Chuyên đề Bất đẳng thức

A. Tính chất luỹ thừa bậc hai:
Ngay từ lớp 7 học sinh đã biết nhận xét về dấu của một số có luỹ thừa chẵn nắm được tính chất của luỹ thừa bậc hai
“Bình phương hay luỹ thừa bậc hai của mọi số đều không âm”
A2 ≥ 0 "a 
	(*)	
Dấu “=” xảy ra khi a = 0.
Lớp 8 học sinh đã được làm quen với hằng đẳng thức: 
(A - B)2 = A2 – 2AB + B2 
Nếu sử dụng tính chất (*) thì 
(A - B)2 ≥ 0 "A,B (I)
 (A - B)2 =A2 – 2AB + B2 (I) 
Việc khai thác và sử dụng sáng tạo bất đẳng thức (I) giúp học sinh rèn luyện tư duy và hình thành phương pháp chứng minh cũng như cách thức để hình thành bất đẳng thức mới từ bất đẳng thức đã biết.
	≥ 2	 (II)
(a + b)2 ≥ 4ab	 (III)
Từ bất đẳng thức (I):
(a – b)2 ≥ 0 Û a2 + b2 ≥ 2ab ị 
ở cả 3 BĐT (I), (II), (III) dấu “=” xảy ra khi a = b.
B. Khai thác tính chất luỹ thừa bậc hai.
I/.Khai thác bất đẳng thức (I): (a – b)2 ≥ 0
Từ bất đẳng thức (I) ta có thể đổi biến đặt A = ay; B = bx khi đó (I) trở thành:	(ay – bx )2 ≥ 0 	"a, b, x, y
Dấu “=” xảy ra khi ay = bx Û 
Khai triển và biến đổi: a2y2 – 2axby + b2x2 ≥ 0 
	 Û a2y2 + b2x2 ≥ 2axby
	 Û a2y2 + b2x2 +a2x2 + b2y2 ≥ a2x2 + 2axby + b2y2
	 Û (a2 + b2)(x2 + y2) ≥ (ax + by)2
Như vậy ta có bài toán:
1.Bài toán 1:
	Chứng minh rằng : (a2 + b2)(x2 + y2) ≥ (ax + by)2
(Bất đẳng thức Bunhiacôpxki cho 2 bộ số a, b, và x, y)
Để khắc sâu các phương pháp chứng minh bất đẳng thức ta sẽ chứng minh bài toán bằng nhiều cách 
- Phương pháp 1: Dùng định nghĩa : A > B Û A – B > 0.
+ Lập hiệu A – B.
+ Chứng tỏ A – B > 0.
+ Kết luận A > B.
+ Cách 1 : Xét hiệu : (a2 + b2)(x2 + y2) – (ax + by)2
 	 = a2x2 + a2y2 + b2x2 + b2y2 - a2x2- b2y2 – 2axby
	 	 = a2y2 - 2axby + b2x2
 	 = (ay - bx)2 ≥ 0 	luôn đúng " a, b, x, y.
Vậy (a2 + b2)(x2 + y2) ≥ (ax + by)2
Dấu “=” xảy ra khi 
- Phương pháp 2 : Phép biến đổi tương đương.
 + Biến đổi A > B Û A1 > B1 Û A2 > B2 Û Û (*)
 + Vậy A > B.
+ Cách 2 : Ta có (a2 + b2)(x2 + y2) ≥ (ax + by)2 
	 Û a2x2 + a2y2 + b2x2 + b2y2 ≥ a2x2+ 2ãby + b2y2	
	 Û a2y2 - 2axby + b2x2 ≥ 0
 Û (ay – bx)2 ≥ 0 luôn đúng " a, b, x, y.
Dấu “=” xảy ra khi 
Bất đẳng thức cuối cùng là đúng.
Vậy (a2 + b2)(x2 + y2) ≥ (ax + by)2
- Phương pháp 3 : Sử dụng bất đẳng thức đã biết
+ Cách 3 : Ta có (ay - bx)2 ≥ 0 
	 Û a2y2– 2aybx + b2x2 ≥ 0
	 Û a2x2 + a2y2 + b2x2 + b2y2 ≥ a2x2+ 2ãby + b2y2(cộng 2 vế a2x2, b2y2).
	 Û (a2 + b2)(x2 + y2) ≥ (ax + by)2
- Phương pháp 4 : Phương pháp phản chứng.
	+ Giả sử có điều trái với kết luận.
	+ Suy ra điều mâu thuẫn với giả thiết hoặc điều đã biết.
	+ Giả sử sai – kết luận đúng.
+ Cách 4: Giả sử (a2 + b2)(x2 + y2) < (ax + by)2
 Û a2x2 + a2y2 + b2x2 + b2y2 < a2x2+ 2ãby + b2y2 
 Û a2y2– 2aybx + b2x2 < 0
 Û (ay - bx)2 < 0. Vô lý
Vậy (a2 + b2)(x2 + y2) ≥ (ax + by)2
	Bốn phương pháp trên thể hiện trong 4 cách giải bài toán 1 là 4 phương pháp thông thường để chứng minh bất đẳng thức.
	Khai thác tiếp tục bất đẳng thức (I) ta có:
 	(ay - bx)2 ≥ 0 
	(az - cx)2 ≥ 0 ị (ay - bx)2 + (az - cx)2 + (cy - bz)2 ≥ 0 
 	(cy - bz)2 ≥ 0 
	Khai triển, chuyển vế cộng vào 2 vế BĐT : a2x2 + b2y2 + c2z2 ta được:
a2x2+a2y2+a2z2+b2x2+b2y2+b2z2+c2x2+c2y2+c2z2≥a2x2+b2y2+c2z2+2axby+2axcz+2bycz
Û (a2 + b2 + c2)(x2 + y2 + z2) ≥ (ax + by +cz)2
2.Bài toán 2 : 
CMR : (a2 + b2 + c2)(x2 + y2 + z2) ≥ (ax + by +cz)2
( BĐT Bunhiacôpxki cho 2 bộ 3 số a, b, c và x, y, z).
Giải
Xét hiệu : (a2 + b2 + c2)(x2 + y2 + z2) - (ax + by +cz)2
=a2x2+a2y2+a2z2+b2x2+b2y2+b2z2+c2x2+c2y2+c2z2- a2x2- b2y2- c2z2-2abxy-2acxz-2bcyz
=(a2y2-2abxy+b2x2)+(a2z2–2acxz+c2x2)+(b2z2-2bcyz+ c2y2)
=(ay - bx)2+ (az - cx)2+ (cy - bz)2 ≥ 0 
Dấu “=” xảy ra khi 
Bằng cách làm tương tự ta có thể phát triển bài toán BĐT Bunhiacôpxki tổng quát:
(a21 + a22 ++ a2n)(x21 + x22 ++ x2n) ≥ (a1x1 + a2x2 ++ anxn )2
Dấu “=” xảy ra khi 
Để ý rằng nếu a và x là 2 số nghịch đảo của nhau thì ax = 1 (x = )
Từ bài toán 2 ta có thể đặt ra bài toán:
3.Bài toán 3:
Cho ba số a, b, c là 3 số dương 
Chứng minh rằng: (a + b + c)( ++) ≥ 9
Giải
Theo bài toán 2 (BĐT Bunhiacôpxki):
(a + b + c)( ++) ≥ 2
 	 Û (a + b + c)( ++) ≥ 32 = 9
Dấu “=” xảy ra khi a = b = c.
Từ bất đẳng thức (x+ y+ z)( ++)≥ 9
Đặt a + b = X; b + c = Y; c + a = Z ta được BĐT:
2(a + b + c)( ++)≥ 9
 Û ( +++3) ≥ 9
 Û ++≥ 
Bài toán tìm được:
4.Bài toán 4: 
Cho a, b, c là 3 số dương CMR: ++≥ 
Giải
áp dụng bài toán 2 tacó:
(a+b+c+b+c+a)( ++)≥2
Û 2(a + b + c)( ++)≥ 9
Û ( +++3) ≥ 9
Û ++≥ 	(1)
Ta tiếp tục khai thác bài toán 4 theo 2 bước sau:
- Bước 1 : Nhân 2 vế của (1) với a+b+c > 0.
(a + b + c)( ++)≥ (a + b + c)
 - Bước 2 : Khai triển rút gọn vế trái sau đó chuyển vế ta được:
++≥ 
Đây là nội dung của bài toán 5
5.Bài toán 5 : 
Cho a, b, c là 3 số dương 
CMR: ++≥ 
Chứng minh bài toán 5 ta có thể dẫn từ bài toán 1 theo hướng khai thác để đi đến kết quả. Nhưng ta có thể giải độc lập như sau:
- Phương pháp 1: áp dụng bất đẳng thức bài toán 2
[(+ (+(][()2+ ()2+ ()2] ≥
Û 2(a + b + c)( ++) ≥ (a + b + c)2
Û++ ≥ (đpcm)
- Phương pháp 2: áp dụng bất đẳng thức Cô si
 + ≥ 2= a
	 + ≥ b
	 + ≥ c
Vậy ++ ≥ (cộng theo vế 3 BĐT trên )
Ta tiến hành khai thác bài toán 5 bằng cách:
+Trang bị thêm cho bài toán 5 điều kiện : abc = 1.
+ áp dụng BĐT Cô si cho 3 số dương :
a + b + c ≥ 3 = 3x1 = 3
6.Bài toán 6: 
Cho a, b, c là 3 số dương thoả mãn : abc = 1.
 CMR ++ ≥ (2)
Giải
Theo bài toán 5
++ ≥ ≥ 
++ ≥ 
Xem xét bài toán 6 ta nhận thấy:
+ Nếu đặt a = ; b = ; c = ị abc = = 1.
Khi đó : 	x + y = + = = c(a + b).
Tương tự : y + z = a(b + c).
	 z + x= b(c + a).
Do đó BĐT (2) Û + + ≥ .
	 Û + + ≥ .
7.Bài toán 7: 
Cho x, y, z là 3 số dương thoả mãn : xyz = 1
CMR : + + ≥ .
Giải
Đặt a = ; b = ; c = ị abc = = 1.
Ta có : x+y = c(a+b)
	 y+z = a(b+c)
 z+x = b(c+a)
Do đó : + + = ++ ≥ (theo bài toán 6)
Như vậy từ tính chất về luỹ thừa bậc hai ta đã khai thác được chùm 7 bài toán từ dễ đến khó hoặc rất khó mặt khác cũng rèn luyện tư duy sáng tạo của học sinh.
II/.Khai thác bất đẳng thức II. ≥ 2	
Đặt thì Ta có ngay bài toán:
8. Bài toán 8: 
Cho số dương x.
	Chứng minh rằng: x + ≥ 2.
Khai thác bài toán 8 ta thấy: x. . 
Do đó nếu ta dùng 4 số dương a, b, c, d thoả mãn : abcd=1. 
Khi đó: ab= (cd=
Ta khám phá được bài toán mới:
9. Bài toán 9: 
	Cho a, b, c, d là 4 số dương thoả mãn abcd=1
CMR: ab + cd ≥ 2 (hoặc ac + bd ≥ 2; ad + bc ≥ 2)
(Chứng minh bất đẳng thức này chỉ cần đưa về bài toán 8 bằng cách dùng điều kiện abcd=1)
Lại có: a2 + b2 ≥ 2ab ; c2 + d2 ≥ 2cd.
Do đó : a2 + b2 + c2 + d2 ≥ 2ab + 2cd
Liên kết với bài toán 9 ta có: a2 + b2 + c2 + d2 ≥ 2(ab + cd) ≥ 4
10. Bài toán 10: 
	Cho a, b, c, d là 4 số dương thoả mãn abcd=1
CMR: : a2 + b2 + c2 + d2 ≥ 4
Tiếp tục liên kết bài toán 9 và 10 ta có:
11. Bài toán 11: 
	Cho a, b, c, d là 4 số dương thoả mãn abcd=1
CMR: : a2 + b2 + c2 + d2 + ab + cd + ac + bd ≥ 10
Giải
Từ điều kiện a. b, c, d > 0 và abcd=1 
Ta có: : ab = ; ad = ; ca = 
Do đó: (ab + cd) + (da + bc) + (ac + bd)
= (cd + + (bc + + (bd + ≥ 2 + 2 + 2 = 6 (Bài toán 9)
Mà a2 + b2 + c2 + d2 ≥ 4 (bài toán 10)
 a2 + b2 + c2 + d2 + ab + cd + ac + bd ≥ 10
Dấu “=” xảy ra khi a = b = c = d
Vây từ bất đẳng thức (II) ta khai thác thành 1 chùm 4 BĐT (8)
III. Khai thác bất đẳng thức III: (a + b)2 ≥ 4ab "a, b
Là bất đẳng thức đưa ra mối quan hệ của bình phương1tổng với tích cuả chúng.
Để khai thác BĐT (III) ta thêm điều kiện a,b là 2 số dương.
Chia 2 vế của (III) cho ab(a + b) ta được:
≥ + ≥ 
12. Bài toán 12: 
	Cho a,b là 2 số dương
Chứng minh rằng: + ≥ 
Giải
Xét hiệu + - = = ≥ 0
Vậy + ≥ 
Dấu “=” xảy ra khi a=b
Khai thác bài toán 12 tương tự như cách khai thác bài toán 1.
Ta có: + ≥ c2 + d2 ≥ 4
 + ≥ 
 + ≥ 
Do đó nếu cộng theo vế của 3 BĐT trên ta được:
 + + ≥ 
13. Bài toán 13: 
	Cho a, b, c là 3 số dương. 
CMR: + + ≤ 
Giải
Theo bài toán 12:
 ≤ )
 ≤ )
≤ )
Cộng theo vế của 3 BĐT trên:
 + + ≤ 
Dấu “=” xảy ra khi a=b=c
Khai thác bài toán 13 bằng cách :
+ Đặt a= x + y; b= y + z; c= z + x
 ≤ + )
 ≤ + )
 ≤ + )
+ Thêm điều kiện : + = 4
Ta hình thành bài toán 14 là một BĐT đã là một bài thi đại học khối A năm 2005. Điều này càng chứng tỏ việc học sinh nắm chắc kiến thức ngay từ lớp dưới là vô cùng quan trọng.
14. Bài toán 14: 
	Cho x, y, z là các số dương thoả mãn: + = 4
CMR: + + ≤ 1
(Đại học khối A – năm 2005)
Giải
- Cách 1 
Ta có : = ≤ ( + ) ≤ ( + + + )
Tương tự: 
≤ ( + + + )
≤ ( + + + )
Cộng theo vế 3 BĐT trên:
 + + ≤ . 4 ( + )
Mà + = 4
Vậy + + ≤ 1
Dấu “=” xảy ra khi x = y = z = 
- Cách 2: 
Ta có = ≤ (+) ≤ + (+) =+ + 
Tương tự: 
 ≤ ++
≤ + + 
Cộng theo vế các BĐT:
 + + ≤ ( + + )=1
Vậy + + ≤ 1
Khai thác bài toán 14 bằng cách đặt vào tam giác ta có:
15. Bài toán 15: 
	Xét tam giác ABC có: BC = a, CA = b, AB = c, chu vi a+b+c = 2p không đổi.
CMR: ++≤ 
Giải
áp dụng bài toán 12
Ta có: = ≤ (+ )
≤ (+ )
≤ (+ )
Cộng theo vế của 3 BĐT ta được: 
 + + ≤ (+ + + + + ) = (a + b + c) = .2p = 
Dấu “=” xảy ra khi Δ ABC đều có a = b =c = 
Tiép tục khai thác bải toán trong tam giác về mối quan hệ giữa cạnh của tam giác và chu vi của nó ta có:
16. Bài toán 16
Trong Δ ABC có chu vi a + b +c = 2p ( a, b, c là độ dài 3 cạnh ).
CMR : + + ≥ 2 ( + + )
Giải
Nhận xét : p - a = - a = > 0 ( vì b + c > a bất đẳng thức tam giác )
Tương tự : p - b > 0 ; p- c > 0.
Mặt khác : p - a + p - b = 2p - a - b = c 
 p - b + p - c = a
 p - c + p - a = b 
Do đó ta nghĩ đến việc dùng bất đẳng thức bài toán 12 như sau:
 + ≥ = 
 + ≥ 
 + ≥ 
Cộng theo vế của bất đẳng thức ta có :
 + + ≥ 2 ( + + )
Dấu ‘=’ xảy ra khi Δ ABC đều