Chuyên đề : Bất đẳng thức Trường THCS Nhơn Phúc

Tröôøng THCS Nhôn Phuùc 	 Soaïn ngaøy 20/03/2006
Toå :Toaùn Lyù
Chuyeân ñeà : BAÁT ÑAÚNG THÖÙC
A-MUÏC TIEÂU:
HS:
-Naém vöõng ñònh nghóa , tính chaát cuûa baát ñaúng thöùc.
-Naém vöõng caùc phöông phaùp chöùng mnh baát ñaúng thöùc
-Vaän duïng caùc phöông phaùp ñoù vaøo giaûi baøi taäp.
B-THÔØI LÖÔÏNG :8 tieát
C-THÖÏC HIEÄN :
HS:Töï ñoïc phaàn döôùi ñaây
Tieát 1: HS Töï ñoïc phaàn ñònh nghóa vaø tính chaát.
i-ÑÒNH NGHÓA & CAÙC TÍNH CHAÁT:
1)Ñònh nghóa:
 Baát ñaúng thöùc laø hai soá hoaëc hai bieåu thöùc (Soá hoaëc chöõ)noái vôùi nhau bôõi caùc daáu > (lôùn hôn),<(nhoû hôn) 
 
 Caùc baát ñaúng thöùc coù theå ñuùng hoaëc sai .Khi noùi laø moät baát ñaúng thöùc neáu khoâng giaûi thích gì theâmthì ñoù laø moät baát ñaúng thöùc ñuùng
 Trong baát ñaúng thöùc A>Bvaø C>Dgoïi laø hai baát ñaúng thöùc cuøng chieàu .Caùc baát ñaúng thöùc A>Bvaø E<F goïi laø hai baát ñaúng thöùc traùi chieàu
-Neáu ta coù: A>BTa noùi Baát ñaúng thöùc C > D laø heä quaû cuûa baát ñaúng thöùc A>B
-Neáu ta coù :A>B 	Ta noùi hai baát ñaúng thöùc A>B vaø E>F laø hai baát ñaúng thöùc töông ñöông.
2-Tính chaát
Tính chaát 1:(Tính chaát baéc caàu)
a>bvaø b>c
Tính chaát 2
 	
Heä quaû:
	
Tính chaát 3:
a>b vaø c>d
Tính chaát 4:
	
Tính chaát 5:
a>b>0 vaø c>d>0
Tính chaát 6:
	a>b>0 
Tính chaát 7
	
Heä quaû:
	
Tính chaát 8:
	a>b; ab>0 
Tính chaát 9:
+a>1;
+0<a<1
Chuù yù caàn traùnh sai laàm sau:
-Tröø tuøng hai veá cuûa hai baát ñaúng thöùc cuøng chieàu
-Nhaân hai veá baát ñaúng thöùc cuøng chieàu maø chöa bieát khoâng aâm
-Bình phöng hai veá maø chöa bieát khoâng aâm.
-Khöû maãu chöa bieát daáu cuûa chuùng 
-Nghòch ñaûo hai veá maø chöa bieát hai veá cuøng daáu 
-Thöøa nhaän xm>xn vôùi m;nN vaø m>n Khi chöa bieát ñieàu kieän cuûa x
II-CHÖÙNG MINH BAÁT ÑAÚNG THÖÙC:
	Muoân chöùng minh baát ñaúng thöùc ta döïa vaøo baát ñaúng thöùc ñuùng ñaõ bieát .
Ghi nhôù:
	
	Coù hai caùch giaûi:
Caùch 1:Bieán ñoåi Baát ñaúng thöùc caàn chöùng minh thaønh moät baát ñaúng thöùc töông ñöông maø ñaõ bieát laø ñuùng.
Caùch 2:Bieán ñoåi baát ñaúng thöùc ñuùng töông ñöông baát ñaúng thöùc caàn chöùng minh.
Sau ñaây laø caùc phöông phaùp chöùng minh baát ñaúng thöùc ,tuy nhieân khi giaûi moät baøi toaùn chöùng minh baát ñaúng thöùc phaûi aên cöù vaøo ñaëc thuø cuûa baøi toaùn maø choïn phöông phaùp thích hôïp .
Moãi baøi toaùn coù theå giaûi baèng caùc phöông phaùp khaùc nhau coù khi phaûi phoái hôïp nhieâu phöông phaùp .
Tieát 2,3: GV Höôùng daãn treân lôùp vaø minh hoaï ví duï cho HS naém 
III-CAÙC PHÖÔNG PHAÙP CHÖÙNG MINH BAÁT ÑAÚNG THÖÙC
+Caùc phöông phaùp chöùng minh baát ñaúng thöùc chæ mang tính chaát töông ñoái
1-Phöông phaùp vaän duïng ñònh nghóa vaø tính chaát cuûa baát ñaúng thöùc :
Ta chia phöông phaùp naøy thaønh caùc ohöông phaùp nhoû:
1-Phöông phaùp duøng ñònh nghóa
2-Phöông phaùp bieán ñoåi töông ñöông
3-Phöông phaùp laøm troäi , laøm truït
4-Phöông phaùp phaûn chöùng
Caùc ví duï minh hoïa
+Ñeå chöùng minh A>B ta chöùng minh A-B>0
Ví duï1:C/m:(a-1)(a-2)(a-3)(a-4)
Höôùng daãn :Xeùt hieäu (a-1)(a-2)(a-3)(a-4)+1=…= b2 
+Ñeå C/m:A>B ta bieán ñoåi baát ñaúng thöùc caàn C/m töông ñöông vôùi Baát ñaúngthöùc ñuùng hoaëc baát ñaúng thöùc ñaõ ñöôïc C/m ñuùng.
Ví du2ï:C/mBaát ñaúng thöùc sau
	a2+b2+c2 (1)
Höôùng daãn:
 
Vaäy a2+b2+c2 
+Ñeå C/mA>B ta duøng tính chaát cuûa caùc baát ñaúng thöùc ñaõ bieát
+Caùc baát ñaúng thöôøng duøng
(ab)2 
Baát ñaúng thöùc keùp:

3)

Ví du3ï:Cho a+b>1.C/m:a4+b4> 
Giaûi:Ta coù a+b>1>0(1),Bình phöông hai veá ta coù (a+b)2>1
Maët khaùc 
Coäng töøng veá cuûa (2) vaø (3):2(a2+b2)>1
Bình phöông hai veá cuûa (4):a4+2a2b2+b4> 
Maët khaùc (a2-b2)2 
Coäng töøng veá (5) vaø (6) :2(a4+b4)> (Ñpcm)
Ví duï4:Chöùng minh raèng:
Baøi giaûi:Goïi A laø veá traùi cuûa BÑT treân Ta söû duïng tính chaát baéc caàu cuûa BÑT döôùi daïng laøm troäi :Ñeå C/m A<B Ta laøm troäi A thaønh C(A<C)Roài C/m C (Bieåu thöùc C ñoùng vai troø trung gian).
Laøm troäi moãi phaân soá ôû A baèng caùch laøm giaûm caùc maãu ,ta coù :

Ví du5ï:Cho a2+b2 .Chöùng minh :a+b 
Baøi giaûi:
Giaû söû a+b>2, bình phöông hai veá ta ñöôïc a2+2ab+b2>4(1)
Maët khaùc ta coù a2+b2 Maø 2(a2+b2) 
Do ñoù a2+2ab+b2 Maâu thuaãn vôùi (1)
Vaäy a+b
2-Phöông phaùp vaän duïng caùc baøi toaùn cô baûn veà BÑT
Ñeå c/mBÑT A>B Nhieàu khi ta caàn ghi nhôù moät soá baøi toaùn cô baûn veà BÑT ñeå laøm baøi toaùn phuï giuùp tìm ñeán lôøi giaûi baøi toaùn 
-Phöông phaùp vaän duïng caùc baøi toaùn cô baûn veà phaân soá
-Phöông phaùp vaän duïng caùc baøi toaùn cô baûn veà giaù trò tuyeät ñoái 
-Phöông phaùp vaän duïng BÑT “Lieân heä giöõa toång bình phöông,toång tích”
Ví du5ï:Cho a, b , c laø ñoä daøi 3 caïnh cuûa tam giaùc C/mR:

HS:Töï c/m tieáp 
3-Phöông phaùp Vaän duïng tính chaát ñaëc bieät cuûa bieán
+Phöông phaùp ñoåi bieán
+Phöông phaùp duøng toaï ñoä , hình hoïc
+Phöông phaùp Quy naïp toaùn hoïc
+Phöông phaùp “C/m BÑT rieâng”
+Phöông phaùp xeùt khoaûng Giaù trò cuûa bieán
v.v…
Ví du6ï:Cho a+b+c=1 C/mR:
Baøi giaûi 
Ñaët 

Ñaúng thöùc xaåy ra 
C-Tieát 4,5,6,7
Giaûi caùc baøi taäp
Baøi 1:C/mR:vôùi moïi x,y,z thoõa maõn ÑK:x2+y2+z2=1 thì ta coù
HD:Baát ñaúng thöùc caàn C/m 
Baøi 2:C/mR:vôùi 5 soá a,b,c,d,e baát kyø bao giôø ta cuõng coù :a2+b2+c2+d2+e2 a(b+c+d+e)
HD:Bieán ñoåi BÑT caàn C/m 
Baøi 3:C/mR:Vôùi a,b,c döông ta coù :
HD:Chuù yù :

Vaø C/m töông töï cho caùc bieåu thöùc coøn laïi
Baøi 4: Cho a+b=2 C/mR:a4+b4 
HD:Tröôùc hr6t1 ta C/m BÑT:

Baøi 5:Cho 
HD:ta bieán ñoåi BÑT caà C/m 

Baøi 6:Chon a,b,c >0 C/mR:
HD:Töø Töông töï cho caùc tröông hôïp coøn laïi
Baøi 7:Cho a,b,c>0 C/mR:
HD:Aùp duïng BÑT coâ si ta coù :
Aùp duïng cho caùc tröôøng hôïp coø laïi
Baøi 8:C/mR:3(a2+b2+c2) 
HD:Ta coù (a+b+c)2+(a-b)2+(a-c)2+(b-c)2 
HS:Töï ñöa ra baøi toaùn Toång quaùt nhö theá naøo?
Baøi 9:Cho a,b,c>0 C/mR:

HD:Bieán ñoåi Töông ñöông vaø duøng BÑT 
HS:Töï ñua ra baøi toaùn Toång quaùt 
Baøi 10:Cho a,b,c>0 C/mR:
HD:Bieán ñoåi veá traùi = 
Baøi 11:Cho a+b=1C/mR:

Baøi 12:Cho a,b,c >0 C/mR:(a+b)(a+c)(b+c) 
HD:Vaän duïng BÑT:
Baøi 13:C/mR:Vôùi moïi a,b,c ,d Ta coù a4+b4+c4+d4 
HD:Vaän duïng BÑT a4+b4 . Aùp duïng hai laàn BÑT treân ta coù Ñpcm
Baøi 14:Cho a+b+c+d=2 C/mR:a2+b2+c2+d2 
HD:Vaän duïng BÑT:a2+b2 Töông töï cho caùc tröông hôïp a2+c2;a2+d2;b2+c2;c2+d2 ;b2+d2.
Vaø bieán ñoåi Töông ñöông BÑT: 4(a2+b2+c2+d2 ) Ta coù Ñpcm
Baøi 15 :C/mR :neáu a,b,c laø ñoä daøi 3 caïnh cuûa Tam giaùc thì ta coù a2+b2+c2 <2(ab+ac+bc)
HD:Vaän duïng tính chaát BÑT trong tam giaùc 0<a<b+c a2 <a(b+c) Töông töï cho caùc tröôøng hôïp coøn laïi.Coän caùc BÑT cuøng chieàu Ta coù Ñpcm
Baøi 16 :a,b,c laø ñoä daøi 3 caïnh cuûa tam giaùc 2p laø chu vi C/mR:

HD:Caâu a:Thay vaøo BÑT caàn C/m ta coù :(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a) 
Vaø c/m:a> 
Töông töï cho caùc tröôøng hôïp b;c
Nhaân caùc veá cho ba BÑT cuøng chieàu khoâng aâm a2b2c2 
Caâub :Duøng BÑT:
Baøi 17:CmR:
HDTa bieán ñoåi soá haïng toång quaùt :
Baøi 18:Cho a,b,c thoaõ maõn :a+b+c=0C/mR:a2+b2+c2 
HD:Töø –1 
Töông töï cho caùc tröông hôïp coøn laïi
Baøi 19:Cho a;b;c 
HD:Xeùt (a-2)(b-2)(c-2) 
(a+b+c)2 =3
Töø (1) vaø (2) Suy ra abc +a2b2+c2 -4
Neân a2+b2+c2 
Baøi 20 Cho a,b,c > 0 thoõa maõn a2+b2+c2 = 
HD:Töø (a+b-c)2 Bieán ñoåi Töông ñöông –ab+ac+bc 
CAÙC BAØI TOÙAN VEÀ BAÁT ÑAÚNG THÖÙC.
Baøi 1: Cho a, b, c, d laø 4 soá döông.
Chöùng minh: .
Töø ñoù chöùng minh soá , khoâng phaûi laø 1 soá nguyeân.
HD: Ta coù:
 	 
Maët khaùc:
 
Töø (1) vaø (2) ta coù keát quaû:
 , do ñoù 
Baøi 2: Chöùng minh raèng vôùi moïi soá a, b, c, ta luoân coù: . Daáu “=” xaûy ra khi naøo?
Baøi 3: Goïi a, b, c laø ñoä daøi 3 caïnh cuûa moät tam giaùc.
Chöùng minh raèng: 
Baøi 4: Cho x vaø y döông, chöùng minh raèng: . Daáu “=” trong baát ñaúng thöùc xaûy ra khi naøo? (TS vaøo 10 Ban A-B tröôøng chuyeân Leâ Hoàng Phong)
Baøi 5: 
Chöùng minh raèng .
Cho a, b, c khoâng aâm vaø . Chöùng minh raèng: .
Baøi 6: Chöùng minh raèng , ta coù (ÑS06_51-65)
Baøi 7: Chöùng minh , (ÑS 06_53)
Baøi 8: . Chöùng minh . (ÑS 06_55)
Baøi 9: Cho . Chöùng minh . (ÑS 06_58)
Baøi 10: Cho . Chöùng minh (TK 01_17)
Baøi 11: Chöùng minh raèng ta coù . (HSG Tp Buoân ma thuïoât 1995-1996)
HD: Ñaët , Vì vaø cuøng daáu neân ta coù:

Khi ñoù , roõ raøng vôùi (*) ta thaáy (**) thoûa.
Baøi 12: Chöùng minh khoâng theå coù 3 soá maø coù theå thoûa ñoàng thôøi 3 baát ñaúng thöùc . (Choïn HSG L9 Tp BMT 1996-1997)
Baøi 13: Cho caùc soá döông . Chöùng minh raèng . (HSG Daklak 2003)
Baøi 14: Cho . Chöùng minh . (HSG Daklak 2001-2002)
Baøi 15: Cho thoûa . Chöùng minh raèng .(Choïn HSG L9 Tp BMT 1995-1996)
Baøi 16: 
Baøi 17: Cho thoûa . Chöùng minh raèng (TS 10 Chuyeân Nuyeãn Du 1997-1998)
HD: Theo giaû thieát ta coù .
Khi ñoù 
, vì .
Baøi 17: (Vaøo khoái chuyeân ÑHKHTN_ÑHQG Haø noäi 1998)
Cho . Chöùng minh raèng .
HD:
Vì 
, hôn nöõa 
Suy ra 
Chuù yù: Neáu soá thì 














Tröôøng THCS Nhôn Phuùc 
Toå Toaùn Lyù








CHUÛ ÑEÀ TÖÏ CHOÏN
TOAÙN 8
LOAÏI NAÂNG CAO












GV:NGUYEÃN HOÀNG AÂN