là trọng tâm của hai tam giác ABC và A’B’C’ 
thì + + =



 


 



 




' ' ' '3AA BB CC GG . Suy ra điều kiện để hai tam giác có cùng trọng tâm. 
Bài 11: Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng: 
 G là trọng tâm tam giác ABC ⇔ + + =



 


 


 
0GA GB GC 
 ⇔ + + =



 


 



 




3MA MB MC MG . 
Bài 12: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O, H là trực tâm của tam giác, D là 
điểm đối xứng của A qua O. 
 Hình Học 10 - 9 - 
 Gv : Trần Duy Thái 
 
a). Chứng minh tứ giác HCDB là hình bình hành. 
b). Chứng minh: 
 + =



 


 



2HA HD HO , + + =



 


 


 



2HA HB HC HO , + + =



 


 


 



OA OB OC OH . 
c). Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. CMR: =



 



3OH OG . 
 Từ đó có kết luận gì về 3 điểm O,H,G. 
Bài 13: Cho tứ giác ABCD. 
a). Gọi M,N là trung điểm AD, BC, chứng minh: ( )= +



 


 


1
2
MN AB DC 
b). Gọi O là điểm nằm trên đoạn MN và OM = 2ON. 
 CMR: − − + =



 


 


 


 
2 2 0OA OB OC OD 
Bài 14: Cho tam giác A, B, C. G là trọng tâm của tam giác và M là một điểm tuỳ ý 
trong mặt phẳng. CMR: 
a). 0+ + =



 


 


 
GB GB GC b). 3+ + =



 


 



 




MB MB MC MG . 
Bài 15: Cho hình bình hành ABCD tâm I. ;= =



  


 
AO a BO b 
a). Chứng minh rằng: 2+ =



 


 


AB AD AI 
b). Tính ; ; ; ; ;



 


 


 


 


 



AC BD AB BC CD DA theo ;
 
a b . 
Bài 16: Cho 4 điểm A, B, C, D; M, N lần lượt là trung điểm của AB, CD. Chứng minh 
rằng: 4+ + + =



 


 


 


 




AD BD AC BC MN . 
Bài 17: Gọi O; H; G lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp, trực tâm; trọng tâm của tam 
giác ABC. Chứng minh rằng: a) 2+ + =



 


 


 



HA HB HC HO b) 2=



 



HG GO . 
Bài 18: Cho tam giác đều ABC tâm O. M là một điểm tuỳ ý bên trong tam giác; D, E, 
F lần lượt là hình chiếu của nó trên BC, CA, AB. Chứng minh rằng: 
3
2
+ + =




 


 



 




MD ME MF MO . 
Bài 19: Cho 4 điểm A, B, C, D; I, F lần lượt là trung điểm của BC, CD. CM: 
 ( )2 3+ + + =


 

 


 


 


AB AI FA DA DB . 
Bài 20: Cho tam giác ABC với G là trọng tâm; H là điểm đối xứng với B qua G. CM: 
a). 2 1AC AB
3 3
= −




 


 



AH ; ( )1 AB AC3= − +



 


 



CH . 
b). M là trung điểm của BC. CM: 1 5AC AB
6 6
= −




 


 



MH . 

Dạng 2: Tìm một điểm thỏa một đẳng thức vecto cho trước. 
 
* Phương pháp tìm điểm M thỏa một đẳng thức vecto cho trước: 
• B1: Biến đổi đẳng thức đã cho về dạng: =




 
AM u , trong đó A là điểm cố định, 

u cố định. 
• B2: Dựng điểm M thỏa =




 
AM u . 
 
 Hình Học 10 - 10 - 
 Gv : Trần Duy Thái 
Bài Tập: 
Bài 1: Cho hai điểm phân biệt A và B. tìm điểm K sao cho: + =



 


 
3 2 0KA KB . 
Bài 2: Cho tam giác ABC. 
a). Tìm điểm I sao cho + =


 

 
2 0IA IB 
b). Tìm điểm O sao cho + + =



 


 


 
0OA OB OC 
c). Tìm điểm K sao cho + =



 


 



2KA KB CB 
d). Tìm điểm M sao cho + + =



 


 



 
2 0MA MB MC 
Bài 3: Cho tứ giác ABCD. Tìm điểm O sao cho + + + =



 


 


 


 
0OA OB OC OD 
Bài 4: Cho tam giác ABC. 
a). Tìm điểm I sao cho + =


 

 
2 3 0IB IC 
b). Tìm điểm J sao cho − − =


 

 


 
2 0JA JB JC 
c). Tìm điểm K sao cho + + =



 


 


 



KA KB KC BC 
d). Tìm điểm K sao cho + + =



 


 


 



2KA KB KC BC 
e). Tìm điểm L sao cho − + =


 


 


 
3 2 0LA LB LC 

 HD: 
c). Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, khi đó với mọi K ta có: + + =



 


 


 



3KA KB KC KG 
e). − + = − + +


 


 


 

 


 

 



3 2 ( ) 2( )LA LB LC LA LB LA LC . Sau đó áp dụng quy tắc 3 điểm và 
hệ thức trung điểm. 
Bài 5: Cho hai điểm A, B. Xác định điểm M biết: 2 3 0− =



 


 
MA MB 
Bài 6: Cho tam giác ABC. Gọi M là trung điểm của AB và N là một điểm trên cạnh 
AC sao cho NC=2NA. 
a). Xác định điểm K sao cho: 3 2 12 0+ − =



 


 


 
AB AC AK 
b). Xác định điểm D sao cho: 3 4 12 0+ − =



 


 


 
AB AC KD 
Bài 7: Cho các điểm A, B, C, D, E. Xác định các điểm O, I, K sao cho: 
). 2 3 0
). 0
). 3( ) 0
+ + =
+ + + =
+ + + + =



 


 


 


 

 

 

 



 


 


 


 


 
a OA OB OC
b IA IB IC ID
c KA KB KC KD KE
 
Bài 8: Cho tam giác ABC. Xác định các điểm M, N sao cho: 
a). 2 0+ =



 


 
MA MB b). 2+ =



 


 



NA NB CB . 
Bài 9: Cho hình bình hành ABCD. Xác định điểm M thoả mãn: 
 3 = + +




 


 


 



AM AB AC AD . 
Bài 10: Cho tứ giác ABCD. Xác định vị trí điểm O thoả mãn: 0+ + + =



 


 


 


 
OA OB OC OD 
 
 
 
 
 Hình Học 10 - 11 - 
 Gv : Trần Duy Thái 
 
 

 Dạng 3: Phân tích một vecto theo hai vecto không cùng phương. 
 
* Phương pháp: Áp dụng các kiến thức: 
* Quy tắc 3 điểm: = +



 


 



AB AO OB (phép cộng) 
 = −



 


 



AB OB OA (phép trừ) 
* Quy tắc đường chéo hình bình hành: Nếu ABCD là hình bình hành thì 
 = +



 


 



AC AB AD 
* Tính chất trung điểm: I là trung điểm AB ⇔ + =


 

 
0IA IB 
 ⇔ + =



 


 



2MA MB MI (M bất kỳ) 
* Tính chất trọng tâm: G là trọng tâm ∆ABC ⇔ + + =



 


 


 
0GA GB GC 
 
 ⇔ + + =



 


 



 




3MA MB MC MG (M bất kỳ) 
 
Bài Tập: 
Bài 1: Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Cho các điểm D,E,F lần lượt là trung điểm 
các cạnh BC, CA, AB. I là giao điểm AD và EF. Hãy phân tích các vecto 


 


 


 



, , ,AI AG DE DC theo hai vecto 



 



,AE AF . 
Bài 2: Cho tam giác ABC. Điểm M trên cạnh BC sao cho =



 




3MB MC . Hãy phân tích 
vecto 





AM theo hai vecto 



 



,AB AC . 
Bài 3: Cho tam giác ABC. Điểm M trên cạnh BC sao cho MB = 2MC. Hãy phân tích 
vecto 





AM theo hai vecto 



 



,AB AC . 
Bài 4: Cho AK và BM là hai trung tuyến của tam giác ABC. Hãy phân tích các vecto 



 


 



, ,AB BC CA theo hai vecto 



 



,AK BM . 
Bài 5: Cho tam giác ABC với trọng tâm G. Gọi I là trung điểm của đoạn AG, K là 
điểm trên cạnh AB sao cho =
1
5
AK AB . Hãy phân tích 


 


 

 



, , ,AI AK CI CK theo 



 



,CA CB . 
Bài 6: Cho lục giác đều ABCDEF tâm O cạnh a. 
a. Phân tích vecto 




AD theo hai vecto 



 



,AB AF . 
b. Tính độ dài = +
 


 


1 1
2 2
u AB BC theo a. 
Bài 7: Cho tam giác ABC có trung tuyến AM. Phân tích 





AM theo hai vecto 



 



,AB AC . 
Bài 8: Cho tam giác ABC. Gọi M là trung điểm AB, N là điểm trên cạnh AC sao cho 
NA = 2NC. Gọi K là trung điểm MN. Phân tích vecto 




AK theo 



 



,AB AC . 
 Hình Học 10 - 12 - 
 Gv : Trần Duy Thái 
Bài 9: Cho tam giác ABC. Gọi M là trung điểm AB, N là điểm trên cạnh AC sao cho 
NC = 2NA. Gọi K là trung điểm MN. 
a. Phân tích vecto 




AK theo 



 



,AB AC . 
b. Gọi D là trung điểm BC. Cm: = +



 


 


1 1
4 3
KD AB AC . 
Bài 10: Cho tam giác ABC. Gọi M,N,P là trung điểm BC,CA,AB. Tính các vecto 



 


 



, ,AB BC CA theo các vecto 



 



,BN CP 
Bài 11: Cho hình vuông ABCD, E là trung điểm CD. Hãy phân tích 




AE theo hai 
vecto 



 



,AD AB . 
Bài 12: Cho tam giác ABC, gọi G là trọng tâm và H là điểm đối xứng của B qua G. 
a). Chứng minh: = −



 


 


2 1
3 3
AH AC AB , ( )= − +


 


 


1
3
BH AB AC . 
b). Gọi M là trung điểm BC, chứng minh: = −




 


 


1 5
6 6
MH AC AB . 
Bài 13: Cho hình bình hành ABCD, tâm O. đặt = =



  


 
,AB a AD b . Hãy tính các vecto 
sau đây theo 
 
,a b . 
a). 



AI (I là trung điểm BO). 
b). 




BG (G là trọng tâm tam giác OCD). 
 * ĐS: = + = − +


   


  3 1 1 5
4 4 2 6
AI a b BG a b 
Bài 14: Cho tam giác ABC và G là trọng tâm. B1 đối xứng với B qua G. M là trung 
điểm BC. Hãy biểu diễn các véc tơ 





AM , 



 


 


 



 




1 1 1, , , ,AG BC CB AB MB qua hai véc tơ 



 



,AB AC . 
Bài 15: Cho tam giác ABC, gọi I là điểm trên cạnh BC sao cho 2CI = 3BI và J thuộc 
BC kéo dài sao cho 5JB = 2JC. 
a). Tính 


 


,AI AJ theo hai véc tơ 



 



,AB AC . Từ đó biểu diễn 



 



,AB AC theo 


 


,AI AJ . 
b). Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Tính 




AG theo 


 


,AI AJ . 

 Dạng 4: Chứng minh ba điểm thẳng hàng: 
 
* Phương pháp: Ba điểm A,B,C thẳng hàng ⇔ =



 



.AB k AC 
 Để chứng minh được điều này ta có thể áp dụng một trong hai phương pháp: 
 + Cách 1: Áp dụng các quy tắc biến đổi véctơ. 
 + Cách 2: Xác định hai véctơ trên thông qua tổ hợp trung gian. 
 
 
 
 Hình Học 10 - 13 - 
 Gv : Trần Duy Thái 
Bài Tập: 
Bài 1 : Cho 4 điểm O, A, B, C sao cho 3 2 0OA OB OC− − =



 


 


 
. CMR: A, B, C thẳng 
hàng. 
Bài 2 : Cho tam giác ABC có AM là trung tuyến. Gọi I là trung điểm AM và K là một 
điểm trên cạnh AC sao cho AK = 
1
3
AC. 
a). Phân tích vecto 



 


,BK BI theo hai vecto 



 



,BA BC 
b). Chứng minh ba điểm B, I, K thẳng hàng. 
Bài 3: Cho ∆ ABC. I là điểm trên cạnh AC sao cho = 1
4
CI AC , J là điểm mà 
= −


 


 


1 2
 
2 3
BJ AC AB 
a). Chứng minh rằng = −


 


 


3
 
4
BI AC AB 
b). Chứng minh B, I, J thẳng hàng. 
Bài 4: Cho tam giác ABC. Gọi I là trung điểm của BC; D và E là hai điểm sao cho: 
= =



 


 



BD DE EC 
a). Chứng minh: + = +



 


 


 



AB AC AD AE . 
b). Tính véctơ: = + + +



 


 


 


 



AS AB AD AC AE theo 



AI . 
c). Suy ra ba điểm A, I, S thẳng hàng. 
Bài 5: Cho tam giác ABC. Đặt ;= =



  


 
AB u AC v 
a). Gọi P là điểm đối xứng với B qua C. Tính 




AP theo ;
 
u v ? 
b). Qọi Q và R là hai điểm định bởi: 1 1;
2 3
= =



 


 


 



AQ AC AR AB . Tính ;



 



RP RQ 
 theo ;
 
u v . 
c). Suy ra P, Q, R thẳng hàng. 
Bài 6: Cho tam giác ABC, trọng tâm G. Lấy điểm I, J sao cho: 2 3 0+ =


 

 
IA IC , 
2 5 3 0+ + =