Chuyên đề Các bài toán Hình học Lớp 5

j PHẦN I LÝ THUYẾT CĂN BẢN
 S = a x h : 2
 a = 2 x S : h
 h = 2 x S : a
* Hai tam giác có diện tích bằng nhau khi chúng có đáy bằng nhau ( hoặc chung đáy ) và chiều cao bằng nhau ( hoặc chung chiều cao)
* Hai tam giác có diện tích bằng nhau , đáy bằng nhau thì hai chiều cao tương ứng củng bằng nhau
* Hai tam giác có diện tích bằng nhau , chiều cao bằng nhau thì hai cạnh đáy tương ứng củng bằng nhau
* Hai tam giác có diện tích bằng nhau thì tỉ số chiều cao của fai tam giác đó tỉ lệ nghịch với tỉ số hai cạnh đáy tương ứng của chúng
* Hai tam giác có fieenj tích bằng nhau và có một phần diện tích chung thì các phần còn lại của chúng củng bằng nhau
*Hai tam giác có chung chiều cao (hoặc chiều cao bằng nhau)
Nếu cạnh đáy của tam giác này gấp bao nhiêu lần cạnh đáy của tam giác kia
Thì diện tích của tam giác này gấp bấy nhiêu lần diện tích của tam giác kia
*Hai tam giác có chung cạnh đáy (hoặc cạnh đáy bằng nhau)
Nếu chiều cao của tam giác này gấp bao nhiêu lần chiều cao của tam giác kia
Thì diện tích của tam giác này gấp bấy nhiêu lần diện tích của tam giác kia
Bài tập làm quen
Bài 1 : Cho tam giác ABC có cạnh đáy BC = 10 cm. Nếu kéo dài đáy BC về phía C 1 đoạn CD =5 cm thì diện tích tăng thêm 35 cm2 . Tính diện tích tam giác ABD ( bằng hai cách ) A
Cách 1 : 
 B H C D
 AH cũng là chiều cao tam giác ACD 
AH = 2 x SACD : CD
 = 2 x 35 : 5 = 14 cm
SABC = AH x BC : 2 
 = 14 x 10 : 2 = 70 Cm 2 
SABD = SABC + SACD 
 = 70 + 35 = 105 cm2 
Cách 2 
Tam giác ABC và tam giác ACD chung đường cao AH , đáy BC gấp 2 lần đáy CD 
 ( 10 = 5 x 2 ) nên SABC = 2 x SACD
 SABC = 2 x 35 = 70 cm2
SABD = SABC + SACD = 70 + 35 = 105 cm2 
Bài 2: Cho tam giác ABC có diện tích 150 cm2 . Nếu kéo dài đáy BC về phía C 5 cm thì diện tích tăng thêm 37,5 cm2 . Tính BC ( bằng hai cách )
 A
Cách 1 : 
 B H C D
AH cũng là chiều cao tam giác ACD 
AH = 2 x SACD : CD
 = 2 x 37,5 : 5 = 15 cm
BC = 2 x SABC : AH
 = 2 x 150 : 15 = 20 cm
Cách 2
Tam giác ABC và tam giác ACD chung đường cao AH 
SABC = 4 x SACD ( 150 = 4 x 37,5 ) 
Nên đáy BC = 4 x CD
 BC = 4 x 5 = 20 cm
CÁC BƯỚC CƠ BẢN GIẢI 1 BÀI TOÁN HÌNH HỌC
Bước 1 : Tóm tắt bài toán 
Bước 2 : Phân tích bài toán ( Bước quan trọng nhất ) dùng hệ thống câu hỏi kết hợp với sơ đồ phân tích 
Bước 3 : Giải bài toán 
Ví dụ 
Bài 1 
Cho tam giác ABC vuông ở A, có cạnh AB = 24 cm, cạnh AC = 32 cm. Điểm M nằm trên cạnh AC sao cho AM = 6 cm . Từ M kẻ đường song song với cạnh AB cắt BC tại N. Tính SCMN C
 M N
 A H B
Bước 1 : Tóm tắt : đã cho : AB = 28 cm
 AC = 36 cm
 AM = 9 cm MN // AB Cần tìm : SCMN
Bước 2 
Phân tích 
Muốn tính SCMN ta phải biết gì ? ( CM và MN ) ( CM tính được )
Muốn tìm MN ta cần biết gì ? ( SNCA và đáy CA ) ( CA đã biết )
Muốn tính SNCA ta phải biết gì ? ( SABC và SNAB ) ( SABC tính được )
Muốn tính SNAB ta cần biết gì ? ( AB và NH ) ( AB đã biết và NH = AM = 6cm )
Sơ đồ phân tích
 SCMN CM ( CM = CA – MA )
 MN SCNA SABC
 SNAB AB ( 36 cm)
 NH ( NH = MA = 9 cm )
Bước 3: Giải bài toán 
Nối N với A, kẻ đường cao NH. Vì NM // AB nên MN vuông góc với AC
Tứ giác AMNH là hình chữ nhật nên NH = MA = 9 cm
SNAB = AB x NH : 2
 = 28 x 9 : 2 = 126 cm 2 
SABC = AB x AC : 2
 = 36 x 28 : 2 = 504 cm 2 
SCNA = SABC- SNAB
 = 504 – 126 = 378 cm 2 
 MN = 2 x SCNA : AC 
 = 2 x 378 : 36 = 21 cm
 CM = CA – AM 
 = 36 – 9 = 27 cm 
SCMN = CM x MN : 2
 = 27 x 21 : 2 = 283,5 cm 2 
Bài 2 : 
Cho tam giác ABC. M là trung điểm cạnh BC. Trên AM lấy điểm N sao cho 
AN =2 x MN . BN kéo dài cắt AC tạ I . Chứng tỏ AI = IC
 A
Bước 1 tóm tắt : đã cho : BM = MC
 AN = 2 x NM 
 Cần tìm AI = IC I K
 N H
 B M C
Bước 2:
 phân tích 
Muốn chứng tỏ AI = IC ta cần chứng tỏ điều gì ? ( SBAI = SBIC )
Muốn chứng tỏ SBAI = SBIC ta cần chứng tỏ điều gì ? ( đường cao AH = KC )
Muốn chứng tỏ AH = KC ta cần chứng tỏ điều gì ? ( SBNA = SBNC )
AI = IC SBAI = SBIC AH = KC SBNA = SBNC
Bước 3: Giải bài toán 
 -SBNA = 2 x SBNM ( 1)
( vì đáy AM = 2 x NM, chung đường cao kẻ từ B đến AM )
 -SBNC = 2 x SBNM ( 2 )
( vì đáy BC = 2 x BM, chung đường cao kẻ từ N đến BC )
Từ 1 và 2 ta có SBNA = SBNC
 -Tam giác ANB và tam giác CNB chung đáy BN, 
SBNA = SBNC nên đường cao AH = CK
 -SBAI = SBIC 
( vì chung đáy BI đường cao AH = CK )
 -Tam giác BAI và tam giác BIC chung đường cao kẻ từ B đến AC
SBAI = SBIC đáy AI = IC
 Các bài toán luyện tập
Bài 1:
Một thửa đất hình tam giác vuông có đáy là cạnh kề với góc vuông và dài 24m. Nay người ta lấy bớt 4m chiều cao phần giáp với đáy để làm đường, mép đường mới song song với đáy trước đây của tam giác.Biết chiều cao trước đây của thửa đất làm 16 m. tính diện tích còn lại của thửa đất.
 Tóm tắt B
AC = 24m
AB = 16 m
AM = 4 m
Tính SBIC 
 M N
 A C
Bài 2: 
Cho tam giác ABC . M là trung điểm cạnh AB. Từ M kẻ đường thẳng song song với đáy BC cắt AC tại N
Chứng tỏ AN = NC
MN = ½ BC
 A
AM = MB
MN // BC
 M N
 B C
Bài 3: 
Một thửa đất hình tam giác vuông có đáy là cạnh kề với góc vuông và dài 20m, chiều dài là 24m. Nay người ta lấy bớt một phân diện tích của thửa đất để làm đường đi. Đường đi mới vuông góc với chiều dài của thửa đất. Do đó, đáy thửa đất chỉ còn là 15m. Hỏi:
Diện tích còn lại của thửa đất?
Đường mở rộng mấy mét vào chiều cao của thửa đất?
Do thửa đất giáp mặt đường nên giá trị của thửa đất tăng lên gấp 400% giá trị trước đây. Hỏi người chủ thửa đất lợi hay thiệt trong việc làm đường và lợi hay thiệt bao nhiêu phần trăm?
Bài 4: 
Cho tam giác ABC. D,E lần lượt là điểm giữa của các cạnh AB và AC
So sánh SADE và SABC
M là một điểm bất kì trên BC . Nối A với M cắt DE tại I. So sánh AI với IM
 A
 D E
 I
 B M C
Bài 5 : 
Cho tam giác ABC có diện tích 283,5cm2 . Đáy BC dài 27 cm, điểm M trên AC và cách AC một đoạn bằng 1/3 AC . Từ M kẻ đường thẳng song song với đáy BC cắt cạnh AB tại N
Tính diện tích thang MNBC A
 M N
 B C
Bài 6 : 
Cho tam giác ABC . Trên đáy BC lấy 2 điểm M, N sao cho CM = 1/4 BC, 
MN = 1/2 BC và NB = 1/4 BC. Từ M kẻ đường song song với AC, từ N kẻ đường song song với AB chúng cắt nhau tại I
Tính diện tích các tam giác IAB. IBC , ICA biết SABC = 500 cm2 
 A
 I
 B N M C 
Bài 7 : 
Cho tam giác ABC có diện tích 900 cm2 . Trên đáy BC lấy 2 điểm M, N sao cho M cách C một khoảng = 1/4 BC, N cách cách B một khoảng = 1/4 BC. Từ M kẻ đường song song với AB, từ N kẻ đường song song với AC chúng cắt nhau tại I
Tính diện tích các tam giác IAB. IAC. IBC
 A
 N M
 B C
 I
Bài 8 : 
Tam giác ABC vuông ở A , có AB = 30 cm; AC = 40 cm; BC = 50 cm. Một đường thẳng song song với cạnh BC và cách cạnh BC 3 cm., cắt cạnh AB tại M và cắt cạnh AC tại N
Tứ giác MNCB là hình gì ?
Tính diện tích tứ giác MNCB B
 H
 M
 A N C
Bài 9 
Cho tam giác ABC có BC = 9 cm. Gọi D là điểm chính giữa cạnh AC, kéo dài cạnh AB một đoạn BE = AB. Nối D với E, đoạn DE cắt đoạn BC tại G
So sánh diện tích các tam giác GBE, GBA, GAD, GDC
Tính độ dài đoạn BG
 A
 D
 B C
 G
 E
Bài 10 :
Cho tam giác ABC có diện tích 2000 cm2 . 
Trên BC lấy điểm E sao cho BE = 1/4 BC. Tính SABE
Trên AB lấy D sao cho AD = 1/3 DB
Trên AC lấy điểm F sao cho AF = 3/4AC A
Tính SDEF
 D
 F
 B E C
Bài 11: cho tam giác ABC có diện tích 240 cm 2 . D là điểm chính giữa cạnh AC. Trên AB lấy điểm E sao cho AE = 2 EB. Nối BD cắt CE ở G
tính SBEC và SBDC
tính SBGC A
 D
 E
 G
 B C
Bài 11
Cho tam giác vuông ABC (góc A vuông ) có cạnh :
AB =30 ;AC =40 ;BC =50 
a : Tính chiều cao hạ từ A của tam giác 
b: D là trung điểm của BC ,trên AC lấy E sao cho AE =1/3 AC ;AD cắt BE tại M .Tính diện tích tam giác AME ? B
c: so sánh AM với MD ?
 D
 M
 A E C
Bài 12 :
Cho tam giác ABC . M là điểm chính giữa cạnh BC. Trên cạnh AC lấy điểm N sao cho AN = 1/4AC . Nối M với N. Kéo dài MN và AB cắt nhau tại P. Nối P với C. Cho biết SAPN = 10 cm2 P
Tính SPNC
SABC A
 N
 B M C
Bài 13
Cho tam giác ABC có diện tích 216 m2 . AB=AC và BC = 24 m. Trên cạnh AB lấy điểm M sao cho MB = 2/3AB . Trên cạnh AC lấy điểm N sao cho NC = 2/3AC . Trên cạnh BC lấy điểm I sao cho BI = 2/3BC . Nối M với N và N với I ta được hình thang MNIB. Tính :
Diện tích hình thang MNIB A
Độ dài đoạn MN
 M N
 B I C
Bài 14 :
Cho tam giác ABC . M là trung điểm cạnh BC. Nối A với M. Kẻ chiều cao MP của tam giác MAB và chiều cao MQ của tam giác MAC. Biết MP = 6 cm, MQ = 3 cm.
So sánh AB với AC
Tính SABC biết AB+AC = 21 cm A
 P
 Q
 B M C
Bài 15
Cho hình thang vuông ABCD vuông ở A và D có đáy bé AB = 30 cm, đáy lớn CD = 60 cm, cạnh bên AD là chiều cao dài 40 cm. trên AD lấy điểm H sao cho AH = 8 cm. Từ H kẻ đường thẳng song song với CD cắt BC ở E. 
So sánh SHDC với SEDC( giải thích )
Tính diện tích tứ giác ABED A B
 H E
 D C
Bài 16: 
Cho hình thang ABCD có CD = 2 AB. Hai đường chéo AC và BD cắt nhau ở O. 
Tìm các cặp tam giác có diện tích bằng nhau ( giải thích )
So sánh SBDC với SABC
Tính SAOB biết SABC= 90 cm2 A B
 O
 D C
P
Bài 17
Cho hình thang ABCD có đáy CD = 3 AB.
 Hai cạnh bên DA và CB kéo dài cắt nhau tại P. 
so sánh PA với PD
B
A
Tính diện tích hình thang biết SPAB = 4 cm2
D
C
Bài 18
Cho tam giác ABC, M là trung điểm của BC, N là trung điểm của AC, Nối AM cắt BN tại I. Nối CI cắt AB tại P. Chứng minh rằng:
SAMC = SBNC
SAIN = SBIM
A
B
C
M
P
N
I
AP = BP