Chuyên đề Chứng minh bất đẳng thức

A ) Các công thức cơ bản:
I)Các hằng đẳng thức:
 (a ± b)2 =a2 ± 2ab +b2
( a ± b)2 = a2 ± 3a2b +3ab2 ± b2
 (a+b)(a-b) = a2 - b2
( a+ b )( a2 - ab + b2 ) = a3 + b3 
 ( a - b ) (a2 + ab +b2 ) = a3 - b3
(a ± b)4 =a±4a3 + 6a3 b3 4ab3 +b4
II) Các bất đẳng thức:
 (a ± b)2 ³ 0 với " a ,b
 a2 ³ 0 với " a .
B)Các ví dụ minh hoạ :
I.) Điều kiện bài toán là đẳng thức:
 Bài1 Cho a + b = 6 Chứng minh: a4 + b4 ³ 162
Giải 
Do a + b = 6 nên có thể đặt 
 với m tuỳ ý
Ta có : a4 + b4 = (3 + m)4 + (3 - m)4 = 
 =
Với mọi m .Đẳng thức xảy ra khi m = 0
Hay a = b = 3 Suy ra ĐPCM
Bài 2: Cho a + b = 4 chứng minh: a4 + b4 ³ 32
 Giải: Do a + b = 4 nên có thể đặt 
 với m tuỳ ý
 Ta có : a4 + b4 = (2 + m )4 + (2- m)4 = 32 + 48m2 +2m4 ³ 32
Với mọi m . Đẳng thức xảy ra khi m =0 hay a = b = 2 . Ta suy ra ĐPCM. 
Nhận xét 1:Nếu giả thiết cho a + b = c ta nên đặt ẩn phụ tương ứng như trên với
 Với m tuỳ ý 
Bài 3: Cho x + y + z = 3
 Chứng mỉnh rằng: x2 + y2 + z2 +xy +yz +zx ³ 6
Giải: Do x + y + z = 3 nên ta đặt
 Với a,b tuỳ ý
Thay vào vế trái của bất đẳng thức cần chứng minh ta có:
 x2 + y2 + z2 +xy +yz +zx = (1 + a)2 + (1 + b )2 + (1 - a - b)2 + + (1+ a) (1 + b) + (1+b) (1- a -b) + (1- a - b)(1+ a) = 6 + a2 + ab + b2 
Với mọi a , b . Dấu” = “xảy ra khi a = b = 0 hay x =y =z =1 suy ra ĐPCM . 
Nhận xét 2: Nếu giả thiết cho: x + y + z = k Thì ta nên đặt:
 Hoặc với a +b +c = 0
 Hai cách đặt này đều có thể vận dụng cho bài toán trên . 
Bài 4: cho a + b + c + d = 1. Chứng minh rằng :
 ( a + c) ( b + d ) + 2ac +2bd Ê 
Giải: Do a + b +c + d = 1 nên ta có thể đặt :
Với x ,y ,z tuỳ ý. Thay vào vế trái của bất đẳng thức cần chứng minh ta có:
 (a+ c) (b+ d) + 2ac +2bd = 
Vớii mọi x , y . z .
Dấu ” = “ xảy ra khi x - y = z = 0 hay a = c và b = d suy ra ĐPCM.
Nhận xét 3 : Nếu giả thiết cho a + b + c + d = k . 
 Ta có thể đặt theo 2 cách :
 Hoặc với m + n + p + q = 0
Bài 5: Cho a + b = c + d chứng minh rằng.
 a2 + d2 + cd ³ 3ab
 a2 + b2 + ab ³ 3cd
 Giải
 Phần a , b tương tự nhau, ta chứng minh phần a.
Giải: Do a +b = c + d nên ta đặt
 Với x tuỳ ý
 Ta có 
	 "a,b,x
 Dấu ” = “ xảy ra khi x = a - b + = 0 hay a = b = c = d
 Với c2 + d2 +cd ³ 3ab với " a, b thoả mãn a + b = c + d
Bài 6 : Cho a + b + c + d = 2 CMR a2+ b2 + c2 + d2 ³ 1
Vì a + b + c + d = 2 nên đặt 
Với : x + y + z + t = 0 
Ta có: 
Dấu bằng xảy ra khi x = y = z = t Khi đó a = b = c = d =
Nhận xét 4:
Nếu cho điều kiện là
CMR: 
Ta nên đặt .... 
II. Các bài toán có điều kiện là đẳng thức kết hợp bất đẳng thức.
Bài 7: Cho x + y =3 và y ³ 2 .Chứng minh rằng:
 a) x3 + y3 ³ 9
 b) 2x4 + y4 ³ 18
Giải: Do y ³ 2 nên đặt y =2 + t ³ 0	với t ³ 0
 Do x +y = 3 nên đặt y = 2 + t Thì x = 1 - t Thay x = 1 - t và y = 2 + t vào vế trái ta có:
 x3 + y3 = (1 -t )3 + ( t + 2)3= 9 +9 t +9t2 ³ 9 vì t ³ 0
Dấu “ = “ xảy ra khi t = 0 hay x = 1 và y = 2 suy ra ĐPCM
b) 2x4 + y4 =2 (1 - t)4 + ( 2 + t) 4 =18 +24t + 36 t2 + 3t4 ³ 18 vì t ³ 0
 Dấu “ = “xảy ra khi t = 0 hay x =1 và y =2 Suy ra ĐPCM
Nhận xét 5: Với điều kiện x + y = k và y ³ l (hay x Ê n) thì nên đặt y = 1 + m với m ³ 0 ( hay x = n - m với m ³ 0)
Từ đó suy ra x = k - l - m (hay y = k - n - m) 
 suy ra: Hay 
Rồi thay các ẩn vào các vế bất đẳng thức cần chứng minh.
Bài 8: Cho x 5 . Chứng minh rằng: 5x2 + 2y2 + 8y > 62
Giải 
Do x 5 nên ta đặt 
 Với t ,k > 0
 Suy ra 
Thay vào vế trái của bất đẳng thức ta có
 5x2 +2y2 +8y = 5 (2 - t )2 + 2(3 + k + t )2 +8 (3 + k + t) =
 = 62 + 2 (k + t )2 +5t2 +20 k > 62 " k , t Suy ra ĐPCM . 
Bài 9 Cho a + b > 8 và b > 3 Chứng minh rằng:
 27a2 +10 b3 > 945
 Giải Do a + b > 8 và b > 3 Nên ta đặt 
 Với k,t > 0
 ị 
Thay vào vế trái của BĐT ta có: 
 27a2 + 10b3 = 
Vì ,t,k >0 Suy ra ĐPCM
Nhận xét6:Nếu điếu kiện cho là:
 Ta nên đặt 
Với m,n > 0 từ đó ị
 Thay vào BĐT suy ra ĐPCM
Nếu điếu kiện cho là:
 Thì ta đặt
 với n,m > 0 đ 
Thay vào BĐT suy ra ĐPCM
Bài10: Cho a + b + c ³ 3 .Chứng minh rằng a4 +b4+c4 ³ a3 + b3 + c3
Giải:
Do a + b + c ³ 3 nên ta đặt : 
 Thoả mãn x + y + z ³ 0
 Xét hiệu : 
Vậy: 
Dấu'' = ''xảy ra khi x = y = z hay a = b = c = 1
Nhận xét 7
Đây là đề thi học viện bưu chính viễn thông.Ta thấy nếu biết cách đặt ẩn phụ hợp lý học sinh vẫn có thể chứng minh được đối với học sinh THCS
III)các bài toán có điều kiện phức tạp:
 Bài11: cho : a3 + b3 < 2 Chứng minh rằng: a + b < 2
Giải Phương pháp phản chứng.
Giả sử ta đặt với 
Ta có:
 =
Vì Suy ra Trái giả thiết.Vậy a + b < 2
Bài 12 Cho a4+ b4 < a3 + b3 Chứng minh rằng: a + b < 2
Giải Phương pháp phản chứng:
Giả sử .Đặt với 
Xét hiệu: 
hay với a + b ³ 2 Thì: a4 + b4 ³ a3 + b3 Trái với giả thiết . Vậy a + b < 2
Bài toán 13
Cho a,b,c là 3 số dương Chứng minh :
Giải:
Đặt x = b + c ; y = c + a ; z = a + b Khi đó:
 Cho nên
(áp dụng BĐT CÔ SI ) Dấu bằng xảy ra khi x = y = z
 Hay a = b = c
Bài toán 14
Cho u,v là các số dương và u+v=1. chứng minh rằng
Giải
Đặt a = u + và Ta có a> 0, b > 0
Và < (1)
 Vì < 0
áp dụng bất đẳng thức (1) ta có:
vì uvÊ do đó) 
Dấu đẳng thức xảy ra khi : u = v =
bài toán:15
Cho a.b Chứng minh rằng:
Giải : Đặt x = ta có : 
Bất đẳng thức trở thành:
Nếu ab< 0 Thì ta có
 Chia cả hai vế cho ab ta được
 Vậy x
Trong cả hai trường hợp thì 
Dấu đẳng thức xảy ra khi a = b