Chuyên đề Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán Lớp 5 - Hoàng Thế Hưng

Chuyên đề 1
Các bài toán về số và chữ số
 I. Những kiến thức cần lưu ý :
 1. Có 10 chữ số là 0 ; 1; 2; 3; 4..;9. Khi viết một số tự nhiên ta sử dụng mười chữ số trên. Chữ số đầu tiên kể từ bên trái của một số TN phải khác 0.
 2. Phân tích cấu tạo của một số tự nhiên :
 = a 10 + b
 = a 100 + b 10 + c = 10 + c
 = a 1000 + b 100 + c 10 + d
 = 10 + d = 100 + 
 3. Quy tắc so sánh hai số TN :
a) Trong hai số TN, số nào có chữ số nhiều hơn thì lớn hơn.
b) Nếu hai số có cùng chữ số thì số nào có chữ số đầu tiên kể từ trái sang phải lớn hơn thì số đó lớn hơn.
 4. Số tự nhiên có tận cùng bằng 0 ; 2; 4;....;8 là các số chẵn.
 5 . Số TN có tận cùng bằng 1;3 ;5;...;9 là các số lẻ.
 6. Hai số TN liên tiếp hơn ( kém ) nhau 1 đơn vị. Hai số hơn ( kém ) nhau 1 đơn vị là hai số tự nhiên liên tiếp.
 7. Hai số chẵn liên tiếp hơn ( kém ) nhau 2 đơn vị. Hai số chẵn hơn ( kém ) nhau 2 đơn vị là hai số chẵn liên tiếp.
 8. Hai số lẻ liên tiếp hơn ( kém ) nhau 2 đơn vị. Hai số lẻ hơn ( kém ) nhau 2 đơn vị là hai số chẵn liên tiếp.
 II. Một số dạng toán điển hình :
 Dạng 1: Viết số TN từ những chữ số cho trước
 Bài 1 : Cho bốn chữ số : 0; 3; 8 và 9.
Viết được tất cả bao nhiêu số có 4 chữ số khác nhau từ 4 chữ số đã cho ?
Tìm số lớn nhất, số nhỏ nhất có 4 chữ số khác nhau được viết từ 4 chữ số đã cho?
Tìm số lẻ lớn nhất, số chẵn nhỏ nhất có 4 chữ số khác nhau được viết từ 4 chữ số đã cho ?
 Lời giải:
Cách 1. 
Chọn số 3 làm chữ số hàng nghìn, ta có các số:
3089; 3098; 3809; 3890; 3908; 3980.
 Vậy từ 4 chữ số đã cho ta viết được 6 số có chữ số hàng nghìn bằng 3 thoả mãn điều kiện của đầu bài.
Chữ số 0 không thể đứng được ở vị trí hàng nghìn. 
Vậy số các số thoả mãn điều kiện của đề bài là:
6 3 = 18 ( số )
Cách 2: 
Lần lượt chọn các chữ số nghìn, hàng trăm, hàng chục và hàng đơn vị như sau:
- Có 3 cách chọn chữ số hàng nghìn của số thoả mãn điều kiện của đầu bài ( vì số 0 không thể đứng ở vị trí hàng nghìn ).
- Có 3 cách chọn chữ số hàng trăm ( đó là 3 chữ số còn lại khác chữ số hàng nghìn )
- Có 2 cách chọn chữ số hàng chục ( đó là 2 chữ số còn lại khác chữ số hàng nghìn và hàng trăm còn lại )
- Có 1 cách chọn chữ số hàng đơn vị ( đó là 1 chữ số còn lại khác chữ số hàng nghìn , hàng trăm , hàng chục )
Vậy các số được viết là:
3 3 2 1 = 18 ( số )
b) Số lớn nhất có 4 chữ số khác nhau được viết từ 4 chữ số đã cho phải có chữ số hàng nghìn là chữ số lớn nhất ( trong 4 chữ số đã cho ). Vậy chữ số hàng nghìn phải tìm bằng 9.
Chữ số hàng trăm phải là chữ số lớn nhất trong 3 chữ số còn lại. Vậy chữ số hàng trăm bằng 8.
Chữ số hàng chục là số lớn nhất trong hai chữ số còn lại. Vậy chữ số hàng chục là 3.
Số phải tìm là 9830.
Tương tự số bé nhất thoả mãn điều kiện của đầu bài là 3089.
c) Tương tự số lẻ lớn nhất thoả mãn điều kiện của đầu bài là : 9803
 Số chẵn nhỏ nhất thoả mãn điều kiện của đầu bài là : 3098.
Bài 2 : Cho 5 chữ số : 0; 1; 2; 3; 4.
Hãy viết các số có 4 chữ số khác nhau từ 5 chữ số đã cho ?
Tìm số chẵn lớn nhất, số lẻ nhỏ nhất có 4 chữ số khác nhau được viết từ 5 chữ số đã cho ?
Dạng 2: Các bài toán giải bằng phân tích số : 
Bài 1: Tìm 1 số TN có 2 chữ số, biết rằng nếu viết thêm chữ số 9 vào bên trái số đó ta được một số lớn gấp 13 lần số đã cho ?
Lời giải: 
Gọi số phải tìm là . Viết thêm chữ số 9 vào bên trái ta được số . Theo bài ra ta có :
= 13
900 + = 13
 900 = 13 - 
 900 = ( 13 – 1 )
 900 = 12
 = 900 : 12
 = 75
 Vậy số phải tìm là 75.
Bài 2: Tìm một số có 3 chữ số, biết rằng khi viết thêm chữ số 5 vào bên phải số đó thì nó tăng thêm 1112 đơn vị.
Lời giải: 
 Gọi số phải tìm là . Khi viết thêm chữ số 5 vào bên phải ta được số 
Theo bài ra ta có:
 = + 1112
10 + 5 = + 1112
10 = + 1112 – 5
10 - = 1107
( 10 – 1 ) = 1107
9 = 1107
 = 1107 : 9
 = 123
 Vậy số phải tìm là 123.
Bài 3: Tìm một số có 2 chữ số, biết rằng khi viết thêm số 21 vào bên trái số đó ta được một số lớn gấp 31 lần số phải tìm.
Bài 4: Tìm một số có 2 chữ số, biết rằng khi viết thêm chữ số 5 vào bên phải số đó ta được số mới lớn hơn số phải tìm là 230 đơn vị.
Dạng 3: Những bài toán về xét các chữ số tận cùng của số
 Một số kiến thức cần lưu ý:
Chữ số tận cùng của một tổng bằng chữ số tận cùng của tổng các chữ số hàng đơn vị của các số hạng trong tổng ấy.
Chữ số tận cùng của một tích bằng chữ số tận cùng của tích các chữ số hàng đơn vị của các thừa số trong tích ấy.
Tổng 1 + 2 + 3 + ..... + 9 có chữ số tận cùng bằng 5.
Tích 1 3 5 7 9 có chữ số tận cùng bằng 5.
Tích a a không thể có tận cùng bằng 2; 3; 7 hoặc 8.
Bài 1: Không làm tính, hãy cho biết chữ số tận cùng của mỗi kết quả sau :
a) ( 1991 + 1992 + ...+ 1999 ) – ( 11 + 12 + .....+ 19 ).
b) ( 1981 + 1982 + ...+ 1989 ) ( 1991 + 1992 +....+ 1999 )
c) 21 23 25 27 – 11 13 15 17
Lời giải :
a) Chữ số tận cùng của tổng : ( 1991 + 1992 + ...+ 1999 ) và ( 11 + 12 + .....+ 19 ) đều bằng chữ số tận cùng của tổng 1 + 2 + 3 + ..... + 9 và bằng 5. Cho nên hiệu đó có tận cùng bằng 0.
b) Tương tự phần a, tích đó có tận cùng bằng 5.
c) Chữ số tạnn cùng của tích 21 23 25 27 và 11 13 15 17 dều bằng chữ số tận cùng của tích 1 3 5 7 và bằng 5. Cho nên hiệu trên có tận cùng bằng 0.
Bài 2 : Không làm tính, hãy xét xem kết quả sau đây đúng hay sai ? Giải thích tại sao ?
a) 136 136 – 42 = 1960
b) - 8557 = 0
Lời giải: 
a) Kết quả sai, vì tích của 136 136 có tận cùng bằng 6 mà số trừ có tận cùng bằng 2 nên hiệu không thể có tận cùng bằng 0.
b) Kết quả sai, vì tích của một số TN nhân với chính nó có tận cùng là một trong các chữ số 0; 1; 4; 5; 6 hoặc 9.
Bài 3 : Không làm tính, hãy cho biết chữ số tận cùng của mỗi kết quả sau :
a) ( 1999 + 2378 + 4545 + 7956 ) – ( 315 + 598 + 736 + 89 )
b) 56 66 76 86 – 51 61 71 81
Bài 4 : Không làm tính, hãy xét xem kết quả sau đây đúng hay sai ? Giải thích tại sao ?
a) - 853467 = 0
b) 11 21 31 41 – 19 25 37 = 110
***********************
Chuyên đề 2
Các bài toán về dãy số
I. Điền thêm số hạng vào sau, giữa hoặc trước một dãy số
Cách giải. Trước hết cần xác định quy luật của dãy số.
Những quy luật thường gặp là :
+ Mỗi số hạng ( kể từ số hạng thứ hai ) bằng số hạng đứng trước nó cộng (hoặc trừ) với một số tự nhiên d.
+ Mỗi số hạng ( kể từ số hạng thứ hai ) bằng số hạng đứng trước nó nhân ( hoặc chia) với một số TN q khác 0.
+ Mỗi số hạng ( kể từ số hạng thứ ba ) bằng tổng hai hạng đứng trước nó .
+ Mỗi số hạng ( kể từ số hạng thứ tư ) bằng tổng của số hạng đứng trước nó cộng với số TN d cộng với số thứ tự của số hạng ấy.
+ Số hạng đứng sau bằng số hạng đứng trước nhân với số thứ tự.
Vvv.....
Bài 1. Viết tiếp ba số hạng vào dãy số sau :
a) 1; 3; 4; 7; 11; 18;...
b) 0; 2; 4; 6; 12; 22;...
c) 0 ; 3; 7; 12;...
d) 1; 2; 6; 24;...
Lời giải: 
a) Nhận xét :
4 = 3 + 1; 7 = 3 + 4; 11 = 4 + 7;....
Từ đó rút ra quy luật của dãy số đó là: Mỗi số hạng ( kể từ số hạng thứ ba ) bằng tổng của hai số hạng đứng trước nó. Viết tiếp ba số hạng, ta được dãy số sau:
1; 3; 4; 7; 11; 18; 29; 47; 76;...
b) Tương tự phần a, ta tìm ra quy luật của dãy số là: Mỗi số hạng ( kể từ số hạng thứ tư ) bằng tổng của ba số hạng đứng trước nó. Viết tiếp ba số hạng, ta được dãy số sau:
0; 2; 4; 6; 12; 22; 40; 74; 136;.....
c) Ta nhận xét :
Số hạng thứ hai là : 3 = 0 + 1 + 2
Số hạng thứ ba là : 7 = 3 + 1 + 3
Số hạng thứ tư là : 12 = 7 + 1 + 4......
Từ đó rút ra quy luật của dãy là: Mỗi số hạng ( Kể từ số hạng thứ hai ) bằng tổng của số hạng đứng trước nó cộng với 1 và cộng với số TT của số hạng ấy. Viết tiếp ba số hạng ta được dãy số sau :
0 ; 3; 7; 12;18; 25; 33;...
d) Ta nhận xét :
Số hạng thứ hai là: 2 = 1 2
Số hạng thứ ba là : 6 = 2 3
Số hạng thứ tư là : 24 = 6 4
.....
Từ đó rút ra quy luật của dãy số là : Mỗi số hạng ( kể từ số hạng thứ hai ) bằng tích của số hạng đứng liền trước nó nhân với số thứ tự của số hạng ấy. Viết tiếp ba số hạng ta được dãy số sau :
1; 2; 6; 24;120; 720; 5040;....
Bài 2 : Tìm số hạng đầu tiên của các dãy số sau :
a).....; 17; 19; 21.
b)......: 64; 81; 100.
Biết rằng mỗi dãy có 10 số hạng.
Lời giải :
a) Ta nhận xét :
Số hạng thứ mười là 21 = 2 10 + 1
Số hạng thứ chín là 19 = 2 9 + 1
Số hạng thứ tám là 17 = 2 8 + 1
......
Từ đó suy ra quy luật của dãy số trên là : Mỗi số hạng của dãy bằng 2 nhân với số thứ tự của số hạng trong dãy rồi cộng với 1.
Vậy số hạng đầu tiên của dãy là: 2 1 + 1 = 3.
b) Tương tự như trên ta rút ra quy luật của dãy là : Mỗi số hạng của dãy bằng số thứ tự nhân với STT của số hạng đó.
Vậy số hạng đầu tiên của dãy là: 1 1 = 1.
Bài 3 : Viết tiếp hai số hạng của dãy số sau :
a) 100; 93; 85; 76;.....
b) 10; 13; 18; 26;...
II. Xác định số a có thuộc dãy đã cho hay không
Cách giải:
- Xác định quy luật của dãy.
- Kiểm tra số a có thoả mãn quy luật đó hay không.
Bài 1: Hãy cho biết:
a) Các số 50 và 133 có thuộc dãy 90; 95; 100;...hay không ?
b) Số 1996 thuộc dãy 2;5;8;11;... hay không ?
c) Số nào trong các số 666; 1000; 9999 thuộc dãy 3; 6; 12; 24;... hay không ?
Giải thích tại sao ?
Lời giải : 
a) Cả hai số 50 và 133 đều không thuộc dãy đã cho, vì :
- Các số hạng của dãy đều lớn hơn 50.
- Các số hạng đã cho đều chia hết cho 5 mà 133 không chia hết cho 5.
b) Số 1996 không thuộc dãy đã cho, vì mọi số hạng của dãy khi chia cho 3 đều dư 2 mà 1996 chia cho 3 thì dư 1.
c) Cả 3 số 666; 1000 và 9999 đều không thuộc dãy đã cho, vì :
- Mỗi số hạng của dãy (kể từ số hạng thứ hai) bằng số hạng liền trước nhân với 2. Cho nên các số hạng ( kể từ số hạng thứ ba ) có số hạng đứng liền trước là số chẵn mà 666 : 2 = 333 là số lẻ.
- Các số hạng đều chia hết cho 3 mà 1000 không chia hết cho 3.
- Các số hạng của dãy ( kể từ số hạng thứ hai ) đều chẵn mà 9999 là số lẻ. 
Bài 2:..........................................................
III. Tìm số số hạng của dãy
Cách giải:
- Đối với dạng toán này, ta thường sử dụng phương pháp giải toán khoảng cách (giải toán trồng cây). Ta có công thức sau :
Số các số hạng của dãy = Số khoảng cách + 1.
- Đặc biệt, nếu quy luật của dãy là : Mỗi số hạng đứng sau bằng số hạng liền trước cộng với số không đổi d thì:
Số các số hạng của dãy = ( Số hạng LN – Số hạng BN ) :d + 1.
Bài1. Cho dãy số 11; 14; 17;.....;65; 68.
a) Hãy xác định dãy số trên có bao nhiêu số hạng?
b) Nếu ta tiếp tục kéo dài các số hạng của dãy số đó thì số hạng thứ 1996 là số mấy?
Lời giải : 
a) Ta có : 14- 11= 3; 17 – 14 = 3;....
Vậy quy luật của dãy số đó là mỗi số hạng đứng liền sau bằng số hạng đứmg liền trước cộng với 3. Số các số hạng của dãy số đó là:
( 68 – 11 ) : 3 + 1 = 20 ( số hạng )
b) Ta nhận xét :
Số hạng thứ hai : 14 = 11 + 3 = 11 + ( 2-1 ) 3
Số hạng thứ ba : 17 = 11 + 6 = 11+ ( 3-1 ) 3
Số hạng thứ hai : 20 = 11 +9 = 11 + ( 4-1 ) 3
Vậy số hạng thứ 1996 là : 11 + ( 1996-1 ) 3 = 5996
 Đáp số : 20 số hạng và 59996.
Bài 2 . Trong các số có ba chữ số, có bao nhiêu số chia hết cho 4?
Lời giải: 
Ta nhận xét : Số nhỏ nhất có ba chữ số chia hết cho 4 là 100 vàg số lớn nhất có ba chữ số chia hết cho 4 là 996. Như vậy các số có ba chữ số chia hết cho 4 lập thành một dãy số có số hạng BN là 100, số hạng lớn nhất là 996 và mỗi số hạng của dãy ( kể từ số hạg thứ hai ) bằng số hạng đứng kề trước cộng với 4.
Vậy số có ba chữ số chia hết cho 4 là :
( 996 – 100 ) : 4 = 225 ( số )
Bài 3: Có bao nhiêu số : có 3 chữ sốkhi chia cho 5 dư 1? Dư 2 ?
IV. Tìm tổng các số hạng của dãy số
Cách giải:
 Nếu số hạng của dãy số cách đều nhau thì tổng của dãy số đó là:
( SLN + SBN ) Số số hạng : 2
Bài 1 . Tính tổng của 50 số lẻ đầu tiên .
Lời giải: 
Dãy 100 số lẻ đầu tiên là : 1; 3; 5; ........; 97; 99. Vậy ta phải tìm tổng sau:
1 + 3 + 5 +......+ 97 + 99 
Vậy tổng phải tìm là : ( 99 + 1 ) 50 : 2 = 2500
Bài 2: Tìm tổng của :
a) Các số có 2 chữ số chia hết cho 3.
b) Các số có 2 chữ số chia cho 4 dư 1.
****************************
Chuyên đề 3.
Các bài toán về chia hết
I. Những kiến thức cần nhớ:
1.Dấu hiệu chia hết cho 2:
- Những số có tận cùng bằng 0;2;4;6;8 thì chia hết cho 2.
- Những số chia hết cho 2 có tận cùng bằng 0;2;4;6;8.
2. Dấu hiệu chia hết cho 5 :
- Những số có tận cùng bằng 0 hoặc 5 thì chia hết cho 5.
- Những số chia hết cho 5 có tận cùng bằng 0 hoặc 5.
3. Dấu hiệu chia hết cho 4:
- Những số có hai chữ số tận cùng tạo thành số chia hết cho 4 thì chia hết cho 4.
- Những số chia hết cho 4 có hai chữ số tận cùng tạo thành số chia hết cho 4. 
4.Dấu hiệu chia hết cho 3:
- Những số có tổng các chữ số chia hết cho 3 thì chia hết cho 3.
- Những số chia hết cho 3 có tổng các chữ số chia hết cho 3.
5. Dấu hiệu chia hết cho 9:
Tương tự dấu hiệu chia hết cho 3.
I. Viết câc số tự nhiên theo dấu hiệu chia hết
Bài 1 : Với 3 chữ số 2; 3; 5 hãy lập các số có 3 chữ số chia hết:
a) Cho 2?
b) Cho 5?
Lời giải:
 a) Số chia hết cho 2 phải là số chẵn. Do đầu bài không yêu cầu các chữ số phải khác nhau, nên những số lập được là:
222; 232;252.
322; 332; 352.
522; 532; 552.
b) Tương tự phần a, các số đó là:
225; 235; 255.
325; 335; 355.
525; 535; 555.
Bài 2 : Cho 4 chữ số 0; 1; 5; 8. Hãy lập các số có 3 chữ số khác nhau từ 4 chữ số đã cho thoả mãn điều kiện:
a) Chia hết cho 3 ?
b) Chia hết cho 2 và 5 ?
.....................................................................................................................................
II. Dùng dấu hiệu chia hết để điền các chữ số chưa biết.
 Phương pháp giải :
- Nếu số phải tìm chia hết cho 2 hoặc 5 thi trước hết dựa vào dấu hiệu chia hết để xác định chữ số tận cùng.
- Tiếp đó dùng phương pháp thử chọn kết hợp với các dấu hiệu chia hết còn lại của số phải tìm để xác định các chữ số còn lại.
Bài 1 : Thay x và y trong số a = để được số chia hết cho 2; 5 và 9.
Lời giải:
- a chia hết cho 5, vậy y phải bằng 5 hoặc 0.
- a chia hết cho2, vậy y phải là chẵn.
Suy ra y= 0. Số phải tìm có dạng a= .
- a chia hết cho 9, vậy ( 1+ 9 + 9 + 9 + x ) chia hết cho 9 hay ( 25 +x ) chi hết cho 9.Suy ra x = 2.
Số phải tìm là a = 199620.
Bài 2:
Cho số b = thay x và y sao cho số b chia hết cho 2, 5 và 3.
.................................
III. Các bài toán về vận dụng tính chất chia hết của một tổng và một hiệu.
 Các tính chất thường dùng:
- Nếu mỗi số hạng của tổng đều chi hết cho 2 thì tổng của chúng cũng chia hết cho 2.
- Nếu số bị trừ và số trừ đều chia hết cho 2 thì hiệu của chúng cũng chia hết cho 2.
- Nếu một số hạng chia hết cho 2 và các số hạng còn lại không chia hết cho 2 thì tổng của chúng cũng không chia hết cho 2.
- Nếu số bị trừ hoặc số trừ chia hết cho 2, số trừ hoặc số bị trừ không chia hết cho 2 thì hiệu của chúng cũng không chia hết cho 2.
Cũng có tính chát tương tự đối với trường hợp chia hết cho 3,4,5,9...
Bài 1: Không làm phép tính, hãy xét xem các tổng và hiệu dưới đây có chia hết cho 3 hay không?
 a) 240 + 123
 b) 240 – 123 
 c) 459 + 690 + 1236
 d) 2454 + 374
Lời giải: 
 Ta thấy 240 và 123 đều chia hết cho 3 nên:
a) 240 + 123 chia hết cho 3.
b) 240 – 123 chia hết cho 3.
c) 459, 690 và 1236 đều chia hết cho 3 nên 459 + 690 + 1236 chia hết cho 3.
d) 2454 chia hết cho 3 và 734 không chia hết cho 3 nên 2454 + 374 không chia hết cho 3. 
Bài 2:
 Tổng kết năm học 2007- 2008, một trường tiểu học có 462 học sinh tiên tiến và 195 học sinh giỏi. Ban giám hiệu dự định thưởng cho mỗi học sinh giỏi nhiều hơn học sinh tiên tiến 2 quyển vở. Cô văn phòng nhẩm tính phải mua 1996 quyển thì đủ phát thưởng. Hỏi cô văn phòng đã tính đúng hay sai? 
 Giải thích tại sao ?
Lời giải: 
 Ta nhận thấy: Số học sinh tiên tiến và số học sinh giỏi đều là những số chia hết cho 3, vì vậy số vở phát thưởng cho mỗi loại học sinh phải là một số chia hết cho 3. Suy ra tổng số vở phát thưởng cũng là một số chia hết cho 3, mà 1996 không chia hết cho 3. Vậy cô văn phòng đã tính sai.
IV. Các bài toán về phép chia có dư.
 Những tính chất cần lưu ý:
1. Nếu a chia cho 2 dư 1 thì chữ số tận cùng của a phải là 1, 3,5, 7 hoặc 9.
2. Nếu a chia cho 5 dư 1 thì chữ số tận cùng của a phải bằng 1 hoặc 6. Tương tự, trường hợp dư 2 thì chữ số tận cùng phải là 2 hoặc 7; dư 3 thì tận cùng là 3 hoặc 8; dư 4 tận cùng là 4 hoặc 9.
3. Nếu a và b có cùng số dư khi chia cho 2 thì hiệu của chúng chia hết cho 2. Tương tự, ta có trường hợp chia hết cho 3, 4, 5 hoặc 9.
Bài 1: Cho a = .Hãy thay x, y bởi những chữ số thích hợp để khi chia a cho 2, 5 và 9 đều dư 1.
Lời giải: 
 Ta nhận xét: 
- a chia cho 5 dư 1 nên y phải bằng 1 hoặc bằng 6.
- Mặt khác a chia cho 2 dư 1 nên y phải bằng 1. Số phải tìm có dạng a = .
- chia cho 9 dư 1 nên x + 4+5+9+1 = x+ 19 dư 1. Vậy x phải chia hết cho 9 vì 19 chia cho 9 dư 1. Suy ra x = 9.
Số phải tìm là 94591.
 Bài 2: 
 Cho a = . Hãy thay x, y bằng những chữ số thích hợp để dược một số có 3 chữ số khác nhau chia cho 2,3 và 5 đều dư 4.
.................................................................
V. Vận dụng tính chất chia hết và phép chia có dư để giải các bài toán có lời văn.
Bài 1: Cho 3 tờ giấy. Xé mỗi tờ thành 4 mảnh. Lờy một số mảnh và xé mỗi mảnh thành 4 mảnh nhỏ, sau đó lại lấy một số mảnh xé thành 4 mảnh nhỏ...Khi ngừng xé theo quy luật trên ta đếm được 1999 mảnh lớn nhỏ cả thảy. Hỏi người ấy đếm đúng hay sai ? Giải thích tại sao?
Lời giải: 
 Khi xé một mảnh thành 4 mảnh thì số mảnh tăng thêm là 3. Lúc đầu có 3 mảnh, sau mỗi đợt xé số mảnh tăng thêm sẽ chia hết cho 3 nên tổng số mảnh lớn nhỏ sau mỗi đợt xé phải chia hết cho 3. Số 1999 không chia hết cho 3 nên người ấy đã đếm sai.
Bài 2: Một cửa hàng rau quả có 5 rổ đựng cam và chanh (trong mỗi rổ chỉ đựng một loại quả). Số quả trong mỗi rổ lần lượt là 104,115,132,136 và 148 quả. Sau khi bán được một rổ cam, người bán hàng thấy số chanh còn lại gấp 4 lần số cam. Hỏi cửa hàng đó có bao nhiêu quả mỗi loại?
Lời giải:
 Tổng số cam và chanh của cửa hàng là”
104+115+132+136+148 = 635(quả)
Số chanh còn lại gấp 4 lần số cam cho nên số quả chanh và số quả cam còn lại phải chia hết cho 5. Tống số 635 quả chia hết cho 5, vì vậy số quả cam đã bán phải chia hết cho 5. Trong 5 rổ cam và chanh của cửa hàng chỉ có rổ đựng 115 quả là chia hết cho 5, vậy cửa hàng đã bán rổ đựng 115 quả cam.
Số cam còn lại bằng số quả chưa bán. Mặt khác:
( 104+132+136+148): 5 = 104 (quả)
Trong 4 rổ còn lại chỉ có rổ đựng 104 quả là có số quả bằng số quả còn lại. Vậy theo đầu bài 104 quả là rổ cam và 3 rổ đựng 132,136,148 quả là các rổ chanh.
Số cam của cửa hàng có là:
104+115 = 219(quả)
Số chanh của cửa hàng có là:
635-219 = 416(quả)
 Đáp số : 219 quả cam và 416 quả chanh.
Bài 3: Một cửa hàng dồ sắt có 7 thùng đựng 2 loại đinh 5 phân và 10 phân (mỗi thùng chỉ đựng một loại đinh). Số đinh trong mỗi thùng theo thứ tự là 24kg, 26kg, 30kg, 37kg, 41kg, 55kg và 58 kg. Sau khi bán hết 6 thùng và chỉ còn một thùng đinh 10 phân, người bán hàng thấy rằng trong số đinh đã bán, đinh 10 phân gấp 3 lần đinh 10 phân. Hỏi cửa hàng đã có bao nhiêu kilôgam đinh mỗi loại?
************************************
Chuyên đề 4.
Các bài toán về phân số
I. Các bài toán về cấu tạo số:
Một số kiến thức cần lưu ý:
1. Để kí hiệu một phân số có tử số bằng a, mẫu số bằng b ( với a và b là STN # 0) ta viết: 
- Một số b chỉ số phần bằng nhau được chia ra từ 1 đơn vị, tử số a chỉ số phần được lấy đi.
- Phân số còn hiểu là thương của phép chia a:b
2. Mỗi số TN a có thể coi là một phân số có mẫu số bằng 1: 
3. Phân số có tử số nhỏ hơn mẫu số thì nhỏ hơn 1; phân số có tử số lớn hơn mẫu số thì phân số đó lớn hơn 1.
4. Nếu nhân cả tử số và mẫu số của một phân số với một số TN khác 0 thì được một phân số mới bằng phân số đã cho:
 = ( n#0)
5. Nếu ta chia cả.................................bằng phân số đã cho.
6. Phân số có mẫu số bằng 10, 100, 1000,.....gọi là phân số thập phân.
7. Nếu ta cộng cả tử số và mẫu số của một phân số với cùng một số hoặc trừ cả tử số và mẫu số đi cùng một số thì hiệu giữa tử số và mẫu số không thay đổi.
Bài 1: Cho phân số . Cộng thêm vào tử số và mẫu số của phân số đó với cùng một số tự nhiên ta được phân số mới bằng phân số . Tìm số tự nhiên được cộng thêm?
 Lời giải: 
Hiệu của mẫu số và tử số của phân số đã cho là : 7 – 3 = 4 (đơn vị).
Khi ta cộng vào cả tử số và mẫu số với cùng một số tự nhiên thì hiệu giữa mẫu số và tử số của phân số mới vẫn bằng 4. 
Đối với phân số mới ta có sơ đồ sau :
	4
Tử số: 	
Mẫu số :
Số phần bằng nhau của mẫu số mới nhiều hơn tử số là:
9 – 7 = 2 (phần)
Tử số của phân số mới là : 4 : 2 7 = 14
Số tự nhiên cộng thêm là : 14 – 3 = 11
 Đáp số : 11.
Bài 2. Rút gọn các phân số sau:
a) (100 chữ số 9 ở tử số và 100 chữ số 9 ở mẫu số)
b) .
Lời giải: 
a) Ta nhận xét : 999...95 = 5 199...9
 	 100 CS 100CS
Vậy : = 
b) Ta có : = = 
II. So sánh phân số:
Những kiến thức cần nhớ:
1.Muốn quy đồng mẫu số.....................................
2. Khi so sánh hai phân số:
- Có cùng mẫu số : ta so sánh hai tử số, phân số nào có tử số lớn hơn thì phân số đó lớn hơn.
- Không cùng mẫu số thì ta quy đồng mẫu số rồi so sánh hai tử số của các phân số đã quy đồng được.
3. Các phương pháp khác :
- Nếu hai phân số có cùng tử số thì phân số nào có mẫu số lớn hơn thì phân số đó nhỏ hơn.
- So sánh qua một phân số trung gian: < và < thì <.
- So sánh “phần bù” với 1 của mỗi phân số :
1 - .
- So sánh “phần hơn” với 1 của mỗi phân số:
- 1 < - 1 thì < .
Bài 1: Hãy so sánh các cặp phân số sau bằng cách nhanh nhất:
a) và ; b) và ; c) và .
Lời giải: a) Ta có : > và > vậy >.
b)Ta có: 1- = và 1- = 
mà : > nên <
c) Ta có : = 1 + và = 1 + mà < 
nên < .
Bài 2: Hãy viết 5 phân số khác nhau nằm giữa hai phân số: và 
Lời giải: Ta có. 
= = và = = mà:
= < <<<<< = 
Vậy 5 phân số thoả mãn điều kiện của đầu bài là: ; ; ; ; 
Bài 3. Hãy so sánh các cặp phân số sau bằng cách nhanh nhất:
a) và ; b) và; c)và .
Bài 4. Hãy viết 10 phân số khác nhau nằm giữa 2 phân số sau: và .
......................................................
III. Thực hành 4 phép tính trên phân số:
Một số kiến thức cần lưu ý:
 1.Phép cộng:
- Cộng hai phân số cùng mẫu số ( Quy tắc SGK).
- Cộng hai phân số khác mẫu số ( Quy tắc SGK).
 2. Phép trừ ương tự phép cộng ).
 3. Phép nhân ( Quy tắc SGK).
 4. Phép chia ( Quy tắc SGK).
 5. Các tính chất của phép tính trên phân số.
- Tính chất giao hoán.
- Tính chất kết hợp.
- Tính chất phân phối.
Bài 1: Tính giá trị của các biểu thức sau bằng cách nhanh nhất:
a) + + + ++
b) 
Lời giải:
a) + + + ++= ( + ) + ( + ) + ( + )
= + + = 1 + 2 + 2 = 5.	
b) 
= ( ) ( ) = ()
= = = 1.
Bài 2. Phân tích các phân số dưới đây thành tổng của các phân số có mẫu số khác nhau và tử số đều bằng 1.
a) ; b) 
Lời giải:
a) 35 = 15 7 và 13 = 1+ 5 + 7
Vậy: = + + 
b) 16 = 1 2 2 2 2 và 16 = 1 + 2 + 8
Vậy : = + +
Bài 3: Trong phong trào thi đua lập thành tích chào mừng ngày 20 – 11, học sinh trường tiểu học Kim Đồng đã đạt được số điểm 10 như sau: Số điểm 10 của khối 1 bằng tổng số điểm 10 của 4 khối còn lại; số điểm 10 của khối 2 bằng tổng số điểm 10 của 4 khối còn lại; số điểm 10 của khối 3 bằng tổng số điểm 10 của 4 khối còn lại; số điểm 10 của khối 4 bằng tổng số điểm 10 của 4 khối còn lại và khối 5 đạt được 101 điểm 10.
Hỏi toàn trường đã đạt được bao nhiêu điểm 10 và mỗi khối đạt được bao nhiêu điểm 10?
Lời giải:
 Gọi số điểm 10 của khối 1 là 1 phần thì số điểm 10 của 4 khối còn lại là 3 phần như thế và số điểm 10 của cả trường là: 3 + 1 = 4 phần như thế. Vậy số điểm 10 của khối 1 bằng tổng số điểm 10 của toàn trường.
Lập luận tương tự ta có :
- Số điểm 10 của khối 2 bằng tổng số điểm 10 của toàn trường.
- Số điểm 10 của khối 3 bằng tổng số điểm 10 của toàn trường.
- Số điểm 10 của khối 4 bằng tổng số điểm 10 của toàn trường.
Phân số biểu diễn số điểm 10 của 4 khối trên là :
 + + + = ( tổng số điểm 10 của toàn trường )
Số điểm 10 của toàn trường là : 101 : = 420 (điểm)
Số điểm 10 của khối 1là : 420 = 105 (điểm)
Số điểm 10 của khối 2 là : 420 = 84 (điểm)
Số điểm 10 của khối 3 là : 420 = 70 (điểm)
Số điểm 10 của khối 4 là : 420 = 60 (điểm)
Đáp số : Toàn trường: 420 điểm; khối 1: 105 điểm; khối 2: 84 điểm; khối 3: 70 điểm; khối 4: 60điểm.
Bài 4: Tính bằng cách thuận tiện nhất:
a) + + + + + + 
b) + + 
c) + + + + + + + 
Bài 5: Tính bằng cách thuận tiện nhất:
 ......................................................................................................................