Chuyên đề Các bài toán có liên quan khảo sát hàm số

I. MỞ ĐẦU
 Dạy và học toán ở Trường phổ thông là một quá trình rèn luyện tư duy và sáng tạo đối với thầy và trò. Thông qua học Toán học, giúp cho con người cách nghĩ , cách suy luận chặt chẻ và lô gíc hơn. Học sinh có năng khiếu về Toán học thường nhanh nhẹn và thông minh kể cả về các mối quan hệ trong cuộc sống hàng ngày. Tuy vậy, Toán học là môn khoa học khó nói chung đối với mọi người. Để thu hẹp khoảng cách giữa người học và nội dung chương trình, người thầy có một vị trí rất quan trọng trong việc truyền thụ kiến thức đến với học sinh. Việc làm thường xuyên của người thầy là hệ thống kiến thức chương trình ở mỗi chương, mỗi phần và mỗi chuyên đề để luyện tập cho học sinh trong quá trình dạy học. 
Trong nhiều năm công tác ở Trường phổ thông tôi nhận thức được trách nhiệm và tầm quan trọng của bộ môn học này. Chương trình toán ở THPT rất rộng và đa dạng về thể loại, phân môn. Trong nội dung đề tài này tôi xin trình bày một khía cạnh về hàm số.
 Bài toán về hàm số luôn là bài toán điển hình trong chương trình Toán THPT. Nó thường xuyên xuất hiện trong các kì thi tốt nghiệp THPT và tuyển sinh vào Đại học – Cao đẳng và Trung học chuyên nghiệp. Vì vậy bài toán hàm số có một vị trí quan trọng cần được quan tâm đúng mực. Bài toán về hàm số khá đa dạng, phong phú và cũng là bài toán khó đối với học sinh. Đặc biệt là các bài toán có chứa tham số, chẳng hạn như bài toán định tính về cực trị của hàm số hay bài toán về tiếp tuyến cố định của một họ đường cong 
Vì tầm quan trọng của bài toán hàm số nên tôi đã chọn đề tài này, trình bày một vài kinh
nghiệm của mình trong việc dạy học hàm số và đặc biệt là các bài toán liên quan đến khảo sát
hàm số. Với mong muốn nâng cao chất lượng dạy và học của nhà trường trong những năm
học tới. 
 Đó cũng chính là điều mà tôi luôn trăn trở từ khi tôi công tác tại Trường cấp 2-3 Việt Đức.
Theo tôi, các bài toán liên quan đến khảo sát hàm số rất đa dạng và phong phú và nhiều
Bài toán không có đường lối giải rõ ràng. Trong mỗi bài toán cần vận dụng các phương pháp
giải một cách linh hoạt và sáng tạo,đó là phẩm chất của người học toán cần rèn luyện và cũng
là phẩm chất của con người năng động. Khi dạy thầy giáo có thể sắp xếp các dạng toán sau
đây thành các chủ đề để trình bày cho học sinh.
Bài toán về điểm đặc biệt của họ đồ thị hàm số.
Bài toán về tiếp tuyến của đồ thị hàm số. 
Bài toán về sự tương giao của hai đồ thị.
Bài toán về cực trị- giá tị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số.
Bài toán về tính đơn điệu của hàm số.
Bài toán về tâm, trục đối xứng của đồ thị hàm số. 
Ngoài ra còn nhiều dạng khác nữa, tôi chưa trình bày hết ở đây, quý thầy cô giáo
có thể nghiên cứu và viết thành nhiều chủ đề khác.
II. NỘI DUNG 
1. ÑIEÅM ÑAËC BIEÄT CUÛA ÑOÀ THÒ HAØM SOÁ (Cm) : y = f(x, m)
 Giaû söû coù hoï tham soá y = f(x, m), trong ñoù mÎA( taäp hôïp A coù nhieàu hôn 1 giaù trò ).
ÖÙng vôùi moãi giaù trò cuûa m ta coù moät haøm soá cuï theå töông öùng vôùi moät ñoà thò cuï theå. Khi m thay ñoåi ta coù moät hoï caùc haøm soá do ñoù coù moät hoï ñoà thò.
Coù theå chia caùc ñieåm treân maët phaúng toïa ñoä thaønh 3 loaïi sau:
Ñieåm coá ñònh cuûa hoï ñoà thò 
M(xo, yo) Î (Cm), "m Û yo = f(xo, m), "m Û Am + B = 0, "m 
(hay Am2 + Bm + C = 0, "m) Û hoaëc . Giaûi heä, ñöôïc M(xo, yo) 
Ñieåm maø khoâng coù ñoà thò naøo cuûa hoï ñoà thò ñi qua
Ñieåm (Cm) khoâng ñi qua, "m : M(xo, yo) Ï (Cm), "m Û yo ¹ f(xo,m), "m 
Û yo = f(xo, m) VN m Û Am + B = 0 VN m (hay Am2 + Bm + C = 0 VN m) Û (hay ). Giaûi heä , ñöôïc M(xo, yo).
	Chuù yù : VN Û B = 0 Ú 
	c. Ñieåm coù n ñöôøng cong cuûa hoï (Cm) ñi qua 
 Coù n ñöôøng (Cm) qua M(xo, yo) Û yo = f(xo, m) coù n nghieäm m. Caàn naém vöõng ñieàu kieän coù n nghieäm cuûa caùc loaïi phöông trình : baäc 2, baäc 2 coù ñieàu kieän x ¹ a, baäc 3, truøng phöông.
wVD: Cho haøm soá . 
Tìm taát caû caùc ñieåm coá ñònh cuûa hoï ñöôøng cong ñoù.
 ° Giaûi : Xeùt 2 tröôøng hôïp suy bieán:
Neáu m = 1 thì haøm soá coù daïng: y = x + 2 
Neáy m = -1 thì haøm soá coù daïng: y = x – 2 
 Goïi M(xo, yo) laø ñieåm coá ñònh caàn tìm. Khi ñoù:
Giaûi heä tìm ñöôïc toïa ñoä cuûa 2 ñieåm: M(1; -1) vaø M(-1; 1)
* Vôùi M(1; -1) laø ñieåm coá ñònh cuûa hoï ñöôøng cong öùng vôùi 
* Vôùi M(-1; 1) khoâng phaûi laø ñieåm coá ñònh cuûa hoï ñöôøng cong vì M khoâng thuoäc 
2. TIEÁP XUÙC, PHÖÔNG TRÌNH TIEÁP TUYEÁN CUÛA ÑOÀ THÒ HAØM SOÁ
a.	(C) : y = f(x), tieáp xuùc (C/) : y = g(x) khi vaø chæ khi heä phöông trình sau coù nghieäm : . Nghieäm x cuûa heä laø hoaønh ñoä tieáp ñieåm.
b.	Tìm tieáp tuyeán vôùi (C) : y = f(x)
	*	Taïi M(xo, yo) : y = f'(xo)(x – xo) + yo.
	*	Qua M (xo, yo): vieát phöông trình ñöôøng thaúng qua M : (d) : y = k(x – xo) + yo. Duøng ñieàu kieän tx tìm k. Soá löôïng k = soá löôïng tieáp tuyeán (neáu f baäc 3 hay baäc 2 / baäc 1 thì soá nghieäm x trong heä phöông trình ñk tx = soá löôïng tieáp tuyeán).
	* // (D) : y = ax + b : (d) // (D) Þ (d) : y = ax + m. Tìm m nhôø ñk tx.
	* ^ (D) : y = ax + b (a ¹ 0) : (d) ^ (D) Þ (d) : y = x + m. Tìm m nhôø ñk tx.
c.	Baøi toaùn soá löôïng tieáp tuyeán : tìm M Î (C/) : g(x, y) = 0 sao cho töø M keû ñöôïc ñeán (C) ñuùng n tieáp tuyeán (n = 0, 1, 2, ...), M(xo,yo) Î (C/) Û g(xo,yo) = 0; (d) qua M : 
 (d ): y = k(x – xo) + yo tieáp xuùc (C) : . Khöû k ta ñöôïc phöông trình aån x, tham soá xo hay yo. Ñaët ñk ñeå phöông trình naøy coù n nghieäm x 
(soá nghieäm x = soá tieáp tuyeán), tìm ñöôïc xo hay yo.
w VD 1 : Cho haøm soá : (C). Vieát phöông trình tieáp tuyeán cuûa ñoà thò haøm soá, bieát tieáp tuyeán ñoù ñi qua goác toaï ñoä.
° Giaûi : Ta cã ph­¬ng tr×nh ®­êng th¼ng qua goác täa ®é cã hÖ sè gãc b»ng k (d): 
§Ó (d) lµ tiÕp tuyÕn cña (C) Û (d) tiÕp xóc (C)
(1), (2) 
w VD 2: Cho haøm soá (C)
Vieát phöông trình tieáp tuyeán cuûa ñoà thò (C) bieát tieáp tuyeán ñoù song song vôùi ñöôøng thaúng 
° Giaûi: TXÑ: 
Phöông trình tieáp tuyeán cuûa ñoà thò (C) bieát tieáp tuyeán ñoù song song vôùi ñöôøng thaúng coù heä soá goùc k = 1 suy ra: 
Vaäy chæ coù moät tieáp tuyeán thoûa maõn : 
w VD 3: Tìm tieáp tuyeán coá ñònh cuûa hoï ñöôøng cong coù phöông trình: 
° Giaûi: Ñöôøng thaúng y = ax + b laø tieáp tuyeán coá ñònh cuûa hoï ñöôøng cong khi vaø chæ khi heä phöông trình sau coù nghieäm vôùi moïi 
 Ta coù: 
Tröø theo veá (1) cho (3) vaø bieán ñoåi ta ñöôïc: 
Keát hôïp (2) vaø (4) ta ñöôïc: 
Vaäy hoï ñoà thò coù moät tieáp tuyeán coá ñònh laø: y = - x - 1.
3. SÖÏ TÖÔNG GIAO CUÛA HAI ÑOÀ THÒ HAØM SOÁ
* 	Phöông trình hñ ñieåm chung cuûa (C) : y = f(x) vaø (C/) : y = g(x) laø : f(x) = g(x). 
 Soá nghieäm pt = soá ñieåm chung.
* 	Tìm m ñeå (Cm) : y = f(x, m) vaø (C/m) : y = g(x, m) coù n giao ñieåm :
 Vieát phöông trình hoaønh ñoä ñieåm chung; ñaët ñk ñeå pt coù n nghieäm. Neáu pt hoaønh ñoä ñieåm
chung taùch ñöôïc m sang 1 veá : F(x) = m : ñaët ñieàu kieän ñeå (C) : y = F(x) vaø (d) : y = m
 coù n ñieåm chung.
* 	Bieän luaän söï töông giao cuûa (Cm) vaø (C/m) :
	· Neáu pt hñ ñieåm chung daïng : F(x) = m : laäp BBT cuûa F; soá ñieåm chung cuûa (Cm) vaø (C/m) = soá ñieåm chung cuûa (C) vaø (d).
	· PThñ ñieåm chung, khoâng taùch ñöôïc m, daïng f(x) = ax2 + bx + c = 0 (x ¹ a) hay daïng baäc 3 : x = a Ú f(x) = 0 : laäp D, xeùt daáu D, giaûi pt f(x) = 0 ñeå bieát m naøo thì a laø nghieäm cuûa f, vôùi m ñoù, soá nghieäm bò bôùt ñi 1.
°ÑAËC BIEÄT: Khi xeùt söï töông giao cuûa haøm soá baäc 3 vôùi truïc hoaønh ta caàn chuù yù: 
a.	Ñònh lí Viet : Neáu PT ax3 + bx2 + cx + d = 0 coù ba nghieäm x1, x2, x3 thì
	x1 + x2 + x3 = – b/a , x1x2 + x1x3 + x2x3 = c/a , x1.x2.x3 = – d/a.
	Bieát x1 + x2 + x3 = A , x1x2 + x1x3 + x2x3 = B , x1.x2.x3 = C 
	thì x1, x2, x3 laø 3 nghieäm phöông trình : x3 – Ax2 + Bx – C = 0
b.	Soá nghieäm phöông trình baäc 3 :
	· x = a Ú f(x) = ax2 + bx + c = 0 (a ¹ 0) Khi ñoù:
	3 nghieäm phaân bieät Û 	
	2 nghieäm phaân bieät Û 
	1 nghieäm 	Û 
	· Phöông trình baäc 3 khoâng nhaåm ñöôïc 1 nghieäm, m taùch ñöôïc sang 1 veá thì duøng söï töông giao giöõa (C) : y = f(x) vaø (d) : y = m.
	· Phöông trình baäc 3 khoâng nhaåm ñöôïc 1 nghieäm, m khoâng taùch ñöôïc sang 1 veá thì duøng söï töông giao giöõa (Cm) : y = f(x, m) vaø (Ox) : y = 0
	3 nghieäm Û 
	2 nghieäm Û 
	1 nghieäm Û Dy' £ 0 Ú 
c.	Phöông trình baäc 3 coù 3 nghieäm laäp thaønh CSC :
	Û 
d.	So saùnh nghieäm vôùi a :
	·	x = xo Ú f(x) = ax2 + bx + c = 0 (a ¹ 0) so saùnh nghieäm phöông trình baäc 2 f(x) vôùi a.
	· 	Khoâng nhaåm ñöôïc 1 nghieäm, m taùch ñöôïc sang 1 veá thì duøng söï töông giao cuûa
 f(x) = y: (C) vaø y = m: (d) , ñöa a vaøo BBT.
	· 	Khoâng nhaåm ñöôïc 1 nghieäm, m khoâng taùch ñöôïc sang 1 veá thì duøng söï töông giao cuûa (Cm) : y = ax3 + bx2 + cx + d (coù m) ,(a > 0) vaø (Ox)
x1
x2
x3
	a < x1 < x2 < x3 Û 
x1
x2
x3
	x1 < a < x2 < x3 Û 
x1
x2
x3
	x1 < x2 < a < x3 Û 
x1
x2
x3
	x1 < x2 < x3 < a Û 
w VD1: Döïa vaøo ñoà thò haøm soá bieän luaän soá nghieäm phöông trình: 
· Giaûi: 
 Ñaët 
Thu ñöôïc phöông trình: 
Soá nghieäm cuûa phöông trình (1) baèng soá giao ñieåm cuûa ñoà thò haøm soá
 treân vôùi ñöôøng thaúng y=m.
Treân khoaûng haøm soá coù giaù trò cöïc tieåu vaø cuõng laø giaù trò nhoû nhaát cuûa noù.
Nghieäm x=1 cuûa (2) cho nghieäm t=0 cuûa (1).
Moãi nghieäm cuûa (2) cho hai nghieäm t cuûa (1).
Vaäy ta coù caùc keát quaû sau:
 : PT(1) voâ nghieäm
 : PT(1) coù hai nghieäm
 : PT(1) coù boán nghieäm
 : PT(1) coù ba nghieäm vì coù moät nghieäm x=1
 : PT(1) coù hai nghieäm.
w VD2: Bieän luaän theo m soá giao ñieåm cuûa hai ñoà thò caùc haøm soá sau:
 vaø 
· Giaûi: Phöông trình hoaønh ñoä giao ñieåm cuûa hai ñoà thò laø:
Soá nghieäm cuûa phöông trình (1) baèng soá giao ñieåm cuûa ñoà thò haøm soá 
vaø ñöôøng thaúng y= m cuøng phöông vôùi truïc hoaønh.
 Xeùt haøm soá treân R
Vôùi thì 
Baûng bieán thieân:
Bieän luaän: 
Neáu thì ( d ) caét ( C ) taïi hai ñieåm phaân bieät
Neáu thì ( d ) caét ( C ) taïi moät ñieåm	
Neáu thì ( d ) khoâng caét (C)
w VD3: Cho haøm soá . Ñònh giaù trò m ñeå ñoà thò haøm soá caét truïc hoaønh taïi 3 ñieåm phaân bieät coù hoaønh ñoä lôùn hôn – 2.
· Giaûi: TXÑ: D= R 
(ycbt) thoûa khi vaø chæ khi ñoà thò haøm soá caét truïc hoaønh taïi 3 ñieåm coù hoaønh ñoä x > -2
4. CÖÏC TRÒ CUÛA HAØM SOÁ 
	* 	f coù ñuùng n cöïc trò Û f/ ñoåi daáu n laàn.
	*	f ñaït cöïc ñaïi taïi xo Û 
	f ñaït cöïc tieåu taïi xo Û 
	*	f baäc 3 (hay baäc 2 / baäc 1) coù cöïc trò Û f coù CÑ vaø CT Û > 0
	*	f baäc 3 (hay baäc 2 / baäc 1) coù cöïc trò :
	· Beân phaûi (d) : x = a Û y/ = 0 coù 2 nghieäm a < x1 < x2.
	· Beân traùi (d) : x = a Û y/ = 0 coù 2 nghieäm x1 < x2 < a .
	· 1 beân (Ox) Û 
	· 2 beân (Ox) Û 
	*	Vôùi haøm baäc 2 / baäc 1, caùc ñieàu kieän yCÑ.yCT 0) coù theå thay bôûi y = 0 VN (coù 2 nghieäm.).
	*	Tính yCÑ.yCT :
	· Haøm baäc 3 : y = y/ (Ax + B) + (Cx + D)
	yCÑ.yCT = (CxCÑ + D).(CxCT + D), duøng Vieøte vôùi pt y/ = 0.
	· Haøm baäc 2/ baäc 1 : 
	yCÑ.yCT = , duøng Vieøte vôùi pt y/ = 0.
	*	Ñöôøng thaúng qua CÑ, CT : 
	· Haøm baäc 3 : y = Cx + D
	· Haøm baäc 2 / baäc 1 : y = u/ / v/
	*	y = ax4 + bx2 + c coù 1 cöïc trò Û ab ³ 0, 3 cöïc trò Û ab < 0
w VD1: Cho haøm soá : (1) (m laø tham soá)
Vieát phöông trình ñöôøng thaúng ñi qua hai ñieåm cöïc trò cuûa ñoà thò haøm soá.
· Giaûi: 
TXÑ: D=R
Xeùt daáu ñaïo haøm ta coù laø caùc ñieåm cöïc trò cuûa haøm soá .
Phöông trình ñöôøng thaúng ñi qua hai ñieåm cöïc trò cuûa ñoà thò haøm soá 
 laø: 
w VD2: Cho haøm soá : 
 Tìm m ñeå haøm soá coù hai ñieåm cöïc trò vaø caùc ñieåm cöïu trò cuûa ñoà thò 
naèm veà hai phía cuûa ñöôøng thaúng .
· Giaûi: TXÑ: 
Daáu cuûa ñaïo haøm laø daáu cuûa tam thöùc 
Haøm soá coù cöïc trò khi coù hai nghieäm phaân bieät khaùc 1 .
Goïi laø caùc ñieåm cöïc trò cuûa haøm soá vaø laø caùc ñieåm cöïc trò cuûa ñoà thò ta coù: naèm veà hai phía cuûa ñoà thò 
 AÙp duïng ñònh lí Viet ta coù: m > 0 ( thoûa ñieàu kieän baøi toaùn).
w VD 3: Cho ba soá döông baát kyø a,b,c sao cho :
 CMR : 
· Giaûi : Giaû thieát 
Xeùt haøm soá treân ñoaïn . Ñaïo haøm 
Ta coù : . Daáu ñaúng thöùc xaûy ra khi 
5. TÍNH ÑÔN ÑIEÄU CUÛA HAØM SOÁ
a.	Bieän luaän söï bieán thieân cuûa haøm baäc 3 :
i)	a > 0 vaø y’ = 0 voâ nghieäm Þ haøm soá taêng treân R (luoân luoân taêng)
ii)	a < 0 vaø y’ = 0 voâ nghieäm Þ haøm soá giaûm (nghòch bieán) treân R (luoân luoân giaûm)
iii)	a > 0 vaø y’ = 0 coù 2 nghieäm phaân bieät x1, x2 vôùi x1 < x2
	Þ haøm soá ñaït cöïc ñaïi taïi x1 vaø ñaït cöïc tieåu taïi x2.
	Ngoaøi ra ta coøn coù :
	+ 	x1 + x2 = 2x0 vôùi x0 laø hoaønh ñoä ñieåm uoán.
	+	haøm soá taêng treân (-¥, x1)
	+ 	haøm soá taêng treân (x2, +¥)
	+	haøm soá giaûm treân (x1, x2)
iv)	a < 0 vaø y’ = 0 coù 2 nghieäm phaân bieät x1, x2 vôùi x1 < x2
	Þ haøm ñaït cöïc tieåu taïi x1 vaø ñaït cöïc ñaïi taïi x2 thoûa ñieàu kieän x1 + x2 = 2x0 (x0 laø hoaønh ñoä ñieåm uoán). Ta cuõng coù :
	+	haøm soá giaûm treân (-¥, x1)
	+	haøm soá giaûm treân (x2, +¥)
	+	haøm soá taêng treân (x1, x2)
b.	Bieän luaän söï bieán thieân cuûa y = 
i) Neáu a.m > 0 vaø y/ = 0 voâ nghieäm thì haøm taêng ( ñoàng bieán) treân töøng khoaûng xaùc ñònh.
ii) Neáu a.m < 0 vaø y/ = 0 voâ nghieäm thì haøm giaûm ( nghòch bieán) treân töøng khoaûng xaùc ñònh.
iii) Neáu a.m > 0 vaø y/ = 0 coù 2 nghieäm phaân bieät x1, x2 thì haøm ñaït cöïc ñaïi taïi x1 vaø ñaït cöïc tieåu taïi x2 thoûa x1 < x2 vaø .
iv) Neáu a.m < 0 vaø y/ = 0 coù 2 nghieäm phaân bieät x1, x2 thì haøm ñaït cöïc tieåu taïi x1 vaø ñaït cöïc ñaïi taïi x2 thoûa x1 < x2 vaø .
c.	Tìm m ñeå haøm soá baäc 3, baäc 2/baäc 1 ñoàng bieán (nghòch bieán) treân mieàn x Î I : ñaët ñk ñeå I naèm trong mieàn ñoàng bieán (nghòch bieán) cuûa caùc BBT treân; so saùnh nghieäm pt baäc 2 y/ = 0 vôùi a.
w VD: Cho haøm soá : (1) 
Tìm m ñeå haøm soá nghòch bieán treân 
· Giaûi : Xeùt treân taäp hôïp haøm soá luoân luoân xaùc ñònh
Ñeå cho haøm soá y= f(x) nghòch bieán treân 
Xeùt haøm soá 
Laäp baûng bieán thieân ta coù haøm soá ñoàng bieán trong khoaûng vaø nghòch bieán trong khoaûng . Khi ñoù yeâu caàu baøi toaùn töông ñöông vôùi 
6.	TAÂM, TRUÏC, CAËP ÑIEÅM ÑOÁI XÖÙNG CUÛA ÑOÀ THÒ HAØM SOÁ
a.	CM haøm baäc 3 coù taâm ñx (ñieåm uoán), haøm baäc 2/baäc 1 coù taâm ñx (gñ 2 tc) taïi I :
 ñoåi toïa ñoä : x = X + xI, y = Y + yI; theá vaøo haøm soá : Y = F(X), chöùng minh : 
 F(–x) = – F(x), suy ra F laø haøm leû, ñoà thò coù taâm ñoái xöùng laø goác toïa ñoä I.
b.	CM haøm baäc 4 coù truïc ñx // (Oy) : giaûi pt y/ = 0; neáu x = a laø nghieäm duy nhaát hay laø nghieäm chính giöõa cuûa 3 nghieäm : ñoåi toïa ñoä x = X + a, y = Y; theá vaøo haøm soá : 
Y = F(X); cm F(–X) = F(X); suy ra F laø haøm chaün, ñoà thò coù truïc ñoái xöùng laø truïc tung 
X = 0, töùc x = a.
c.	Tìm treân (C) : y = f(x) caëp ñieåm M, N ñoái xöùng qua I , giaûi heä 4 pt 4 aån :
d.	Tìm treân (C) : y = f(x) caëp ñieåm ñ/x qua ñt (d) : y = ax + b : dt ^ (d) laø
 (d') : y = – x + m; laäp pt hñ ñieåm chung cuûa (C) vaø (d'); giaû söû pt coù 2 nghieäm xA, xB, tính toïa ñoä trung ñieåm I cuûa AB theo m; A, B ñoái xöùng qua (d) Û I Î (d) 
Û m?; thay m vaøo pthñ ñieåm chung, giaûi tìm xA, xB, suy ra yA, yB.
w VD: Cho haøm soá . Tìm caëp ñieåm A, B treân ( C ) maø ñoái xöùng vôùi nhau qua ñöôøng thaúng ( d ): y = x.
· Giaûi: Neáu A , B truøng vôùi giao ñieåm cuûa ( d) vaø ( C ) coù toaï ñoä laø nghieäm cuûa heä 
Goïi (d’) laø ñöôøng thaúng vuoâng goùc vôùi ( d) taïi I, khi ñoù (d’): y = -x + b laø nghieäm cuûa
phöông trình: x = x + b 
Phöông trình hoaønh ñoä giao ñieåm cuûa (d’) vaø ( C ) laø: 
Suy ra: . Töø ( 1 ) vaø ( 2 ) ta coù thay vaøo (*) ta coù:
 Voâ nghieäm. Keát luaän: