Chuyên đề Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số và ứng dụng của giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong việc giải phương trình, bất phương trình

Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
 và ứng dụng của giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong việc giải phương trình, bất phương trình
Phần I: Lý thuyết
Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) xác định trên D. Khi đó
+) M được gọi là GTLN của hàm số trên D. KH: thoả mãn
f(x) 
Tồn tại sao cho M = f(x0)
+) m được gọi là GTNN của hàm số trên D. KH: thoả mãn
f(x) 
Tồn tại sao cho M = f(x0)
Tính chất:
a) Tính chất 1: Giả sử f(x) xác định trên D và A, B là hai tập con của D (). Giả sử tồn tại ,
, , . Khi đó, ta có và 
CM: Giả sủ = f(x0) với x0 . Do x0 
Theo định nghĩa ta có, hay 
b) Tính chất 2: Hàm số f(x) xác định trên D và tồn tại và 
Khi đó, ta có: và 
c) Tính chất 3: Giả sử f(x) và g(x) là hai hàm số xác định trên D và f(x) g(x) với mọi x thuộc D
Khi đó, 
d) Tính chất 4: Giả sử f(x) xác định trên D và . Giả thiết tồn tại và với . Khi đó, và 
e) Tính chất 5: Cho các hàm số f1(x), f2(x),  , fn(x) cùng xác định trên D. 
Đặt f(x) = f1(x) + f2(x) + + fn(x). Giả thiết tồn tại, với . Khi đó, ta có 
	Dấu “ = ” xảy khi và chỉ khi tồn tại x0 thuộc D sao cho với 
	Dấu “ = ” xảy khi và chỉ khi tồn tại x0 thuộc D sao cho với 
f) Tính chất 6: Cho các hàm số f1(x), f2(x),  , fn(x) cùng xác định trên D và fi(x) > 0.
Đặt f(x) = f1(x). f2(x) fn(x). Giả thiết tồn tại, với . Khi đó, ta có 
Phần II: Bài tập
Chuyên đề 1: Phương pháp bất đẳng thức
I/ Lý thuyết:
Bất đẳng thức cosi: Cho là các số không âm. Khi đó, 
	Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi a1 = a2 =  = an.
Bất đẳng thức bunhiacopski: Cho và là 2n số bất kì. Khi đó,
	 (1)
Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi .
II/ Bài tập:
Bất đẳng thức cosi
Bài 1: (1 – 24) Cho hàm số . Tìm giá trị lớn nhất của hàm số.
Hàm số có TXĐ: 
Với mọi , áp dụng bất đẳng thức cosi ta có,
	 (1)
	 (2)
	 (3)
Cộng vế với vế 3 đẳng thức trên ta có, (4) với mọi 
	Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi dấu “ = ” ở (1), (2) và (3) cùng xảy ra. Mà dấu “ = ” ở (1), (2) và (3) xảy ra khi và chỉ khi x = 0.
	áp dụng bấtt đẳng thức cosi, với mọi , ta có: 
	 (5)
	 (6)
Suy ra, (7)
	Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi dấu “ = ” trong (5) và (6) xảy ra. Dấu “ = ” trong (5) và (6) xảy ra khi và chỉ khi x = 0.
	Từ (4) và (7 suy ra, với mọi mà f(0) = 3 và nên .
Bài 2: (31 – 68) Tìm giá trị lớn nhất của hàm số .
Hàm số có TXĐ: 
Với mọi , áp dụng bất đẳng thức cosi, ta có: 
Khi đó, với mọi 
	Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi 
Suy ra, 
Bài 3: (30 – 66) Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số trên miền 
HD: (66)
Lấy (x, y) D. Khi đó, 
áp dụng bất đẳng thức cosi 
Hay (4)
Mặt khác (5)
Từ (4) và (5) suy ra hay (6)
Tiếp tục áp dụng bất đẳng thức cosi cho hai số vì x + y = 1 (7)
Từ (7) suy ra, 
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi hay 
Mà và . Vậy 
Bài 4: (18 – 49) Tìm các giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x,y) trên miền 
HD:
Lấy tuỳ ý. Khi đó, theo bất đẳng thức cosi ta có:
Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi y = x – y = 
Có và . Vậy 
Lấy tuỳ ý. Khi đó, theo bất đẳng thức cosi ta có:
Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi 
Có và . Vậy 
Lấy tuỳ ý. Khi đó, theo bất đẳng thức cosi ta có:
Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi 
Có và . Vậy 
Bài 5: (2 – 25) Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số trên miền 
HD: 
Ta có, 
Lấy (x,y,z) tuỳ ý thuộc D. Khi đó, áp dụng bất đẳng thức cosi, ta có:
Khi đó, 
Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi 
Vì (1, 1, 1) thuộc D và f(1,1,1) = 6 nên 
Bài 6: (23 – 57) Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số 
và giá trị lớn nhất của hàm số , trên miền 
HD: (57)
Lấy (x,y,z) D tuỳ ý. áp dụng bất đẳng thức cosi ta có:
Nhân vế với vế của ba bất đẳng thức ta có,
	 với mọi (x,y,z) thuộc D
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 
Mà và . Vậy 
Lấy (x,y,z) với x + y + z = 1 khi đó,
áp dụng bất đẳng thức cosi ta có, và 
Khi đó, 
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 
Mà và . Vậy 
Bất đẳng thức bunhia
Bài 7: (15 – 45) Tìm GTLN của hàm số trên miền 
HD: Lấy (x, y, z) thuộc D. Khi đó, ta có 
	 (1) 
áp dụng bất đẳng thức bunhia cho hai cặp số và có
	 (2)
Mà x + y + z = 1 từ (2) suy ra (3)
Kết hợp (1) và (3) suy ra có và 
Vậy 
Bài 8: (34 – 74) Tìm GTLN của hàm số trên miền 
HD: Ta có f(x,y,z) = y(z – x) = z(2x + y) + (- x)(2z + y)
áp dụng bất đẳng thức bunhia cho hai cặp số và ta có
Mà x2 + z2 = 1 và (2x + y)2 + (2z + y)2 = 2y2 + 4y(x + z) + 4(x2 + y2) = 16 vì y2 + 2y(x + z) = 6
Khi đó, hay f(x, y, z) 
Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi 
Có . Vậy 
Bài 9 Bài 36(77) 
Tìm GTNN của hàm số trên miền 
HD:Với moi (x, y) thuộc D ta có, 
 (1) 
áp dụng bất đẳng thức bunhia cho hai cặp số và 
Ta có, (2)
Từ (1) và (2) Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi 
Có . Vậy 
Bài8: Bài 37(83) Tìm GTLN và GTNN của hàm số trên miền 
HD: Lấy (x, y, z) thuộc D. Khi đó, 
áp dụng bất đẳng thứ bunhia cho hai cặp số và ta có: 
Bài 10: bài 39(85) Tìm GTNN và GTLN của hàm số và GTLN của hàm số trên miền 
HD: 
Xét hàm số trên 
Lấy (x, y, z) thuộc D. áp dụng bất đẳng thức bunhia cho hai cặp số và 
Ta có, suy ra, (1) do x + y + z = 1
áp dụng bất đẳng thức bunhia cho cặp số và 
Ta có, (2)
Từ (1) và (2) suy ra 
Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi 
Có . Vậy 
Lấy (x, y, z) thuộc D. áp dụng bất đẳng thức bunhia cho hai cặp số và (1, 1, 1)
Ta có, (1)
Lại áp dụng bất đẳng thức bunhia cho hai cặp số và (1, 1, 1)
Ta có, (2)
Từ (1) và (2) suy ra hay 
Dấu “ = ” xảy ra dấu “ = ” ở (1) và (2) cùng xảy ra hay 
Có . Vậy 
Chuyên đề 2: Phương pháp miền giá trị hàm số
Phương pháp: Xét bài toán tìm GTLN, GTNN của hàm số f(x) trên một miền D cho trước.
B 1: Gọi y0 là một giá trị tuỳ ý của hàm số f(x) trên D.
B 2: Giải điều kiện để hệ phương trình (ẩn x): 
B 3: Biến đổi đưa hệ phương trình về dạng: 
B 4: Vì y0 là giá trị bất kì trên D. Đưa ra kết luận.
Bài tập:
Bài 1: (96-185) Tìm GTLN và GTNN của hàm số trên toàn trục số.
TXĐ: R
Gọi y0 là một giá trị của hàm số. Khi đó, phương trình (1) có nghiệm
Vì x2 + 2x + 10 nên (1) (2) có nghiệm
TH 1: y0 = 2 phương trình (2) trở thành có nghiệm
TH 2: y0 0, khi đó phương trình (2) có nghiệm khi và chỉ khi 
 	Vì y0 là một giá trị tuỳ ý của hàm số y = f(x), nên 
Bài 2: (97 – 188) Tìm GTLN và GTNN của hàm số 
Đ/S: 
Bài 3: (98 – 191) Tìm GTLN và GTNN của hàm số 
Đ/ S: 
Bài 4: (100-193) Tìm GTLN và GTNN của hàm số 
trên một miền 
HD: Gọi t0 là một giá trị tuỳ ý của hàm số f(x,y) trên D.
Khi đó, hệ phương trình có nghiệm
Từ (2) thế (1) vào được phương trình (3)
Để hệ cố nghiệm thì (3) có nghiệm 
Khi đó, (3) có nghiệm thế vào (2) thoả mãn có nghiệm
Mà t0 là một giá trị tuỳ ý của f(x,y) trê D nên
	 và 
Bài 5: Tìm GTLN và GTNN của hàm số trên miền 
HD: Gọi t0 là một giá trị tuỳ ý của hàm số f(x,y) trên D.
Khi đó, hệ phương trình có nghiệm
Từ (2) có x = 1 – y thế vào (1) vì x2 + y2 + 7 > 0
	 (3)
Để hệ có nghiệm thì (3) có nghiệm
TH 1: t0 = 0 khi đó, (3) trở thành – y – 2 = 0 , x = 3. phương trình có nghiệm
TH 2: t0 0 được phương trình bậc hai, phương trình có nghiệm 
Kết hợp (3) có nghiệm khi 
Vì t0 là một giá trị bất kì của f(x,y) trên D nên và 
Bài 6: (99 -192) Tìm GTLN và GTNN của hàm số trên 
HD: Xét và . Khi đó, 
Nếu thì f(x,y) = 0. Vậy 
Nếu . Khi đó, ta có 
Đặt , được hàm số 
 Khi đó
Gọi là một giá trị bất kì của hàm số F(t). 
Khi đó, phương trình (1) có nghiệm
TH 1: Với = 0 phương trình (1) có nghiệm t =1.
TH 2: Với 0 phương trình (1) có nghiệm 
Kết hợp (1) có nghiệm khi 
Suy ra, và 
Vậy 
Bài 7: (101-194) Tìm GTLN và GTNN của hàm số 
HD: Gọi y0là một giá trị tuỳ ỳ của f(x).
Khi đó, phương trình có nghiệm
 (1)
Để (1) có nghiệm xét hai TH
TH 1: y0 = 3 khi đó (1) trở thành x2 = 0. Vậy (1) có nghiệm.
TH 2: (1) có nghiệm khi và chỉ khi hệ 
Để (1) có nghiệm (2) có nghiệm t 0 mà (2) có P = 1 > 0 (2) có 2 nghiệm cùng dấu
Khi đó, (2) có nghiệm 
Kết hợp hai trường hợp (1) có nghiệm khi 
Vậy
Bài 8: (105 – 201) Cho hàm số . Tìm p, q để 
HD: Gọi y0 là một giá trị tuỳ ý của hàm số f(x).
Khi đó, phương trình (1) có nghiệm
Ta có, (1) (2)
Để (1) có nghiệm thì (2) có nghiệm, xét 2 trường hợp
TH 1: y0 = 1 thì (2) có nghiệm khi hoặc p = 0 và q = 1.
TH 2: y0 1 thì (2) có nghiệm khi 
Ta có vì với y0 = 1 có 
Kết hợp hai trường hợp ta có để (1) có nghiệm là 
Khi đó, tacó 
Theo viét ta có 
Vậy
Bài 9: (106 – 202) Cho hàm số tìm a nguyên khác 0 sao cho đại lượng cũng là số nguyên.
HD: Gọi y0 là một giá trị tuỳ ý của hàm số f(x).
Khi đó, phương trình (1) có nghiệm
Từ (1) ta có 
Để (1) có nghiệm thì (2) có nghiệm. Để (2) có nghiệm xét hai trường hợp
TH 1: y0 = 12 có (2) trở thành x = 0. Vậy (2) có nghiệm
TH 2: thì (2) có nghiệm 	
Nhận thấy y0 = 0 thì do vậy 
Kết hợp hai trường hợp để (1) có nghiệm thì 
Vậy . Tìm a nguyên khác 0 để = k (3) nguyên dương.
Nếu a > 0 thoả mãn (3) thì - a cũng thoả mãn 3, xét a > 0 khi đó, (3) 
Vì k + a > 0 suy ra k – a > 0 và k + a và k – a là số nguyên. Suy ra 
Vậy a = 8 và a = - 8 thì 
Chuyên đề 3: Phương pháp sử dụng đạo hàm của hàm số.
Phương pháp: Cho hàm số y = f(x) xác định trên [a; b]
B 1: Giải phương trình f’(x) = 0 để tìm các nghiệm x1, x2, x3, ,xn trong [a; b].
B 2: Tính các số f(a), f(b), f(x1), f(x2),, f(xn).
B 3: Kết luận GTLN là số lớn nhất, GTNN là số nhỏ nhất trong các giá trị trên.
Bài tập:
Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 
HD: Do hàm số tuần hoàn với chu kì . Do vậy, ta chỉ cần tìm GTLN và GTNN của hàm số trên 1 chu kì .
Ta có, . Xét y’ = 0 
Bảng biến thiên: x 0 
	 y’ 0 - 0 + 0
 1 1 
 	 y
Kết luận: 
Bài 2: Tìm GTLN và GTNN của hàm số .
Bài 3: Cho hàm số . Tìm p, q để 
Chuyên đề 4: Phương pháp chiều biến thiên của hàm số
Phương pháp: Dựa vào tính đồng biến và nghịch biến của hàm số bậc nhất và bậc hai. Lập bảng biến thiên của hàm f(x) cần tìm GTLN, GTNN trên D cho trước.
Tính chất 1
+) Hàm số y = ax + b đồng biến khi a > 0 và nghịc biến khi a < 0.
+) Hàm số y = ax2 + bx + c:
	Nếu a > 0: Đồng biến khi , nghịch biến khi 
	Nếu a < 0: Đồng biến khi , nghịch biến khi 
Tính chất 2: 
+) Nếu f(x) là hàm đồng biến trên D thì - f(x) là hàm nghịch biến trên D.
+) Nếu f(x) là hàm đồng biến trên D và f(x) > 0 thì hàm nghịch biến trên D.
Tính chất 3:
+) Nếu f(x) và g(x) là hai hàm đồng biến trên D thì hàm f(x) + g(x) cũng đồng biến trên D.
+) Nếu f(x), g(x) là hai hàm đồng biến trên D và f(x) >0, g(x) > 0 trên D thì hàm f(x).g(x) cũng đồng biến trên D.
Bài tập
Bài 1: (107 – 206) Tìm GTLN và GTNN của hàm số xét trên miền .
HD: Lập bảng biến thiên của hàm số trên D
Bài 2: (108 – 207) Tìm GTLN và GTNN của hàm số trên miền 
Bài 3: (110-210) Tìm GTNN và GTNN của hàm số trên miền 
Bài 4: (111 – 211) Tìm GTLN và GTNN của hàm số trên miền 
Bài 5: (114 – 216) Tìm GTLN và GTNN của hàm số trên miền 
Bài 6: (119 – 227) Tìm GTLN và GTNN của hàm số trên miền 
Bài 7: (121 – 236) Cho hàm số xét trên miền . Tìm a để hàm số có .
Bài 8: (123 – 234) Cho phương trình . Khi phương trình có nghiệm x1, x2 xét đại lượng A = x1 + x2 + 3x1x2. Tìm GTLN và GTNN của A.
Bài 9: (125 -240) Tìm GTLN và GTNN của hàm số trên miền . Biện luận kết quả theo m.
Bài 10: (126 – 241) Cho hàm số . Tìm a để 
Chuyên đề 5: ứng dụng của GTLN và GTNN trong việc giải và biện luận phương trình và bất phương trình.
Phương pháp: Biến đổi phương trình về dạng f(x) = d(m). Tìm GTLN và GTNN của hàm số trên I và so sánh các GTLN và GTNN với a. Từ đó suy ra nghiệm của phương trình.
Bài tập: 
Bài 1: (3-150-tuyển tậphàm số)
Tìm m để phương trình có nghiệm.
Tìm m để bất phương trình 
HD: Xét hàm số 
Xét 
Bảng biến thiên: 
Phương trình f(x) = m có nghiệm khi và chỉ khi .
Bất phương trình f(x) > m có nghiệm với mọi m khi 
Bài 2: Tìm m để phương trình có nghiệm.
Bài 3: Tìm m để bất phương trình .
HD: Bất phương trình .
Có 
Bảng biến thiên: 
	Vậy để bất phương trình nghiệm đúng mọi x thì