Chuyên đề Bất đẳng thức –Bất phương trình

Bất đẳng thức – Bất phương trỡnh Trần Sĩ Tựng 
Trang 30 
 
 
 
 
 
1. Tớnh chất 
 
2. Một số bất đẳng thức thụng dụng 
 a) a a2 0,³ " . a b ab2 2 2+ ³ . 
 b) Bất đẳng thức Cụ–si: 
 + Với a, b ³ 0, ta cú: a b ab
2
+
³ . Dấu "=" xảy ra Û a = b. 
 + Với a, b, c ³ 0, ta cú: a b c abc3
3
+ +
³ . Dấu "=" xảy ra Û a = b = c. 
 Hệ quả: – Nếu x, y > 0 cú S = x + y khụng đổi thỡ P = xy lớn nhất Û x = y. 
 – Nếu x, y > 0 cú P = x y khụng đổi thỡ S = x + y nhỏ nhất Û x = y. 
 c) Bất đẳng thức về giỏ trị tuyệt đối 
 
 d) Bất đẳng thức về cỏc cạnh của tam giỏc 
 Với a, b, c là độ dài cỏc cạnh của một tam giỏc, ta cú: 
 + a, b, c > 0. 
 + a b c a b- < < + ; b c a b c- < < + ; c a b c a- < < + . 
 e) Bất đẳng thức Bu–nhia–cốp–xki 
 Với a, b, x, y ẻ R, ta cú: ax by a b x y2 2 2 2 2( ) ( )( )+ Ê + + . Dấu "=" xảy ra Û ay = bx. 
 
 
 
 
 
CHƯƠNG IV 
BẤT ĐẲNG THỨC VÀ BẤT PHƯƠNG TRèNH 
I. BẤT ĐẲNG THỨC 
Điều kiện Nội dung 
 a < b Û a + c < b + c (1) 
c > 0 a < b Û ac < bc (2a) 
c bc (2b) 
 a < b và c < d ị a + c < b + d (3) 
a > 0, c > 0 a < b và c < d ị ac < bd (4) 
a < b Û a2n+1 < b2n+1 (5a) n nguyờn dương 
0 < a < b ị a2n < b2n (5b) 
a > 0 a < b Û a b< (6a) 
 a < b Û 3 3a b< (6b) 
 
Điều kiện Nội dung 
 x x x x x0, ,³ ³ ³ - 
x a a x aÊ Û - Ê Ê 
a > 0 x ax a
x a
ộ Ê -³ Û ờ ³ở
 
 a b a b a b- Ê + ³ + 
 
Trần Sĩ Tựng Bất đẳng thức – Bất phương trỡnh 
Trang 31 
 VẤN ĐỀ 1: Chứng minh BĐT dựa vào định nghia và tớnh chất cơ bản 
 ã Để chứng minh một BĐT ta cú thể sử dụng cỏc cỏch sau: 
 – Biến đổi BĐT cần chứng minh tương đương với một BĐT đó biết. 
 – Sử dụng một BĐT đó biết, biến đổi để dẫn đến BĐT cần chứng minh. 
 ã Một số BĐT thường dựng: 
 + A2 0³ + A B2 2 0+ ³ + A B. 0³ với A, B ³ 0. + A B AB2 2 2+ ³ 
 Chỳ ý: 
 – Trong quỏ trỡnh biến đổi, ta thường chỳ ý đến cỏc hằng đẳng thức. 
 – Khi chứng minh BĐT ta thường tỡm điều kiện để dấu đẳng thức xảy ra. Khi đú ta cú 
thể tỡm GTLN, GTNN của biểu thức. 
 
 
Bài 1. Cho a, b, c, d, e ẻ R. Chứng minh cỏc bất đẳng thức sau: 
 a) a b c ab bc ca2 2 2+ + ³ + + b) a b ab a b2 2 1+ + ³ + + 
 c) a b c a b c2 2 2 3 2( )+ + + ³ + + d) a b c ab bc ca2 2 2 2( )+ + ³ + - 
 e) a b c a ab a c4 4 2 21 2 ( 1)+ + + ³ - + + f) a b c ab ac bc
2
2 2 2
4
+ + ³ - + 
 g) a b b c c a abc2 2 2 2 2 2(1 ) (1 ) (1 ) 6+ + + + + ³ h) a b c d e a b c d e2 2 2 2 2 ( )+ + + + ³ + + + 
 i) 
a b c ab bc ca
1 1 1 1 1 1
+ + ³ + + với a, b, c > 0 
 k) a b c ab bc ca+ + ³ + + với a, b, c ³ 0 
 HD: a) Û a b b c c a2 2 2( ) ( ) ( ) 0- + - + - ³ b) Û a b a b2 2 2( ) ( 1) ( 1) 0- + - + - ³ 
 c) Û a b c2 2 2( 1) ( 1) ( 1) 0- + - + - ³ d) Û a b c 2( ) 0- + ³ 
 e) Û a b a c a2 2 2 2 2( ) ( ) ( 1) 0- + - + - ³ f) Û a b c
2
( ) 0
2
ổ ử
- - ³ỗ ữ
ố ứ
 
 g) Û a bc b ca c ab2 2 2( ) ( ) ( ) 0- + - + - ³ 
 h)Û a a a ab c d e
2 2 2 2
0
2 2 2 2
ổ ử ổ ử ổ ử ổ ử
- + - + - + - ³ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ
ố ứ ố ứ ố ứ ố ứ
 
 i) Û 
a b b c c a
2 2 2
1 1 1 1 1 1 0
ổ ử ổ ử ổ ử
- + - + - ³ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ
ố ứ ố ứ ố ứ
 
 k) Û ( ) ( ) ( )a b b c c a2 2 2 0- + - + - ³ 
Bài 2. Cho a, b, c ẻ R. Chứng minh cỏc bất đẳng thức sau: 
 a) a b a b
33 3
2 2
ổ ử+ +
³ ỗ ữ
ố ứ
; với a, b ³ 0 b) a b a b ab4 4 3 3+ ³ + 
 c) a a4 3 4+ ³ d) a b c abc3 3 3 3+ + ³ , với a, b, c > 0. 
 e) a ba b
b a
6 6
4 4
2 2
+ Ê + ; với a, b ạ 0. f) 
aba b2 2
1 1 2
11 1
+ ³
++ +
; với ab ³ 1. 
 g) a
a
2
2
3 2
2
+
>
+
 h) a b a b a b a b5 5 4 4 2 2( )( ) ( )( )+ + ³ + + ; với ab > 0. 
 HD: a) Û a b a b 23 ( )( ) 0
8
+ - ³ b) Û a b a b3 3( )( ) 0- - ³ 
Bất đẳng thức – Bất phương trỡnh Trần Sĩ Tựng 
Trang 32 
 c) Û a a a2 2( 1) ( 2 3) 0- + + ³ 
 d) Sử dụng hằng đẳng thức a b a b a b ab3 3 3 2 2( ) 3 3+ = + - - . 
 BĐT Û a b c a b c ab bc ca2 2 2( ) ( ) 0ộ ự+ + + + - + + ³ở ỷ . 
 e) Û a b a a b b2 2 2 4 2 2 4( ) ( ) 0- + + ³ f) Û b a ab
ab a b
2
2 2
( ) ( 1) 0
(1 )(1 )(1 )
- -
³
+ + +
 
 g) Û a2 2( 1) 0+ > h) Û ab a b a b3 3( )( ) 0- - ³ . 
Bài 3. Cho a, b, c, d ẻ R. Chứng minh rằng a b ab2 2 2+ ³ (1). Áp dụng chứng minh cỏc bất 
đảng thức sau: 
 a) a b c d abcd4 4 4 4 4+ + + ³ b) a b c abc2 2 2( 1)( 1)( 1) 8+ + + ³ 
 c) a b c d abcd2 2 2 2( 4)( 4)( 4)( 4) 256+ + + + ³ 
 HD: a) a b a b c d c d4 4 2 2 2 2 2 22 ; 2+ ³ + ³ ; a b c d abcd2 2 2 2 2+ ³ 
 b) a a b b c c2 2 21 2 ; 1 2 ; 1 2+ ³ + ³ + ³ 
 c) a a b b c c d d2 2 2 24 4 ; 4 4 ; 4 4 ; 4 4+ ³ + ³ + ³ + ³ 
Bài 4. Cho a, b, c, d > 0. Chứng minh rằng nếu a
b
1< thỡ a a c
b b c
+
<
+
(1). Áp dụng chứng 
minh cỏc bất đảng thức sau: 
 a) a b c
a b b c c a
2+ + <
+ + +
 b) a b c d
a b c b c d c d a d a b
1 2< + + + <
+ + + + + + + +
 
 c) a b b c c d d a
a b c b c d c d a d a b
2 3+ + + +< + + + <
+ + + + + + + +
 
 HD: BĐT (1) Û (a – b)c < 0. 
 a) Sử dụng (1), ta được: a a c
a b a b c
+
<
+ + +
, b b a
b c a b c
+
<
+ + +
, c c b
c a a b c
+
<
+ + +
. 
 Cộng cỏc BĐT vế theo vế, ta được đpcm. 
 b) Sử dụng tớnh chất phõn số, ta cú: a a a
a b c d a b c a c
< <
+ + + + + +
 
 Tương tự, b b b
a b c d b c d b d
< <
+ + + + + +
 
 c c c
a b c d c d a a c
< <
+ + + + + +
 
 d d d
a b c d d a b d b
< <
+ + + + + +
 
 Cộng cỏc BĐT vế theo vế ta được đpcm. 
 c) Chứng minh tương tự cõu b). Ta cú: a b a b a b d
a b c d a b c a b c d
+ + + +
< <
+ + + + + + + +
 
 Cựng với 3 BĐT tương tự, ta suy ra đpcm. 
Bài 5. Cho a, b, c ẻ R. Chứng minh bất đẳng thức: a b c ab bc ca2 2 2+ + ³ + + (1). Áp dụng 
chứng minh cỏc bất đảng thức sau: 
 a) a b c a b c2 2 2 2( ) 3( )+ + Ê + + b) a b c a b c
22 2 2
3 3
ổ ử+ + + +
³ ỗ ữ
ố ứ
 
 c) a b c ab bc ca2( ) 3( )+ + ³ + + d) a b c abc a b c4 4 4 ( )+ + ³ + + 
Trần Sĩ Tựng Bất đẳng thức – Bất phương trỡnh 
Trang 33 
 
 e) a b c ab bc ca
3 3
+ + + +
³ với a,b,c>0. f) a b c abc4 4 4+ + ³ nếu a b c 1+ + = 
 HD: Û a b b c c a2 2 2( ) ( ) ( ) 0- + - + - ³ . 
 a) Khai triển, rỳt gọn, đưa về (1) b, c) Vận dụng a) 
 d) Sử dụng (1) hai lần e) Bỡnh phương 2 vế, sử dụng (1) 
 f) Sử dụng d) 
Bài 6. Cho a, b ³ 0 . Chứng minh bất đẳng thức: a b a b b a ab a b3 3 2 2 ( )+ ³ + = + (1). Áp 
dụng chứng minh cỏc bất đảng thức sau: 
 a) 
abca b abc b c abc c a abc3 3 3 3 3 3
1 1 1 1
+ + Ê
+ + + + + +
; với a, b, c > 0. 
 b) 
a b b c c a3 3 3 3 3 3
1 1 1 1
1 1 1
+ + Ê
+ + + + + +
; với a, b, c > 0 và abc = 1. 
 c) 
a b b c c a
1 1 1 1
1 1 1
+ + Ê
+ + + + + +
; với a, b, c > 0 và abc = 1. 
 d) a b b c c a a b c3 3 3 3 3 33 3 34( ) 4( ) 4( ) 2( )+ + + + + ³ + + ; với a, b, c ³ 0 . 
 e*) A B CA B C3 3 3 3 3 3sin sin sin cos cos cos
2 2 2
+ + Ê + + ; với ABC là một tam giỏc. 
 HD: (1) Û a b a b2 2( )( ) 0- - ³ . 
 a) Từ (1) ị a b abc ab a b c3 3 ( )+ + ³ + + ị 
ab a b ca b abc3 3
1 1
( )
Ê
+ ++ +
. 
 Cựng với 2 BĐT tương tự, cộng vế theo vế, ta suy ra đpcm. 
 b, c) Sử dụng a). 
 d) Từ (1) Û a b a b ab3 3 2 23( ) 3( )+ ³ + Û a b a b3 3 34( ) ( )+ ³ + (2). 
 Từ đú: VT ³ a b b c c a a b c( ) ( ) ( ) 2( )+ + + + + = + + . 
 e) Ta cú: C A B CA Bsin sin 2 cos .cos 2 cos
2 2 2
-
+ = Ê . 
 Sử dụng (2) ta được: a b a b3 33 4( )+ Ê + . 
 ị C CA B A B3 3 3 3 3sin sin 4(sin sin ) 4.2.cos 2 cos
2 2
+ Ê + Ê = 
 Tương tự, AB C3 3 3sin sin 2 cos
2
+ Ê , BC A33 3sin sin 2 cos
2
+ Ê 
 Cộng cỏc BĐT vế theo vế ta được đpcm. 
Bài 7. Cho a, b, x, y ẻ R. Chứng minh bất đẳng thức sau (BĐT Min–cốp–xki): 
 a x b y a b x y2 2 2 2 2 2( ) ( )+ + + ³ + + + (1) 
 Áp dụng chứng minh cỏc bất đảng thức sau: 
 a) Cho a, b ³ 0 thoả a b 1+ = . Chứng minh: a b2 21 1 5+ + + ³ . 
 b) Tỡm GTNN của biểu thức P = a b
b a
2 2
2 2
1 1
+ + + . 
 c) Cho x, y, z > 0 thoả món x y z 1+ + = . Chứng minh: 
 x y z
x y z
2 2 2
2 2 2
1 1 1 82+ + + + + ³ . 
Bất đẳng thức – Bất phương trỡnh Trần Sĩ Tựng 
Trang 34 
 d) Cho x, y, z > 0 thoả món x y z 3+ + = . Tỡm GTNN của biểu thức: 
 P = x y z2 2 2223 223 223+ + + + + . 
 HD: Bỡnh phương 2 vế ta được: (1) Û a b x y ab xy2 2 2 2( )( )+ + ³ + (*) 
 ã Nếu ab xy 0+ < thỡ (*) hiển nhiờn đỳng. 
 ã Nếu ab xy 0+ ³ thỡ bỡnh phương 2 vế ta được: (*) Û bx ay 2( ) 0- ³ (đỳng). 
 a) Sử dụng (1). Ta cú: a b a b2 2 2 21 1 (1 1) ( ) 5+ + + ³ + + + = . 
 b) Sử dụng (1). P ³ a b a b
a b a b
2 2
2 21 1 4( ) ( ) 17
ổ ử ổ ử
+ + + ³ + + =ỗ ữ ỗ ữ
+ố ứ ố ứ
 
 Chỳ ý: 
a b a b
1 1 4
+ ³
+
 (với a, b > 0). 
 c) Áp dụng (1) liờn tiếp hai lần ta được: 
 x y z x y z
x y zx y z
2
2 2 2 2
2 2 2
1 1 1 1 1 1( )
ổ ử
+ + + + + ³ + + + + +ỗ ữ
ố ứ
 
 ³ x y z
x y z
2
2 9( ) 82
ổ ử
+ + + =ỗ ữ+ +ố ứ
. 
 Chỳ ý: 
x y z x y z
1 1 1 9
+ + ³
+ +
(với x, y, z > 0). 
 d) Tương tự cõu c). Ta cú: P ³ ( ) x y z2 23 223 ( ) 2010+ + + = . 
Bài 8. Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giỏc. Chứng minh: 
 a) ab bc ca a b c ab bc ca2 2 2+ <2( )+ + Ê + + + 
 b) abc a b c b c a a c b( )( )( )³ + - + - + - 
 c) a b b c c a a b c2 2 2 2 2 2 4 4 42 2 2 0+ + - - - > 
 d) a b c b c a c a b a b c2 2 2 3 3 3( ) ( ) ( )- + - + + > + + 
 HD: a) Sử dụng BĐT tam giỏc, ta cú: a b c a b bc c2 2 22> - ị > - + . 
 Cựng với 2 BĐT tương tự, cộng vế theo vế, ta suy ra đpcm. 
 b) Ta cú: a a b c a a b c a b c2 2 2 2( ) ( )( )> - - ị > + - - + . 
 Cựng với 2 BĐT tương tự, cộng vế theo vế, ta suy ra đpcm. 
 c) Û a b c a b c b c a c a b( )( )( )( ) 0+ + + - + - + - > . 
 d) Û a b c b c a c a b( )( )( ) 0+ - + - + - > . 
Bài 9. 
 a) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Trần Sĩ Tựng Bất đẳng thức – Bất phương trỡnh 
Trang 35 
 VẤN ĐỀ 2: Chứng minh BĐT dựa vào BĐT Cụ–si 
1. Bất đẳng thức Cụ–si: 
 + Với a, b ³ 0, ta cú: a b ab
2
+
³ . Dấu "=" xảy ra Û a = b. 
 + Với a, b, c ³ 0, ta cú: a b c abc3
3
+ +
³ . Dấu "=" xảy ra Û a = b = c. 
2. Hệ quả: + a b ab
2
2
ổ ử+
³ỗ ữ
ố ứ
 + a b c abc
3
3
ổ ử+ +
³ỗ ữ
ố ứ
 
3. Ứng dụng tỡm GTLN, GTNN: 
 + Nếu x, y > 0 cú S = x + y khụng đổi thỡ P = xy lớn nhất Û x = y. 
 + Nếu x, y > 0 cú P = x y khụng đổi thỡ S = x + y nhỏ nhất Û x = y. 
 
Bài 1. Cho a, b, c ³ 0. Chứng minh cỏc bất đẳng thức sau: 
 a) a b b c c a abc( )( )( ) 8+ + + ³ b) a b c a b c abc2 2 2( )( ) 9+ + + + ³ 
 c) ( )a b c abc 33(1 )(1 )(1 ) 1+ + + ³ + d) bc ca ab a b c
a b c
+ + ³ + + ; với a, b, c > 0. 
 e) a b b c c a abc2 2 2 2 2 2(1 ) (1 ) (1 ) 6+ + + + + ³ 
 f) ab bc ca a b c
a b b c c a 2
+ +
+ + Ê
+ + +
; với a, b, c > 0. 
 g) a b c
b c c a a b
3
2
+ + ³
+ + +
; với a, b, c > 0. 
 HD: a) a b ab b c bc c a ca2 ; 2 ; 2+ ³ + ³ + ³ ị đpcm. 
 b) a b c abc a b c a b c32 2 2 2 2 233 ; 3+ + ³ + + ³ ị đpcm. 
 c) ã a b c a b c ab bc ca abc(1 )(1 )(1 ) 1+ + + = + + + + + + + 
 ã a b c abc33+ + ³ ã ab bc ca a b c3 2 2 23+ + ³ 
 ị ( )a b c abc a b c abc abc 33 2 2 23 3(1 )(1 )(1 ) 1 3 3 1+ + + ³ + + + = + 
 d) bc ca abc c
a b ab
2
2 2+ ³ = , ca ab a bc a
b c bc
2
2 2+ ³ = , ab bc ab c b
c a ac
2
2 2+ ³ = ịđpcm 
 e) VT ³ a b b c c a2 2 22( )+ + ³ a b c abc3 3 3 36 6= . 
 f) Vỡ a b ab2+ ³ nờn ab ab ab
a b ab 22
Ê =
+
. Tương tự: bc bc ca ca
b c c a
;
2 2
Ê Ê
+ +
. 
 ị ab bc ca ab bc ca a b c
a b b c c a 2 2
+ + + +
+ + Ê Ê
+ + +
 
 (vỡ ab bc ca a b c+ + Ê + + ) 
 g) VT = a b c
b c c a a b
1 1 1 3
ổ ử ổ ử ổ ử
+ + + + + -ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ
+ + +ố ứ ố ứ ố ứ
 
 = [ ]a b b c c a
b c c a a b
1 1 1 1( ) ( ) ( ) 3
2
ổ ử
+ + + + + + + -ỗ ữ
+ + +ố ứ
³ 9 33
2 2
- = . 
 ã Cỏch khỏc: Đặt x =b + c, y = c + a, z = a + b. 
 Khi đú, VT = x y z x z y
y x x z y z
1 3
2
ộ ựổ ử ổ ử ổ ử
+ + + + + -ờ ỳỗ ữỗ ữ ỗ ữố ứố ứ ố ứở ỷ
 ³ 1 3(2 2 2 3)
2 2
+ + - = . 
Bất đẳng thức – Bất phương trỡnh Trần Sĩ Tựng 
Trang 36 
 Bài 2. Cho a, b, c > 0. Chứng minh cỏc bất đẳng thức sau: 
 a) a b c a b c
a b c
3 3 3 21 1 1( ) ( )
ổ ử
+ + + + ³ + +ỗ ữ
ố ứ
 
 b) a b c a b c a b c3 3 3 2 2 23( ) ( )( )+ + ³ + + + + c) a b c a b c3 3 3 39( ) ( )+ + ³ + + 
 HD: a) VT = a b b c c aa b c
b a c b a c
3 3 3 3 3 3
2 2 2 ổ ử ổ ử ổ ử+ + + + + + + +ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ
ố ứ ố ứ ố ứ
. 
 Chỳ ý: a b a b ab
b a
3 3
2 22 2+ ³ = . Cựng với 2 BĐT tương tự ta suy ra đpcm. 
 b) Û ( ) ( ) ( )a b c a b b a b c bc c a ca3 3 3 2 2 2 2 2 22( )+ + ³ + + + + + . 
 Chỳ ý: a b ab a b3 3 ( )+ ³ + . Cựng với 2 BĐT tương tự ta suy ra đpcm. 
 c) Áp dụng b) ta cú: a b c a b c a b c3 3 3 2 2 29( ) 3( )( )+ + ³ + + + + . 
 Dễ chứng minh được: a b c a b c2 2 2 23( ) ( )+ + ³ + + ị đpcm. 
Bài 3. Cho a, b > 0. Chứng minh 
a b a b
1 1 4
+ ³
+
 (1). Áp dụng chứng minh cỏc BĐT sau: 
 a) 
a b c a b b c c a
1 1 1 1 1 12
ổ ử
+ + ³ + +ỗ ữ
+ + +ố ứ
; với a, b, c > 0. 
 b) 
a b b c c a a b c a b c a b c
1 1 1 1 1 12
2 2 2
ổ ử
+ + ³ + +ỗ ữ
+ + + + + + + + +ố ứ
; với a, b, c > 0. 
 c) Cho a, b, c > 0 thoả 
a b c
1 1 1 4+ + = . Chứng minh: 
a b c a b c a b c
1 1 1 1
2 2 2
+ + Ê
+ + + + + +
 
 d) ab bc ca a b c
a b b c c a 2
+ +
+ + Ê
+ + +
; với a, b, c > 0. 
 e) Cho x, y, z > 0 thoả x y z2 4 12+ + = . Chứng minh: xy yz xz
x y y z z x
2 8 4 6
2 2 4 4
+ + Ê
+ + +
. 
 f) Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giỏc, p là nửa chu vi. Chứng minh rằng: 
 
p a p b p c a b c
1 1 1 1 1 12
ổ ử
+ + ³ + +ỗ ữ
- - - ố ứ
. 
 HD: (1) Û a b
a b
1 1( ) 4
ổ ử
+ + ³ỗ ữ
ố ứ
. Hiển nhiển suy từ BĐT Cụ–si. 
 a) Áp dụng (1) ba lần ta được: 
a b a b b c b c c a c a
1 1 4 1 1 4 1 1 4; ;+ ³ + ³ + ³
+ + +
. 
 Cộng cỏc BĐT vế theo vế ta được đpcm. 
 b) Tương tự cõu a). 
 c) Áp dụng a) và b) ta được: 
a b c a b c a b c a b c
1 1 1 1 1 14
2 2 2
ổ ử
+ + ³ + +ỗ ữ
+ + + + + +ố ứ
. 
 d) Theo (1): 
a b a b
1 1 1 1
4
ổ ử
Ê +ỗ ữ
+ ố ứ
 Û ab a b
a b
1 ( )
4
Ê +
+
. 
 Cựng với cỏc BĐT tương tự, cộng vế theo vế ta được đpcm. 
 e) Áp dụng cõu d) với a = x, b = 2y, c = 4z thỡ a b c 12+ + = ị đpcm. 
 f) Nhận xột: (p –a) + (p – b) = 2p – (a + b) = c. 
 Áp dụng (1) ta được: 
p a p b p a p b c
1 1 4 4
( ) ( )
+ ³ =
- - - + -
. 
 Cựng với 2 BĐT tương tự, cộng vế theo vế, ta được đpcm. 
Trần Sĩ Tựng Bất đẳng thức – Bất phương trỡnh 
Trang 37 
 
Bài 4. Cho a, b, c > 0. Chứng minh 
a b c a b c
1 1 1 9
+ + ³
+ +
 (1). Áp dụng chứng minh cỏc 
BĐT sau: 
 a) a b c a b c
a b b c c a
2 2 2 1 1 1 3( ) ( )
2
ổ ử
+ + + + ³ + +ỗ ữ
+ + +ố ứ
. 
 b) Cho x, y, z > 0 thoả x y z 1+ + = . Tỡm GTLN của biểu thức: P = x y z
x y z1 1 1
+ +
+ + +
. 
 c) Cho a, b, c > 0 thoả a b c 1+ + Ê . Tỡm GTNN của biểu thức: 
 P = 
a bc b ac c ab2 2 2
1 1 1
2 2 2
+ +
+ + +
. 
 d) Cho a, b, c > 0 thoả a b c 1+ + = . Chứng minh: 
ab bc caa b c2 2 2
1 1 1 1 30+ + + ³
+ +
. 
 e*) Cho tam giỏc ABC. Chứng minh: 
A B C
1 1 1 6
2 cos2 2 cos2 2 cos2 5
+ + ³
+ + -
. 
 HD: Ta cú: (1) Û a b c
a b c
1 1 1( ) 9
ổ ử
+ + + + ³ỗ ữ
ố ứ
. Dễ dàng suy từ BĐT Cụ–si. 
 a) Áp dụng (1) ta được: 
a b b c c a a b c
1 1 1 9
2( )
+ + ³
+ + + + +
. 
 ị VT ³ a b c a b c a b c
a b c a b c
2 2 2 2 2 29( ) 3 3( ) 3. ( )
2( ) 2 2
+ + + +
= ³ + +
+ + + +
 
 Chỳ ý: a b c a b c2 2 2 2( ) 3( )+ + Ê + + . 
 b) Để ỏp dụng (1), ta biến đổi P như sau: 
 P = x y z
x y z
1 1 1 1 1 1
1 1 1
+ - + - + -
+ +
+ + +
 = 
x y z
1 1 13
1 1 1
ổ ử
- + +ỗ ữ+ + +ố ứ
 
 Ta cú: 
x y z x y z
1 1 1 9 9
1 1 1 3 4
+ + ³ =
+ + + + + +
. Suy ra: P Ê 9 33
4 4
- = . 
 Chỳ ý: Bài toỏn trờn cú thể tổng quỏt như sau: 
 Cho x, y, z > 0 thoả x y z 1+ + = và k là hằng số dương cho trước. Tỡm GTLN 
 của biểu thức: P = x y z
kx ky kz1 1 1
+ +
+ + +
. 
 c) Ta cú: P ³ 
a bc b ca c ab a b c2 2 2 2
9 9 9
2 2 2 ( )
= ³
+ + + + + + +
. 
 d) VT ³ 
ab bc caa b c2 2 2
1 9
+
+ ++ +
 
 = 
ab bc ca ab bc ca ab bc caa b c2 2 2
1 1 1 7ổ ử
+ + +ỗ ữ+ + + + + ++ +ố ứ
 
 ³ 
ab bc caa b c 2
9 7 9 7 30
11( )
3
+ ³ + =
+ ++ +
 
 Chỳ ý: ab bc ca a b c 21 1( )
3 3
+ + Ê + + = . 
 e) Áp dụng (1): 
A B C A B C
1 1 1 9
2 cos2 2 cos2 2 cos2 6 cos2 cos2 cos2
+ + ³
+ + - + + -
 
Bất đẳng thức – Bất phương trỡnh Trần Sĩ Tựng 
Trang 38 
 ³ 9 6
3 56
2
=
+
. 
 Chỳ ý: A B C 3cos2 cos2 cos2
2
+ - Ê . 
Bài 5. Áp dụng BĐT Cụ–si để tỡm GTNN của cỏc biểu thức sau: 
 a) xy x
x
18 ; 0
2
= + > . b) xy x
x
2 ; 1
2 1
= + >
-
. 
 c) xy x
x
3 1 ; 1
2 1
= + > -
+
. d) xy x
x
5 1;
3 2 1 2
= + >
-
 
 e) xy x
x x
5 ; 0 1
1
= + < <
-
 f) xy x
x
3
2
1; 0+= > 
 g) x xy x
x
2 4 4 ; 0+ += > h) y x x
x
2
3
2 ; 0= + > 
 HD: a) Miny = 6 khi x = 6 b) Miny = 3
2
 khi x = 3 
 c) Miny = 36
2
- khi x = 6 1
3
- d) Miny = 30 1
3
+ khi x = 30 1
2
+ 
 e) Miny = 2 5 5+ khi x 5 5
4
-
= f) Miny = 
3
3
4
 khi x = 3 2 
 g) Miny = 8 khi x = 2 h) Miny = 
5
5
27
 khi x = 5 3 
Bài 6. Áp dụng BĐT Cụ–si để tỡm GTLN của cỏc biểu thức sau: 
 a) y x x x( 3)(5 ); 3 5= + - - Ê Ê b) y x x x(6 ); 0 6= - Ê Ê 
 c) y x x x 5( 3)(5 2 ); 3
2
= + - - Ê Ê d) y x x x5(2 5)(5 ); 5
2
= + - - Ê Ê 
 e) y x x x1 5(6 3)(5 2 );
2 2
= + - - Ê Ê f) xy x
x2
; 0
2
= >
+
 
 g) 
( )
x
y
x
2
32 2
=
+
 
 HD: a) Maxy = 16 khi x = 1 b) Maxy = 9 khi x = 3 
 c) Maxy = 121
8
 khi x = 1
4
- d) Maxy = 625
8
 khi x = 5
4
 
 e) Maxy = 9 khi x = 1 f) Maxy = 1
2 2
 khi x = 2 ( x x22 2 2+ ³ ) 
 g) Ta cú: x x x32 2 22 1 1 3+ = + + ³ Û x x2 3 2( 2) 27+ ³ Û x
x
2
2 3
1
27( 2)
Ê
+
 
 ị Maxy = 1
27
 khi x = ±1. 
Bài 7. 
 a) 
 
 
Trần Sĩ Tựng Bất đẳng thức – Bất phương trỡnh 
Trang 39 
 VẤN ĐỀ 3: Chứng minh BĐT dựa vào BĐT Bu–nhia–cốp–xki 
1. Bất đẳng thức Bu–nhia–cốp–xki: (B) 
 ã Với a, b, x, y ẻ R, ta cú: ax by a b x y2 2 2 2 2( ) ( )( )+ Ê + + . Dấu "=" xảy ra Û ay = bx. 
 ã Với a, b, c, x, y, z ẻ R, ta cú: ax by cz a b c x y z2 2 2 2 2 2 2( ) ( )( )+ + Ê + + + + 
Hệ quả: 
 ã a b a b2 2 2( ) 2( )+ Ê + ã a b c a b c2 2 2 2( ) 3( )+ + Ê + + 
 
 
Bài 1. Chứng minh cỏc bất đẳng thức sau: 
 a) a b2 23 4 7+ ³ , với a b3 4 7+ = b) a b2 2
7353 5
47
+ ³ , với a b2 3 7- = 
 c) a b2 2 24647 11
137
+ ³ , với a b3 5 8- = d) a b2 2
4
5
+ ³ , với a b2 2+ = 
 e) a b2 22 3 5+ ³ , với a b2 3 5+ = f) x y x y2 2
9( 2 1) (2 4 5)
5
- + + - + ³ 
 HD: a) Áp dụng BĐT (B) cho 4 số a b3, 4, 3 , 4 . 
 b) Áp dụng BĐT (B) cho 4 số a b2 3, , 3 , 5
3 5
- . 
 c) Áp dụng BĐT (B) cho 4 số a b3 5, , 7 , 11
7 11
- . 
 d) Áp dụng BĐT (B) cho 4 số a b1,2, , . 
 e) Áp dụng BĐT (B) cho 4 số a b2, 3, 2 , 3 . 
 f) Đặt a = x – 2y + 1, b = 2x – 4y + 5, ta cú: 2a – b = –3 và BĐT Û a b2 2 9
5
+ ³ . 
 Áp dụng BĐT (B) cho 4 số 2; –1; a; b ta được đpcm. 
Bài 2. Chứng minh cỏc bất đẳng thức sau: 
 a) a b2 2 1
2
+ ³ , với a b 1+ ³ . b) a b3 3
1
4
+ ³ , với a b 1+ ³ . 
 c) a b4 4 1
8
+ ³ , với a b 1+ ³ . d) a b4 4 2+ ³ , với a b 2+ = . 
 HD: a) a b a b2 2 2 2 21 (1 1 ) (1 1 )( )Ê + Ê + + ị đpcm. 
 b) a b b a b a a a a3 3 2 31 1 (1 ) 1 3 3+ ³ ị ³ - ị ³ - = - + - 
 ị b a a
2
3 3 1 1 13
2 4 4
ổ ử
+ ³ - + ³ỗ ữ
ố ứ
. 
 c) a b a b2 2 4 4 2 2 2 1(1 1 )( ) ( )
4
+ + ³ + ³ ị đpcm. 
 d) a b a b2 2 2 2 2(1 1 )( ) ( ) 4+ + ³ + = ị a b2 2 2+ ³ . 
 a b a b2 2 4 4 2 2 2(1 1 )( ) ( ) 4+ + ³ + ³ ị a b4 4 2+ ³ 
Bài 3. Cho x, y, z là ba số dương và x y z 1+ + = . Tỡm giỏ trị lớn nhất của biểu thức: 
 P x y z1 1 1= - + - + - . 
 HD: Áp dụng BĐT (B), ta cú: P Ê x y z1 1 1. (1 ) (1 ) (1 )+ + - + - + - Ê 6 
Bất đẳng thức – Bất phương trỡnh Trần Sĩ Tựng 
Trang 40 
 Dấu "=" xảy ra Û x y z1 1 1- = - = - Û x y z 1
3
= = = . 
 Vậy Max P = 6 khi x y z 1
3
= = = . 
Bài 4. Cho x, y, z là ba số dương và x y z 1+ + Ê . Chứng minh rằng: 
 x y z
x y z
2 2 2
2 2 2
1 1 1 82+ + + + + ³ 
 HD: Áp dụng BĐT (B), ta cú: 
 x x
xx
2
2 2 2
2
1 9(1 9 )
ổ ử ổ ử
+ + ³ +ỗ ữỗ ữ ố ứố ứ
 ị x x
xx
2
2
1 1 9
82
ổ ử
+ ³ +ỗ ữố ứ
 (1) 
 Tương tự ta cú: y y
yy
2
2
1 1 9
82
ổ ử
+ ³ +ỗ ữ
ố ứ
 (2), z z
zz
2
2
1 1 9
82
ổ ử
+ ³ +ỗ ữ
ố ứ
 (3) 
 Từ (1), (2), (3) suy ra: 
 P ³ x y z
x y z
1 1 1 1
( ) 9
82
ộ ựổ ử
+ + + + +ờ ỳỗ ữ
ố ứở ỷ
 = x y z
x y z x y z
1 1 1 1 1 80 1 1 1
( )
9 982
ộ ựổ ử ổ ử
+ + + + + + + +ờ ỳỗ ữ ỗ ữ
ố ứ ố ứở ỷ
 
 ³ x y z
x y z x y z
1 2 1 1 1 80 9( ) .
3 982
ộ ựổ ử
ờ ỳ+ + + + +ỗ ữ + +ờ ỳố ứở ỷ
 ³ 82 . 
 Dấu "=" xảy ra Û x y z 1
3
= = = . 
Bài 5. Cho a, b, c ³ 1
4
- thoả a b c 1+ + = . Chứng minh: 
 a b c
(1) (2)
7 4 1 4 1 4 1 21< + + + + + Ê . 
 HD: Áp dụng BĐT (B) cho 6 số: a b c1;1;1; 4 1; 4 1; 4 1+ + + ị (2). 
 Chỳ ý: x y z x y z+ + Ê + + . Dấu "=" xảy ra Û x = y = z = 0. Từ đú ị (1) 
Bài 6. Cho x, y > 0. Tỡm GTNN của cỏc biểu thức sau: 
 a) A
x y
4 1
4
= + , với x + y = 1 b) B x y= + , với 
x y
2 3 6+ = 
 HD: a) Chỳ ý: A = 
x y
2 2
2 1
2
ổ ử ổ ử
+ỗ ữ ỗ ữỗ ữố ứ ố ứ
. 
 Áp dụng BĐT (B) với 4 số: x y
x y
2 1; ; ;
2
 ta được: 
 x y x y
x yx y
2
25 2 1 4 1. . ( )
4 42
ổ ử ổ ử
Ê + Ê + +ỗ ữ ỗ ữỗ ữ ố ứố ứ
 
 Dấu "=" xảy ra Û x y4 1;
5 5
= = . Vậy minA = 25
4
 khi x y4 1;
5 5
= = . 
 b) Chỳ ý: 
x y x y
2 2
2 3 2 3ổ ử ổ ử
+ = +ỗ ữ ỗ ữỗ ữố ứ ố ứ
. 
 Áp dụng BĐT (B) với 4 số: x y
x y
2 3; ; ; ta được: 
Trần Sĩ Tựng Bất đẳng thức – Bất phương trỡnh 
Trang 41 
 
 ( )x y x y
x y x y
2
22 3 2 3( ) . . 2 3
ổ ửổ ử
+ + ³ + = +ỗ ữỗ ữ ỗ ữố ứ ố ứ
 ị 
( )
x y
2
2 3
6
+
+ ³ . 
 Dấu "=" xảy ra Û x y2 3 3 2 2 3 3 2;
6 3 6 2
+ +
= = . Vậy minB = 
( )22 3
6
+ . 
Bài 7. Tỡm GTLN của cỏc biểu thức sau: 
 a) A x y y x1 1= + + + , với mọi x, y thoả x y2 2 1+ = . 
 HD: a) Chỳ ý: x y x y2 22( ) 2+ Ê + = . 
 A Ê x y y x x y2 2( )(1 1 ) 2+ + + + = + + Ê 2 2+ . 
 Dấu "=" xảy ra Û x y 2
2
= = . 
Bài 8. Tỡm GTLN, GTNN của cỏc biểu thức sau: 
 a) A x x7 2= - + + , với –2 Ê x Ê 7 b) B x x6 1 8 3= - + - , với 1 Ê x Ê 3 
 c) C y x2 5= - + , với x y2 236 16 9+ = d) D x y2 2= - - , với x y
2 2
1
4 9
+ = . 
 HD: a) ã A Ê x x2 2(1 1 )(7 2) 3 2+ - + + = . Dấu "=" xảy ra Û x 5
2
= . 
 ã A ³ x x(7 ) ( 2) 3- + + = . Dấu "=" xảy ra Û x = –2 hoặc x = 7. 
 ị maxA = 3 2 khi x 5
2
= ; minA = 3 khi x = –2 hoặc x = 7. 
 b)ã B Ê x x2 2(6 8 )( 1 3 ) 10 2+ - + - = . Dấu "=" xảy ra Û x = 43
25
. 
 ã B ³ x x x6 ( 1) (3 ) 2 3- + - + - ³ 6 2 . Dấu "=" xảy ra Û x = 3. 
 ị maxB = 10 2 khi x = 43
25
; minB = 6 2 khi x = 3. 
 c) Chỳ ý: x y x y2 2 2 236 16 (6 ) (4 )+ = + . Từ đú: y x y x1 12 .4 .6
4 3
- = - . 
 ị ( )y x y x y x2 21 1 1 1 52 .4 .6 16 36
4 3 16 9 4
ổ ử
- = - Ê + + =ỗ ữ
ố ứ
 
 ị y x5 52
4 4
- Ê - Ê ị C y x15 252 5
4 4
Ê = - + Ê . 
 ị minC = 15
4
 khi x y2 9,
5 20
= = - ; maxC = 25
4
 khi x y2 9,
5 20
= - = . 
 d) Chỳ ý: ( )x y x y
2 2
2 21 (3 ) (2 )
4 9 36
+ = + . Từ đú: x y x y2 12 .3 .2
3 2
- = - . 
 ị ( )x y x y x y2 22 1 4 12 .3 .2 9 4 5
3 2 9 4
ổ ử
- = - Ê + + =ỗ ữ
ố ứ
 
 ị x y5 2 5- Ê - Ê ị D x y7 2 2 3- Ê = - - Ê . 
 ị minD = –7 khi x y8 9,
5 5
= - = ; maxD = 3 khi x y8 9,
5 5
= = - . 
Bài 9. 
 a) 
Bất đẳng thức – Bất phương trỡnh Trần Sĩ Tựng 
Trang 42 
 
 
 
1. Giải và biện luận bất phương trỡnh dạng ax + b < 0 
 
2. Hệ bất phương trỡnh bậc nhất một ẩn 
 Muốn giải hệ bất phương trỡnh bậc nhất một ẩn ta giải từng bất phương trỡnh của hệ rồi 
lấy giao cỏc tập nghiệm thu được. 
3. Dấu của nhị thức bậc nhất 
 
 
 
 
VẤN ĐỀ 1: Giải và biện luận bất phương trỡnh dạng ax + b < 0 
 
Bài 1. Giải cỏc bất phương trỡnh sau: 
 a) 
( )x
x
3 3 2 72
5 3
-
- + > b) x x2 1 33
5 4
+
- > + 
 c) x x5( 1) 2( 1)1
6 3
- +
- < d) x x3( 1) 12 3
8 4
+ -
+ < - 
Bài 2. Giải và biện luận cỏc bất phương trỡnh sau: 
 a) m x m x( ) 1- Ê - b) mx x m6 2 3+ > + 
 c) m x m m( 1) 3 4+ + + 
 e) m x x m x( 2) 1
6 3 2
- - +
+ > f) mx x m m 23 2( ) ( 1)- < - - + 
Bài 3. Tỡm m để cỏc bất phương trỡnh sau vụ nghiệm: 
 a) m x m x m2 24 3+ - < + b) m x m m x2 1 (3 2)+ ³ + - 
 c) mx m mx2 4- > - d) mx x m m 23 2( ) ( 1)- < - - + 
Bài 4. 
 a) 
 
 
 
 
f(x) = ax + b (a ạ 0) 
x ẻ b
a
;
ổ ử
-Ơ -ỗ ữ
ố ứ
 a.f(x) < 0 
x ẻ b
a
;
ổ ử
- +Ơỗ ữ
ố ứ
 a.f(x) > 0 
 
II. BẤT PHƯƠNG TRèNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRèNH 
BẬC NHẤT MỘT ẨN 
Điều kiện Kết quả tập nghiệm 
a > 0 S = b
a
;
ổ ử
-Ơ -ỗ ữ
ố ứ
 
a < 0 S = b
a
;
ổ ử
- +Ơỗ ữ
ố ứ
 
b ³ 0 S = ặ a = 0 b < 0 S = R 
 
Trần Sĩ Tựng Bất đẳng thức – Bất phương trỡnh 
Trang 43 
 VẤN ĐỀ 2: Giải hệ bất phương trỡnh bậc nhất một ẩn 
 
Bài 1. Giải cỏc hệ bất phương trỡnh sau: 
 a) 
xx
x x
15 88 5
2
32(2 3) 5
4
ỡ -
- >ù
ớ
ù - > -
ợ
 b) 
x x
x
x
4 5 3
7
3 8 2 5
4
ỡ -
< +ù
ớ +ù > -
ợ
 c) 
x x
x x
4 112
3 2
4 3 2
2 3
ỡ
- Ê +ù
ớ - -ù <
ợ
 
 d) 
x x
x x
4
2 3
2 9 19
3 2
ỡ
Ê +ù
ớ - +ù <
ợ
 e) 
( )
x x
x
x
11 2 5
2
82 3 1
2
ỡ -
³ -ù
ớ -ù + ³
ợ
 f) 
( )
x x
x
x
115 2 2
3
3 142 4
2
ỡ
- > +ù
ớ -ù - <
ợ
 
 g) 
x x
x
x
2 3 3 1
4 5
53 8
2 3
ỡ - +
<ù
ớ
ù + < -
ợ
 h) 
x x x
x x x
3 1 3( 2) 5 31
4 8 2
4 1 1 4 53