Chuyên đề Định lý Talet – tam giác đồng dạng

I .	định lý talet – tam giác đồng dạng


 Trong chương này, chúng ta sẽ ôn lại các kiến thức chung về tam giác, các trường hợp bằng nhau của tam giác, các dạng tam giác đặc biệt, các đường đặc biệt trong tam giác, các dạng tứ giác và tính chất của chúng. Vì lý do đó, chúng tôi chỉ nhắc lại các kiến thức này dưới dạng lý thuyết, các bài tập vận dụng chúng sẽ được gắn vào trong các bài tập về Định lý Talet và tam giác đồng dạng .
I. Nhắc lại một số kiến thức cơ bản
1. Tam giác
Trong một tam giác:
- Ba đường cao đồng quy, điểm đồng qui gọi là 
 trực tâm của tam giác.
- Ba đường trung tuyến đồng quy, điểm đồng qui gọi là
 trọng tâm của tam giác 
- Ba đường phân giác đồng quy, điểm đồng qui là tại tâm đường tròn nội tiếp tam giác 
- Ba đường trung trục đồng quy, điểm đồng qui là tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác. 

 Xét tam giác ABC:
- Nếu ABC có AB = AC hoặc thì tam giác cân tại A. 
- Nếu ABC có AB = AC = BC hoặc thì tam giác đều.
- Nếu ABC cân và có một góc bằng 600 thì tam giác đều.
 Đường trung bình của tam giác:
- Nếu MA = MB; NA = NC thì MN được gọi là đường trung bình của ABC.
A
C
B
M
N
- Nếu MN là đường trung bình thì MN// BC và MN = BC.
- Nếu 

Chú ý: Từ Không suy ra được 
I.2. Tứ giác- các dạng tứ giác đặc biệt
1. Tứ giác
- Tổng 4 góc trong 1 tứ giác: 
- Tổng các góc ngoài của tứ giác bằng 1800

2. Các dạng tứ giác đặc biệt
1. Hình thang
A
D
C
B
H
A
B
C
D
O

B
A
C
D
O
A
B
C
D

Tứ giác ABCD là hình thang nếu có hai cạnh đối song song (AB//CD)
- AB và CD được gọi là 2 đáy AH là đường cao.	
- Hai góc kề 1 cạnh bên của hình thang bù nhau.
- Nếu hình thang có 1 góc vuông thì có ít nhất 2 góc vuông. 
Khi đó nó được gọi là hình thang vuông.
- Hình thang ABCD (AB//CD) là hình thang cân nếu có:
+ Hai góc kề một đáy bằng nhau (A = B hoặc C = D).
+ Hai đường chéo bằng nhau (AC = BD)
+ Nhận đường thẳng đi qua trung điểm của 2 đáy (MN) làm trục đối xứng..	
2. Hình bình hành
 Tứ giác ABCD là hình bình hành nếu:
+ Các cạnh đối song song (AB//CD, BC//AD)
+ Các góc đối bằng nhau : 
+ Có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau
 (AB//CD và AB = CD hoặc BC//AD và BC = AD)
+ Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường (OA = OC; OB=OD)
+ Các cạnh đôí bằng nhau: AB = CD; BC = AD.
Chú ý: Giao điểm của hai đường chéo là là tâm đối xứng của hình bình hành 
.3. Hình chữ nhật:
Tứ giác ABCD là hình chữ nhật khi và chỉ khi:
+ Có ba góc vuông (A = B = C = 900)
+ Là hình bình hành có 1 góc vuông.
+ Là hình bình hành có 2 đường chéo bằng nhau.
+ Là hình thang cân có 1 góc vuông.
+ Là hình thang cân có 2 đường chéo bằng nhau
 và cắt nhau tại trung điểm của nửa đường.
+ Nhận các đường thẳng đi qua trung điểm của các cặp cạnh đối làm trục đối xứng.
.4. Hình thoi.
Tứ giác ABCD là hình thoi khi và chỉ khi:
+ Các cạnh bằng nhau: AB = BC = CD = DA
+ Hai đường chéo vuông góc với nhau 
và cắt nhau tại trung điểm của nửa đường. 
+ Hình bình hành có 2 cạnh kề bằng nhau.
+ Các đường chéo là tia phân giác của các góc.
+ Hình bình hành có một đường chéo là tia phân giác của 1 góc.
+ Các đường chéo là các trục đối xứng.
.5. Hình vuông:
Tứ giác ABCD là hình vuông nếu và chỉ nếu:
+ Có 4 góc bằng nhau, 4 cạnh bằng nhau.
+ Hình chữ nhật có 2 đường chéo vuông góc.
+ Hình thoi có 2 đường chéo bằng nhau.
+ Hình chữ nhật có 2 cạnh kề bằng nhau.
+ Hình thoi có 1 góc vuông.
+ Hình chữ nhật có 1 đường chéo là tia phân giác của 1 góc.
1. Đường trung trực:
Đường trung trực d là đường trung trực của AB nếu: d AB và MA =MB
 M d MA = MB
H
K
x
z
y
0
A
B
C
M
N
d
Oz là tia phân giác của khi và chỉ khi:
+ = và Oz nằm giữa Ox và Oy.
+ 
+ Với điểm M bất kỳ, M Oz thì MH = MK
II. Định lý Talet – Tam giác đồng dạng
1. Kiến thức cần nhớ:
- Định lý Talét: 
Cho ABC, đường thẳng d cắt AB, AC tại M, N
Ta có: MN // BC 
Nếu 
- Tam giác đồng dạng: 
ABC đồng dạngA’B’C’	
 
- ABC và A’B’C’ đồng dạng nếu:
+ Có 2 góc bằng nhau (g.g.)
+ Hai cặp cạnh tương ứng tỷ lệ và góc xen giữa bằng nhau: (c.g.c)
+ Ba cạnh tương ứng tỷ lệ (c.c.c)
- Các trường hợp đồng dạng của tam giác vuông:
+ Hai cạnh góc vuông tương ứng tỷ lệ (c.g.c)
+ Hai góc nhọn bằng nhau (g.g)
+ Cạnh góc vuông và cạnh huyền tương ứng tỷ lệ.
2. Lưu ý
- Trong khi giải các bài tập về đồng dạng nên quen nhìnABC vàAMN đồng dạng ở các hình vẽ sau:
















Nếu hai tam giác đồng dạng:
- Tỷ số chu vi bằng tỷ số đồng dạng
- Tỷ số diện tích bằng bình phương tỷ số đồng dạng.
- Tỷ số các đường cao, trung tuyến, phân giác tương ứng
 bằng tỷ số đồng dạng.
VD: ABC đồng dạng với A’B’C’ theo tỷ số k thì

3. Ví dụ
Ví dụ 1: Cho ABC, hình vuông MNPQ được gọi là nội tiếp ABC nếu nó có hai đỉnh nằm trên hai cạnh của và cạnh còn lại của hình vuông nằm trên cạnh thứ ba của .
a) Hãy nêu cách vẽ một hình vuông như vậy với ABC cho trước.
b) Tính cạnh hình vuông với M AB; N AC theo BC = a và đường cao AH = h.
Giải:
a) Vẽ hình vuông EFGK sao cho E AB; K và G nằm trên BC
Nói BF cắt AC tại N.
Qua N vẽ NM //EF cắt AB tại M.
Vẽ MQ MN; MP MN cắt BC tại Q và P.
Ta có MNPQ là hình vuông. Thật vậy.
Vì MN//EF//BC, MQ BC; NP BC
Nên MNPQ là hình chữ nhật.
Mặt khác EF//MN => 
FG//NP => (Định lý Talét)


 mà EF = FG => MN = NP
Vậy MNPQ là hình vuông
b) Vì MN//BC nên 
MQ//AH nên (Định lý Talét)
Do vậy: 
Ví dụ 2: Cho hình thang ABCD (AB//CD)
Có AB = a ; CD = b ( a< b ) . Hai đường chéo cắt nhau tại O.
Qua O kẻ đường thẳng song song với hai đáy cắt các cạnh bên tại M và N.
a) Chứng minh: OM = ON.
b) Tính MN theo a và b.
Giải:
a) Vì MN//AB => 	 (Định lý Talét)
(Định lý Talét)
Mà AB//CD nên (Định lý Talét)
Do vậy 
Để chứng minh hai đoạn thẳng a và b bằng nhau. Ta có thể dùng đoạn có độ dài c làm trung gian và chứng minh 
b) Ta có: 	

Đặt O’M = ON – x ta có: 
Vậy MN = 
Để tính x theo a và b ta có thể dùng tỷ lệ suy ra không đổi. 
Từ đó suy ra x.


Ví dụ 3: Cho ABC có Chứng minh rằng:
BC2 = AC2 + AC.AB
Giải:
Trên tia đối của tia AC lấy D sao cho AD = AB
Khi đó ABC cân tại A nên:

Xét ABC và BDC có:
 chung nên ABC đồng dạng với BDV (g.g)

4. Bài tập tự luyện
Bài 1: Cho ABC, dựng ra phía ngoài của nó các tam giác vuông cân BAD và CAE (vuông tại A). Chứng minh rằng đường cao AH của ABC đi qua trung điểm M của DE.
Bài 2: Cho ABC cân tại A, phân giác CD. Trên tia CB lấy M sao cho CM = 2 BD.
Chứng minh rằng CDM vuông tại D.
Bài 3: Cho ABC, biết rằng người ta có thể chọn được điểm M sao cho AM chia ABC thành hai tam giác con đồng dạng và tỷ số đồng dạng bằng . Tính các góc của ABC.
Bài 4: Cho ABC nhọn các đường cao AA’, BB’, CC’ đồng quy tại H. Chứng minh rằng:
a) 
b) HA.HA’ = BH.HB’ = CH.HC’
Bài 5. Cho ABC. M là 1 điểm bất kỳ trong . Nối M với các đỉnh A, B, C cắt các cạnh đối diện lần lượt tại A’, B’, C’ qua M kẻ đường thẳng song song với BC cắt A’B’; A’C’ tại K và H.
Chứng minh rằng: MK = MH
Bài 6. Trên đường phân giác của lấy 1 điểm M. Qua đó vẽ một đường thẳng bất kỳ định ra trên hai cạnh của góc các đoạn thẳng có độ dài a và b
Chứng minh rằng: không phụ thuộc vào vị trí của đường thẳng mà ta vẽ.
Bài 7. Cho ABC. Trên AB và AC lấy các điểm M và N sao cho BM = CN.
Chứng minh rằng: Khi M, N chạy trên AB và AC thì trung điểm K của MN luôn nằm trên 1 đường thẳng cố định.
Bài 8. Cho hình bình hành ABCD. Một đường thẳng d bất kỳ cắt AB, AC, AD tại M, N, P
Chứng minh rằng: 
Bài 9. Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp của ABC. Trên AB và AC lấy các điểm M, N sao cho CN.CB = CI2 ; BM.BC = BI2
Chứng minh rằng: M, I, N thẳng hàng.



Bài 10. Cho ABC cân tại A. Từ trung điểm H của BC kẻ HK AC. Gọi M là trung điểm của HK. Chứng minh rằng: AM BK
Giải:
Bài 1
 Kéo dài AM lấy F sao cho AF = 2AM
Khi đó ADFE là hình bình hành.
=> DF = AE = AC
CF = AD = AB

ị
Các ADF và BAC bằng nhau. Suy ra 
 Do vậy 
Hay Ax BC tức là Ax AH. Hay AH đi qua M.
Bài 2: Từ D kẻ đường vuông góc với CD cắt CB tại M’
Gọi N là trung điểm của CM’
Vì CDN cân tại N
 nên 
=> DBN cân tại D nên DB = DN
=> DB = CM’ do đó M’ M
Hay DM CD.
Bài 3 Từ ABM và ACM đồng dạng thì AM BC.
Vì tỷ số đồng dạng bằng nên .
Do vậy . 
=> = 900

Tỷ số đồng dạng bằng 
=> = 600; = 300
Vậy 3 góc của ABC là : 300 ; 600 và 900. 
Bài 4: 
a) 


B) AB’H đồng dạng BA’H => AH.HA’ = HB.HB’

Tương tự suy ra HA.HA’ = HB. HB’ = HC. HC’
Bài 5: HK cắt AB, AC tại P, Q
Ta có: Theo định lý Talét


A
x
M
B
d
y
F
O
E
Bài 6: Qua M vẽ ME// oy; MF//ox.
Cắt ox, oy tại E và F
Thì OEMF là hình thoi.
Theo định lý Talét:
 
 Suy ra : 
 không phụ thuộc vào d.

Bài 7: Gọi D, E, K là trung điểm của BC, MN, CM.

Ta có EK //AC; EK = NC
DK //AB; DK = BM ( t/c đường TB)
=> EK = DK => DEK cân. 
Vậy DE tạo với AB, AC các góc bằng nhau 
Hay DE // Ax (Ax là phân giác của ). D cố định.
Do đó DE cố định
Hay E luôn nằm trên 1 đường thẳng cố định.
Bài 8: Từ B, D kẻ BB’//DD’//d
 
Cắt AC tại, ta có:


mà ABB’ = CDD’ => CD’ = AB’




Bài 9: Vì BM.BC = BI2 => 
Và
=> MBI đồng dạng với IBC
=> Tương tự 

Hay M, I, N thẳng hàng.
Bài 10 
Kẻ BM AC, BMC đồng dạng AKH


=> AHM đồng dạng BCK
Gọi P, Q là giao của AH và BK, AM và BK.
Xét BPH và APQ có 
=> = 900. Hay AM BK.
1.3 Hệ thức lượng trong tam giác vuông :
1.3.1 Kiến thức cần nhớ :
- Tỷ số lượng giác của góc nhọn :

sin B = cos C = ; tgC = cotg B = 
sin C = cos B = ; tgB = cotg C = 
- Tam giác ABC vuông tại A khi và chỉ khi : 
 1) a2 = b2 +c2 ( định lý Pitago )
 2) c2= ac' ; b2 = ab'
 3) h2= b'c'
 4) 
5) ah = bc 
 Ngoài ra ta thấy các tam giác ABC , HBA ; HAC luôn đồng dạng với nhau từng đôi một 
1.3.2 Bài tập ví dụ:

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC vuông tại C , có đường cao CK. Đường phân giác góc ACK cắt BC tại E. Chứng minh BC = BE.
Giải:
Xét CBE có ( góc ngoài của tam giác)
mà	
nên . 
Vậy tam giác CBE cân tại B, do đó BC = BE.
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC cân tại A (), CD là đường phân giác trong của góc C. Qua D kẻ đường thẳng vuông góc với CD cắt đường thẳng BC tại E. Chứng minh: CE = 2 BD.
 

Giải:
Gọi M là trung điểm của CE, 
ta có CE = 2CM =2DM ( tính chất tam giác vuông). 
 Vì CDM cân nên 
 vậy (góc ngoài tam giác ). 
mà ( do tam giác ABC cân) nên, 
do tm gicá BDM cân tại D nên DB = DM. Vậy CE = 2 BD.

Ví dụ 3: Cho tam giác ABC có AC = 2 BC và . Chứng minh ABC là tam giác vuông.


Giải: Trên tia đối của tia BC lấy điểm M sao cho .
Khi đó nên MA = MC.
Vì AB là phân giác nên: 
Vậy tam giác MCA cân tại A nên AM = AC. 
Do đó tam giác CAM đều. 
Vậy 
1.3.3 Bài tập tự giải:	
Bài1: 
Tổng các góc ở đáy của một hình thang bằng 900. Hai đáy có độ dài a, b. Gọi E và F là trung điểm của hai đáy. Tính EF.
Bài2: 
Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH và phân giác AD. Gọi HM, HN là đường phân giác của góc BHA và góc CHA. Chứng minh rằng: A, D, M, N là các đỉnh của một hình vuông.
Bài 3 :
 Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. Đường thẳng nối tâm đuờng tròn nội tiếp các tam giác AHB và AHC cắt AB, AC lần lượt tại M và N. Chứng minh rằng AM = AN.
Bài 4 :
Giải tam giác ABC biết AB = c, AC= b và 

Bài 5 :
Giải tam giác ABC biết BC = a, 
Hướng dẫn giải: 
Bài 1: Kéo dài DA và CB cắt nhau tại M 
 - Chứng minh M , E , F thẳng hàng 
 - Tam giác DMC vuông tại M 
 - Từ đó tính được EF = 

Bài 2: - áp dụng tính chất đường phân giác với các đường phân giác AD , HN , HM và hệ thức trong tam giác vuông ABC với đường cao AH ta được ; 
Do đó: ND // AB , MD // AC ( Định lý ta lét )
Nên AMDN là hình chữ nhật 
Lại có AD là phân giác của nên AMDN là hình vuông 




















Một số bài tập chung 
Phần hình học
Bài1: cho hình bình hành ABCD với O là giao điểm của hai đường chéo. Lấy E trên AD sao cho AD = 3DE. Tỷ số diện tích của tam giác DEO và tứ giác ABOE là:
a) 1:2 
b) 1:3
c) 1:5
d) 1:6
e) 1:7
Bài2
Trong hình vẽ cho góc BAD bằng góc BDC. Biết AD = 4cm, AB = 6cm, BD = 5cm, DC = 7,5cm. Độ dài của BC là:
a) Không tính được
b) 4 cm
c) 5,5 cm
d) 6 cm
e) 6,25 cm
Bài3
 Độ dài các cạnh của tam giác ABC là 13, 14, 15. Giọ H là trực tâm của tam giác. Nếu AM là đưòng cao ứng với cạnh có độ daìi là 14 thì tỉ số HM : HA là
a) 3:11
b) 5:11
c) 1:2
d) 2:3
e) 25:33
Bài 4: Một hình thoi nội tiếp tam giác ABC( có một đỉnh là A, hai cạnh nằm trên AB và AC, đỉnh đối diện với đỉnh A nằm trên BC). Bết AC =3, , AB =6, BC =4. Độ dài cạnh của hình thoi là:
a) 1
b) 1,5
c) 1,75
d) 2
e) 2,5
Bài 5 Cho tứ giác ABCD, trên tia đối của tia BA lấy điểm E sao cho BE = BA. Để ACE bằng 900 thì tứ giác ABCD là
a) Hình chữ nhật
b) Hình thoi
c) Hình bình hành
d) Có một cạp cạnh bằng nhau
e) Có một cặp góc bằng nhau.
Bài 6
Một hình chữ nhật có chiều dài bằng 5, chiều rộng nhỏ hơn 4. Nếu gấp hình chữ nhật lại sao cho hai đỉnh đối diện của nó trùng nhau thì chiều dài của nếp gấp là , chiều rộng của hình chữ nhật là:
a) 
b) 
c) 2
d) 
e) 
Bài 7. Độ dài các cạnh của tam giác ABC tỉ lệ với 2:3:4.Biết đường phân giác BD cắt cạnh ngắn nhất AC của tam giác tại D. Khi AC =10 thì độ dài của đoạn lớn hơn trong hai đoạn AD và CD là:
a) 3,5
b) 5
c) 
d) 6
e) 7,5 
Bài 8 
 Cho tứ giác ABCD có các đường chéo cắt nhau tại O. Biết BO = 4, DO =6, AO = 8, CO =3, AB = 6. Độ dài của cạnh AD là:
a) 9
b) 10
c) 
d) 
e) 
Bài 9 
 Lấy các điểm D, E, F lần lượt trên các cạnh AB, bC, CA của tam giác ABC sao cho AD : DB = BE : EC = CF : FA = . Tỷ số diện tích của tam giác DEF và tam giác ABC là;
a) 
b) 
c)
d) 
e) 
Bài 10. 
Cho tứ giác ABCD. Kéo dài AD và BC cắt nhau Tại E. Đặt 
x= và . Ta có:
a) k ≥ 1
b) k 1
c) 0<k<1
d) k > 1
e) k = 1
bài 11
Một tam giác đều và một lục giác đều có chu vi bằng nhau. Nếu diện tích của tam giác bằng 1 thì diện tích của lục giác đều là:
a) 1
b) 1,5
c) 2
d) 3
e) 6
Bài 12
Một tam giác có hai góc bằng 300 và 450. Nếu cạnh đối diện với góc 450 có độ dài bằng 4 thì cạnh đối diện với góc 300 có độ dài là:
a) 2
b) 
c) 
d) 
e) 3
Bài 13: Giả sử có hai mảnh bìa là hai tam giác vuông bằng nhau, có cạnh huyền bằng 12, các góc nhọn bằng 300 và 600. Ta đặt sao cho chúng không trùng nhau mà chỉ có cạnh huyền trùng nhau và có một phần chung. Diện tích phàn chung của chúng là :
a) 
b) 
c)
d) 
e) 24 
Bài 14 : Cho tam giác ABC . Gọi D , E , F lần lượt là trung điểm của AB , BD , BC . Biết diện tích tam giác ABC là 96 . Dện tích tam giác AEF là : 
a ) 16 
b) 24
c) 32 
d ) 36 
 e ) 48
Bài 15 : Trong tam giác ABC có > Lấy các điểm D, E ,F lần lượt trên các cạnh BC , CA , AB sao cho CE = CD ; BD = BF . Số đo là :
a ) 400 
b ) 450
c) 500
d) 550
e) Đáp số khác
Bài 16: Tính cạnh của hình thoi ABCD biết bán kính đường tròn ngại tiếp cac tam giác ABC và ABD lần lượt là 3 và 4
Bài 17 : Cho tam giác nhọn ABC cân tại A . Đường cao BH 
 Chứng minh rằng : 
Bài 18: Cho tam giác ABCcân tại A có 
Chứng minh rằng : 
Bài 19 : Cho tam giác ABC vuông tại A 
 Chứng minh rằng : với p là nửa chu vi của tam giác ABC
Bài 20 :Cho góc nhọn xOy . Trên hai cạnh Ox và Oy lần lượt lấy hai điểm M và N 
 sao cho OM +ON = 2a không đổi . 
a ) Chứng minh rằng : Khi M ,N chạy trên Ox , Oy thì trung điểm của MN luôn nằm trên một đoạn thẳng cố định 
b ) Xác định vị trí của M và N để tam giác OMN có diện tích lớn nhất