Chuyên đề Chứng minh thẳng hàng trong các bài toán vectơ lớp 10

 CHUYÊN MỤC : 
 DIỄN ĐÀN DẠY HỌC TỐN 
 CHỨNG MINH THẲNG HÀNG TRONG CÁC BÀI TỐN VECTƠ LỚP 10 
 Các bài tốn chứng minh thẳng hàng và đồng quy thường làm khĩ học sinh, điều này càng dễ hiểu khi ta mới 
tiếp cận các dạng tốn về Vectơ. Cĩ một phương pháp nhất quán và hiệu quả để giải các dạng Tốn này, tơi xin 
nêu lại sau đây: 
 Phương Pháp: Để chứng minh ba điểm , ,A B C thẳng hàng trong các bài tốn vectơ, ta chọn một điểm 
gốc (chẳng hạn A ) rồi chứng  
 
( 0).AB kAC k 
 Cơng thức ngọn trừ gốc :  
  
BC AC AB (Chọn điểm A làm gốc). 
 Từ các hệ thức đã cho ta làm xuất hiện 2 vectơ AC, AB
 
 và các vectơ 1 2, , ...,
  
nAM AM AM (theo 
cùng điểm gốc A ) bằng cách sử dụng cơng thức ngọn trừ gốc MN AN AM 
  
. 
 Biểu diễn 1 1 2 2 ... n nAB AM AM AM     
   
 và 1 1 2 2 ... n nAC AM AM AM     
   
 với 
1 2
1 2
... n
n
k
 
  
    . Khi đĩ ta cĩ : 
 
AB kAC . 
Bài 1. Cho tam giác ABC , trên BC lấy điểm D sao cho 3
5
BD BC
 
. Gọi E là điểm thỏa điều kiện 
10 2 3 0EA EB EC  
   
. Chứng minh ba điểm , ,A E D thẳng hàng. 
Lời giải. Chọn điểm gốc là E . Ta cĩ : 
  3 3 5 2 3 (1)5 5BD BC ED EB EC EB ED EB EC       
        
. 
 10 2 0 10 2 3 (2)EA EB EC EA EB EC      
      
 Từ (1)(2) suy ra : 5 10ED EA 
 
 hay  
 
2ED EA . Vậy ba điểm , ,A E D thẳng hàng. 
Bài 2. Cho tam giác ABC và hai điểm ,M N thỏa điều kiện 3 0; 2 3 0MA MC NA NB NC    
      
. Chứng minh 
rằng 3 điểm , ,B M N thẳng hàng. 
 Lời giải. Chọn điểm B làm điểm gốc. Ta cĩ : 
  3 0 3 0 4 3 (1)MA MC BA BM BC BM BM BA BC         
          
. 
  2 3 0 2 3 0 6 3 (2)NA NB NC BA BN BN BC BN BN BA BC           
            
. 
Từ (1) và (2) suy ra : 4 6BM BN
 
 hay 3
2
BM BN
 
. Do đĩ 3 điểm , ,B M N thẳng hàng. 
Bài 3. Cho tam giác ABC cĩ P là trung điểm của AB và hai điểm ,M N thỏa các hệ thức 2 0MB MC 
  
 và 
2 0NA NC 
  
. Chứng minh ba điểm , ,M N P thẳng hàng. 
 Lời giải. Chọn điểm gốc là M . Ta cĩ : 
  2 0 2 0 3 2NA NC MA MN MC MN MN MA MC         
          
 Mà 2 0 2MB MC MC MB   
    
 nên 3 2MN MA MB MP  
   
 (Do P là trung điểm của AB ) 
 Hay 
 2
3
MN MP vì vậy ba điểm , ,M N P thẳng hàng. 
Bài 4. Cho hình bình hành ABCD . Gọi ,H K lần lượt là hai điểm trên cạnh ,BC BD sao cho 
1 1,
5 6
BH BC BK BD 
   
. Chứng minh ba điểm , ,A H K thẳng hàng. 
 Lời giải. Chọn điểm gốc là A . Ta cĩ : 
  1 1 5 5 5 4 (1)5 5BH BC AH AB AC AB AH AB AC AB AH AB AC           
            
. 
 Trung tâm Thăng Long TP.HCM 
Địa chỉ: 766/36 -766/38 CMT8, P5, Q. Tân Bình. 
Giáo viên: Huỳnh Nguyễn Luân Lưu (ĐT: 0907415107) 
 Nguyễn Thị Duy An 
Bài viết này đã được báo Tốn học tuổi trẻ đăng trên Đặc 
san số 7, tháng 5 năm 2013. 
    1 1 6 6 6 46 6BK BD AK AB AD AB AK AB AD AB AK AB AB AD            
             
. 
 Do tứ giác ABCD là hình bình hành nên ta cĩ : AB AD AC 
  
. Do đĩ : 6 4 (1)AK AB AC 
  
. 
 Suy ra : 5 6AH AK
 
 hay 6
5
AH AK
 
. Vậy ba điểm , ,A H K thẳng hàng. 
Bài 5. Cho tam giác ABC và hai điểm ,I J thỏa điều kiện 2 ; 3 2 0.IA IB JA JC  
    
 Chứng minh IJ đi qua trọng 
tâm tam giác ABC . 
Lời giải. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC , ta cĩ : 0GA GB GC  
   
. Chứng minh IJ đi qua trọng tâm G 
nghĩa là chứng minh , ,G I J thẳng hàng. Ta cĩ : 
  2 2 2 (1)IA IB GA GI GB GI GI GA GB        
        
. 
    3 2 0 3 2 0 5 3 2 (2)JA JC GA GJ GC GJ GJ GA GC         
          
. 
Từ (1)(2) , ta cĩ :  5 2 0 5GI GJ GA GB GC GI GJ       
       
. Suy ra ba điểm , ,G I J thẳng hàng hay IJ 
đi qua trọng tâm G của tam giác ABC . 
Bài 6. Cho tam giác ABC . Gọi , ,O G H lần lượt là tâm đường trịn ngoại tiếp, trọng tâm, trực tâm của tam giác 
ABC . Chứng minh rằng: , ,O G H thẳng hàng. 
H
G
CB
D
O
A
 Lời giải. Chọn điểm gốc là O . 
 Ta cĩ: 3  
   
OA OB OC OG (Do G là trọng tâm tam giác ABC ) (1) 
 Gọi D là điểm đối xứng với A qua O , ta được: 
 BH CD (cùng vuơng gĩc với AC) và CH BD (cùng vuơng gĩc với AB) 
  Tứ giác BHCD là hình bình hành. 
   
  
HB HC HD . 
      
     
OB OH OC OH OD OH . 
        
      
OH OD OB OC OA OB OC (O là trung điểm của AD) (2) 
 Từ (1) và (2) suy ra: 3.
 
OH OG . Vậy 3 điểm , ,O G H thẳng hàng. 
 Bài Tập 
Bài 1. Cho tam giác ABC . Gọi ,D I thỏa điều kiện 3 2 0DB DC 
  
 và 3 2 0IA IB IC  
   
. Chứng minh 3 điểm 
, ,A D I thẳng hàng. 
Bài 2. Cho tam giác ABC . Gọi , ,M N P thỏa điều kiện 2 2 0MB MC NA NC PA PB     
      
. Chứng minh 3 
điểm , ,M N P thẳng hàng. 
Bài 3. Cho tam giác ABC . Gọi ,M N lần lượt là trung điểm của ,AB AC và các điểm ,E F thỏa điều kiện 
1
3

 
ME MN ; 1
3

 
BF BC . Chứng minh 3 điểm , ,A E F thẳng hàng. 
Bài 4. Cho tứ giác ABCD cĩ AB CD . Các đường thẳng ,AC BD cắt nhau ở E và các đường thẳng ,AD BC cắt 
nhau ở F . Gọi ,M N theo thứ tự là trung điểm của các cạnh ,AB CD . Chứng minh rằng , , ,E F M N cùng nằm 
trên một đường thẳng. 
Bài 5. Trên các cạnh , ,BC CA AB của tam giác ABC tương ứng lấy các điểm 1 1 1, ,A B C . Gọi , ,a b cG G G theo thứ 
tự là trọng tâm của các tam giác 1 1 1 1 1 1, ,AB C C A B A B C và 1 2, ,G G G theo thứ tự là trọng tâm các tam giác 
1 1 1, , a b cABC A B C G G G . Chứng minh 3 điểm 1 2, ,G G G thẳng hàng.