Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi - Cực trị hình học

A. Lời nói đầu 
 Trong quá trình giảng dạy, tôi nhận thấy các em học sinh thường hay gặp khó khăn với những bài toán cực trị. Với vốn hiểu biết ít ỏi, tôi hi vọng phần nào tháo gỡ được những khó khăn ấy. Vẫn biết để đi tìm lời giải chung cho một loại toán là không thể, nhưng ở đây tôi cố gắng giới thiệu một vài suy nghĩ, trình bày phương pháp tiếp cận với từng bài toán cụ thể để qua đó các em học sinh có thể phần nào vận dụng các suy nghĩ đó để giải các bài tập tiếp theo. 
 Kiến thức là vô tận, ta không thể dạy cho các em toàn bộ kiến thức của nhân loại, nhưng nếu trang bị tốt cho các em phương pháp tiếp cận kiến thức thì các em có thể tự mình tìm tòi, phát hiện, học hỏi được những kiến thức cần thiết cho bản thân. 
 Mặc dù đã rất cố gắng nhưng chắc chắn không tránh khỏi những sai lầm, rất mong sự ủng hộ, góp ý của các thầy cô, các bạn đồng nghiệp!
B. Một vài ví dụ
Bài 1: Cho đường tròn (O; R), dây BC cố định. Tìm vị trí của A trên cung lớn BC để tam giác ABC có chu vi lớn nhất.
 Hướng dẫn:
BC cố định nên góc CAB không đổi, độ dài BC không đổi
Chu vi tam giác ABC chỉ còn phụ thuộc vào AB+AC.
Trên tia đối của tia AB lấy D sao cho AC = AD vậy chu vi của tam giác ABC phụ thuộc vào độ dài của BD hơn nữa góc CDB cũng không đổi hay BD là dây của cung chứa góc A dựng trên BC. Vậy BD lớn nhất bằng đường kính của cung chứa góc A dựng trên BC A là điểm chính giữa của cung lớn BC 
Bài 2: Cho đường tròn (O; R) với dây AB cố định sao cho khoảng cách từ O tới AB bằng . Gọi H là trung điểm của AB, tia HO cắt đường tròn (O; R) tại C. Trên cung nhỏ AB lấy M tùy ý ( khác A, B). Đường thẳng qua A và song song với MB cắt CM tại I. Dậy CM cắt dây Ab tại K.
a) So sánh góc AIM với góc ACB.
b) Chứng minh: 
c) Gọi R1, R2 lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác MAK và tam giác MBK, hãy xác định vị trí của điểm M trên cung nhỏ AB để tích R1.R2 đạt giá trị lớn nhất.
Hướng dẫn:
a) OH==> Nhận xét quan hệ giữa dây và và sđ cung căng dây ( Sđ cung AB = 1200)
Từ đó tìm được quan hệ giữa hai góc AIM và ACB. 
b) Thường chuyển về tỉ số các đoạn thẳng
( Cần chứng minh )
Tìm cách quy đồng mẫu vế trái bằng cách chỉ ra các tam giác đồng dạng?
Tam giác chứa hai cạnh MK, MA đồng dạng với tam giác nào? tam giác chứa hai cạnh MK, MB đồng dạng với tam giác nào?
(Tam giác MKA và tam giác MBC đồng dạng , tam giác MKB và tam giác MAC đồng dạng 
Vậy 
do đó ta phải chứng minh MA+MB = MC
c) Để tìm giá trị lớn nhát của tích R1.R2, ta tìm mối liên hệ của tổng R1+R2 với các yếu tố không đổi của bài toán
Để ý hai tam giác AMK, BMK có hai góc AMK, BMK không đổi (= 600), tổng hai cạnh đối diện không đổi. ( dùng công thức )
Lời Giải sơ lược:
a) Xét tam giác AOH có CosO = 
Tam giác ABC có đường cao CH đồng thời là trung tuyến. Vậy tam giác ABC đều =>
AI // MB => góc AIM = góc CMB = góc CAB = 600
Vậy góc AIM = góc ACB.
b) Tam giác AIM đều ( có hai góc bằng 600 ) => AM = MI.
và đồng dạng nên
và đồng dạng nên
Vậy: hay 
Bổ đề: Trong tam giác ABC: 
CM: 
Vẽ đường kính BD => góc A = góc D
Xét tam giác vuông BCD
BD = hay tương tự ta cm được 
c) Áp dụng bổ đề ta được:
Trong tam giác AKM: 
Trong tam giác BKM:
Áp dụng bất đẳng thức Cosi cho 2 số không âm R1, R2 có:
dấu bằng khi R1=R2 ó AK = BK ó M là điểm chính giữa của cung AB.
Vậy R1R2 max = khi M là điểm chính giữa của cung AB.
Bài 3: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R, lấy C là trung điểm của AO. Kẻ hai tia Ax và By vuông góc với AB và ở cùng một phía với nửa đường tròn. Điểm M di động trên nửa đường tròn ( M khác A, B). Một đường thẳng vuông góc với CM tại M cắt Ax ở P, cắt By ở Q. Tìm vị trí của điểm M trên nửa đường tròn để tứ giác APQB có diện tích nhỏ nhất. Tìm giá trị diện tích nhỏ nhất đó.
Phương hướng:
Hình thang ABQP có đường cao không đổi do dó diện tích của nó nhỏ nhất ó AP+BQ nhỏ nhất. Ta đi chứng minh tích AP. BQ không đổi
Muốn vậy chỉ ra AP và BQ là cạnh không tương ứng của hai tam giác đồng dạng.
Gợi ý: Tứ giác APMC, BQMC nội tiếp => Hãy chỉ ra các cặp góc bằng nhau. ( liên hệ giữa các góc với các đường tròn)
Lời giải sơ lược:
Tứ giác APMC nội tiếp => góc PCA = góc PMA
Có góc AMB vuông => góc PMA + góc BMQ = 900
Tứ giác BQMC nội tiếp => góc BMQ = góc BCQ.
Có góc CAQ vuông => góc BCQ + góc BQC = 900.
Vậy: góc PCA = góc BQC 
Do đó tam giác APC và tam giác BCQ đồng dạng 
.
Áp dụng bất đẳng thức Cosi : dấu bằng khi AP = BQ ó CM vuông góc với AB
Hay khi sđ cung AM = 600.
Bài 4: Cho tam giác đều ABC, E là một điểm trên cạnh AC ( E khác A), K là trung điểm của đoạn AE. Đường thẳng EF đi qua E và vuông góc với đường thẳng AB ( F thuộc AB) cắt đường thẳng đi qua C và vuông góc với đường thẳng BC tại D. Xác định vị trí của E sao cho đoạn KD có độ dài nhỏ nhất.
Hướng dẫn:
Khai thác Tam giác ABC đều, tam giác AEF vuông, K là trung điểm AE, góc DCB vuông.
=> 5 điểm B, C, D, K, F cùng thuộc một đường tròn => KD là một dây cung .
 sđ cung DK không đổi. Do đó: KD nhỏ nhất ó bán kính nhỏ nhất.
Lời giải so lược:
Tam giác AEF vuông tại F, góc A = 600, FK là trung tuyến ứng với cạnh huyền => Tam giác AKF đều => góc FKC = 1200. 
Vậy Tứ giác BCKF nội tiếp.
Tứ giác BCDF có góc F = góc C = 900
Vậy Tứ giác BCDF nội tiếp hay 5 điểm B, C, D, K, F cùng thuộc một đường tròn đường kính BD.
sđ cung DK = 2 góc DFK = 600 => KD = DB dấu bằng khi E trùng với C
Vậy KD min = khi E C.
Bài 5: Cho tam giác ABC cân ở B có góc ABC bằng β, O là trung điểm của cạnh AC, K là chân đường vuông góc hạ từ O xuống cạnh AB, (ω) là đường tròn tâm O bán kính OK. E là một điểm thay đổi trên cạnh BA sao cho góc AOE bằng α (200 < α < 900). F là điểm trên cạnh BC sao cho EF tiếp xúc với (ω). Tìm α để AE + CF nhỏ nhất.
Gợi ý:
Để Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng, ta đi chứng minh tích không đổi
Nhận xét quan hệ của hai tam giác AEO và OEF?
(Sử dụng tính chất tiếp tuyến, tổng các góc của tứ giác, tam giác)
Lời giải sơ lược:
Trong tam giác OEF: 
Trong tứ giác AEFC: AEF + AFE = 3600 - (A + C) = 3600 - (1800 - β) 
=1800 + β
Vậy: EOF = 900 - β
Tam giác ABC cân => A = C = (1800 - β) 
= 900 - β
Vậy: EOF = A = C 
=> tam giác AEO và tam giác OEF đồng dạng,
Tam giác OEF và tam giác COF đồng dạng
Vậy tam giác AEO và tam giác COF đồng dạng.
áp dụng bất đẳng thức Cosi: dấu bằng khi
 AE = CF ó tam giác OEF cân tại O ó tam giác AEO cân tại A óAOE = 
Vậy khi AOE = thì AE + CF nhỏ nhất
Bài 6: Cho hai đường tròn(O1; r1) và (O2; r2) cắt nhau tại hai điểm A và B. Biết rằng r1 = 1 cm; r2 = 2 cm; AB = 1 cm và hai điểm O1, O2 ở hai phái của đường thẳng AB. Xét đường thẳng (d) đi qua A, cắt (O1; r1) và (O2; r2) lầm lượt tại các điểm M và N sao cho A nằm trong đoạn MN. Tiếp tuyến của (O1; r1) tại M và tiếp tuyến của (O2; r2) tại N cắt nhau tại điểm E.
a) Chứng minh tứ giác EMBN là tứ giác nội tiếp.
b) Tính O1O2
b) Tìm giá trị lớn nhất của 2EM + EN 
Hướng dẫn:
a) sử dụng quan hệ giữa góc nội tiếp, góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung với số đo cung, lưu ý quan hệ về số đo cung của hai dường tròn.
c) Vấn đề ở đây là vai trò không đối xứng của ME và EN. Cần tìm một sự tương ứng: 2.EM với 1.EN. Ta lại thấy hai bán kính của đường tròn cũng có sự tương ứng đó. Ta đi tìm những tam giác đồng dạng để chuyển đổi sự tương ứng ấy.
Lời giải sơ lược:
b) O1O2 = )
c) đồng dạng => ( Vì R1=1 cm, R2 = 2 cm)
 EMB và NAB đồng dạng ( Vì AB = 1 cm)
Tương tự ta cũng chỉ ra EN = NB.AM
Vậy 2.EM + EN = 2.MB.AN + NB.AM = 2. MB. AN + 2.MB.AM = 2.MB.(AM + AN) = 2MB.MN
Lại có MBN và O1AO2 đồng dạng theo tỉ số Vậy: 
= dấu bằng khi MB = 2r1 hay M đối xứng với B qua O1.
Bài 7: Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn O và D là điểm nằm trên cung BC không chứa điểm A. Xác định vị trí của D sao cho DA + DB + DC lớn nhất.
Hướng dẫn: Tương tự bài 2.Ta chứng minh được DA = DB + DC
Bài 8: Cho hai đường tròn (O) và (O') cắt nhau tại A và B sao cho hai tâm O và O' nằm về hai phía khác nhau đối với đường thẳng AB. Đường thẳng (d) quay quanh B cắt các đường tròn (O) và (O') lần lượt tại C và D ( C khác A, B và D khác A, B). Xác định vị trí của (d) sao cho đọan thẳng CD có độ dài lớn nhất.
Bài này quá dễ, bạn có thể tự làm.
Bài 9: Cho tam giác ABC vuông tại A nội tiếp đường tròn (O). M là điểm nằm trên cung BC không chứa điểm A. Gọi N, H, K lần lượt là hình chiếu của M trên AB, BC, CA. Tìm giá trị nhỏ nhẩt của 
Gợi ý:
Hãy tìm cách rút gọn biểu thức:
 bằng cách chuyển các tỉ số trên thành các tỉ số có cùng mẫu
Lời giải sơ lược:
Nhận thấy: Nếu K nằm ngoài AC thì N nằm trong AB.
Tam giác MCK và tam giác MBN đồng dạng => 
Tam giác MAK và tam giác MBH đồng dạng 
Tam giác MAN và tam giác MCH đồng dạng 
Vậy: 
Vậy nhỏ nhất ó MH lớn nhất ó MH = R ó M là điểm chính giữa của cung BC.
C. Một vài ví dụ tự giải ( có thể liên hệ với tác giả)
Bài 10: Cho hình vuông ABCD cạnh a. M là điểm di động trên đường chéo AC. kẻ ME, MF vuông góc với AD, DC.
a) Chứng minh diện tích tứ giác BEDF luôn không đổi khi M di động trên AC.
b) Xác định vị trí của M để diện tích tam giác BEF nhỏ nhất.
Bài 11: Cho đường tròn (O; R) đường kính AB, điểm M di động trên đường tròn sao cho MAMB. Trong tam giác AMB kẻ đường cao MH. Gọi r1, r2, r3 theo thứ tự là bán kính các đường tròn nội tiếp các tam giác AMB, AMH và BMH. Hãy xác định vị trí của M để tổng: r1+r2+r3 đạt giá trị lớn nhất.
Bài 12: Cho tam giác ABC có góc A = 300, AB = c, AC = b, M là trung điểm của BC. Một đường thẳng (d) quay xung quanh trọng tâm G của tam giác ABC sao cho (d) cắt đoạn AB tại P và (d) cắt đoạn AC tại Q.
a) Đặt AP = x, hãy tìm tập hợp các giá trị của x.
b) Tính giá trị của biểu thức .
c) Hãy tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của diện tích tam giác APQ theo b, c.
Bài 13: cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R và M là một điểm thuộc nửa đường tròn ( khác A và B). Tiếp tuyến của (O) tại M cắt tiếp tuyến tại A và B của đường tròn (O) lần lượt tại các điểm C và D. Tính giá trị nhỏ nhất của tổng diện tích hai tam giác ACM và BDM.
Bài 14: Cho đường tròn (O) và dây BC cố định. Gọi A là điểm di động trên cung lớn BC của đường tròn (O), (A khác B và C). Tia phân giác của góc ACB cắt đường tròn (O) tại D khác C, lấy I thuộc đoạn CD sao cho DI = DB. Đường thẳng BI cắt đường tròn (O) tại điểm K khác B.
a) Chứng minh tam giác KAC cân.
b) Xác định vị trí của A để độ dài đoạn AI là lớn nhất.
Bài 15: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O; R) . Điểm M lưu động trên cung nhỏ BC. Từ M kẻ các đường thẳng MH, MK lần lượt vuông góc với AB, AC ( H thuộc đường thẳng AB, K thuộc đường thẳng AC). Tìm vị trí của M để độ dài đoạn HK lớn nhất.
Bài 16: Cho hai đường tròn (O1, R1) và (O2; R2) tiếp xúc ngoài với nhau tại A. Đường thẳng (d) đi qua A cắt đường tròn (O1, R1) tại M và cắt đường tròn (O2; R2) tại N ( các điểm M, N khác A).
Xác định vị trí của đường thẳng (d) để độ dài đoạn thẳng MN lớn nhất.
Bài 17: Đường tròn tâm O có dây AB cố định và I là điểm chính giữa của cung lớn AB. Lấy điểm M bất kì trên cung lớn AB, dựng tia Ax vuông góc với đường thẳng MI tại H và cắt BM tại C.
a) Chứng minh các tam giác AIB và AMC là các tam giác cân.
b) Khi M di động trên cung lớn AB chứng minh rằng điểm C di động trên một cung tròn cố định.
c) Xác định vị trí của điểm M để chu vi tam giác AMC đạt giá trị lớn nhất.
Bài 18: Cho tam giác nhọn ABC. Điểm D di động trên cạnh BC. Gọi O1, O2 lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác ABD, ACD tương ứng.
a) Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác AO1O2 luôn đi qua một điểm cố định khác A.
b) Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AO1O2. Hãy xác định vị trí của D trên BC sao cho IO nhỏ nhất. 
Bài 19: Chi nửa đường tròn đường kính AB = 2R. Gọi C là điểm tùy ý trên nửa đường tròn, D là hình chiếu vuông góc của C trên AB. Tia phân giác của ACD cắt đường tròn đường kính AC tại điểm thứ hai là E, cắt tia phân giác góc ABC tại H.
a) Chứng minh AE // BH.
b) Tia phân giác góc CAB cắt đường tròn đường kính AC tại điểm thứ hai là F, cắt CE tại I. Tính diện tích tam giác FID trong trường hợp tam giác đó là đều.
c) Trên đoạn BH lấy K sao cho HK = HD, gọi J là giao của AF và BH. Xác định vị trí của C để tổng khoảng cách từ các điểm I, J, K đến đường thẳng AB đạt giá trị lớn nhất.
Bài 20: Cho đường tròn tâm O, bán kính R và dây BC <2R, các tiếp tuyến của đường tròn tại B và C cắt nhau tại A. M là điểm bất kì trên cung nhỏ BC và không trùng với B, C. Gọi H, I, K lần lượt là hình chiếu của M trên BC, CA, AB. BM cắt HK tại P, CM cắt HI tại Q.
a) Chứng minh PQ // BC.
b) Xác định vị trí của M để tích MH.MI.MK đạt giá trị lớn nhất.