Chuyên đề Đại số tổ hợp lớp 11 - Chủ đề: Công thức nhị thức Newton

Chuyên đề Đại số tổ hợp lớp 11 Th.s Nguyễn Văn Hải 
 CHỦ ĐỀ: CƠNG THỨC NHỊ THỨC NEWTON 
I. Cơng thức nhị thức Newton: 
  0 1 1 2 2 2 2 2 2 1 1
0
n
n n n n n n n n n n k n k k
n n n n n n n
k
a b C a C a b C a b C a b C ab C b C a b      

         . 
Cơng thức số hạng tổng quát: kknknk baCT

 1 , 0 ≤ k ≤ n. 
Chú ý: 1 a b  ta cĩ 0 1 2 12 ... ...n k n nn n n n n nC C C C C C
       
 1; 1a b   ta cĩ 
0 1 20 ... ( 1) ... ( 1)k k n nn n n n nC C C C C         
  0 1 2 2 1 11 n n n n nn n n n nx C C x C x C x C x        
  0 1 2 2 1 1 11 ( 1) ( 1)n n n n n n nn n n n nx C C x C x C x C x           
II. Tam giác Pa-xcan: 
0
1
2 2 2
3 3 2 2 3
4 4 3 2 2 3 4
5 5 4 3 2 2 3 4 5
( ) 1 1
( ) 1 1
( ) 2 1 2 1
( ) 3 3 1 3 3 1
( ) 4 6 4 1 4 6 4 1
( ) 5 10 10 5 1 5 10 10 5 1
a b
a b a b
a b a ab b
a b a a b ab b
a b a a b a b ab b
a b a a b a b a b ab b
 
  
   
    
      
      
Các hệ số trong tam giác Pa-xcan là các hệ số của khai triển nhị thức ( )na b 
III. Bài tập 
Bài 1. Tìm số hạng độc lập với x trong khai triển nhị thức 
18
4
2
x
x
  
 
Bài 2. Tìm số hạng khơng chứa x trong khai triển nhị thức của 
8
3 1x
x
  
 
Bài 3. Tìm hệ số của 3x trong khai triển nhị thức Newton: 
6
2
2
x
x
  
 
. 
Bài 4. Biết hệ số của x2 trong khai triển (1 3 )nx là 90 . Tìm số nguyên dương n ? 
Bài 5. Tìm hệ số của 5 8x y trong khai triển nhị thức Newton của 13( )x y 
Bài 6. Tìm số hạng khơng chứa x rtrong khai triển nhị thức Newton của 
18
5
1
2 , 0x x
x
 
  
 
Bài 7. Tìm số hạng khơng chứa x trong khai triển 2
3
1
n
x
x
  
 
 biết số nguyên dương n thỏa: 1 3 13n nC C n  . 
Bài 8. Tìm số hạng khơng chứa x trong khai triển của 2
4
1
n
x
x
  
 
, biết số nguyên dương n thỏa: 
0 1 22 109n n nC C A   
Bài 9. ((ĐH_Khối A 2012) Cho n là số nguyên dương thỏa mãn 1 35 nn nC C
  . Tìm số hạng chứa x5 trong khai 
triển nhị thức Niu-tơn 
2 1
14
n
nx
x
 
 
 
, x ≠ 0. 
Bài 10. Tìm hệ số của số hạng chứa 8x trong khai triển thành đa thức của biểu thức  
821 1P x x     
Bài 11. (ĐH_Khối B 2007) Tìm hệ số của số hạng chứa 10x trong khai triển nhị thức Newton của  2 nx
biết: 3nCn
03n1Cn
1+3n2Cn
23n3Cn
3+  +(1)nCn
n=2048. 
Chuyên đề Đại số tổ hợp lớp 11 Th.s Nguyễn Văn Hải 
Bài 12. (ĐH_Khối A 2006) Tìm số hạng chứa x26 trong khai triển nhị thức Newton của 
n
x
x





  7
4
1
, biết rằng 
122012
2
12
1
12  
n
nnn CCC  
Bài 13. (ĐH_Khối D 2004) Tìm số hạng khơng chứa x trong khai triển 
7
4
3 1







x
x với x > 0. 
Bài 14. (ĐH_Khối A 2003) Tìm số hạng chứa x8 trong khai triển nhị thức Newton của 
n
x
x





  5
3
1
, biết 
rằng  37314   nCC nnnn , (n nguyên dương, x > 0) 
Bài 15. (ĐH_Khối A 2002) Cho khai triển nhị thức 
nx
n
n
nxx
n
n
xnx
n
nx
n
nxx
CCCC 



























































3
1
32
1
13
1
2
1
12
1
032
1
22222222  
Biết rằng trong khai triển đĩ 13 5 nn CC  và số hạng thứ 4 bằng 20n, tìm n và x. 
Bài 16. Từ khai triển biểu thức 17(3 4)x  thành đa thức, hãy tính tổng các hệ số của đa thức nhận được. 
Bài 17. Chứng minh rằng: 1011 1 chia hết cho 10 
Bài 18. (ĐH_Khối D 2007) Tìm hệ số của 5x khai triển thành đa thức của x(12x)5+x2 (1+3x)10. 
Bài 19. (ĐH_Khối D 2003) Với n là số nguyên dương, gọi a3n3 là hệ số của x3n3 trong khai triển thành đa 
thức của (x2+1)n(x+2)n. Tìm n để a3n3=26n. 
Bài 20. (ĐH_Khối A 2008) Cho khai triển (1+2x)n=a0+a1x+  +anxn, trong đĩ nN* và các hệ số a0, a1,an 
thỏa mãn hệ thức 4096
22
1
0  n
naaa  . Tìm số lớn nhất trong các số a0, a1,an. 
Bài 21. (ĐH_Khối A 2005) Tìm số nguyên dương n sao cho: 
   20052.122.42.32.2 12 1224 1233 1222 121 12   nnnnnnn CnCCCC  
Bài 22. (ĐH_Khối B 2003) Cho n là số nguyên dương. Tính tổng nn
n
nnn Cn
CCC
1
12
3
12
2
12 12
3
1
2
0








 
Bài 23. (ĐH_Khối A 2007) Chứng minh rằng 
2
1 3 5 2 1
2 2 2 2
1 1 1 1 2 1
.
2 4 6 2 2 1
n
n
n n n nC C C Cn n
     

 . 
Bài 24. (ĐH_Khối D 2008) Tìm số nguyên dương n thỏa mãn hệ thức 1 3 2 12 2 2 2048
n
n n nC C C
    
Bài 25. (ĐH_Khối D 2002) Tìm số nguyên dương n sao cho 0 1 22 4 2 243n nn n n nC C C C     . 
Bài 26. Tìm số nguyên dương n sao cho 1 2 3 8 9 10... 1023n n n n n nn n n n n nC C C C C C
            
Bài 27. Với n là số nguyên dương. Chứng minh rằng: 1 2 2 1 11 4 4 ... 4 4 5n n n n nn n n nC C C C
       
Bài 28. Tính tổng 0 2 4 2012 20142014 2014 2014 2014 2014...S C C C C C      
Bài 29. Tính tổng 1 2 3 1005 10062013 2013 2013 2013 2013...S C C C C C      
Bài 30. Tính tổng 0 1 2 2 2013 2013 2014 20142014 2014 2014 2014 20144 4 ... 4 4S C C C C C      . 
Bài 31. Tính tổng 1 2 3 2013 20142014 2014 2014 2014 20141. 2. 3. .... 2013. 2014.S C C C C C      . 
Bài 32. Tính tổng 2 1 2 2 2 3 2 2013 2 20142014 2014 2014 2014 20141 2 3 2013 2014S C C C C C     
Bài 33. Tính tổng        2 2 2 20 1 2013 20142014 2014 2014 2014C C ... C CS      
Bài 34. Tính tổng 0 2013 1 2012 2 2011 2013 2013 02014 2014 2014 2013 2014 2012 2014 2014 2014 1. . . ... . ... .
k k
kS C C C C C C C C C C

       
Chuyên đề Đại số tổ hợp lớp 11 Th.s Nguyễn Văn Hải 
Bài 35. Tính tổng 0 2 4 6 20142014 2014 2014 2014 2014
1 1 1 1
. . . ..
2 3 4 1008
S C C C C C      
Bài 36. Tính tổng 
1 2 2013 0 1 2 2012
2013 2013 2013 2012 2012 2012 2012
1 1 1 1007 1 1 1 1
... ...
2013
S
C C C C C C C
 
         
 
Bài 37. Tính tổng   11 2 3 42 3 4 ... 1 n nn n n n nC C C C nC

      
Bài 38. Tính tổng 0 1 22. 3. ... ( 1). nn n n nC C C n C     
Bài 39. Tính tổng 2 3 4 2 22.1. 3.2. . 4.3. . ... .( 1). . , 3n nn n n nC C x C x n n C x n
      
Bài 40. Chứng minh rằng: 
1113221 )1(.............3..2   nnn
nk
n
k
nnn xnCxnCxkCxCxC 
Bài 41. Chứng minh rằng: 
2 4 6 2 2 1
2 2 2 22 4 6 2 .2 .
n n
n n n nC C C nC n
     
Bài 42. Chứng minh rằng:  0 2 2 4 4 2 2 2 1 22 2 2 23 3 ... 3 2 2 1n n n nn n n nC C C C       
Bài 43. Chứng minh rằng 
2 2 4 4 6 6 2 2 2 1
2 2 2 21.2 2.4 3.6 .2 (3 1).
n n n
n n n nC C C n C n
      
Bài 44. Chứng minh rằng 
3 4 5 31.2.3 2.3.4 3.4.5 ( 2)( 1) ( 1)( 2).2 .n nn n n nC C C n n nC n n n
         
Bài 45. Chứng minh rằng: 
1
0 1 21 1 1 2 1. . ... .
2 3 1 1
n
n
n n n nC C C Cn n
 
    
 
Bài 46. Chứng minh rằng:
1
0 2 4 2
2 2 2 2
1 1 1 2
...
3 5 2 1 2 1
n
n
n n n nC C C Cn n

    
 
Bài 47. Chứng minh rằng:
2 1
0 2 4 2
2 2 2 2
1 1 1 1 .2 1
...
2 4 6 2 2 (2 1)(2 2)
n
n
n n n n
n
C C C C
n n n
 
    
  
Bài 48. Chứng minh rằng:
2 4 6 2 2
1 3 5 2 1
2 2 2 2
2 2 2 2 3(3 1)
...
2 4 6 2 2(2 1)
n n
n
n n n nC C C Cn n
     

Bài 49. Chứng minh rằng: 
1
0 1 21 1 1 1 2 1...
3 6 9 3 3 3 3
n
n
n n n nC C C Cn n
 
    
 
Bài 50. Chứng minh rằng: 
1
1 31 1 1 2 11 ...
2 3 1 1
n
n
n n nC C Cn n
 
    
 
Bài 51. Chứng minh rằng: 
 0 1 2 3 11 1 1 1 1...
2 4 6 8 2 2 2 2
n
n
n n n n nC C C C Cn n

     
 
Bài 52. Chứng minh rằng: 1 2 31 2 3 ... ...
2 3 4 1 1
k n
n n n n n
k n
C C C C C
k n
     
 
Bài 53. Chứng minh rằng: 0 1 21 1 1 1 1. . . ... . ...
2 3 4 2 2
k n
n n n n nC C C C Ck n
     
 
Bài 54. Chứng minh rằng: 
   0 2 1 3 2 1
11 1 1
2 2 2 ... 2 1 1
2 3 1 1
n
nn n
n n n nC C C Cn n
          
Bài 55. Chứng minh rằng:
2
0 1 21 1 1 1 2 3...
1.2 2.3 3.4 ( 1).( 2) ( 1).( 2)
n
n
n n n n
n
C C C C
n n n n
  
    
   
Bài 56. Chứng minh rằng:
4 2
0 1 21 1 1 1 2 7 14...
1.2.3 2.3.4 3.4.5 ( 1).( 2)( 3) 2( 1).( 2)( 3)
n
n
n n n n
n n
C C C C
n n n n n n
   
    
     