Chuyên đề Đại số 9 - Tính giá trị của biểu thức đại số với điều kiện cho trước

 Chuyên đề tính giá trị của biểu thức đại số
 đại số 9 với điều kiện cho trước
 Người viết : tạ phạm hải
 Giáo viên trường THCS thị trấn Hưng hà
Đặt vấn đề
Bài tập tính giá trị của một biểu thức đại số có hai loại chính là :
Tính giá trị của biểu thức không có điều kiện dàng buộc giữa các biến số
Tính giá trị của biểu thức trong đó giá trị của các biến số lại bị dàng buộc bởi một hoặc nhiều điều kiện nào đó
 Ví dụ 1: Các bài tập sau đây là loại tính giá trị không có điều kiện
Tính f(2) biết f(x) = 5x5+ 4x4+ 3x3+ 2x2+ x + 1
Cho biểu thức :
 A = 
Tính giá trị của A nếu x = 2007
 Ví dụ 2 : Các bài tập sau đây là loại tính giá trị có điều liện
 1) Cho a3+ b3+ c3 = 3abc và abc ạ 0
 Tính giá trị của biểu thức B = 
 2) Cho a + b + c = 0 và a2+ b2+ c2 = 14 
 Tính giá trị của biểu thức : C = a4+b4+ c4
Giả sử m , n thoả mãn mn = 3 là hai nghiệm phân biệt của 
phương trình :
 x4 + a.x3 + b.x2 + a.x + 1 = 0
 Tính giá trị của biểu thức Q = 9a2 – 48b + 2007 .
 Việc luyện tập cho HSG có cách nhìn tổng quát về loại bài tập tính giá trị của biểu thức đại số nói chung và tính giá trị của biểu thức có diều kiện nói riêng là rất quan trọng .Nó giúp HS có một tư duy toán học chặt chẽ , chính xác , rèn luyện phép biến đổi đại số linh hoạt để HS tự tin khi gặp các loại toán này.Tuy nhiên chuyên đề này chỉ bàn tập trung vào loại tính giá trị với điều kiện cho trước . Loại tính giá trị không có điều kiện đã dược bàn tới nhiều trong sách giáo khoa và sách bài tập
 B . Nội dung chuyên đề
 Loại 1 : Không tính được giá trị cụ thể của các biến số
 Ví dụ 1 : Cho x+y = 3 Tính giá trị của biểu thức 
 A = x2+ y2+ 2xy – 4x – 4y + 1
 Với loại này ta cần biến đổi A thành gồm toàn các nhóm x + y rồi thay 3 vào :
 A = ( x + y)2- 4( x + y)+ 1 = 32- 4.3 + 1 = - 2
 Ví dụ 2 : Cho a3+b3+c3= 3abc ạ 0 . Tính giá trị của biểu thức :
	B = 
 Rõ ràng ta có thể đánh giá quan hệ giữa a, b, c từ giả thiết chứ không thể tính được cụ thể a , b , c.Để thuận lợi biến đổi biểu thức A về dạng dễ đánh giá hơn 
 B = 
 Từ giả thiết: ( a + b )3+ c3- 3ab( a + b ) – 3abc = 0
	 ( a + b + c)( a2+ 2ab + b2- ac – bc + c2) – 3ab( a + b + c) = 0
 ( a + b + c )( a2+ b2+ c2- ab – bc – ca ) = 0
 Vậy ta được a + b + c = 0 , hoặc a2+ b2+ c2 – ab – bc – ca = 0
 * Với a + b + c = 0 , ta được a + b = - c ; b + c = - a ; c + a = - b 
 Khi đó B = = - 1
 * Với a2+ b2+ c2- ab – bc – ca = 0
 2a2+ 2b2+ 2c2- 2ab – 2bc – 2ca = 0
 ( a – b)2+ ( b – c)2+ ( c – a)2 = 0 . Vậy a = b = c
 Khi đó B = = 8
 Ví dụ 3 : Cho 3 số dương x , y , z thoả mãn điều kiện xy + yz + zx = 1 
 Tính giá trị của biểu thức 
 A = 
 Ta thấy con số 1 trong điều kiện đã cho và trong biểu thiức có liên quan với nhau, hãy tính riêng từng bộ phận :
 1 + x2 = xy + yz + zx + x2 = y( x + z ) + x( x + z ) = ( x + y )( x + z )
 1 + y2 = xy + yz + zx + y2 = y( x + y) + z( x + y) = ( x + y )( y + z )
 1 + z2 = xy + yz + zx + z2 = y( x + z ) + z( x + z) = ( x + z )( y + z )
 Thay vào A rồi rút gọn , ta được :
 A = 2( xy + yz + zx ) = 2.1 =2 
 Loại 2 : tính được giá trị của các biến số
 Ví dụ 1 : Tính giá trị của biểu thức
 M = Biết : x2+ 9y2 = 6xy - 
 Ta chỉ cần giải phương trình x2+ 9y2 = 6xy - để tìm giá trị của x , y như sau
 Ta có x2+ 9y2 = 6xy - tương đương với phương trình . ( x – 3y)2+ = 0
 Từ đó tính được x = 3 , y = 1 chỉ việc thay vào biểu thức M rồi tính toán
 Ví dụ 2 : Cho các số x , y , z thoả mãn hệ 
 Tính giá trị của biểu thức Q = 
 Ta chỉ cần giải hệ phương trình đã cho để tìm x , y , z 
 Ta có 13 = ( x + y + z )3 = x3+ y3+ z3+ 3( x + y)( y + z)( z + x) mà x3+ y3+ z3 = 1
 Vì vậy : ( x + y)( y + z)( z + x) = 0 . Nên hoặc x = - y , hoặc y = - z , hoặc z = - x
Nếu x = - y thì x+ y = 0 và từ x + y + z = 1 ta có z = 1 nên z2 = 1 và x2+ y2 = 0 suy ra x = y = 0 khi đó Q = 04+ 05 + 16 = 1 . 
 Hoàn toàn tương tự cho các trường hợp còn lại ta vẫn được Q = 1 . Tóm lại là Q = 1 
 ví dụ 3 : Cho x = . Tính giá trị của biểu thức :
 P = x3 – 6x + 1993
 . Ta có :
 . 
 Vậy x3 – 6x = 40 . Ta có thể giải phương trình x3 – 6x – 40 = 0 để tìm x,
 nhưng việc đó lại là không cần thiết do cấu trúc của biểu thức P .
 Từ đó P = x3 – 6x + 1993 = 40 + 1993 = 2033
Loại 3 : đại số hoá một số biểu thức số để tính toán 
 Ví dụ 1 : Tính giá trị của biểu thức :
 A = 
 Giải : Đặt ta có 
 Sau đó thay giá trị của a vào tính toán ta được kết quả là A = 
 Ví dụ 2 : Tính giá trị của biểu thức 
Giải : Đặt Ta có và 
 Theo định lý Vi-et thì là các nghiệm của phương trình bậc hai : X2-X – 1 = 0 Đặt 
 Và ta có công thức truy hồi là :
 Đặt ta có : , (*) với nẻ N 
 Dễ tính được sau đó từ công thức (*) ta tính được : 
 v.vĐây chính là dãy Phibonaci và là số hạng tổng quát của dãy này :
 0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,233 ,cứ như vậy ta tính được 
 Loại bài tập này rất phong phú,đa dạng mà trên đây chỉ một vài ví dụ cơ bản . Để luyện tập chuyên đề mời các bạn làm một số bài tập luyện tập sau đây :
 Bài tập 1 : Cho a + b = ab . 
 Tính giá trị của biểu thức A = ( a3+ b3- a3b3 ) + 27a6b6  
 Bài tập 2 : Cho a và b là các số thoả mãn 
	 Tính giá trị của biểu thức B = ( a2 + b2 )3
 Bài tập 3 : Cho 3x – y = 3z và xy ạ 0
	 2x + y = 7z 	
 Tính giá trị của biểu thức 
 Bài tập 4 : Cho a3 + b3 + c3 = 3abc và a + b + c ạ 0
Tính giá trị của biểu thức : 
 Bài tập 5 : Cho và 
 Tính giá trị của biểu thức 
 Bài tập 6 : Cho và 
 Tính giá trị của 
 Bài tập7: Cho x, y , z là các số dương thoả mãn 
 Tính giá trị của biểu rhức : 
 Bài tập 8 : Cho 
 Tính giá trị của K = x + y
 Bài tập 9 : Cho 
 Tính giá trị của biểu thức M = x3+ y3+ z3
 	theo a , b , c
 Bài tập 10 : Cho các số dương x , y , z thoả mãn 
	Tính giá trị của biểu thức : N = xy + 2yz + 3zx
Bài tập 11: Cho a , b , c là 3 số phân biệt sao cho các phương trình : 
x2 + a.x + 1 = 0 và x2 + bx + c = 0 có nghiệm chung . Đồng thời các phương trình x2 + x + a = 0 và x2 + cx + b = 0 cũng có nghiệm chung .
 Tính giá trị của biểu thức P = a + b + c 
Hết