Chuyên đề Đại số tổ hợp nhị thức Niu-Tơn

----------------------------------------------------------------------------------------- 
Giáo viên biên soạn: Trương Ngọc Hạnh Hậu lộc 2 
1 
CHUYÊN ĐỀ ĐẠI SỐ TỔ HỢP NHỊ THỨC NIU-TƠN 
Nội dung 
 Đ1: Hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp và ứng dụng . 
  Lý thuyết: * Qui tắc cộng, qui tắc nhân. 
 * Hoán vị, chỉnh hợp; tổ hợp. 
 Các dạng toán ứng dụng. 
 1.1. Dạng 1: Rút gọn biểu thức đại số tổ hợp. 
 1.2. Dạng 2: Chứng minh đẳng thức; bất đẳng thức đại số tổ hợp. 
 1.3. Dạng 3: Giải phương trình; bất phương trình đại số tổ hợp. 
 1.4. Dạng 4: Các bài toán đếm số phương án. 
 Đ2: Nhị thức Newtơn và ứng dụng. 
  Lý thuyết: Nhị thức Newtơn. 
  Các dạng toán ứng dụng. 
 2.1. Dạng 1: Tính tổng tổ hợp. 
 2.2. Dạng 2: Chứng minh đẳng thức; bất đẳng thức đại số tổ hợp. 
 2.3. Dạng 3: Xác định hệ số của số hạng trong khai triển nhị thức Newtơn. 
 Đ1: hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp và ứng dụng. 
 Lý thuyết: 
I. Qui tắc cộng, qui tắc nhân. 
1. Quy tắc cộng: Nếu có m1 cách chọn đối tượng x1, có m2 cách chọn đối tượng x2,... mn 
cách chọn đối tượng xn và nếu cách chọn đối tượng xi không trùng với đối tượng xj 
nào( i khác j; i, j = 1,2,....,n) thì có m1 + m2 +....+ mn cách chọn một trong các đối tượng 
đã cho. 
2. Quy tắc nhân: Nếu một phép chọn được thực hiện qua n bước liên tiếp, bước 1 có m1 
cách, bước 2 có m2 cách,.... bước n có mn cách, thì phép chọn đó được thực hiện theo 
m1.m2...mn cách khác nhau. 
II. Hoán vị, chỉnh hợp; tổ hợp. 
1. Hoán vị: * ĐN: Cho tập hợp A gồm n phần tử ( n 1). Mỗi cách sắp thứ tự n phần tử 
của tập hợp A được gọi là một hoán vị của n phần tử đó. 
 * Số hoán vị của n phần tử : 
 Pn = n! = 1.2.3.4.5.n ( ; n 1)  n N ; Qui ước 0! 1 . 
2. Chỉnh hợp: * ĐN: Cho tập hợp A gồm n phần tử. Mỗi bộ gồm k (1  k  n) phần tử sắp 
thứ tự của tập hợp A được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử của A. 
 * Số chỉnh hợp chập k của n phần tử : 
 ( 1)...( 1)   kn n n n kA (1 k  n) 
----------------------------------------------------------------------------------------- 
Giáo viên biên soạn: Trương Ngọc Hạnh Hậu lộc 2 
2 
! 
( )!


nkAn n k 
 (1 k n) 
3. Tổ hợp: * ĐN: Cho tập hợp A gồm n phần tử. Mỗi tập con gồm k (0 k  n) phần tử 
của A được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử đã cho. 
 * Số tổ hợp chập k của n phần tử : 
 !
!( )!


k
n
n
k n kC (0 k n) 
 Các dạng toán thường gặp: 
 1.1. Dạng 1: Rút gọn biểu thức đại số tổ hợp. 
 1.2. Dạng 2: Chứng minh đẳng thức; bất đẳng thức đại số tổ hợp. 
 1.3. Dạng 3: Giải phương trình; bất phương trình đại số tổ hợp. 
 1.4. Dạng 4: Các bài toán đếm số phương án. 
 1- Dạng 1: rút gọn biểu thức đại số tổ hợp. 
1. Phương pháp: 
 Sử dụng các công thức sau để rút gọn biểu thức đại số tổ hợp: 
 * ! nP n ( *n N ) 
 * ! 
( )!


nkAn n k
 (1 k  n) 
 * !
!( )!


nkCn k n k
 (0 k n) 
 2. Một số ví dụ: 
 Rút gọn biểu thức: 1 !2
 

n kA n kk
Bài giải 
Ta có nhận xét: 
 
1 1 1
! 1 ! !

 

k
k k k
 Suy ra 
 
1 1 1 1 1 1 1 1... 1
! 1! 2! 2! 3! 1 ! ! !2

         
n kAn k n n nk
 Rút gọn biểu thức:
6 5
4
 A An nA
An
 Bài giải 
 Ta có 2( 1)...( 5) ( 1)...( 4) 4 ( 4)( 5) ( 4)
( 1)...( 3)
    
       
 
n n n n n nA n n n n
n n n
 Rút gọn biểu thức: 
2
1 2 ...1 1    
nC Cn nA C nn nC Cn n
 Bài giải: 
Ví dụ 1 
Ví dụ 2
Ví dụ 3 
----------------------------------------------------------------------------------------- 
Giáo viên biên soạn: Trương Ngọc Hạnh Hậu lộc 2 
3 
 Ta lần lượt có: 1 nC n 
 1
!
2 2!.( 2)!2 2.1 !
1!.( 1)!
 


n
n
C nn
nCn n
...
1 11 !
1!.( 1)!
 


nCnn n nCn n
( 1)suy ra : 1 ... 2 1 .
2

      
n nA n n 
 3. Bài tập tự luyện: 
 Rút gọn biểu thức: 
1
1
( 1)
 

n
n
k
C
k k
Rút gọn biểu thức: .5! ( 1)! 
( 1) 3!( 1)!

 
mA
m m m
 Rút gọn biểu thức: 
12 11 10 9
49 49 17 17
10 8
49 17
-   A A A AB
A A
 2-Dạng 2: chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức 
 đại số tổ hợp. 
1. Phương pháp: Thực hiện các bước sau: 
  Sử dụng các công thức: 
 * ! nP n ( *n N ) 
 * ! 
( )!


nkAn n k
 (1 k n) 
 * !
!( )!


k
n
nC
k n k
 (0 k  n) 
 * -1 (0 )-1 -1   
k k kC C C k nn n n 
 đưa đẳng thức, bất đẳng thức đại số tổ hợp thành đẳng thức, bất đẳng thức đại 
 số thông thường. 
  Chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức đại số thông thường suy ra đpcm. 
2. Một số ví dụ: 
 CMR với k, n  N, 3 k  n ta có: 
 2 1 2    
n n nA A k An k n k n k 
Ví dụ 1 
----------------------------------------------------------------------------------------- 
Giáo viên biên soạn: Trương Ngọc Hạnh Hậu lộc 2 
4 
Bài giải 
( )! ( )! ( )! 12 1 1
( 2)! ( 1)! ( 2)! 1
2 2( )! ( )! ( )! 2
( 1)( 2)! ( 1).( 2)! !
 
 
 
 
             
  
      
VP
n k n k n kn nVT A An k n k k k k k
k n k k n k k n k nk An kk k k k k k
 Chứng minh rằng: 
12 2( !) ( ) ( , 2)
2

   
nn nn n n Z n (1) 
Bài giải 
 Biến đổi BĐT (1) về dạng: 
12 2(1.2.3.... ) ( )
2

 
nn nn n 
 2
1 2[(1. )2.( 1)].3.( 2)..... ( 1)] ( )
2

      
nn nn n n n k n k (2) 
a.Ta có đánh giá: ( 1) (*) ( , 1)     k n k n k n k do 
(*) ( 1) ( 1) 0 ( )( 1) 0        n k k k n k k đúng , 1  k n k 
 áp dụng BĐT (*) với k = 2,, n -1 ta được 
1.
2.( 1)
....
( 1)
...
.1










 
  

n n
n n
k n k n
n n
 n bất đẳng thức. 
Suy ra 2 a)[(1. )2.( 1)].3.( 2)..... ( 1)...( 1).2( .1)]      nnn n n k n k n n 
 b. Sử dụng BĐT Côsi tacó : 
1 12 2( 1) ( ) ( )
2 2
   
   
k n k nk n k (**) 0,  k n k 
 áp dụng BĐT (**) với k =1,2,, n ta được 
Ví d 2 
----------------------------------------------------------------------------------------- 
Giáo viên biên soạn: Trương Ngọc Hạnh Hậu lộc 2 
5 
2
2
2( 1)
1 BDT
2
1
2
211.
2
21
2
........
( 1)
........
( 1)2
211.
2
     

 
     


  
   


 
   

  
    


  
 

n
n n
n
nn
n
k n k
n
nn
Suy ra 
21(1. )[2.( 1)].3.( 2)..... ( 1)...( 1)2( .1)
2
 
 
 

     
nnn n n k n k n n b) 
Từ a) và b) suy ra (2) được chứng minh , suy ra (1) được chứng minh.. 
 CMR 
 a. 1 2 33 3 3
      
k k k k kC C C C Cn n n n n 
 b. -1 -22 (2 )2     
k k k kC C C C k nn n nn 
 c. 1 2 3 3 22 5 4 3 2
         
k k k k k kC C C C C Cn n n n n n 
 Bài giải 
 a. Ta có : 
) )1 1 2 2 3( 2( ) (
1 2 1 1 22 ( ) ( )1 1 1 1 1 1 1
1
2 2 3
         
                
     
k k k k k kVT C C C C C Cn n n n n n
k k k k k k kC C C C C C Cn n n n n n n
k k kC C C VPn n n
 b. Ta có: -1 -22 (2 )2     
k k k kC C C C k nn n nn 
Nên: -1 -1 -2 -11 1 2
       
       
       
         
k k k k k k kVP C C C C C C C VTn n n n n n n 
 c. 1 1 2 3) )1 2 3( (      
 
    k k k kn n n nC C C C
k kVT C Cn n 
 1 2 32 3 1 1 1
     
     
     
       
k k kC C Cn n n 
Ví d 
3 
----------------------------------------------------------------------------------------- 
Giáo viên biên soạn: Trương Ngọc Hạnh Hậu lộc 2 
6 
 1 2 2 32 1 1 1 1
2 32 2 2
2 2 3 2 3
2 2 3 2 2
   
   
   
   
   
   
     
     
     
         
   
             
k k k kC C C Cn n n n
k kC Cn n
k k k k kC C C C C VPn n n n n
 CMR: 2. ( ) (0 ) (1)22 2 -   
n n nC C C k nnn k n k 
 Bài giải 
 Ta có: 
 
 
 
 
 
2. ( ) (0 ) (1)22 2 -
22 ! 2 ! 2 !. ( 1)...( ) ( 1)...( ) ( 1)...( )
!. ! !. ! !. !
( 1)( 2)...( ) ( 1)( 2)...( )
 
              
 
       
  
 
            
 
           
n n nC C C k nnn k n k
n k n k n n k n k n n k n k n n n n
n k n n k n n n
n k n k n k n n k n k n k n
...
2( 1)...( )
2( 1)( 1) ( )( ) ( 1)...( ) (*)
  
          
  
           
n n n
n k n k n k n n k n n n n
 Theo BĐT Cauchy ta có 
   0 k n; 2( )( )        n k i n k i n i i = 1...n 
 Cho 1,i n ta được BĐT (*) 
 Vậy BĐT (*) đúng  (1) được chứng minh. 
3. Bài tập tương tự 
Bài 1: 1. ( 1) ( , )    
n mn C m C m n Zm n m n Bài 2: 
2 2 ( 2, )1
   C C n n n Znn 
Bài 3: -. . ( , , , , )-   r k k r kC C C C r k n N r n k rn r n n r Bài 4: 
12 -1 1 ( )2 2 2 22
   
n nC C C n Zn n n 
Bài 5: -1-1
nr rC Cn nr
 Bài 6*: 
 2 3 11 2. 3 ... .... 1 2 -1 -1 2

      
p nC C C C n nn n n nC p nn p nC C CCn n nn
Ví d 4 
----------------------------------------------------------------------------------------- 
Giáo viên biên soạn: Trương Ngọc Hạnh Hậu lộc 2 
7 
Bài 7: , 2   n N n ta có  11 1 1 ... 2 2 2
2 3

   
n
nA A An
Bài 8: CMR: 
-2( -1) ( 1) -2 
k kk k C n n Cn n 
Bài 9: CMR: -1 (0 )-1 -1   
k k kC C C k nn n n Bài 10: CMR: 
2. ( ) 0 )(1)22 2 -   
n n nC C C k nnn k n k 
Bài 11: CMR: 1 1 1
  
k k kA A kAn n n Bài 12: CMR: 1 2 3 12 3 ... 1    n nP P P nP P 
Bài 13: CMR: 1 2 3 2 32 5 4 2 3
         
k k k k k kC C C C C Cn n n n m m 
Bài 14: CMR: 1 22 (2 ,)2
     
k k k kC C C C k nn n n n 
Bài 15: CMR: . . . ( , ; , , )   
r k k n ka C C C C r n k r n r k Zn r n r k 
 + +...+ 
1. ( )1
1 2 1. ( )1 2 1


 
     
n
r
r rb C C r nn r
r r r rc C C C C r nn n n r
Bài 16: CMR: 
0 1 1 2 2 5 5 1) . . . ... .5 55 5 5
1 2 12) ....1 2 1
1 2 3 43) 4. 6. 4. 4
3 1 24) 3. 3 3
       
       
        
      
k k k k kC C C C C C C C Cn n n n n
r r r rC C C Cn n n r
k k k k k kC C C C C Cn n n n n n
k k k k kC C C C Cn n n n n
 1 1215) 2
   
m m m
n n n
mC C C Cn 
3 1 26) 3 3 3
1 2 3 2 37)2 5. 4. 2 3
  
 
   
        
k k k k kC C C C Cn n n n n
k k k k k kC C C C C Cn n n n n n
Bài 17: CMR: 1000 (0 k 2000)2001 2001 2001 2001
1 1001
    
k kC C C C ( ĐHQGHN – A –99- 00 ) 
Bài 18: CMR: 
100 1002 250
10 2 10 2100
 C 
 3- Dạng 3: Phương trình, bất phương trình đại số tổ hợp. 
* Định nghĩa: 
 Phương trình, bất phương trình đại số tổ hợp là phương trình, bất phương trình có chứa ẩn 
dưới các kí hiệu: !n , nP , 
k
nA , 
k
nC . 
 * Cách giải: 
----------------------------------------------------------------------------------------- 
Giáo viên biên soạn: Trương Ngọc Hạnh Hậu lộc 2 
8 
  Bước 1: Đặt điều kiện của ẩn. Nhớ rằng: 
 - !n có nghĩa  n N 
 - nP có nghĩa  n N
* 
 - knA có nghĩa , k n N; 1 k n 
 - knC có nghĩa  , k n N; 0  k n 
  Bước 2: Chuyển phương trình, bất phương trình đại số tổ hợp sang phương 
 trình, bất phương trình đại số thông thường nhờ các công thức tổ hợp: 
 - ! 1.2.3...n n với mọi , 1 n N n (nhớ: 0! = 1) 
 - !nP n với mọi n N
* 
 - !( 1)( 2)....( 1)
( )!
     

k
n
nA n n n n k
n k
 với mọi 
,
0


 
k n N
k n
 - !
!( - )!
kn
nC
k n k
 với mọi , k n N; 0  k n 
 - 11 1

  
k k k
n n nc c c ( , k n N; 0  k n ) 
 - k n kn nc c ( , k n N; 0  k n ) 
  Bước 3: Giải phương trình, bất phương trình đại số thông thường để tìm ẩn. 
  Bước 4: Đối chiếu với tập xác định, kết luận. 
* Một số ví dụ 
 Giải phương trình sau:
1
1
1
.
72




y
x yx
x
A P
P
 Lời giải 
 + Điều kiện của x; y: , ; x 2; y x-1  x y N (*) 
 + Biến đổi phương trình về dạng: 
2
( 1)! ( )!
( )! 72 ( 1) 72
( 1)!
8
72 0
9

 

   


       
x x y
x y x x
x
x
x x
x
 Đối chiếu với điều kiện ( * ) suy ra nghiệm của phương trình là 8x . 1 7 y . 
 ( ĐHBK – 2000- 2001 ): Giải bất phương trình sau: 
 2 2 32
1 6 10
2
  x x xA A Cx
 Lời giải 
 + Điều kiện của x: 3 x N 
 + Biến đổi bất phương trình về dạng: 
1 (2 )! ! 6 ! 10
2 (2 2)! ( 2)! 3!( 3)!
1 6 ( 2)( 1)(2 1)2 ( 1) 10
2 3!
(2 1) ( 1) ( 2)( 1) 10 3 12 0 4
     
  
 
      
            
x x x
x x x x
x x xx x x x
x
x x x x x x x x
Ví dụ 1 
Ví dụ 2 
----------------------------------------------------------------------------------------- 
Giáo viên biên soạn: Trương Ngọc Hạnh Hậu lộc 2 
9 
 + Kết hợp với Điều kiện (*) 3; 4  x x 
 + Vậy nghiệm của bất phương trình là 3; 4 x x 
 ( HVBCVT- 98- + TNTHPT 02- 03): 
 Giải hệ: 1 11: : 6 : 5 : 2
 
 
y y y
x xx C CC 
 + Điều kiện của x, y 
;
;
0 1
1
0 1
1
0 1

      
        
x y N
x y N
y x
y
y x
x y
y x
 + Ta có: 
1
1
1 1
1 1 1
1 1 1
6 5: : 6 : 5 : 2
6 5 2
5 2


 
  
  

 

     


y y
x xy y y
y y y x x x
x xx y y
x x
C C
C C CC C C
C C
1 ( 1)! 1 ( )!
6 !( 1 )! 5 ( 1)!( 1)!
1 ( )! 1 ( )!
5 ( 1)!( 1)! 2 ( 1)!( 1)!
         
   
      
x x
y x y y x y
x x
y x y y x y
5( 1)( 1) 6( )( 1)
2( )( 1) 5 ( 1)
     
 
    
x y x y x y
x y x y y y
5( 1)( 1) 3.5 ( 1)
2( )( 1) 5 ( 1)
   
 
    
x y y y
x y x y y y
1 3
2( )( 1) 5 ( 1)
 
 
    
x y
x y x y y y
3 1
2(3 1 )(3 1 1) 5 ( 1)
 
 
      
x y
y y y y y y 2
3 1
3 9
  

x y
y y
3 1 8
3 3
   
  
  
x y x
y y
Vậy nghiệm của hệ là x = 8; y = 3 
* Bài tập tương tự: 
 Giải các phương trình, bất phương trình sau: 
1. 1 2 79   o x xx x xC C C 6. 
3 2 14 xx xA C x (TNTHPT - 98 - 99) 
2. 3 38 65

 
x
x xC A 7. 
1 2 3 26 6 9 14   x x xC C C x x (ĐHNN - 99- 00) 
3. 1 2 3 7
2
  x x x
xC C C 8. 3 25 21 x xA A x (ĐHQGHN - 98- 99) 
4. 2 2 32
1 6 10
2
  x x xA A Cx
 9. 
3
1
4
31
1
14




n
n
n
C
PA
 ( ĐHHH – 1999 ) 
5. 1 2 1
1 4
1 1 7
6 
 
x x xC C C
 10. 
4
1
3
1
14


n nn
n
A P
C
 15. 25 360( )!


kn
n
P A
n k
 (TNTHPT – 03 – 04 ) 16. 1 22 2
5
2

  
n n
n n nC C A (TNTHPT – 04 – 
05 ) 
 Tìm các số âm trong dãy số 1 2 3; ; ,..., nx x x x với 
4
4
2
143
4


 nn
n n
Ax
P P
 , n = 1,2,3,,n. 
Ví dụ3 
----------------------------------------------------------------------------------------- 
Giáo viên biên soạn: Trương Ngọc Hạnh Hậu lộc 2 
10 
 Giải các hệ phương trình sau: a. 
2 1
1
5 3 

 


y y
x x
y y
x x
C C
C C
 b. 
2 5 90
5 2 80
  

 
y y
x x
y y
x x
A C
A C
c. 1 1 11 1( ) : : 10 : 2 :1
  
  
y y y y
x xx xA yA A C 
 Cho khai triển nhị thức: 
1 1 1 1
0 1 1 1 13 3 3 32 2 2 2(2 2 ) (2 ) (2 ) (2 ) ... (2 )(2 ) (2 )
      
       
x x x xx x x x
n n n n n n n
n n n nC C C C 
( n là số nguyên dương ). Biết trong khai triển đó 3 15n nC C và số hạng thứ tư bằng 20n, tìm n và 
x. ( ĐHCĐ -A- 2002 ) 
 Tìm số nguyên dương n sao cho: 
 1 2 2 3 3 4 2 2 12 1 2 1 2 1 2 1 2 12.2 3.2 4.2 ... (2 1)2 2005

          
n n
n n n n nC C C C n C 
 ( ĐHCĐ -A- 2005 ) 
 Tính giá trị của biểu thức: 
4 3
1 3
( 1)!
 

n nA AM
n
 biết rằng 2 2 2 21 2 3 42 2 149      n n n nC C C C ( ĐHCĐ -D- 2005 ) 
 4- Dạng 4: Bài toán đếm số phương án 
 1. Ghi nhớ : 1. Đối với loại toán đếm số phương án, ta cần chú ý 
- Đọc kỹ đầu bài, phân tích câu văn cặn kẽ, nắm chắc bản chất của hành động, đối tượng 
để thấy được các khả năng có thể. 
- Sử dụng phép mô hình hoá cùng các quy tắc đếm cơ bản. 
- Trong một số bài toán, có thể ta phải sử dụng đến phần bù. 
Nguyên lý bù trừ: Khi hai công việc có thể được làm đồng thời, chúng ta không thể dùng quy 
tắc cộng để tính số cách thực hiện nhiệm vụ gồm cả hai việc. Cộng số cách làm mỗi việc sẽ dẫn 
đến sự trùng lặp, vì những cách làm cả 2 việc sẽ được tính 2 lần. Để tính đúng số cách thực hiện 
nhiệm vụ này ta cộng số cách làm mỗi một trong 2 việc rồi trừ đi số cách làm đồng thời cả 2 
việc. Đó là nguyên lý bù trừ. 
 2. Sử dụng qui tắc nhân để thực hiện bài toán đếm số phương án: 
 Thực hiện các bước: 
  Bước 1: Phân tách công việc H thành k công việc nhỏ liên tiếp: 
 1 2, ,..., kH H H 
  Bước 2: Nếu ta có: 
 - 1n cách khác nhau để thực hiện 1H . 
 - ứng với mỗi cách thực hiện xong 1H ,ta có 2n cách thực hiện 2H 
- ứng với mỗi cách thực hiện xong 1 2 1, ,..., kH H H , ta có kn cách thực hiện 
kH 
  Bước 3: Khi đó ta có tât cả 1 2. .... kn n n cách để thực hiện hành động H 
 3. Sử dụng quy tắc cộng để thực hiện bài toán đếm số phương án: 
 Ta thực hiện theo các bước: 
  Bước 1: Phân tách các phương án thành k nhóm độc lập với nhau: 
 1 2, ,..., kH H H 
----------------------------------------------------------------------------------------- 
Giáo viên biên soạn: Trương Ngọc Hạnh Hậu lộc 2 
11 
  Bước 2: Nếu ta có: 
 - 1n cách khác nhau để thực hiện 1H . 
 - 2n cách khác nhau thực hiện 2H 
 - kn cách khác nhau thực hiện kH 
  Bước 3: Khi đó ta có tât cả n1 + n2 + ... + nk cách để thực hiện hành động H 
 4. Sử dụng hoán vị thực hiện bài toán đếm: 
 Để nhận dạng một bài toán đếm có sử dụng hoán vị của n phần tử, chúng ta thường dựa trên 
dấu hiệu đặc trưng sau: 
 Tất cả n phần tử đều có mặt. 
 Mỗi phần tử chỉ xuất hiện một lần. 
 Có sự phân biệt thứ tự giữa các phần tử. 
 Gọi Pn là số hoán vị của n phần tử, ta có Pn = n! 
 5. Sử dụng chỉnh hợp để giải bài toán đếm: 
Để nhận dạng bài toán đếm có sử dụng chỉnh hợp chập k của n phần tử, chúng ta thường 
dựa trên các dấu hiệu đặc trưng sau: 
a) Phải chọn k phần tử từ n phần tử cho trước 
b) Có sự phân biệt thứ tự giữa k phần tử được chọn 
c) Gọi Ank là số phần tử chập k của n phần tử, ta có ( 1)...( 1)   knA n n n k . 
 6. Sử dụng tổ hợp để giải bài toán đếm: 
Để nhận dạng 1 bài toán đếm có sử dụng tổ hợp chập k của n phần tử, chúng ta thường 
dựa trên dấu hiệu đặc trưng sau: 
 Phải chọn k phần tử từ n phần tử cho trước 
 Không phân biệt thứ tự giữa k phần tử được chọn 
 Bài tập: (Ba bài toán chọn cơ bản) 
 A/ Bài toán đếm số phương án liên quan đến kiến thức thực tế 
 B/ Bài toán đếm số phương án có liên quan đến hình học. 
 C/ Bài toán đếm số phương án có liên quan đến số tự nhiên. 
Bài tập 
 Bài toán đếm số phương án có liên quan đến thực tế. 
 Từ 5 bông hồng vàng, 3 bông hồng trắng và 4 bông hồng đỏ ( các bông hoa xem như đôi 
một khác nhau ), ta chọn ra một bó gồm 7 bông. 
a. Có bao nhiêu cách chọn ra bó hoa trong đó có đúng một bông hồng đỏ ? 
b. Có bao nhiêu cách chọn ra bó hoa trong đó có ít nhất 3 bông hồng vàng và 3 bông hồng đỏ ? 
 ( HVKTQS –2000 ): Một lớp có 20 em h/s trong đó có 14 nam và 6 nữ. Hỏi có bao nhiêu 
cách lập một đội gồm 4 h/s trong đó: 
 a. Số nam nữ bằng nhau. 
 b. Có ít nhất 1 nữ. 
 (ĐHYHN - 2000): Có 5 nhà toán học nam, 3 nhà toán học nữ và 4 nhà vật lý 
nam. Lập một đoàn công tác 3 người cần có cả nam và nữ, cần có cả nhà toán học và nhà vật lý. 
Hỏi có bao nhiêu cách? 
 (ĐHĐN - 2000): Một tổ có 5 h/s nam và 5 h/s nữ xếp thành một hàng dọc 
----------------------------------------------------------------------------------------- 
Giáo viên biên soạn: Trương Ngọc Hạnh Hậu lộc 2 
12 
 a. Có bao nhiêu cách xếp khác nhau ? 
 b. Có bao nhiêu cách xếp sao cho không có h/s cùng giới đứng cạnh nhau ? 
 (ĐHHuế - 2000): Một lớp có 30 h/s nam và 15 h/s nữ. Có 6 h/s được chọn ra để lập một 
tốp ca. Hỏi có bao nhiêu cách lập khác nhau : 
 a. Nếu phải có ít nhất 1 nữ ? 
 b. Nếu chọn tuý ý ? 
 (ĐHThái Nguyên – 2000 ): Một đội văn nghệ có 20 người, trong đó có 10 nam và 10 nữ. 
Hỏi có bao nhiêu cách chọn 5 người sao cho: 
 a. Có đúng 2 nam trong 5 người đó. 
 b. Có ít nhất 2 nam và ít nhất 1nữ trong 5 người đó . 
 (HVKTQS - 2000) Một đồn cảnh sát khu vực có 9 người. Trong ngày cần cử 3 người làm 
nhiệm vụ ở địa điểm A, 2 người làm nhiệm vụ ở địa điểm B, 4 người ở lại trực đồn. Hỏi có bao 
nhiêu cách phân công? 
 (ĐHGTVT – 2000): Một lớp học có 20 học sinh, trong đó có 2 cán bộ lớp. Hỏi có bao 
nhiêu cách cử 3 người đi dự hội nghị sinh viên của trường sao cho trong3 người có ít nhất một 
cán bộ lớp? 
 (HVCTQGHCM – 01 - 02): Một đội văn nghệ có 10 người trong đó có 6 nữ và 4 nam. 
 a. Có bao nhiêu cách chia đội văn nghệ thành 2 nhóm có số người bằng nhau và mỗi 
nhóm có số nữ như nhau ? 
 b. Có bao nhiêu cách chọn ra 5 người mà trong đó có không quá 1 nam ? 
 (ĐHCần Thơ - 01 - 02): Một nhóm gồm 10 h/s trong đó có 7 nam và 3 nữ. Hỏi có bao 
nhiêu cách xếp 10 h/s trên thành một hàng dọc sao cho 7 h/s nam phải đứng liền nhau ? 
 a. Có bao nhiêu cách xếp khác nhau ? 
 b. Có bao nhiêu cách xếp sao cho không có h/s cùng giới đứng cạnh nhau ? 
 > (ĐHHHHCM– 99- 2000): Có bao nhiêu cách xếp 5 h/s A, B, C, D, E vào một cái ghế 
dài sao cho: 
 a. Bạn C ngồi chính giữa ? 
 b. Hai bạn A, E ngồi ở 2 đầu ghế ? 
 (ĐHHuế – 99- 2000): Một hộp đựng 4 viên bi đỏ, 5 viên bi trắng và 6 viên bi vàng. 
Người ta chọn ra 4 viên bi từ hộp đó. Hỏi có bao nhiêu cách chọn để trong số bi lấy ra không đủ 
cả 3 mầu ? 
 (HVQY – 99- 2000): Xếp 3 bi đỏ có bán kính khác nhau và 3 bi xanh giống nhau vào một 
dãy 7 ô trống. 
a. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp khác nhau? 
b. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp khác nhau sao cho 3 bi đỏ xếp cạnh nhau và 3 bi 
xanh xếp cạnh nhau? 
 (ĐHCần Thơ D - 99 - 00): Một nhóm h/s gồm 10 nam và 5 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách 
chọn trong mõi trường hợp sau: 
 a. Có 3 h/s trong nhóm ? 
 b. Có 3 h/s trong nhóm trong đó có 2 nam và 1 nữ ? 
 (ĐHCần Thơ A - 99 - 00): Trong một phòng có 2 bàn dài, mỗi bàn có 5 ghế. Người ta 
muốn xếp chỗ ngồi cho 10 h/s gồm 5 nam và 5 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách xếp nếu: 
a. Các h/s ngồi tuỳ ý ? 
 b. Các h/s nam ngồi 1 bàn và các h/s nữ ngồi 1 bàn ? 
----------------------------------------------------------------------------------------- 
Giáo viên biên soạn: Trương Ngọc Hạnh Hậu lộc 2 
13 
 (ĐHluật HN - 99 - 00): Một đoàn tầu có 3 toa chở khách: toa I, toa II, toa III. Trên sân ga 
có 4 hành khách chuẩn bị đi tầu. Biết mỗi toa có ít nhất 4 chỗ trống. Hỏi: 
a. Có bao nhiêu cách sắp xếp cho 4 hành khách lên 3 toa tầuđó ? 
c. Có bao nhiêu cách sắp xếp cho 4 hành khách lên tầu để có 1 toa có 3 trong 4 hành 
khách trên ? 
 (ĐHSPHN 2 –B- 99 - 00): Một trường tiểu học có 50 h/s đạt danh hiệu cháu ngoan Bác 
Hồ, trong đó có 4 cặp anh em sinh đôi. Cần chọn 1 nhóm 3 h/s trong số 50 h/s trên đi dự đại hội 
cháu ngoan Bác Hồ sao cho trong nhóm không có cặp anh em sinh đôi nào . Hỏi có bao nhiêu 
cách chọn ? 
 (ĐHSPV –G- 99 - 00):Một tổ sinh viên có 20 em trong đó có 8 em chỉ biết tiếng Anh, 7 
em chỉ biết tiếng Pháp, và 5 em chỉ biết tiếng Đức. Cần lập 1 nhóm đi thực tế gồm 3 em biết 
tiếng Anh, 4 em biết tiếng Pháp, 2 em biết tiếng Đức. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ? 
 (ĐHKT- 98 - 99): Một đội xây dựng gồm 10 công nhân, 3 kỹ sư. Để lập một tổ công tác 
cần chọn 1 kỹ sư làm tổ trưởng, 1 công nhân làm tổ phó và 5 công nhân làm tổ viên. Hỏi có 
bao nhiêu cách thành lập tổ công tác ? 
 Để lập hồ sơ thi tuyển vào đại học, mỗi thí sinh cần thực hiện 2 việc: 
 - Chọn trường thi có tất cả 33 trường 
 - Chọn khối thi, mỗi trường có 4 khối thi là A, B, C, D. 
 Hỏi có bao nhiêu cách lập hồ sơ ? 
 Có 5 con đường nối 2 thành phố X và Y, có 4 con đường nối 2 thành 
 phố Y và Z. Muốn đi từ X đến Z phải qua Y. 
d) Hỏi có bao nhiêu cách chọn đường đi từ X đến Z ? 
e) Có bao nhiêu cách chọn đường đi và về từ X đến Z rồi về lại X bằng những con 
đường khác nhau? 
 ở Việt Nam, mọi học sinh đã tốt nghiệp THPT đều có quyền dự thi 
vào một trường đại học( có 35 trường ) hoặc một trường cao đẳng ( có 25 trường) hoặc một 
trường trung học chuyên nghiệp 
 ( có21 trường ). Hỏi mỗi học sinh tốt nghiệp THPT có bao nhiêu cách 
 chọn trường thi ? 
 Mỗi người sử dụng hệ thống máy tính đều có mật khẩu dài từ 6 đến 8 ký tự, trong đó mỗi 
ký tự là một chữ hoa hay chữ số. Mỗi mật khẩu phải chứa ít nhất một chữ số. Hỏi mỗi người có 
thể có bao nhiêu mật khẩu? Biết rằng có 26 chữ in hoa, 10 chữ số. 
 Xếp 3 quyển sách toán, 4 quyển sách Lý, 2 quyển sách Hoá và 5 quyển sách Sinh vào một 
kệ sách theo từng môn. Tất cả các quyển sách đều khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp? 
 Có bao nhiêu cách chọn bốn cầu thủ khác nhau trong mười cầu thủ của đội 
bóng quần vợt để chơi bốn trận đấu đơn, các trận đấu là có thứ tự ? 
 (ĐHQG TPHCM – KA - 2000) Một thầy giáo có 12 cuốn sách đôi một khác 
 nhau trong đó có 5 cuốn sách văn học, 4 cuốn sách âm nhạc và 3 cuốn sách hội 
họa. Ông muốn lấy ra 6 cuốn và đem tặng 6 em học sinh A, B, C, D, E, F mỗi 
 em một cuốn. 
f) Giả sử thầy giáo chỉ muốn tặng cho các em học sinh trên những cuốn sách thuộc 2 thể 
loại văn học và âm nhạc. Hỏi tất cả có bao nhiêu cách chọn sách để tặng? 
----------------------------------------