Chuyên đề Chứng minh một số không phải là số chính phương

Chứng minh một số không phải là số chính phương
Phương pháp 1.
Nhìn chữ số tận cùng:
- Vì số chính phương bằng bình phương của một số nên suy ra.Số chính phương phải có chữ số tận cùng là một trong các chữ số: 0,1,4,5,6,9. Từ đó ta có thể giải được các bài toán dạng sau đây:
Bài toán 1.
Chứng minh số: n = 20042 + 20032 + 20022 - 20012. Không là số chính phương.
LG.
- Ta thấy chữ số tận cùng của các số: 20042,20032,20022,20012lần lượt là 6,9,4,1. Do đó n có chữ số tận cùng là 8. Nên n không phải là số chính phương.
Chú ý: Nhiều khi số đã cho có chữ số tận cùng là một trong các số: 0,1,4,5,6,9 nhưng vẫn không phải là số chính phương, khi đó ta phải lưu ý thêm: Nếu một số chính phương chia hết cho số nguyên tố p thì nó phải chia hết cho p2
Bài toán 2.
Chứng minh số: 1234567890 không phải là số chính phương.
LG.
- Ta thấy số: 1234567890 chia hết cho 5 (vì chữ số tận cùng bằng 0), nhưng không chia hết cho 25 (vì hai chữ số tận cùng bằng 90). Do đó số 1234567890 không phải là số chính phương.
Chú ý:
- Có thể luận rằng: Số 1234567890 chia hết cho 2 nhưng không chia hết cho 4 (vì hai chữ số tận cùng là 90).Nên 1234567890 không phải là số chính phương.
Bài toán 3.
Chứng minh rằng xnếu một số có tổng các chữ số là 2004 thì số đó không phải là số chính phương.
LG.
Ta thấy tổng các chữ số của 2004 là 6 nên 2004 chia hết cho 3 mà nó lại không chia hết cho 9. Nên số có tổng các chữ số là 2004 cũng chia hết cho 3 mà không chia hết cho 9. Do đó số này không phải là số chính phương.
Phương pháp 2.
Dùng tính chất của số dư.
Bài toán 4.
Chứng minh một số có tổng các chữ số là 2006 không phải là số chính phương
LG.
- ở đây ta không gặp trường hợp như bài toán 3 nên ta phải nghĩ đến phương pháp khác.
Ta thấy chắc chắn số này chia cho 3 dư 2 nên ta có lời giải sau:
- Vì số chíng phương khi chia cho 3 chỉ có thể dư 0 hoặc 1 mà thôi ( đây là kết quả của bài toán mà ta dễ dàng chứng minh được).
- Do tổng các chữ số của số đó là 2006 nên số đó chia cho 3 dư 2. Nên số đó không phải là số chính phương.
Bài toán 5. ( Tương tự bài toán 4) 
Chứng minh tổng các số tự nhien liên tiếp từ 1 đến 2005 không phải là số chính phương.
Bài toán 6.
Chứng minh số: 20044 + 20043 + 20042 + 23 không phải là số chính phương.
Phương pháp 3.
Tình huống chứng minh n không là số chính phương nhưng n chia cho 3 vẫn dư 0 hoặc 1.
VD: Bài toán 7.
Chứng minh số: n = 44 + 444 + 4444 + 44444 + 15 không là số chính phương.
Nhận xét:
Nếu chia n cho 3 số dư sẽ là 1. Vậy không giải được theo cách của bài toán 3,4,5,6.
Nếu xét chữ số tận cùng ta thấy chữ số tận cùng của n là 9 nên không giải được theo cách của bài toán 1,2.
Vậy ở đây ta phải dựa vào nhận xét sau (ta có thể cm):
Một số chính phương khi chia cho 4 thì số dư chỉ có thể là 0 hoặc 1. Lúc đó ta sẽ giải được bài toán này.
Phương pháp 4. 
 Phương pháp kẹp giữa hai số chính phương liên tiếp: n2 và (n+1)2.
Ta thấy: Nếu n và k N và thỏa mãn điều kiện: n2 < k < (n+1)2 thì lúc đó k không phải là số chính phương.
Bài toán 8.
Chứng minh số 4014025 không phải là số chính phương.
Nhận xét:
Số này có hai chữ số tận cùng là 25 nên chia cho 3 dư 1 và chia cho 4 cũng dư 1, nên không thể áp dụng bằng cách trên.
LG.
Ta thấy: 20032 = 401209; 20042= 4016016. Nên 20032< 4014025 < 20042. Chứng tỏ số 4014025 không phải là số chính phương.
Bài toán 9.
Chứng minh:
A = n(n+1)(n +2)(n+3) không là số chính phương với mọi nN, n0
Nhận xét: Nếu đã quen dạng này ta có thể thấy A+1 phải là số chính phương ( bài toán lớp 8) nhưng lớp 6,7 có thể giải theo cách sau.
LG.
Ta có: A+1 = n(n + 1)(n +2)(n + 3) + 1
 = (n2 + 3n)(n2 + 3n + 2) + 1
 = (n2 + 3n)2 + 2(n2 + 3n) + 1
 = (n2+3n +1)2 
Mặt khác (n2 + 3n)2 < (n2 + 3n)2 + 2(n2 + 3n) = A
Điều này hiển nhiên đúng vì: n > 1. Chứng tỏ
(n2 + 3n)2 < A < A+1= (n2+3n +1)2. Suy ra A không phải là số chính phương.
Một số bài toán khác.
Bài 10.
Chứng tỏ số: 235+2312+232003 không là số chính phương.
Gợi ý: Nghĩ ngay đến phép chia cho 3 hoặc chia cho 4
Bài 11.
Có 1000 mảnh bìa hình chữ nhật, trên mỗi mảnh được ghi một trong các số từ 1 đến 1001 (không có mảnh nào ghi khác nhau). Chứng minh rằng không thể ghép tất cả các mảnh bìa đó liền nhau để được một số chính phương.
Bài 12.
Chứng minh rằng tổng bình phương của 4 số tự nhiên liên tiếp không thể là số chính phương.
Gợi ý: Nghĩ đến phép chia cho 4
Một số bài toán liên quan về số chính phương
Bài 1. Chứng minh rằng tổng của n số lẻ đầu tiên là một số chính phương.
LG.
Ta tính tổng n số lẻ đầu tiên:
S = 1 + 3 + 5 + 7 +...+ (2n - 3) + (2n - 1).
Lúc này ta phải xét hai trường hợp: n chẵn và n lẻ.
Trường hợp 1: n chẵn
S = (1 + 2n - 1) + (3 + 2n - 3)+... Có n/2 số hạng , mà mỗi số hạng có giá trị là 2n
Vậy S = 2n. = n2.
Trường hợp 2: n lẻ
Để tính S ta cũng ghép như trường hợp trên nhưng ta được số hạng, mỗi số hạng có giá trị là 2n. Nên tổng S = .2n + n = = n2
Vậy S = 1 + 3 + 5 + 7 +...+ (2n - 3) + (2n - 1) = n2 nên S là một số chính phương.
Từ bài toán trên ta cũng có nhận xét tổng quát:
Tổng các số lẻ đầu tiên thì bằng bình phương của số các số ấy
Bài 2.
Chứng minh một số là số chính phương khi và chỉ khi số ước của nó là một số lẻ.
Bài 3.
Biển số xe máy của bạn Hùng là một số có 4 chữ số, có đặc điểm như sau:
Số đó là số chính phương, nếu lấy số đầu trừ đi 3 và số cuối cộng thêm 3 thì được một số cũng là số chính phương. Tìm số xe của bạn Hùng.