Chuyên đề Đại số Tổ hơp - Ban cơ bản, nâng cao

Đại số tổ hợp
I. Hai qui tắc đếm
Bài 1. Một nhóm học sinh có 8 em học sinh có học lực trụng bình, 7 em có học lực khá, 5 em có học lực giỏi. Có bao nhiêu cách để chọn được từ nhóm học sinh đó:
a. Một em có học lực bất kỳ
b. Hai em có học lực khác nhau
c. Ba em có học lực khác nhau
Bài 2. Một công ty có 5 cổng ra vào. Một người khách đi đến công ty, hỏi:
a. Có bao nhiêu cách ra vào công ty đó?
b. Có bao nhiêu cách ra vào công ty đó biết người khách phải vào một cổng và ra bằng cổng khác.
Bài 3. Số điện thoại của một huyện A có chữ số bắt đầu là 85. Hỏi huyện đó có tối đa bao nhiêu máy điện thoại (mỗi số điện thoại gồm 6 chữ số tương ứng với một máy điện thoại)
Bài 4: Với các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu:
1) Số lẻ gồm 4 chữ số khác nhau?
2) Số chẵn gồm 4 chữ số bất kỳ? 
Bài 5: Cho 8 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Từ 8 chữ số trên có thể lập được bao nhiêu số, mỗi số gồm 4 chữ số đôi một khác nhau và không chia hết cho 10. 
Bài 6. Cho tập hợp A gồm 6 chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6. Hỏi có thể thành lập từ A bao nhiêu:
a. Số tự nhiên có 4 chữ số?
b. Số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau?
c. Số tự nhiên chẵn có 4 chữ số khác nhau?
d. Số tự nhhiên có 4 chữ số khác nhau trong đó nhất thiết phải có mặt chữ số 5?
e. Số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau được bắt đầu bởi chữ số 1
f. Số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau có tận cùng không là chữ số 5 
Bài 7. Bài 4. Cho tập hợp A gồm 7 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. Hỏi có thể thành lập từ A bao nhiêu:
a. Số tự nhiên có 4 chữ số?
b. Số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau?
c. Số tự nhiên chẵn có 4 chữ số khác nhau?
d. Số tự nhhiên có 4 chữ số khác nhau trong đó nhất thiết phải có mặt chữ số 5?
e. Số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau được bắt đầu bởi chữ số 1
f. Số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau có tận cùng không là chữ số 5 
g. Số tự nhiên lẻ có 4 chữ số khác nhau nhỏ hơn 4000?
Bài 8. Từ tập hợp số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
a. Có bao nhiêu số có 5 chữ số khác nhau ? Trong đó có bao nhiêu số không được bắt đầu bởi các số 123 ?
b. Có bao nhiêu số có 5 chữ số khác nhau mà chữ số 1 và 5 luôn đứng cạnh nhau ?
Bài 9. Từ tập hợp các số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 
a. Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số
b. Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau có tận cùng bởi chữ số 6 và chia hết cho 3.
Bài 10: Một người có 6 cái áo, trong đó có 3 áo sọc và 3 áo trắng; có 5 quần, trong đó có 2 quần đen; và có 3 đôi giày, trong đó có 2 đôi giầy đen. Hỏi người đó có bao nhiêu cách chọn mặc áo - quần - giày, nếu:
	1) Chọn áo, quần và giày nào cũng được.
	2) Nếu chọn áo sọc thì với quần nào và giày nào cũng được; còn nếu chọn áo trắng thì chỉ mặc với quần đen và đi giày đen. 
Bài 11. Với các chữ số 0,1,2,3,4,5, có thể lập được bao nhiêu số có 5 chữ số khác nhau?
Bài 12. Dùng 5 chữ số 2,3,4,6,8 để viết thành số gồm 5 chữ số khác nhau. Hỏi:
a. Bắt dầu bởi chữ số 2.
b. Bắt đầu bởi chữ số 36
c. Bắt đầu bởi chữ số 482
Bài 13. Dùng 6 chữ số 1,2,3,4,5,6 để viết thành số tự nhiên gồm 4 chữ số khác nhau. Hỏi:
a. Có bao nhiêu số như vậy
b. Có bao nhiêu số bắt đầu bởi chữ số 1
Bài 14. Cho 8 chữ số 0,1,2,3,4,5,6,7. Hỏi có thể lập được bao nhiêu số có 6 chữ số khác nhau trong đó nhất thiết phải có mặt chữ số 4.
Bài 15. Với các chữ số 0,1,2,3,4,5,6 có thể lập được bao nhiêu số có 5 chữ số khác nhau trong đó nhất thiết phải có mặt chữ số 5.
Bài 16. Từ các chữ số 1,2,3,4,5,6,7,8,9 thiết lập tất cả các số có 9 chữ số khác nhau. Hỏi trong các số thiết lập được có bao nhiêu số mà chữ số 9 đứng chính giữa.
Bài 17. Cho A = {0,1,2,3,4,5} có thể lập được bao nhiêu số chẵn, mỗi số có 4 chữ số khác nhau.
Bài 18. 
a. Từ các chữ số 4,5,6,7 có thể lập được bao nhiêu số có các chữ số phân biệt.
b. Từ các chữ số 0,1,2,3,4,5 có thể lập được bao nhiêu số chẵn gồm 5 chữ số đôi một khác nhau?
Bài 19. Cho tập E = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}
Hỏi có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau chia hết cho 5?
II. Bài tập về hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp
Bài 1. Có 5 bạn học sinh được sắp xếp thành một hàng ngang. Có bao nhiêu cách sắp xếp như vậy ?
Bài 2. Có 5 quyển sách tham khảo môn Toán, 4 quyển sách ham khảo môn Lý và 6 quyển sách tham khảo môn Hoá. Xếp những quyển sách đó vào một ngăn trên giá sách theo từng môn. Hỏi có bao nhiêu cách xếp như vậy.
Bài 3. Trong một đám cưới, cô dâu chú rể mời 4 người bạn đứng thành 1 hàng để chụp ảnh chung với mình. Có bao nhiêu cách sắp xếp:
a. Cô dâu đứng cạnh chú rể.
b. Cô dâu không đứng cạnh chú rể.
c. Cô dâu đứng bên trái chú rể.
Bài 4. Với các chữ số 0, 1, 3, 6, 9 có thể lập được bao nhiêu số có 4 chữ số khác nhau và:
a. Không bắt đầu bởi số 13.
b. Là một số chẵn lớn hơn 5000
c. Chia hết cho 3
Bài 5. Có một hộp trong đó có đựng 7 quả cầu màu đỏ và 3 quả cầu màu xanh. Lấy từ trong hộp ra 3 quả cầu:
a. Có bao nhiêu cách lấy ra như vậy ?
b. Có bao nhiêu cách lấy để trong đó có 2 quả cầu đỏ?
c. Có bao nhiêu cách lấy để trong đó có nhiều nhất 2 quả cầu đỏ?
d. Có bao nhiêu cách lấy để trong đó có ít nhất 1 quả cầu đỏ?
Bài 6. Một lớp học có 20 bạn học sinh nữ trong đó có bạn Mai và 16 bạn học nam trong đó có bạn Thắng.
1. Chọn ngẫu nhiên 3 học sinh của lớp?
a. Có bao nhiêu cách chọn như vậy?
b. Có bao nhiêu cách để có được 3 học sinh cùng phái?
c. Có bao nhiêu cách để có được 3 học sinh khác phái?
2. Chia lớp thành 4 tổ, mỗi tổ có 9 học sinh
a. Có bao nhiêu cách chia như vậy?
b. Có bao nhiêu cách chia để số học sinh nam và nữ ở các tổ đều nhau?
3. Chọn một ban cán sự lớp gồm 5 em học sinh, ít nhất 2 nam và 2 nữ:
a. Có bao nhiêu cách chọn như vậy?
b. Có bao nhiêu cách chọn nếu Thắng và Mai không chịu làm việc chung?
c. Có bao nhiêu cách chọn néu Thắng và Mai cùng làm việc chung?
Bài 6. Có 7 bạn học sinh trong đó có 4 bạn nam và 3 bạn nữ. Sắp xếp các bạn đó thành 1 hàng ngang.
a) Có bao nhiêu cách xếp như vậy?
b) Có bao nhiêu các sắp xếp để các bạn nam và nữ đứng xen kẽ?
c) Có bao nhiêu cách xếp để các bạn nam đứng liền nhau?
Bài 7. Có bao nhiê cách sắp xếp 5 bạn học sinh trong đó có bạn Ngọc và Lan vào ngồi vào một ghế có 5 chỗ sao cho:
a) Ngọc và Lan luôn ngồi cạnh nhau.
b) Ngọc và Lan không ngồi cạnh nhau.
c) Ngọc và Lan luôn ngồi ở hai đầu ghế
Bài 8. Có bao nhiêu cách phân phối 15 phần thưởng cho 3 học sinh giỏi sao cho học sinh thứ 1 có 2 phần thưởng, học sinh thứ 2 có 3 phần thưởng, học sinh thứ 3 có 10 phần thưởng?
Bài 9. Cho các số 1, 2, 3, 4, 5. Hỏi có thể viết được bao nhiêu số tự nhiên:
a) Có 5 chữ số
b) Có 5 chữ số khác nhau và bắt đầu bởi số 12?
c) Có 5 chữ số khác nhau chia hết cho 2 và bắt đầu bởi chữ số 1?
d) Có 5 chữ số khác nhau và không bắt đầu bởi chữ số 1,2,3?
e) Có 8 chữ số trong đó chữ số 1 có mặt đúng 3 lần, chữ số 2 có mặt 2 lần và mỗi chữ số còn lại có mặt đúng một lần?
f) Có 3 chữ số khác nhau không lớn hơn 345?
Bài 10. Cho các số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. Hỏi có thể viết được bao nhiêu số tự nhiên:
a) Có 5 chữ số?
b) Có 5 chữ số khác nhau, trong đó có bao nhiêu số chẵn?
c) Có 4 chữ số khác nhau và nhỏ hơn 4000?
d) Có 4 chữ số khác nhau lớn hơn 5000 và là số chẵn?
e) Có 4 chữ số khác nhau và chữ số hàng chục là 2?
f) Có 4 chữ số khác nhau, trong đó luôn có mặt chữ số 4 và chữ số đơn vị là 2?
g) Có 9 chữ số trong đó chữ số 1 có mặt đúng 3 lần, mỗi chữ số còn lại có mặt đúng một lần?
Bài 11. Cho các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5. Có thể viết được bao nhiêu số tự nhiên:
a) Có 3 chữ số, trong đó nhất thiết có mặt chữ số 1.
b) Có 3 chữ số khác nhau, trong đó không có mặt chữ số 1.
c) Có 3 chữ số khác nhau chia hết cho 5.
d) Có 3 chữ số khác nhau chia hết cho 0
e) Có 8 chữ số trong đó chữ số 1 có mặt đúng 3 lần, mỗi chữ số còn lại có mặt đúng một lần?
Bài 12. Một tổ học sinh gồm 5 nam và 5 nữ xếp thành một hàng dọc
a) Có bao nhiêu cách sắp xếp khác nhau?
b) Có bao nhiêu cách sắp xếp sao cho không có học sinh cùng giới đứng kề nhau?
Bài 13. Có viên bi xanh, 5 bi đỏ, 3 bi vang. Có bao nhiêu cách lấy ra 4 viên bi:
a) Có đúng 2 viên bi xanh?
b) Số bi xanh bằng số bi đỏ?
c) Mỗi loại bi có ít nhất một viên (có đủ ba màu)?
d) Có đúng 2 màu?
Bài 14. Thầy giáo dạy Toán có 30 câu hỏi khác nhau gồm 5 câu hỏi khó, 10 câu hỏi trung bình, 15 câu hỏi dễ. Từ 30 câu hỏi đó có thể lập được bao nhiêu đề kiểm tra, mỗi đề gồm 5 câu hỏi sao cho trong mối đề nhất thiết phải có đủ cả ba loại câu hỏi (khó, TB, dễ) và số mỗi câu hỏi dễ không ít hơn 2?
Bài 15. Rút gọn các biểu thức sau:
a) M = 	Với n ẻ N, n ³ 2.
b) N = 	với n ẻ N, n ³ 6
c) P = 
d) Q = 
e) R = 
Bài 16. Chứng minh rằng:
a) " m, n ẻ Z+ . 
b) 
c) 
Bài 17. Giải các phương trình sau:
	a) - 4 = 	b) 
	c) 	d) 
	e) 
Bài 18. Giải các phương trình sau:
	1) + 50 = 	2) 
	3) 	4) 
	5) 	6) 
	7) 	8) = 9x2 - 14x
	9) 	10) 
	11) 	12)