Chuyên đề Dãy các số viết theo quy luật

Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 
 
 1
 
 
 DÃY CÁC SỐ VIẾT THEO QUY LUẬT 
Bài 1: Tìm số hạng thứ n của các dãy số sau: 
a) 3, 8, 15, 24, 35, ... 
b) 3, 24, 63, 120, 195, ... 
c) 1, 3, 6, 10, 15, ... 
d) 2, 5, 10, 17, 26, ... 
e) 6, 14, 24, 36, 50, ... 
f) 4, 28, 70, 130, 208, ... 
g) 2, 5, 9, 14, 20, ... 
h) 3, 6, 10, 15, 21, ... 
i) 2, 8, 20, 40, 70, ... 
Hướng dẫn: 
a) n(n+2) 
b) (3n-2)3n 
c) 
( 1)
2
n n
 
d) 1+n2 
e) n(n+5) 
f) (3n-2)(3n+1) 
g) 
( 3)
2
n n 
 
h) 
( 1)( 2)
2
n n 
 
i)  ( 1)( 2)
3
n n n 
 
Bài 2: Tính: 
 a,A = 1+2+3+…+(n-1)+n 
 b,A = 1.2+2.3+3.4+...+99.100 
Hướng dẫn: 
 a,A = 1+2+3+…+(n-1)+n 
 A = n (n+1):2 
b,3A = 1.2.3+2.3(4-1)+3.4.(5-2)+...+99.100.(101-98) 
 3A = 1.2.3+2.3.4-1.2.3+3.4.5-2.3.4+...+99.100.101-98.99.100 
 3A = 99.100.101 
 A = 333300 
Tổng quát: 
A = 1.2+2.3+3.4+.… + (n - 1) n 
A = (n-1)n(n+1): 3 
 
Bài 3: Tính: 
 A = 1.3+2.4+3.5+...+99.101 
Hướng dẫn: 
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
 For evaluation only.
Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 
 
 2
 A = 1(2+1)+2(3+1)+3(4+1)+...+99(100+1) 
 A = 1.2+1+2.3+2+3.4+3+...+99.100+99 
 A = (1.2+2.3+3.4+...+99.100)+(1+2+3+...+99) 
 A = 333300 + 4950 = 338250 
Tổng quát: A = 1.3+2.4+3.5+...+(n-1)(n+1) 
A= (n-1)n(n+1):3 + n(n-1):2 
A= (n-1)n(2n+1):6 
 
Bài 4: Tính: 
 A = 1.4+2.5+3.6+...+99.102 
Hướng dẫn: 
 A = 1(2+2)+2(3+2)+3(4+2)+...+99(100+2) 
 A = 1.2+1.2+2.3+2.2+3.4+3.2+...+99.100+99.2 
 A = (1.2+2.3+3.4+...+99.100)+2(1+2+3+...+99) 
 A = 333300 + 9900 
 A = 343200 
Bài 5: Tính: 
 A = 4+12+24+40+...+19404+19800 
Hướng dẫn: 
1
2
A = 1.2+2.3+3.4+4.5+...+98.99+99.100 
A= 666600 
Bài 6: Tính: 
 A = 1+3+6+10+...+4851+4950 
Hướng dẫn: 
 2A = 1.2+2.3+3.4+...+99.100 
 A= 333300:2 
 A= 166650 
Bài 7: Tính: 
 A = 6+16+30+48+...+19600+19998 
Hướng dẫn: 
 2A = 1.3+2.4+3.5+...+99.101 
 A = 338250:2 
 A = 169125 
Bài 8: Tính: 
 A = 2+5+9+14+...+4949+5049 
Hướng dẫn: 
 2A = 1.4+2.5+3.6+...+99.102 
 A = 343200:2 
 A = 171600 
Bài 9: Tính: 
 A = 1.2.3+2.3.4+3.4.5+...+98.99.100 
Hướng dẫn: 
 4A = 1.2.3.4+2.3.4(5-1)+3.4.5.(6-2)+...+98.99.100.(101-97) 
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
 For evaluation only.
Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 
 
 3
 4A = 1.2.3.4+2.3.4.5-1.2.3.4+3.4.5.6-2.3.4.5+...+98.99.100.101-97.98.99.100 
 4A = 98.99.100.101 
 A = 2449755 
Tổng quát: 
 A = 1.2.3+2.3.4+3.4.5+...+(n-2)(n-1)n 
 A = (n-2)(n-1)n(n+1):4 
Bài 10: Tính: 
 A = 12+22+32+...+992+1002 
Hướng dẫn: 
 A = 1+2(1+1)+3(2+1)+...+99(98+1)+100(99+1) 
 A = 1+1.2+2+2.3+3+...+98.99+99+99.100+100 
 A = (1.2+2.3+3.4+...+99.100)+(1+2+3+...+99+100) 
 A = 333300 + 5050 
 A = 338050 
Tổng quát: 
 A = 12+22+32+...+(n-1)2+n2 
 A = (n-1) n (n+1):3 + n(n +1):2 
 A = n(n+1)(2n+1):6 
 
Bài 11: Tính: 
 A = 22+42+62+...+982+1002 
Hướng dẫn: 
 A = 22(12+22+32+...+492+502) 
Bài 12: Tính: 
 A = 12+32+52+...+972+992 
Hướng dẫn: 
 A = (12+22+32+...+992+1002)-(22+42+62+...+982+1002) 
 A = (12+22+32+...+992+1002)-22(12+22+32+...+492+502) 
Bài 13: Tính: 
 A = 12-22+32-42+...+992-1002 
Hướng dẫn: 
 A = (12+22+32+...+992+1002)-2(22+42+62+...+982+1002) 
Bài 14: Tính: 
 A = 1.22+2.32+3.42+...+98.992 
Hướng dẫn: 
 A = 1.2(3-1)+2.3(4-1)+3.4(5-1)+...+98.99(100-1) 
 A = 1.2.3-1.2+2.3.4-2.3+3.4.5-3.4+...+98.99.100-98.99 
 A = (1.2.3+2.3.4+3.4.5+...+98.99.100)-(1.2+2.3+3.4+...+98.99) 
Bài 15: Tính: 
 A = 1.3+3.5+5.7+...+97.99+99.101 
 
Hướng dẫn: 
 A = 1(1+2)+3(3+2)+5(5+2)+...+97(97+2)+99(99+2) 
 A = (12+32+52+...+972+992)+2(1+3+5+...+97+99) 
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
 For evaluation only.
Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 
 
 4
Bài 16: Tính: 
 A = 2.4+4.6+6.8+...+98.100+100.102 
Hướng dẫn: 
 A = 2(2+2)+4(4+2)+6(6+2)+...+98(98+2)+100(100+2) 
 A = (22+42+62+...+982+1002)+4(1+2+3+...+49+50) 
 
Bài 17: Tính: 
 A = 13+23+33+...+993+1003 
Hướng dẫn: 
 A = 12(1+0)+22(1+1)+32(2+1)+...+992(98+1)+1002(99+1) 
 A = (1.22+2.32+3.42+...+98.992+99.1002)+(12+22+32+...+992+1002) 
A = [1.2(3-1)+2.3(4-1)+3.4(5-1)+...+98.99(100-1)] +(12+22+32+...+992+1002) 
A = 1.2.3-1.2+2.3.4-2.3+3.4.5-3.4+...+98.99.100- 
98.99+(12+22+32+...+992+1002) 
 A = (1.2.3+2.3.4+3.4.5+...+98.99.100)-(1.2+2.3+3.4+...+98.99) 
(12+22+32+...+992+1002) 
 
Bài 18: Tính: 
 A = 23+43+63+...+983+1003 
Hướng dẫn: 
 
Bài 19: Tính: 
 A = 13+33+53+...+973+993 
Hướng dẫn: 
 
Bài 20: Tính: 
 A = 13-23+33-43+...+993-1003 
Hướng dẫn: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
 For evaluation only.
Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 
 
 5
 
 
 
 
 
 
Chuyên đề: 
TỈ LỆ THỨC-TÍNH CHẤT CỦA DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU 
A. CƠ SỞ LÍ THUYẾT 
I. TỈ LỆ THỨC 
1. Định nghĩa: 
Tỉ lệ thức là một đẳng thức của hai tỉ số 
d
c
b
a
 (hoặc a : b = c : d). 
Các số a, b, c, d được gọi là các số hạng của tỉ lệ thức; a và d là các số hạng ngoài hay 
ngoại tỉ, b và c là các số hạng trong hay trung tỉ. 
2. Tính chất: 
Tính chất 1: Nếu 
d
c
b
a
 thì bcad  
Tính chất 2: Nếu bcad  và a, b, c, d 0 thì ta có các tỉ lệ thức sau: 
 
d
c
b
a
 , 
d
b
c
a
 , 
a
c
b
d
 , 
a
b
c
d
 
Nhận xét: Từ một trong năm đẳng thức trên ta có thể suy ra các đẳng thức còn lại. 
II. TÍNH CHẤT CỦA DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU 
-Tính chất: Từ 
d
c
b
a
 suy ra: 
db
ca
db
ca
d
c
b
a





 
-Tính chất trên còn mở rộng cho dãy tỉ số bằng nhau: 
 
f
e
d
c
b
a
 suy ra: ...






fdb
cba
fdb
cba
f
e
d
c
b
a
 
(giả thiết các tỉ số trên đều có nghĩa). 
* Chú ý: Khi có dãy tỉ số 
532
cba
 ta nói các số a, b, c tỉ lệ với các số 2, 3, 5. 
Ta cũng viết a : b : c = 2 : 3 : 5 
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
 For evaluation only.
Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 
 
 6
 
 
 
 
B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI 
DẠNG I: TÌM GIÁ TRỊ CỦA BIẾN TRONG CÁC TỈ LỆ THỨC. 
Ví dụ 1: Tìm hai số x và y biết 
32
yx
 và 20 yx 
Giải: 
Cách 1: (Đặt ẩn phụ) 
Đặt k
yx

32
 , suy ra: kx 2 , ky 3 
Theo giả thiết: 4205203220  kkkkyx 
Do đó: 84.2 x 
 124.3 y 
KL: 12,8  yx 
Cách 2: (sử dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau): 
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có: 
4
5
20
3232




yxyx
 
Do đó: 84
2
 x
x
 
 124
3
 y
y
 
KL: 12,8  yx 
Cách 3: (phương pháp thế) 
Từ giả thiết 
3
2
32
y
x
yx
 
mà 1260520
3
2
20  yyy
y
yx 
Do đó: 8
3
12.2
x 
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
 For evaluation only.
Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 
 
 7
KL: 12,8  yx 
Ví dụ 2: Tìm x, y, z biết: 
43
yx
 , 
53
zy
 và 632  zyx 
Giải: 
Từ giả thiết: 
12943
yxyx
 (1) 
 
201253
zyzy
 (2) 
Từ (1) và (2) suy ra: 
20129
zyx
 (*) 
Ta có: 3
2
6
203618
32
2036
3
18
2
20129




zyxzyxzyx
 
Do đó: 273
9
 x
x
 
 363
12
 y
y
 
 603
20
 z
z
 
KL: 60,36,27  zyx 
Cách 2: Sau khi làm đến (*) ta đặt k
zyx

20129
 ( sau đó giải như cách 1 của 
VD1). 
Cách 3: (phương pháp thế: ta tính x, y theo z) 
Từ giả thiết: 
 
5
3
53
z
y
zy
 
 
20
9
4
5
3
.3
4
3
43
z
z
y
x
yx
 
 
mà 6060
10
6
5
3
.3
20
9
.2632  z
z
z
zz
zyx 
Suy ra: 36
5
60.3
y , 27
20
60.9
x 
KL: 60,36,27  zyx 
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
 For evaluation only.
Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 
 
 8
Ví dụ 3: Tìm hai số x, y biết rằng: 
52
yx
 và 40. yx 
Giải: 
Cách 1: (đặt ẩn phụ) 
Đặt k
yx

52
 , suy ra kx 2 , ky 5 
 
Theo giả thiết: 244010405.240. 22  kkkkkyx 
+ Với 2k ta có: 42.2 x 
 102.5 y 
+ Với 2k ta có: 4)2.(2 x 
 10)2.(5 y 
KL: 10,4  yx hoặc 10,4  yx 
Cách 2: ( sử dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau) 
Hiển nhiên x 0 
Nhân cả hai vế của 
52
yx
 với x ta được: 8
5
40
52
2

xyx
 
 
4
162


x
x 
+ Với 4x ta có 10
2
5.4
52
4
 y
y
 
+ Với 4x ta có 10
2
5.4
52
4




y
y
 
KL: 10,4  yx hoặc 10,4  yx 
Cách 3: (phương pháp thế) làm tương tự cách 3 của ví dụ 1. 
BÀI TẬP VẬN DỤNG: 
Bài 1: Tìm các số x, y, z biết rằng: 
a) 
21610
zyx
 và 2825  zyx b) 
43
yx
 , 
75
zy
 và 12432  zyx 
c) 
5
4
4
3
3
2 zyx
 và 49 zyx d) 
32
yx
 và 54xy 
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
 For evaluation only.
Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 
 
 9
 e) 
35
yx
 và 422  yx f) zyx
yx
z
xz
y
zy
x





 211
 
Bài 2: Tìm các số x, y, z biết rằng: 
a) 
21610
zyx
 và 2825  zyx b) 
43
yx
 , 
75
zy
 và 12432  zyx 
c) 
5
4
4
3
3
2 zyx
 và 49 zyx d) 
32
yx
 và 54xy 
 e) 
35
yx
 và 422  yx f) zyx
yx
z
xz
y
zy
x





 211
 
 
Bài 3: Tìm các số x, y, z biết rằng: 
a) zyyx 57,23  và 32 zyx b) 
4
3
3
2
2
1 



 zyx
 và 5032  zyx 
c) zyx 532  và 95 zyx d) 
532
zyx
 và 810xyz 
e) 
zyxz
yx
y
xz
x
zy






 1321
 f) yx 610  và 282 22  yx 
Bài 4: Tìm các số x, y, z biết rằng: 
a) zyyx 57,23  và 32 zyx b) 
4
3
3
2
2
1 



 zyx
 và 5032  zyx 
c) zyx 532  và 95 zyx d) 
532
zyx
 và 810xyz 
e) 
zyxz
yx
y
xz
x
zy






 1321
 f) yx 610  và 282 22  yx 
 
Bài 5: Tìm x, y biết rằng: 
 
x
yyy
6
61
24
41
18
21 




 
Bài 6: Tìm x, y biết rằng: 
 
x
yyy
6
61
24
41
18
21 




 
Bài 7: Cho 0 dcba và 
cba
d
dba
c
dca
b
dcb
a







 
Tìm giá trị của: 
cb
ad
ba
dc
da
cb
dc
ba
A











 
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
 For evaluation only.
Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 
 
 10
Giải: 1
3( ) 3
a b c d a b c d
b c d a c d a b d a b c a b c d
  
    
          
( Vì 0 dcba ) 
=>3a = b+c+d; 3b = a+c+d => 3a-3b= b- a => 3(a- b) = -(a-b) =>4(a-b) = 0 =>a=b 
Tương tự =>a=b=c=d=>A=4 
 
Bài 8: Tìm các số x; y; z biết rằng: 
a) 
x 7
y 3
 và 5x – 2y = 87; b) 
x y
19 21
 và 2x – y = 34; 
b) 
3 3 3x y z
8 64 216
  và x2 + y2 + z2 = 14. c) 
2x 1 3y 2 2x 3y 1
5 7 6x
   
  
 
Bài 9: Tìm các số a, b, c biết rằng: 2a = 3b; 5b = 7c và 3a + 5c – 7b = 30. 
Bài 10: Tìm các số x, y, z biết : 
a) x : y : z = 3 : 4 : 5 và 5z2 – 3x2 – 2y2 = 594; 
b) x + y = x : y = 3.(x – y) 
Giai a) Đáp số: x = 9; y = 12; z = 15 hoặc x = - 9; y = - 12; z = - 15. 
 b) Từ đề bài suy ra: 2y(2y – x) = 0, mà y khác 0 nên 2y – x = 0, do đó : x = 
2y. 
 Từ đó tìm được : x = 4/3; y = 2/3. 
 
Bài 11. Tìm hai số hữu tỉ a và b biết rằng hiệu của a và b bằng thương của a và b và 
bằng hai 
lần tổng của a và b ? 
Giai. Rút ra được: a = - 3b, từ đó suy ra : a = - 2,25; b = 0,75. 
 
Bài 12: Cho ba tỉ số bằng nhau: a b c, ,
b c c a a b  
. Biết a+b+c 0 .Tìm giá trị của mỗi tỉ 
số đó ? 
 
Bài 13. Số học sinh khối 6,7,8,9 của một trường THCS lần lượt tỉ lệ với 9;10;11;8. 
Biết rằng số học sinh khối 6 nhiều hơn số học sinh khối 9 là 8 em. Tính số học sinh 
của trường đó? 
Bài 14: Chứng minh rằng nếu có các số a, b, c, d thỏa mãn đẳng thức: 
       0)1(22.2 22  abababdccdabab 
thì chúng lập thành một tỉ lệ thức. 
Giải:    2 22 . 2 2( 1) 0ab ab cd c d ab ab ab          
=> ab(ab-2cd)+c2d2=0 (Vì ab(ab-2)+2(ab+1)=a2b2+1>0 với mọi a,b) 
=>a2b2-2abcd+ c2d2=0 =>(ab-cd)2=0 =>ab=cd =>đpcm 
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
 For evaluation only.
Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 
 
 11
 
DẠNG II: CHỨNG MINH TỈ LỆ THỨC 
 Để chứng minh tỉ lệ thức: 
D
C
B
A
 ta thường dùng một số phương pháp sau: 
Phương pháp 1: Chứng tỏ rằng A. D = B.C 
Phương pháp 2: Chứng tỏ rằng hai tỉ số 
B
A
 và 
D
C
 có cùng giá trị. 
Phương pháp 3: Sử dụng tính chất của tỉ lệ thức. 
Một số kiến thức cần chú ý: 
+) )0(  n
nb
na
b
a
 
+) 
nn
d
c
b
a
d
c
b
a












 
Sau đây là một số ví dụ minh họa: ( giả thiết các tỉ số đều có nghĩa) 
Ví dụ 1: Cho tỉ lệ thức 
d
c
b
a
 .Chứng minh rằng: 
dc
dc
ba
ba





 
Giải: 
Cách 1: (PP1) 
Ta có: bdbcadacdcba  ))(( (1) 
 bdbcadacdcba  ))(( (2) 
Từ giả thiết: bcad
d
c
b
a
 (3) 
Từ (1), (2), (3) suy ra: ))(())(( dcbadcba  
  
dc
dc
ba
ba





 (đpcm) 
Cách 2: (PP2) 
Đặt k
d
c
b
a
 , suy ra dkcbka  , 
Ta có: 
1
1
)1(
)1(











k
k
kb
kb
bkb
bkb
ba
ba
 (1) 
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
 For evaluation only.
Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 
 
 12
 
1
1
)1(
)1(











k
k
kd
kd
dkd
dkd
dc
dc
 (2) 
Từ (1) và (2) suy ra: 
dc
dc
ba
ba





 (đpcm) 
Cách 3: (PP3) 
Từ giả thiết: 
d
b
c
a
d
c
b
a
 
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có: 
 
dc
ba
dc
ba
d
b
c
a





 
 
dc
dc
ba
ba





 (đpcm) 
Hỏi: Đảo lại có đúng không ? 
Ví dụ 2: Cho tỉ lệ thức 
d
c
b
a
 . Chứng minh rằng: 
22
22
dc
ba
cd
ab


 
Giải: 
Cách 1: Từ giả thiết: bcad
d
c
b
a
 (1) 
Ta có:   adbdacbcabdabcdcab  2222 (2) 
   bdbcacadcdbcdabacd .2222  (3) 
Từ (1), (2), (3) suy ra:    2222 bacddcab  
  
22
22
dc
ba
cd
ab


 (đpcm) 
Cách 2: Đặt k
d
c
b
a
 , suy ra dkcbka  , 
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
 For evaluation only.
Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 
 
 13
Ta có: 
2
2
2
2
.
.
d
b
kd
kb
ddk
bbk
cd
ab
 (1) 
 
 
  2
2
22
22
222
222
22
22
22
22
1
1
)(
)(
d
b
kd
kb
dkd
bkb
ddk
bbk
dc
ba












 (2) 
Từ (1) và (2) suy ra: 
22
22
dc
ba
cd
ab


 (đpcm) 
Cách 3: Từ giả thiết: 
22
22
2
2
2
2
dc
ba
d
b
c
a
cb
ab
d
b
c
a
d
c
b
a


 
  
22
22
dc
ba
cd
ab


 (đpcm) 
BÀI TẬP VẬN DỤNG: 
Bài 1: Cho tỉ lệ thức: 
d
c
b
a
 . Chứng minh rằng ta có các tỉ lệ thức sau: (với giả thiết 
các tỉ số đều có nghĩa). 
1) 
dc
dc
ba
ba
53
53
53
53





 2) 
22
222
dc
ba
dc
ba










 
3) 
dc
dc
ba
ba





 4) 
 
 2
2
dc
ba
cd
ab


 
5) 
dc
dc
ba
ba
43
52
43
52





 6) 
ba
dc
dc
ba
20072006
20062005
20072006
20062005





 
7) 
dc
c
ba
a



 8) 
bdb
bdb
aca
aca
57
57
57
57
2
2
2
2





 
Bài 2: Cho tỉ lệ thức: 
d
c
b
a
 . 
Chứng minh rằng ta có các tỉ lệ thức sau: (với giả thiết các tỉ số đều có nghĩa). 
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
 For evaluation only.
Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 
 
 14
a) 
dc
dc
ba
ba
53
53
53
53





 b) 
22
222
dc
ba
dc
ba










 c) 
dc
dc
ba
ba





 
d) 
 
 2
2
dc
ba
cd
ab


 e) 
dc
dc
ba
ba
43
52
43
52





 
f)
2008 2009 2008 2009
2009 2010 2009 2010
a b c d
c d a b
 

 
 
g) 
dc
c
ba
a



 h) 
bdb
bdb
aca
aca
57
57
57
57
2
2
2
2





 i) 
2 2
2 2 2 2
7a 3ab 7c 3cd
11a 8b 11c 8d
 

 
 
Bài 3: Cho 
d
c
c
b
b
a
 . Chứng minh rằng: 
d
a
dcb
cba








3
 
Bài 4: Cho 
d
c
c
b
b
a
 . Chứng minh rằng: 
d
a
dcb
cba








3
 
Bài 5: Cho 
200520042003
cba
 
 Chứng minh rằng: 2)())((4 accbba  
Bài 6: Cho dãy tỉ số bằng nhau: 3 20081 2
2 3 4 2009
a aa a
...
a a a a
    
 CMR: Ta có đẳng thức: 
2008
1 2 3 20081
2009 2 3 4 2009
a a a ... aa
a a a a ... a
    
  
    
 
 
Bài 7: Cho 
1
9
9
8
3
2
2
1 ...............
a
a
a
a
a
a
a
a
 và 0... 921  aaa 
Chứng minh rằng: 921 ... aaa  
Bài 8: Cho 
200520042003
cba
 
 Chứng minh rằng: 2)())((4 accbba  
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
 For evaluation only.
Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 
 
 15
Bài 9: Chứng minh rằng nếu : 
d
b
b
a
 thì 
d
a
db
ba



22
22
 
Bài 10: Cho 
1
9
9
8
3
2
2
1 ...............
a
a
a
a
a
a
a
a
 và 0... 921  aaa 
Chứng minh rằng: 921 ... aaa  
Bài 11: CMR: Nếu bca 2 thì 
ac
ac
ba
ba





 . Đảo lại có đúng không? 
Bài 12: Chứng minh rằng nếu : 
d
b
b
a
 thì 
d
a
db
ba



22
22
 
 
Bài 13: Cho 
dc
dc
ba
ba





 . CMR: 
d
c
b
a
 
Bài 14. Cho tỉ lệ thức : 
2 2
2 2
a b a b
c d cd



. Chứng minh rằng: a c
b d
 . 
Giải. Ta có : 
cd
ab
dc
ba



22
22
 =  
 
  
   dc
ba
dcdc
baba
cd
ab
dc
ba
dcdc
baba
cd
ab
.
.
2
2
2
2
2
2
22
22









 ; 
 
 
 
  d
c
b
a
adcbadaccbca
bdca
bdca
dbda
bdbc
adac
cbca
bad
dcb
dca
bac















 1 
Bài 15: Chứng minh rằng nếu: 
3
3
2
2





v
v
u
u
 thì 
32
vu
 
Bài 16: CMR: Nếu bca 2 thì 
ac
ac
ba
ba





 . Đảo lại có đúng không? 
Bài 17: CMR nếu )()()( yxcxzbzya  
trong đó a, b,c khác nhau và khác 0 thì : 
)()()( bac
yx
acb
xz
cba
zy








 
Bài 18: Cho 
dc
dc
ba
ba





 . CMR: 
d
c
b
a
 
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
 For evaluation only.
Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 
 
 16
Bài 19: Cho 
d
c
b
a
 . Các số x, y, z, t thỏa mãn: 0 ybxa và 0 tdzc 
Chứng minh rằng: 
tdzc
ydxc
tbza
ybxa





 
Bài 20: Chứng minh rằng nếu: 
3
3
2
2





v
v
u
u
 thì 
32
vu
 
Bài 21: Cho a, b, c, d là 4 số khác 0 thỏa mãn: bdcacb  22 ; 
và 0333  dcb 
Chứng minh rằng: 
d
a
dcb
cba



333
333
 
Bài 22: CMR nếu )()()( yxcxzbzya  .Trong đó a, b,c khác nhau và khác 0 thì 
: 
)()()( bac
yx
acb
xz
cba
zy








 
Bài 23: Cho 
11
2
1
2
cxbxa
cbxax
P


 . Chứng minh rằng nếu 
111 c
c
b
b
a
a
 thì giá trị của P 
không phụ thuộc vào x. 
Bài 24: Cho biết : 
' '
' '
a b b c
1; 1
a b b c
    . CMR: abc + a
’b’c’ = 0. 
Bài 25: Cho 
d
c
b
a
 . Các số x, y, z, t thỏa mãn: 0 ybxa và 0 tdzc 
Chứng minh rằng: 
tdzc
ydxc
tbza
ybxa





 
Bài 26: Cho a, b, c, d là 4 số khác 0 thỏa mãn: bdcacb  22 ; và 0333  dcb 
Chứng minh rằng: 
d
a
dcb
cba



333
333
 
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
 For evaluation only.
Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 
 
 17
Bài 27: Cho 
11
2
1
2
cxbxa
cbxax
P


 . Chứng minh rằng nếu 
111 c
c
b
b
a
a
 thì giá trị của P 
không phụ thuộc vào x. 
Bài 28: Cho tỉ lệ thức: 2a 13b 2c 13d
3a 7 b 3c 7 d
 

 
; Chứng minh rằng: a c
b d
 . 
Bài 29: Cho dãy tỉ số : b z cy cx az ay bx
a b c
  
  ; CMR: 
x y z
a b c
  . 
 
 
 
 
 
 
 
 
Thanh Mỹ,ngày 10 tháng 12 năm2010 
 
Chuyên đề: GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI 
 
A> MỤC TIÊU 
 Thông qua việc giải toán sẽ phát triển được tư duy độc lập, sáng tạo của học sinh, 
rèn ý chí vượt qua mọi khó khăn. 
B> THỜI LƯỢNG 
Tổng số :(6 tiết) 
1) Kiến thức cần nhớ:(1 tiết) 
2)Các dạng bài tập và phương pháp giải(5 tiết) 
1. Lý thuyết 
*Định nghĩa: Khoảng cách từ điểm a đến điểm 0 trên trục số là giá trị tuyệt đối của 
một số a( a là số thực) 
* Giá trị tuyệt đối của số không âm là chính nó, giá trị tuyệt đối của số âm là số đối 
của nó. 
 TQ: Nếu aaa  0 
 Nếu aaa  0 
 Nếu x-a  0=> | |x-a = x-a 
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
 For evaluation only.
Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 
 
 18
 Nếu x-a  0=> | |x-a = a-x 
*Tính chất 
 Giá trị tuyệt đối của mọi số đều không âm 
 TQ: 0a với mọi a  R 
Cụ thể: 
 | |a =0 a=0 
 | |a ≠ 0 a ≠ 0 
* Hai số bằng nhau hoặc đối nhau thì có giá trị tuyệt đối bằng nhau, và ngược lại hai 
số có giá trị tuyệt đối bằng nhau thì chúng là hai số bằng nhau hoặc đối nhau. 
 TQ: 





ba
ba
ba 
* Mọi số đều lớn hơn hoặc bằng đối của giá trị tuyệt đối của nó và đồng thời nhỏ hơn 
hoặc bằng giá trị tuyệt đối của nó. 
 TQ: aaa  và 0;0  aaaaaa 
* Trong hai số âm số nào nhỏ hơn thì có giá trị tuyệt đối lớn hơn 
TQ: Nếu baba  0 
* Trong hai số dương số nào nhỏ hơn thì có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn 
 TQ: Nếu baba 0 
* Giá trị tuyệt đối của một tích bằng tích các giá trị tuyệt đối. 
 TQ: baba ..  
* Giá trị tuyệt đối của một thương bằng thương hai giá trị tuyệt đối. 
 TQ: 
b
a
b
a
 
* Bình phương của giá trị tuyệt đối của một số bằng bình phương số đó. 
TQ: 2
2
aa  
* Tổng hai giá trị tuyệt đối của hai số luôn lớn hơn hoặc bằng giá trị tuyệt đối của hai 
số, dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi hai số cùng dấu. 
TQ: baba  và 0.  bababa 
2. Các dạng toán : 
I. Tìm giá trị của x thoả mãn đẳng thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối: 
1. Dạng 1: kA(x)  ( Trong đó A(x) là biểu thức chứa x, k là một số cho trước ) 
* Cách giải: 
- Nếu k < 0 thì không có giá trị nào của x thoả mãn đẳng thức( Vì giá trị tuyệt đối của 
mọi số đều không âm ) 
- Nếu k = 0 thì ta có 0)(0)(  xAxA 
- Nếu k > 0 thì ta có: 





kxA
kxA
kxA
)(
)(
)( 
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
 For evaluation only.
Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 
 
 19
Bài 1.1: Tìm x, biết: 
a) 452 x b) 
4
1
2
4
5
3
1
 x c) 
3
1
5
1
2
1
 x d) 
8
7
12
4
3
 x 
Giải 
 a 1) | |x = 4 
x=  4 
 a 2) 452 x 
2x-5 =  4 
* 2x-5 = 4 
 2x = 9 
 x = 4,5 
* 2x-5 = - 4 
 2x =5-4 
 2x =1 
 x =0,5 
Tóm lại: x = 4,5; x =0,5 
b)
4
1
2
4
5
3
1
 x 
 





5
4
-2x = 
1
3
 - 
1
4
 
 
Bài 1.2: Tìm x, biết: 
a) 
2
1
322 x b) 5,42535,7  x c) 15,275,3
15
4
x 
Bài 1.3: Tìm x, biết: 
a) 51132 x b) 31
2

x
 c) 5,3
2
1
5
2
 x d) 
5
1
2
3
1
x 
Bài 1.4: Tìm x, biết: 
a) %5
4
3
4
1
x b) 
4
5
4
1
2
3
2

 x c) 
4
7
4
3
5
4
2
3
 x d) 
6
5
3
5
2
1
4
3
5,4  x 
Bài 1.5: Tìm x, biết: 
a) 2
3
1
:
4
9
5,6  x b) 
2
7
5
1
4:
2
3
4
11
 x c) 3
2
1
4
3
:5,2
4
15
 x d) 
6
3
2
4
:3
5
21

x
 
2. Dạng 2: B(x)A(x)  ( Trong đó A(x) và B(x) là hai biểu thức chứa x ) 
* Cách giải: 
Vận dụng tính chất: 





ba
ba
ba ta có: 





)()(
)()(
)()(
xBxA
xBxA
xBxA 
Bài 2.1: Tìm x, biết: 
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
 For evaluation only.
Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 
 
 20
a) 245  xx b) 02332  xx c) 3432  xx d) 06517  xx 
a) 245  xx 
* 5x-4=x+2 
5x- x =2+4 
4x=6 
 x= 1,5 
* 5x-4=-x-2 
5x + x =- 2+ 4 
6x= 2 
 x= 
1
3
 
Vậy x= 1,5; x= 
1
3
 
 
Bài 2.2: Tìm x, biết: 
a) 14
2
1
2
3
 xx b) 0
5
3
8
5
2
7
4
5
 xx c) 
4
1
3
4
3
2
5
7
 xx d) 05
2
1
6
5
8
7
 xx 
3. Dạng 3: B(x)A(x)  ( Trong đó A(x) và B(x) là hai biểu thức chứa x ) 
* Cách 1: Ta thấy nếu B(x) < 0 thì không có giá trị nào của x thoả mãn vì giá trị 
tuyệt đối của mọi số đều không âm. Do vậy ta giải như sau: 
)()( xBxA  (1) 
Điều kiện: B(x) 0 (*) 
(1) Trở thành 





)()(
)()(
)()(
xBxA
xBxA
xBxA ( Đối chiếu giá tri x tìm được với điều 
kiện ( * ) 
* Cách 2: Chia khoảng xét điều kiện bỏ dấu giá trị tuyệt đối: 
Nếu aaa  0 
Nếu aaa  0 
Ta giải như sau: )()( xBxA  (1) 
 Nếu A(x) 0 thì (1) trở thành: A(x) = B(x) ( Đối chiếu giá trị x tìm được với 
điều kiện ) 
 Nếu A (x ) < 0 thì (1) trở thành: - A(x) = B(x) ( Đối chiếu giá trị x tìm được 
với điều kiện ) 
VD1: 
Giải : 
 a0) Tìm x  Q biết 






x+
2
5 =2x 
 * Xét x+ 
2
5
  0 ta có x+ 
2
5
 =2x 
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
 For evaluation only.
Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 
 
 21
 *Xét x+ 
2
5
 < 0 ta có x+ 
2
5
 =- 2x 
 
Bài 3.1: Tìm x, biết: 
a) xx 23
2
1
 b) 231  xx c) 125  xx d) 157  xx 
Bài 3.2: Tìm x, biết: 
a) xx 29  b) 235  xx c) xx 296  d) 2132  xx 
Bài 3.3: Tìm x, biết: 
a) xx 424  b) xx  213 c) xx 3115  d) 252  xx 
Bài 3.4: Tìm x, biết: 
a) 152  xx b) xx  123 c) 1273  xx d) xx  112 
Bài 3.5: Tìm x, biết: 
a) xx  55 b) 77  xx c) xx 3443  d) xx 2727 